Análise Fatorial 2

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ENP157 – Estatística 2 – Profa.: Luciana Reis 
Análise Fatorial 
Aula 18 
ENP157 – Estatística 2 – Profa.: Luciana Reis 
Sumário 
1. Introdução; 
2. Modelo de Análise Fatorial Via Matriz de 
Correlação; 
3. Estimação do número de fatores m; 
4. Métodos de estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp; 
5. Estimação dos Escores dos Fatores F para cada 
elemento amostral; 
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Sumário 
1. Introdução; 
2. Modelo de Análise Fatorial Via Matriz de 
Correlação; 
3. Estimação do número de fatores m; 
4. Métodos de estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp; 
5. Estimação dos Escores dos Fatores F para cada 
elemento amostral. 
 
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4. Métodos de estimação para as 
matrizes Lpxm e ψpxp 
• Escolhido o valor de m, é possível estimar-se 
as matrizes Lpxm e ψpxp. 
 
• Há três métodos para estimação das matrizes: 
– Método dos componentes principais; 
– Método de fatores principais; 
– Método da máxima verossimilhança. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• É utilizado como uma análise exploratória dos 
dados, em termos dos fatores subjacentes; 
 
• Não exige informações ou suposições sobre a 
distribuição de probabilidades do vetor 
aleatório Z. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Funcionamento: 
– Para cada λi, i=1,2,...,m, retido na estimação do 
valor de m, encontra-se o autovetor normalizado 
correspondentes ei, onde ei = (ei1 ei2 ei3 ... eip)’. 
– As matrizes Lpxm e ψpxp serão estimadas 
respectivamente por: 
 
 
 onde diag(.) representa a matriz diagonal. 
 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Para um valor m fixo tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
– Portanto, para estimação da matriz ψpxp, iremos 
considerar apenas a diagonal da matriz. 
 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Considerando-se essa forma de estimação, a 
matriz de correlação amostral original Rpxp 
estará sendo aproximada por: 
 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• A matriz residual proveniente do ajuste do 
modelo fatorial será dada por: 
 
– A matriz residual pode servir como um critério 
para avaliação da qualidade de ajuste do modelo 
fatorial. 
– Idealmente, seus valores deveriam ser próximos 
de zero. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Quando o método das componentes 
principais é usado para a estimação das 
matrizes Lpxm e ψpxp, a proporção de variância 
explicada pelo fator Fj dada por: 
 
– Esse valor representa o quanto cada fator 
consegue captar da variabilidade original das 
variáveis Zi. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– Numa pesquisa de mercado feita para avaliar a 
aceitação pelo consumidor de um novo produto 
comestível, observou-se uma amostra de 200 
consumidores, sendo 103 do sexo feminino e 97 
do masculino. 
– Cada consumidor foi convidado a dar uma nota de 
1 a 5 aos seguintes atributos do produto: sabor, 
aroma, cor, textura, utilidade, facilidade de 
encontrá-lo para compra e embalagem. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– A matriz de correlação amostral é dada por: 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– A tabela apresenta os autovalores da matriz de 
correlação amostral com as respectivas 
porcentagens de variação total explicada. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– 1º Passo: seleção dos m fatores 
• Critério 1: 
– 90% da variabilidade é obtida com m=3 fatores; 
– 95% da variabilidade é obtida com m=4 fatores. 
• Critério 2: 
– λ≥1: m=2 fatores; 
• Critério 3: 
– Gráfico scree-plot: m=2 fatores 
 
 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– 1º Passo: seleção dos m fatores 
 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– 1º Passo: seleção dos m fatores 
• Assim, temos a região 2; 3; 4 para m, na qual a 
qualidade de ajuste do modelo de análise fatorial deve 
ser avaliada. 
 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– Como ilustração, segue os escores de F para m=2, 
utilizando o método dos componentes principais 
para obtenção das matrizes Lpxm e ψpxp. 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– Estimando as matrizes Lpxm e ψpxp, temos que: 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– A matriz de correlação original pode ser 
aproximada por: 
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4.1. Método dos Componentes Principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Exemplo 1: 
– A matriz residual será dada por: 
 
 
 
 
 
• Como seus elementos estão próximos de zero, a matriz 
de correlação amostral original foi reproduzida 
satisfatoriamente pela matriz estimada (LL+ ψ). 
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4.2. Método dos fatores principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Através desse método para estimação de 
matrizes de loadings Lpxm e de variâncias 
específicas ψpxp, é necessário que o valor de m 
já tenha sido estimado por algum critério. 
 
• Funcionamento: 
– Refinamento das matrizes ψpxp e Lpxm, já estimadas 
pelo método de componentes principais, por meio 
de iterações. 
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4.2. Método dos fatores principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Consideremos que a matriz de correlação 
teórica P é dada por: 
 
• 1º Passo: 
– Têm-se que: 
 
 
• onde: 
 são as comunalidades. 
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4.2. Método dos fatores principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• 2º Passo: 
– Usando o método dos componentes principais, 
temos que: 
 
 
• 3º Passo: 
– A partir da matriz L*, têm-se novas estimativas de 
comunalidades, que são colocadas na diagonal 
principal da matriz LL’. 
 
 
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4.2. Método dos fatores principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• Repete o 2º Passo: 
– O procedimento de estimação da matriz L* é 
repetido novamente. 
 
• Repete o 3º Passo: 
– O procedimento é repetido até que os valores das 
comunalidades em duas iterações sucessivas 
possam ser neglicenciados. 
 
 
 
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4.2. Método dos fatores principais para 
estimação para as matrizes Lpxm e ψpxp 
• O método dos fatores principais exige a 
indicação pelo usuário das estimativas iniciais 
das comunalidades. 
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4.3. Método de máxima verossimilhança para 
estimação das matrizes Lpxm e ψpxp 
• Utilizado quando o vetor aleatório é 
conhecido. 
 
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5.3. Método ad-hoc 
• Os métodos ad-hoc são utilizados quando o 
objetivo do pesquisador é apenas o de 
classificar ou atribuir postos aos elementos 
amostrais. 
 
• Se o objetivo é utilizar os escores para outras 
análises estatísticas recomenda-se o uso dos 
dois métodos anteriores. 
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4.3. Método de máxima verossimilhança para 
estimação das matrizes Lpxm e ψpxp 
• Se o vetor aleatório tiver distribuição normal, 
o vetor padronizado Z também terá 
distribuição normal e, consequentemente, os 
fatores F1, F2, ..., Fm também. 
– Os fatores terão vetor de médias zero e matriz de 
covariâncias Imxm. 
– Os erros Ɛ1, Ɛ2, ..., Ɛp terão vetor de médias zero e 
matriz de covariâncias ψpxp. 
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4.3. Método de máxima verossimilhança para 
estimação das matrizes Lpxm e ψpxp 
• A função de verossimilhança é dada por: 
 
 
 
 
– Ela depende das matrizes L e ψ. 
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4.3. Método de máxima verossimilhança para 
estimação das matrizes Lpxm e ψpxp 
• O método da máxima verossimilhança é um 
método mais sofisticado que os demais 
métodos; 
– Contudo, baseia-se na suposição de normalidade 
de Z, F e Ɛ, quando apenas a normalidade de Z 
pode ser testada. 
 
• O método também necessita de um valor pré-
especificado de m. 
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5. Estimação dos Escores dos Fatores 
F para cada elemento amostral 
• Para cada elemento amostral k; k = 1..n, o seu 
escore no fator Fj é dado por: 
 
 
– Onde Z são os valores das variáveis padronizadas e 
os coeficientes w são os pesos de ponderação de 
cada variável Zi no fator Fj. 
mkjmkjkjjk ZwZwZwF ...2211
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5. Estimação dos Escores dos Fatores 
F para cada elemento amostral 
• Os coeficientes w podem ser obtidos através 
de 3 métodos: 
1. Método dos mínimos quadrados ponderados; 
2. Método de regressão; 
3. Método ad-hoc. 
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5.1. Métodos dos mínimos quadrados 
ponderados 
• Utilizando este método: 
 
 
– Onde Wmxp é a matriz de ponderação que gera os 
coeficientes wij. 
 
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5.1. Métodos dos mínimos quadrados 
ponderados 
• No exemplo anterior: 
– A matriz de ponderação é dada por: 
 
 
 
– Os escores F1 e F2 são obtidos por: 
 
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5.2. Método de regressão 
• Usado para estimação pelo método da 
máxima verossimilhança. 
 
• Os fatores são dados por: 
 
 
– Uma forma alternativa é a utilização da matriz de 
correlação amostral Rpxp no lugar de P. 
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5.3. Método ad-hoc 
• Método ad-hoc 1: 
– Observar a correlação de Fj com Zi; 
– Escolhe-se a variável Zi de maior correlação com 
Fj; 
– O escore de Fj é dado por Zi. 
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5.3. Método ad-hoc 
• Método ad-hoc 2: 
– Todas as variáveis Zi mais correlacionadas com Fj 
participação da obtenção do valor do escore; 
– Realiza-se uma média dos valores observados de 
Zi. 
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5. Estimação dos Escores dos Fatores 
F para cada elemento amostral 
• Em posse dos valores de w, pode-se definir os 
fatores e seus escores para cada elemento 
amostral. 
 
• Os escores podem ser utilizados na construção 
de gráficos e mapas de percepção como 
variáveis resposta ou explicativas para algum 
procedimento estatístico.