2 Amostagens e Distribuições de Amostragens

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AMOSTRAGENS E 
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS
DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS
Daniele Cristina Gonçalves
Distribuições de Amostragens
Média aritmética da Média aritmética da
amostra (estatística) população (parâmetro)
Proporção da Proporção da
amostra (estatística) população (parâmetro)
Uma distribuição de amostragens é a distribuição dos
resultados caso se tenha realmente selecionado todas as
amostras possíveis, de um determinado tamanho.
Distribuições de Amostragens
A distribuição de amostragens da média aritmética
corresponde à distribuição das médias aritméticas de todas as
amostras possíveis, caso sejam selecionadas todas as amostras
possíveis de um determinado tamanho.
A média aritmética é isenta de viés, uma vez que a média
aritmética de todas as possíveis médias aritméticas da amostra
(de um determinado tamanho n) é igual à média aritmética da
população µ.
Distribuições de Amostragens
Média Aritmética da População
Desvio-padrão da população
Exemplo 1: É solicitado a quatro assistentes administrativos
que digite a mesma página de um manuscrito. A tabela a seguir
apresenta o número de erros de cada um deles.
Assistente Administrativo Número de Erros
Ana 3
Selecione amostras de dois assistentes administrativos, com
reposição, dessa população. Calcule a média aritmética.
Bob 2
Carla 1
Davi 4
Distribuições de Amostragens
O valor do desvio-padrão de todas as possíveis médias
aritméticas de amostras, chamado erro-padrão da média
aritmética, expressa o modo como as médias aritméticas de
amostras variam de amostra para amostra.
Erro-padrão da média aritmética
Válido para amostragem com ou sem reposição, a partir de
populações grandes ou infinitas.
Exemplo 2: A Oxford Cereais abastece milhares de caixas de
cereais durante um turno de oito horas. Como gerente de
operações da unidade de produção, você é responsável por
monitorar a quantidade de cereal colocada em cada caixa. Para
ser coerente com o conteúdo especificado na embalagem, as
caixas devem conter uma média aritmética de 368 gramas de
cereal. Em razão da velocidade do processo, o peso do cerealcereal. Em razão da velocidade do processo, o peso do cereal
varia de caixa para caixa, fazendo com que algumas caixas
fiquem mal abastecidas, enquanto outras ficam
hiperabastecidas. Se o processo não estiver funcionando de
maneira apropriada, o peso médio das caixas pode se desviar
demasiadamente do peso especificado no rótulo, 368 gramas, e
se tornar inaceitável.
Se você selecionar aleatoriamente uma amostra de 25 caixas
sem reposição das milhares de caixas abastecidas durante um
determinado turno, a amostra contém muito menos de 5% da
população. Considerando que o desvio-padrão do processo de
abastecimento de cereais seja de 15 gramas, calcule o erro-
padrão da média aritmética. Compare o resultado obtido da
amostra com o resultado da população.amostra com o resultado da população.
Distribuições de Amostragens
Amostragem de Populações Distribuídas nos Moldes da
Distribuição Normal
Encontrando Z para a distribuição de amostragem da médiaEncontrando Z para a distribuição de amostragem da média
aritmética
Exemplo 3: Para o exemplo da caixa de cereais, ao selecionar
uma amostra de 25 caixas, determine a probabilidade da média
aritmética ser inferior a 365 gramas.
Exemplo 4: De que modo o erro-padrão da média aritmética é
afetado pelo crescimento do tamanho da amostra de 25 paraafetado pelo crescimento do tamanho da amostra de 25 para
100 caixas?
Exemplo 5: Se você selecionar uma amostra de 100 caixas,
qual é a probabilidade de que a média aritmética da amostra
seja inferior a 365 gramas?
Distribuições de Amostragens
Encontrando para a Distribuição de Amostragem da
Média Aritmética
Exemplo 6: No exemplo do abastecimento de cereais, encontre
um intervalo simetricamente distribuído em torno da média
aritmética da população que inclua 95% das médias aritméticas
de amostras com base em amostras de 25 caixas.
O Teorema do Limite Central
Amostragem de Populações cuja Distribuição não é
Normal
O Teorema do Limite Central afirma que, à medida que oO Teorema do Limite Central afirma que, à medida que o
tamanho da amostra fica grande o suficiente, a distribuição de
amostragem da média aritmética passa a ser distribuída
aproximadamente nos moldes da distribuição normal. Isso é
verdadeiro independentemente do formato da distribuição dos
valores individuais na população.
Distribuição de amostragens da média aritmética
correspondentes a diferentes populações para amostras
com tamanho n = 2, n = 5 e n = 30
População Normal
Distribuição de amostragens da média aritmética
correspondentes a diferentes populações para amostras
com tamanho n = 2, n = 5 e n = 30
População Uniforme
Distribuição de amostragens da média aritmética
correspondentes a diferentes populações para amostras
com tamanho n = 2, n = 5 e n = 30
População Exponencial
Distribuições de Amostragens
Distribuição de Amostragens da proporção
Proporção da amostra
A estatística p é um estimador sem viés da proporção da
população �.
Distribuições de Amostragens
Erro-padrão da proporção
Se você selecionar todas as amostras possíveis de um
determinado tamanho, a distribuição de todas as proporções de
amostras possíveis é conhecida como distribuição de
amostragens da proporção.
Distribuições de Amostragens
Encontrando Z para a Distribuição de Amostragens da
Proporção
Exemplo 6: Uma amostra aleatória de 50 domicílios foi
selecionada para uma pesquisa relacionada a aparelhos de
telefones. A questão-chave indagada foi: “Você, ou qualquer
membro de sua família, possui um telefone celular com
câmera?” Dos 50 respondentes, 35 afirmaram que sim e 15
afirmaram que não.afirmaram que não.
a) Determine a proporção da amostra para os domicílios com
telefones celulares com câmeras.
b) Se a proporção da amostra for 0,40, determine o erro-padrão
da proporção.
Exemplo 7: Suponha que o gerente de uma agência de um
banco de investimentos determine que 40% de todos os
depositantes tenham contas múltiplas no banco. Se você
selecionar uma amostra aleatória composta por 200
depositantes, calcule a probabilidade de que a proporção da
amostra de depositantes com contas múltiplas seja menor doamostra de depositantes com contas múltiplas seja menor do
que 0,30.
Exemplo 8: O diâmetro de bolas de pingue-pongue produzidas
em uma grande fábrica é aproximadamente distribuído nos
moldes da distribuição, com média aritmética igual a 1,30
polegada e com um desvio-padrão de 0,04 polegada. Se você
seleciona uma amostra aleatória de 16 bolas de pingue-pongue,
a) Qual é a probabilidade de que a média aritmética da amostra
seja menor do que 1,28 polegada?seja menor do que 1,28 polegada?
b) Qual é a probabilidade de que a média aritmética da amostra
esteja entre 1,31 e 1,33 polegada?
c) A probabilidade é de 60% de que a média aritmética da
amostra venha a estar entre quais dois valores, simetricamente
distribuídos em torno da média aritmética da população?
Exemplo 9: Um instituto de pesquisas sobre intenções de
votos está conduzindo uma análise sobre resultados de
amostras, com o objetivo de realizar previsões na noite das
eleições. Pressupondo que uma eleição entre duas candidatas,
se uma candidata específica receber pelo menos 55% dos votos
na amostra, então essa candidata será dada como a vencedora
da eleição. Se você seleciona uma amostra aleatória de 400
eleitores, qual é a probabilidade de que uma candidata sejaeleitores, qual é a probabilidade de que uma candidata seja
dada como vencedora quando
a) O verdadeiro percentual de seus votos for 50,1%?
b) O verdadeiropercentual de seus votos for 60%?
c) O verdadeiro percentual de seus votos for 49% (e ela na
realidade venha a perder a eleição)?
Exemplo 10: Um estudo sobre mulheres ocupando cargos de
lideranças em empresas foi conduzido por uma organização de
pesquisas. O estudo concluiu que apenas um pouco mais de
15% dos executivos em cargos de liderança nas 500 empresas
listadas eram mulheres. Suponha que você selecione uma
amostra aleatória de 200 executivos em cargos de liderança e
que a verdadeira proporção de cargos ocupados por mulheres
seja 0,15. Qual é a probabilidade de que, na amostra,
a) Menos de 15% dos executivos em cargos de liderança sejam
mulheres?
b) Ente 13% e 17% dos executivos em cargos de liderança
sejam mulheres?
c) Mais de 20% dos executivos em cargos de liderança sejam
mulheres?