Aula 22 - Média e Variância de uma VAC

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Aula 22 
Média e Variância de uma VAC 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
 
Média e Variância de uma VAC 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Aula 22 
Média e Variância de uma VAC 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando... Distribuições de Probabilidades 
 
Definição: 
 X pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo. 
 Diz-se que X é uma VAC, se existir uma função f(x), denominada função densidade de 
probabilidade (fdp) de x que satisfaça às seguintes condições: 







b
a
dxxfbXaP
dxxf
xf
)()()3(
;1)()2(
;0)()1(
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Relembrando... Função de Distribuição Cumulativa de uma VAC 
 
 A FDC para uma VAC é: 
 

xduufxXPxF
x
 para ,)()()(
  x
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Relembrando... FDC  FDP 
 
 Se para construir uma FDC a partir de uma FDP fazemos: 
 
 
 
 Para construir a FDP a partir de uma FDC, devemos proceder da seguinte forma: 
 

xduufxXPxF
x
 para ,)()()(
 )()()()( xF
dx
d
xfduuf
dx
d
xf
x
 

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Média, Variância e Desvio-padrão de uma VAC 
Suponha que X seja uma VAC, com uma FDP f(x). 
 A média ou valor esperado de X, denotado por ou E(X), são: 
 
 
 
 A variância de X, denotada por Var(X) ou , é: 
 
 
 
 O desvio-padrão de X é: 



 dxxxfXE )()(

²
  2222 )()()(   




dxxfxdxxfxXVar
)(2 XVar 
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Exemplo 1 
Voltemos ao exemplo: 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Calcule a média, a 
variância e o desvio-padrão. 
 
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Exemplo 1 – Solução 
Voltemos ao exemplo: 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Calcule a média, a 
variância e o desvio-padrão. 
 
 
20
0
20
0
1005,0)()( dxxdxxxfXE     33,3305,010)()(
20
0
2
20
0
22   dxxdxxfxXVar 
773,533,33)(  XVar
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Média de uma VAC 
 
 
Se X é uma VAC, com uma FDP f(x). 
 A média ou valor esperado de h(X) será: 
 
 
  


 dxxfxhxhE )()()(
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Exemplo 2 
Voltemos novamente ao exemplo: 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Qual o valor esperado da 
corrente ao quadrado? 
 
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Exemplo 2 – Solução 
Voltemos novamente ao exemplo: 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. Qual o valor esperado da 
corrente ao quadrado? 
 
   



20
0
2
20
0
2
33,13305,0)()()()()(
)(
dxxdxxfxhdxxfxhxhE
xxh
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L4.3. Exercício 1 
Considere as FDP abaixo. Para cada uma delas, calcule a média e a variância de X: 
a) f(x) = 0,25 para 0 < x < 4 
b) f(x) = 0,125x para 0 < x < 4 
c) f(x) = 1,5x² para -1 < x < 1 
d) f(x) = x/8 para 3 < x < 5 
e) f(x) = 3(8x – x²)/256 para 0 < x < 8 
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L4.3. Exercício 2 
Suponha que a função densidade de probabilidade do comprimento de cabos de 
computador seja f(x) = 0,1, de 1200 a 1210 milímetros. 
a) Determine o valor esperado e o desvio-padrão do comprimento do cabo 
b) Se as especificações do comprimento forem 1195 < x < 1205 milímetros, que 
proporção de cabos estaria dentro das especificações? 
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L4.3. Exercício 3 
A espessura, em micrômetros, de um revestimento condutivo tem uma função densidade 
de 600x–2 para 100 m < x < 120 m. 
a) Determine a esperança e a variância da espessura de revestimento 
b) Se o revestimento custar R$ 0,50 centavos por micrômetro de espessura em cada peça, 
qual será o custo médio do revestimento? 
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L4.3. Exercício 4 
Considere novamente a situação (Integração por partes é requerida!) 
A FDP para o diâmetro, em milímetros, de um orifício é para x > 5 mm. 
Embora o diâmetro alvo seja 5 mm, vibrações e desgastes da ferramenta e outros 
inconvenientes produzem diâmetros maiores que 5 mm. 
Determine a média, a variância e o desvio-padrão do diâmetro dos orifícios. 
)5(1010)(  xexf
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Gabarito 
1. a) 2; 1,333; b) 2,66; 0,889; c) 0; 0,2; d) 4,0833; 0,326; e) 4; 3,2 
2. a) 1205; 2,8867 
3. a) 109,3929; 33,19; c) R$ 54,69 
4. 5,5; 0,01 
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Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar o item 4.4 da referência abaixo 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.