Aula 24 - Distribuição Contínua Uniforme; Exponencial

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Aula 24 
Distribuição Contínua Uniforme; 
Exponencial 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuições: Uniforme contínua, 
Exponencial 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
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Distribuição Contínua Uniforme; 
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Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuição Contínua Uniforme 
 A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua, entretanto uma das mais 
importantes e utilizadas dentro da teoria de probabilidade. 
 a probabilidade de acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma 
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Distribuição Contínua Uniforme 
 
 Uma variável aleatória contínua X com distribuição Contínua Uniforme, tem uma FDP: 
 
 
 
 
 Média e Variância 
bxa
ab
xf 

 ,
1
)(
 












bxa
ab
XVar
bxa
ba
XE
 ,
12
)(²
 ,
2
)(
2


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Nivelamento... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dada a distribuição acima, qual a probabilidade de que a variável aleatória assuma um 
valor igual a 0,5? Essa probabilidade é consistente? Associe sua resposta à ideia de 
limites... 
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Exemplo 1 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. 
Calcule a média, a variância e o desvio-padrão dessa distribuição. 
 
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Exemplo 1 – Solução 
Seja uma variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em 
miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0 mA; 20 mA] e considere que a função 
densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 < x < 20. 
Calcule a média, a variância e o desvio-padrão dessa distribuição. 
 
   
mA
mA
ab
XVar
mA
ba
XE
 77,533,33
² 33,33
12
020
12
)(²
 10
2
200
2
)(
22














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L3.2. Exercício 1 
A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede telefônica de 7 km foi modelada por 
uma distribuição Uniforme no intervalo [0, 7]. 
a) Modele a função densidade de probabilidade e represente-a graficamente 
b) Qual é a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros 800 metros? 
c) Qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede? 
d) Calcule a esperança e o desvio-padrão do número de panes que ocorrem nesta rede 
telefônica 
e) Represente a função densidade de probabilidade acumulada graficamente 
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L3.2. Exercício 2 
A espessura de um flange em um componente de espaçonave é distribuída uniformemente 
entre 0,95 e 1,05 mm. 
a) Determine a FDP e a FDC 
b) Determine a porção de flanges que excedem 1,02 mm 
c) A partir de qual espessura há 90% dos flanges acima das especificações? 
d) Determine a média e a variância da espessura do flange. 
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L3.2. Exercício 3 
Suponha que X tenha uma distribuição contínua uniforme no intervalo [-1;1]. 
a) Determine a média, a variância e o desvio-padrão de X. 
b) Determine a função de distribuição cumulativa. 
c) Determine o valor de x, tal que P( –x < X < x) = 0,9 
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L3.2. Exercício 4 
A espessura de um filme fotorresistente aplicado a pastilhas na fabricação de 
semicondutores, em certa localização na pastilha, está uniformemente distribuída entre 
0,2050 e 0,2150 micrômetros. 
a) Determine a função de distribuição cumulativa da espessura do filme fotorresistente 
b) Determine a proporção de pastilhas que excedem 0,2125 micrômetros na espessura do 
filme fotorresistente 
c) Qual a espessura mínima é excedida por 10% das pastilhas? 
d) Determine a média e a variância da espessura do filme fotorresistente 
 
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L3.2. Exercício 5 
Uma mensagem de email chegará em um tempo uniformemente distribuído entre 9 h e 
11 h. Você verifica seu email às 9 h 15 min e a cada meia hora despois desse tempo. 
a) Qual é o desvio-padrão do tempo de chagada (em minutos)? 
b) Qual a probabilidade de que a mensagem chegue menos de 10 minutos antes de você 
vê-la? 
c) Qual a probabilidade de que a mensagem chegue mais de 15 minutos antes de você 
vê-la? 
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Distribuição Exponencial 
 
 Aplicada nos casos onde queremos analisar o espaço ou intervalo de acontecimento 
de um evento 
 Na distribuição de Poisson – estimativa da quantidade de eventos num intervalo – 
distribuição de dados discreta. 
 Ex.: um fio de cobre apresenta uma taxa de 2 falhas por metro. Qual a 
probabilidade de apresentar, em um metro, 4 falhas? 
 A distribuição exponencial está ligada à de Poisson; ela analisa inversamente o 
experimento: um intervalo ou espaço para ocorrência de um evento. 
 No exemplo do fio, qual a probabilidade de ocorrer uma falha em em 0,5 metros, 
se ele possui uma taxa de 2 falhas por metro? 
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Distribuição Exponencial e sua relação com a Poisson 
 
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Distribuição Exponencial e sua relação com a Poisson 
 
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Distribuição Exponencial 
 
 A função exponencial, na verdade, é um caso particular da função Gama 
 
 A distribuição exponencial depende somente da suposição de que o evento ocorra 
seguindo o processo de Poisson. 
 No exemplo: a probabilidade relacionada ao comprimento do fio depende apenas 
da suposição das falhas no fio seguirem o processo de Poisson. 
 
 A distribuição exponencial é frequentemente usada em estudos de confiabilidade 
como sendo o modelo para o tempo até a falha de um equipamento – muito utilizado 
para componentes eletrônicos 
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Nivelamento... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dado o comportamento da distribuição exponencial (supracitado), qual será o 
comportamento da função densidade acumulada? Esse comportamento viola algum 
axioma de probabilidade? 
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Análise gráfica: Distribuição Exponencial Acumulada e sua assíntota horizontal 
 
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Distribuição Exponencial 
 
 A variável X, que é igual à distância entre contagens sucessivas de um processo de 
Poisson, com média l > 0, tem uma distribuição exponencial com parâmetro l. 
 A função densidade de probabilidade de X (pdf) é: 
 
 
 
 
 O ponto inicial para medir X não importa, porque a probabilidade do número de falhas 
em um intervalo de um processo de Poisson depende somente do comprimento do 
intervalo e não da localização. 
   ,0,)( xe
e
xf x
x
l
l l
l
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 O parâmetro l é a taxa de ocorrência por intervalo (mesmo l da Poisson) 
 Pode-se usar um parâmetro a, que é o “tamanho do intervalo entre ocorrências” 
 Exemplo: l = falhas por metro de fio  a = metros de fio entre falhas 
 Ou: l = ligações por minuto  a = minutos entre ligações 
 Assim, tipicamente, a = 1/l 
  ,0,1)( x
ae
xf
a
x
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 Se a variável aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com parâmetro l, então: 
 l

l

l

1
)(
1
)(
1
)(
2
2



xDP
xVar
xE
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 Se a variável aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com parâmetro l, então: l

l

l

1
)(
1
)(
1
)(
2
2



xDP
xVar
xE
Ou seja, se l = 2 
falhas/m, então o 
valor esperado de 
distância por falha é 
½ = 0,5m/falha 
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Distribuição Exponencial 
 
 Se a variável aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com parâmetro a 
(intervalo entre ocorrências), então: axDP
axVar
axE






)(
)(
)(
22
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Distribuição Exponencial – Função acumulada 
 
 Seja a variável aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com parâmetro l 







0,0 
0,1
)()()(
0 x
xe
dssfxXPxF
xx l
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Exemplo 2 
Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema 
podem ser modeladas como um processo de Poisson, com média de 25 conexões por 
hora. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? 
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Exemplo 2 – Solução 
Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema 
podem ser modeladas como um processo de Poisson, com média de 25 conexões por 
hora. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? 
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L3.2. Exercício 6 
Considere novamente a situação descrita no exemplo 2... 
Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema 
podem ser modeladas como um processo de Poisson, com média de 25 conexões por 
hora. 
a) Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos? 
b) Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer 
neste intervalo seja 0,90. 
c) Calcule o valor esperado e o desvio padrão até a próxima conexão. 
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Comentários sobre o exemplo 2 e o exercício 6 
 
 
 A probabilidade de não haver conexão no intervalo de 6 minutos é 0,082 independente 
do tempo inicial do intervalo, pois o processo de Poisson supõe que os eventos 
ocorrem uniformemente através do intervalo de observação, não ocorrendo 
agrupamentos de eventos. 
 Assim, a probabilidade de ocorrência da primeira ligação após 12:00 ser depois de 
12:06 é a mesma probabilidade de conexão depois das 15:00 ocorrer após 15:06. 
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L3.2. Exercício 7 
Prove algebricamente a propriedade de falta de memória da distribuição exponencial, isto 
é, que P(X > x + y | X > x) = P (X > y). 
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Implicações da falta de memória da distribuição exponencial 
 
 A propriedade de falta de memória da distribuição exponencial implica que o 
equipamento não se desgasta 
 ou seja: independente de quanto tempo o equipamento tenha operado, a 
probabilidade de uma falha nas próximas 1.000h é a mesma que a probabilidade 
de uma falha nas primeiras 1.000 horas de vida do equipamento. 
 Portanto, equipamentos que sofrem desgaste com o tempo (a taxa de falha varia com o 
tempo de uso), como peças mecânicas (mancais, rolamentos,...) são melhor 
modelados por uma distribuição tal que P(L < t + Dt | L > t) (sendo L o tempo de vida 
do equipamento) aumente com o tempo – distribuições de Weibull 
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L3.2. Exercício 8 
Seja X o tempo entre detecções de uma partícula rara em um contador geiger e considere 
que X tenha uma distribuição exponencial com a = 1,4 minutos. 
a) Qual será a probabilidade de detectarmos uma partícula dentro de 30 segundos a partir 
do começo da contagem? 
b) Agora, supondo que ligamos o contador geiger e esperamos 3 minutos sem detectar 
partícula. Qual a probabilidade de uma partícula ser detectada nos próximo 30 segundos? 
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L3.2. Exercício 9 
O tempo até a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuição Exponencial 
com parâmetro l = 1/28700 horas. Qual a probabilidade de um destes ventiladores falhar 
nas primeiras 24000 horas de funcionamento? 
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L3.2. Exercício 10 
Suponha que o tempo de vida de uma determinada espécie de inseto tenha uma 
distribuição exponencial de parâmetro l = 1/12 dia. Suponha também que estes insetos 
atinjam a maturidade para reprodução após 3 dias de seu nascimento. 
a) Qual a função densidade de probabilidade, em dias, dos insetos que conseguem se 
reproduzir? 
b) Qual a probabilidade de que um inseto reprodutor viva mais de 24 dias? 
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L3.2. Exercício 11 
Sabendo que X ~ Exp(1), desenvolva algebricamente a função densidade de probabilidade 
de Y = e–X 
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Desafio 1! (Entregar na próxima aula) 
Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas. 70% das lâmpadas são 
produzidas pelo método A e as demais pelo método B. A duração da lâmpada depende do 
método pelo qual ela foi produzida, sendo que as produzidas pelo método A seguem uma 
distribuição exponencial com parâmetro l = 1/80 e as do método B seguem uma 
exponencial de parâmetro l = 1/100. Qual a probabilidadede que, se escolhermos uma 
lâmpada ao acaso, ela dure mais de 100 horas? 
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Gabarito 
1. a) 1/7; b) 0,1143; c) 0,4286; d) 3,5; 2,0207; e) x/7 
2. 10; 10x – 9,5; b) 0,3; c) 0,96; d) 1; 0,000833 
3. a) 0; 0,57735; b) (x + 1)/2; c) 0,9 
4. a) 100x – 20,5; b0 0,25; c) 0,206; d) 0,21; 8,33E-6 
5. a) 34,64; b) 1/3; c) ½ 
6. a)0,152; b) 15,18 s; c) 25 min 
8. a) 0,3; b) 0,3 
9. 0,567 
10. b) 0,1738 
11. Y ~ U(0,1) Desafio: 0,31