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Aula 28 - Distribuições de Probabilidades Marginais

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Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando... Distribuição Conjunta para o caso Discreto 
 Suponha que dado experimento aleatório envolve duas VAD’s: X e Y: 
 
 A função de probabilidade conjunta: pXY (x, y) = P(X = x e Y = y) 
 
 Se o par (x, y) é impossível, então: pXY (x, y) = zero 
 
 Ao inclui todos os valores possíveis do par (X, Y), teremos 
 
 Para qualquer subconjunto A do plano xy, 
  1,
1 1




i j
jiXY yxp    
 



Ayx
iiXY
ii
yxpAYXP
,
,,
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando... Distribuição Bivariada para o caso Discreto 
 
 Tabela de Probabilidades 
x1 x2 x3 ... 
y1 P(x1, y1) P(x2, y1) P(x3, y1) 
y2 P(x1, y2) P(x2, y2) P(x3, y2) 
y3 P(x1, y3) P(x2, y3) P(x3, y3) 
... 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuição Marginal 
 Se mais de uma variável aleatória for definida em um experimento aleatório, será 
importante distinguir entre a distribuição de probabilidades conjunja de X e Y e a 
distribuição de cada variável individualmente. 
 
 
 
Distribuição individual de 
probabilidades de uma variável 
aleatória 
Distribuição de probabilidades 
marginais 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Distribuição Bivariada Marginal 
 
 Em geral, a distribuição de probabilidades marginais de X pode ser determinada a 
partir de probabilidades conjuntas de X e de outras variáveis aleatórias. 
 
 Por exemplo: para determinar P (X = x), somamos P (X = y, Y = y) em todos os pontos 
na faixa de (X, Y), para os quais X = x. 
 
 Os subscritos nas funções de probabilidade são usados para distinguir as variáveis 
aleatórias 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 
Chamadas são feitas para verificar o horário de aviões na cidade de suas partidas. Você 
monitora o número de barras de potência de sinal de seu celular e o número de vezes em 
que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida antes do sistema de vozes 
reconhecer o nome. 
Nos 4 primeiros bits transmitidos, seja X o número de barras de potência de sinal em seu 
telefone celular e Y o número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua 
partida. 
Considere a distribuição ao lado. 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 
3 0,02 0,1 0,05 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 
3 0,02 0,1 0,05 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 0,20 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 0,20 0,25 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 0,20 0,25 0,55 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,030,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 0,20 0,25 0,55 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
X = número de barras de potência de sinal em seu telefone celular 
Y = número de vezes que você tem que dizer o nome da cidade de sua partida 
a) Apresente fX 
b) Apresente fY 
x 
fY 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 0,30 
3 0,02 0,1 0,05 0,17 
2 0,02 0,03 0,2 0,25 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 
fX 0,20 0,25 0,55 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Contextualizando... 
 
 
 
 
 
 
 
 Retorne ao exemplo 1 (desta aula). Discuta: as probabilidades marginais respeitam os 
axiomas de probabilidade? Qual é a aplicação das distribuições marginais no 
tratamento dos dados? Em que ela facilita suas análises? 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L5.2. Exercício 1 
(CEA012 – Teste T4/2014-adp) Considere novamente a situação: 
Uma empresa seguradora tem ao balcão dois vendedores de seguros de vida. A 
experiência tem revelado que 50% das pessoas que contatam o vendedor A e apenas 25% 
das pessoas que contatam o vendedor B fazem um seguro de vida. Considere o par 
aleatório (X, Y) que representa o número de apólices vendidas diariamente por A e B, 
respectivamente, num dia em que cada vendedor atende 2 pessoas. 
Admitindo que cada pessoa contatou um só vendedor, foi gerada a distribuição de 
probabilidade conjunta que se encontra na tabela abaixo. 
Y 
X 
0 1 2 
0 0,140625 0,093750 0,015625 
1 0,281250 0,187500 0,031250 
2 0,140625 0,093750 0,015625 
a) Apresente as distribuições marginal e X e Y 
(tabela e gráficos) 
b) Discorra sobre os mecanismos de se 
desenvolver cada distribuição marginal e 
apresente sua finalidade para o tratamento de 
informações. 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L5.2. Exercício 2 
Considere novamente a situação 
Uma urna contém 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). 
Extraem-se 2 bolas dessa urna, sem reposição. Seja X o número de bolas pretas e Y o 
número de bolas vermelhas. A distribuição conjunta é apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Represente as distribuições marginais de X e Y por meio de tabela e gráficos. 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L5.2. Exercício 3 
Desenvolva as funções de probabilidade marginais para o exercício 3 da Aula 28. 
 
 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L5.2. Exercício 4 
Desenvolva as funções de probabilidade marginais para o exercício 4 da Aula 28. 
 
 
 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Gabarito da Questão 1 
 
x fX y fY 
0 0,25 0 0,5625 
1 0,50 1 0,3750 
2 0,25 2 0,0625 
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
1 2 3
fy 
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
1 2 3
fx 
Aula 28 
Distribuições de Probabilidades Marginais 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar o item 5.1.2 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.

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