Aula 30 Independência; Covariância e Correlação

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Aula 30 
Independência; Covariância e Correlação 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Independência; Covariância e Correlação 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
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Independência; Covariância e Correlação 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Independência 
 Em alguns experimentos aleatórios, o conhecimento dos valores de X não altera 
qualquer das probabilidades associadas aos valores de Y (e vice-versa) 
Independência entre X e Y 
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Exemplo 1 (1/3) 
Em uma operação de montagem de plástico, cada peça é classificada de acordo com o 
fato de obedecer às especificações de cor e comprimento. As variáveis aleatórias X e Y 
foram definidas da seguinte forma: 
X = 1 (a peça obedece as especificações de cor) 
ou 
X = 0 (caso contrário) 
 
Y = 1 (a peça obedece as especificações de comprimento) 
ou 
Y = 0 (caso contrário) 
Comprove que X e Y são independentes. 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
+ 
+ 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
+ + 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
: : 
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Exemplo 1 (2/3) 
Considere que a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y seja definida for 
fXY (x, y) conforme se nota pela figura. 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Distribuições de probabilidades conjuntas e marginais de X e Y 
(b) Distribuições de probabilidades de Y, dado que X = x. 
: : 
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Exemplo 1 (3/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As distribuições de probabilidades marginais de X e Y são também mostradas na 
figura. Note que fXY (x, y) = fX (x) fY (y). 
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Exemplo 1 (3/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As distribuições de probabilidades marginais de X e Y são também mostradas na 
figura. Note que fXY (x, y) = fX (x) fY (y). 
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Exemplo 1 (3/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As distribuições de probabilidades marginais de X e Y são também mostradas na 
figura. Note que fXY (x, y) = fX (x) fY (y). 
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Exemplo 1 (3/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As distribuições de probabilidades marginais de X e Y são também mostradas na 
figura. Note que fXY (x, y) = fX (x) fY (y). 
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Exemplo 1 (3/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função de probabilidade condicional fY|x (y) é mostrada na figura. Note que para 
qualquer x, fY|x (y) = fY (y). Ou seja, o conhecimento de se obedece ou não às 
especificações de cor ão muda a probabilidade de que ela respeite as especificações 
de comprimento. 
 
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Exemplo 1 (3/3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função de probabilidade condicional fY|x (y) é mostrada na figura. Note que para 
qualquer x, fY|x (y) = fY (y). Ou seja, o conhecimento de se obedece ou não às 
especificações de cor ão muda a probabilidade de que ela respeite as especificações 
de comprimento. 
 
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Nivelamento... 
 
 
 
 
 
 
 
 Como saber se 2 variáveis aleatórias discretas são independentes? 
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Independência 
 Para VAD’s X e Y, se qualquer uma das seguintes propriedades for verdadeira, então 
as outras também serão verdadeiras e X e Y serão independentes. 
 
 para todo x e y 
 para todo x e y, com 
 para todo x e y, com 
 para quaisquer conjuntos A e B, na 
faixa de X e Y, respectivamente 
 
     yfxfyxf YXXY ,   yfyf YxY |   0xf X  0yfY    xfxf XyX |      BYPAXPBYAXP  ,
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L5.4. Exercício 1 
Verifique se X e Y são independentes. Justifique sua reposta. 
Y 
X 
0 1 2 
0 0,140625 0,093750 0,015625 
1 0,281250 0,187500 0,031250 
2 0,140625 0,093750 0,015625 
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L5.4. Exercício 2 
Verifique se X e Y são independentes. Justifique sua reposta. 
x 
1 2 3 
y 
4 0,15 0,1 0,05 
3 0,02 0,1 0,05 
2 0,02 0,03 0,2 
1 0,01 0,02 0,25 
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Covariância Quando 2 ou mais variáveis aleatórias são definidas em um espaço probabilístico, é útil 
descrever como elas variam conjuntamente; ou seja, é útil medir a relação entre as 
variáveis. Uma medida comum da relação entre 2 variáveis aleatórias é a covariância. 
 
 De modo a definir a covariância, necessitamos descrever o valor esperado de uma 
função de 2 variáveis aleatórias h(x, y). 
 A definição simplesmente é um extensão daquela usada para uma variável 
aleatória simples. 
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Covariância 
 
 
 Valor Esperado (para VAD’s): 
 
 E[h(x, y)] pode ser pensado com a média ponderada de h(x, y) para cada ponto 
na faixa de (X, Y). O valor esperado E[h(x, y)] representa o valor médio de 
h(x, y) que é esperado em um longa sequência de tentativas repetidas do 
experimento aleatório. 
        yxfYXhYXhE XY ,,,
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Covariância 
 
 
 A covariância entre as variáveis aleatórias X e Y, é dada por: 
 
 
 
 É uma medida de relação linear entre as variáveis aleatórias. 
 
      YXYXXY XYEYXEYX   ),cov(
(a) (b) 
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 Qual o sentido de se analisar a covariância? Qual a finalidade desse cálculo? 
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Covariância 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
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Covariância 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
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Covariância 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
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Covariância 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
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Covariância 
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
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Covariância 
 
 (Figura d) 
 Se a relação entre as VA’s é não linear 
a covariância pode não ser sensível à relação 
 
 Os únicos pontos com probabilidade não zero são os pontos no círculo. 
 
 Há uma relação identificável, embora a covariância seja zero. 
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L5.4. Exercício 3 
Dada a distribuição de probabilidade conjunta, determine a covariância. 
Utilize a fórmula (a) 
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Correlação 
 Há outra medida de relação entre 2 VA’s que é frequentemente mais fácil de interpretar 
que a covariância. 
 
 A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y é dada por 
 
 
 
 
 Devido X > 0 e Y > 0, se a covariância entre X e Y for positiva, negativa ou zero, a 
correlação entre X e Y será positiva, negativa ou zero, respectivamente. 
 
YX
XY
XY
YVarXVar
YX






)()(
,cov
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Correlação 
 
 Para quaisquer duas VA’s X e Y, temos: 
 
 
 A correlação só escalona a covariância através do desvio-padrão de cada variável. 
 A correlação é uma grandeza adimensional que pode ser usada para comparar as 
relações lineares entre pares de variáveis em diferentes unidades. 
 2 VA’s com correlação não zero são ditas correlacionadas. 
 Similar à covariância, a correlação é uma medida de relação linear entre VA’s 
11  XY
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L5.4. Exercício 4 
Calcule a covariância e a correlação entre as VA’s X e Y distribuídas conjuntamente 
conforme se nota pela figura. 
Covariância: 
Utilize a fórmula (b) 
 
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Covariância e Correlação para o teste da Independência 
 
 
 Se X e Y são variáveis aleatória independentes, então: 
 
0 XYXY 
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L5.4. Exercício 5 
Suponha que a variável X tenha a seguinte distribuição: P(X = 1) = 0,2; P(X = 2) = 0,6; 
P(X = 3) = 0,2. seja Y = 2X + 5. Ou seja, P(Y = 7)= 0,2; P(Y = 9) = 0,6; P(Y = 11) = 0,2. 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a correlação entre X e Y. 
b) Pode-se afirmar que X e Y são independentes? 
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Gabarito 
1. 
 
 
 
 
 
 
 (OK) 
 (OK) 
 (OK) 
y 
fx 
fY|X=x fX|Y=y 
0 1 2 fY|x=0 fY|x=1 fY|x=2 fX|y=0 fX|y=1 fX|y=2 
x 
0 0,140625 0,093750 0,015625 0,25 
x 
0 0,563 0,563 0,563 
x 
0 0,250 0,250 0,250 
1 0,281250 0,187500 0,031250 0,50 1 0,375 0,375 0,375 1 0,500 0,500 0,500 
2 0,140625 0,093750 0,015625 0,25 2 0,063 0,063 0,063 2 0,250 0,250 0,250 
fy 0,5625 0,3750 0,0625 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 
     yfxfyxf YXXY ,
   yfyf YxY |
   xfxf XyX |
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Gabarito 
2. 
 
 
 
 
 
 
 (Não) 
 (Não) 
 (Não) 
 
x 
fy 
fY|X=x fX|Y=y 
1 2 3 fY|x=1 fY|x=2 fY|x=3 fX|y=1 fX|y=2 fX|y=3 fX|y=4 
y 
4 0,15 0,10 0,05 0,30 
y 
4 0,750 0,400 0,091 
x 
1 0,500 0,118 0,080 0,036 
3 0,02 0,10 0,05 0,17 3 0,100 0,400 0,091 2 0,333 0,588 0,120 0,071 
2 0,02 0,03 0,20 0,25 2 0,100 0,120 0,364 3 0,167 0,294 0,800 0,893 
1 0,01 0,02 0,25 0,28 1 0,050 0,080 0,455 1,000 1,000 1,000 1,000 
fx 0,20 0,25 0,55 1,000 1,000 1,000 
     yfxfyxf YXXY ,
   yfyf YxY |
   xfxf XyX |
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Gabarito 
3. 0,2 
4. 1,26; 0,926 
5. a) 1; b) N 
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 Estudar os itens 5.1.4 e 5.2 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.