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Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Axiomas de Probabilidade Cássius Henrique Xavier Oliveira Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 2015 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Contextualizando... Como pode ser definida a Probabilidade? Onde podemos encontrar suas aplicações? Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Interpretações de Probabilidade Probabilidade: resultado que pertence ao intervalo [0, 1] ou [0%, 100%] Escala de probabilidades: Maior probabilidade maior chance 0% evento impossível 100% evento certo Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Interpretações de Probabilidade Crença pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um mesmo evento Frequência relativa baseada na taxa de ocorrência de certo evento em relação aos demais eventos Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Interpretações de Probabilidade Crença pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um mesmo evento Frequência relativa abordagem científica Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Resultados equiprováveis Exemplo: Evento A: De um lote com 100 peças, uma será escolhida aleatoriamente. Cada peça tem a mesma chance de ser selecionada Soma das probabilidades 1 ou 100% Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1% Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Nivelamento Em um experimento aleatório, o que são resultados equiprováveis? Cite alguns exemplos de experimentos que poderiam gerar esses resultados. Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Resultados equiprováveis Exemplo: Evento A: De um lote com 100 peças, uma será escolhida aleatoriamente. Cada peça tem a mesma chance de ser selecionada Soma das probabilidades 1 ou 100% Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1% Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Resultados equiprováveis Toda vez que o espaço amostral consistir em N resultados possíveis que forem igualmente prováveis, a probabilidade de cada resultado é: N P 1 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Probabilidade de um Evento Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E) é igual à soma das probabilidades dos resultados em E. Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade L1.3. Exercício 1 Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. Seja: Determine: A o evento {a, b} B o evento {b, c, d} C o evento {d} CBAP CBAP CBP BAP BAP CP BP AP Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade L1.3. Exercício 2 Uma inspeção visual de um ponto em pastilhas de um processo de fabricação de semicondutores resultou na seguinte tabela: a) Se desse processo uma pastilha for selecionada ao acaso e o ponto for inspecionado, qual será a probabilidade de que ele não contenha partículas? b) Qual a probabilidade de uma pastilha conter 2, 3 ou 4 partículas no ponto inspecionado? c) Qual a probabilidade de uma pastilha conter pelo menos 3 partículas no ponto inspecionado? d) Os eventos apontados anteriormente são equiprováveis? Número de Partículas de Contaminação 0 1 2 3 4 5 ou + Proporção de Pastilhas 0,4 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade L1.3. Exercício 3 Suponha que uma batelada contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam selecionados aleatoriamente, sem reposição. Suponha que o item f seja defeituoso, porém que os outros sejam bons. Qual a probabilidade de que o item f apareça na amostra? a) ( ) 1/5 b) ( ) 1/3 c) ( ) 1/6 d) ( ) 1/15 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Axiomas de Probabilidade Asseguram que as probabilidades atribuídas a um experimento podem ser interpretadas como frequências relativas Os axiomas não determinam probabilidades As probabilidades atribuídas são baseadas em nosso conhecimento do sistema sob estudo Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Axiomas de Probabilidade Probabilidade é um número que é atribuído a cada membro de uma coleção de eventos, a partir de um experimento aleatório que satisfaça as seguintes propriedades: Se S for o espaço amostral e E for qualquer evento em experimento aleatório, 212121 Ø 1)(0 1)( EPEPEEPEESe EP SP Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Operações Operações de Interesse Uniões de eventos: Interseções de eventos: Complementos de eventos: Operações com conjuntos úteis na determinação de probabilidades de um evento conjunto BA BAA Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Regras de Adição Operações de Interesse Uniões de eventos: Interseções de eventos: Complementos de eventos: Operações com conjuntos úteis na determinação de probabilidades de um evento conjunto BA BAA Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Regras de Adição Utilizada para expressão a união de eventos 212121 EEPEPEPEEP Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Regras de Adição para três ou mais eventos Exemplo: Como deve ser o raciocínio para o cálculo de ? CBAP Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Regras de Adição para três ou mais eventos Exemplo: CBAP CBAP CBPCAPBAP CPBPAPCBAP Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Regras de Adição para três ou mais eventos (eventos mutuamente exclusivos) nn EPEPEPEEEP 2121 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade L1.3. Exercício 4 Suponhahaver uma lista com o histórico de 940 pastilhas em um processo de fabricação de semicondutores. Considere que uma pastilha será selecionada, ao acaso. Seja H o evento em que a pastilha contém altos níveis de contaminação. Considere P(H) = 358/940. Suponha C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de recobrimento. Considere P(C) = 626/940. A probabilidade de a partilha ser proveniente do centro da ferramenta de recobrimento e conter altos níveis de contaminação é 112/940. Determine a probabilidade de que uma pastilha, escolhida ao acaso, seja proveniente do centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos níveis de contaminação. Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade L1.3. Exercício 5 Considere as pastilhas do exercício anterior. Agora, elas foram classificadas pelo grau de contaminação, conforme se nota pela tabela abaixo. a) Qual a probabilidade de uma pastilha estar na borda ou conter alto grau de contaminação? b) Qual a probabilidade de uma pastilha estar no centro ou conter baixo grau de contaminação? Localização na Ferramenta de Recobrimento Contaminação Centro Borda Total Baixa 514 68 582 Alta 112 246 358 Total 626 314 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Desafio! Considere os dados de falha dos poços 1 a 8 apresentados ao lado. Seja A o evento em que a formação geológica tenha mais de 1000 poços e B o evento em que um poço tenha falhado. Determine as seguintes probabilidades: a) b) c) d) e) Poços Grupo com Formação Geológica Falhas Total 1 170 1685 2 2 28 3 443 3733 4 14 363 5 29 309 6 60 1403 7 46 933 8 3 39 BAP AP BAP BAP BAP Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Gabarito 1. 0,4; 0,9; 0,1; 0,3; 0,7; 0,8; 0,1; 0 2. a) 0,4; b) 0,3; c) 0,25; d) Não 3. (b) 4. 218/235 5. a) 213/470; b) 347/470 Desafio. a) 0,079; b) 0,1968; c) 0,8142; d) 0,9889; e) 0,1858 Cássius Henrique Aula 4 Axiomas de Probabilidade Regra de Adição CEA 012 – Probabilidade Sugestão para a próxima aula... Estudar as páginas 22 a 28 (item 1.4) da referência abaixo: DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo. Estudar os itens 2.2 e 2.3 da referência abaixo: MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.
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