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Aula 4 Axiomas de Probabilidade, Regra de Adição

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Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
 
Axiomas de Probabilidade 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Contextualizando... 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser definida a Probabilidade? Onde podemos encontrar suas aplicações? 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Interpretações de Probabilidade 
 
 Probabilidade: 
 resultado que pertence ao intervalo 
 [0, 1] ou [0%, 100%] 
 
 Escala de probabilidades: 
 Maior probabilidade  maior chance 
 0%  evento impossível 
 100%  evento certo 
 
 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Interpretações de Probabilidade 
 
 Crença 
 pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um 
mesmo evento 
 
 Frequência relativa 
 baseada na taxa de ocorrência de certo evento em relação aos demais eventos 
 
 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Interpretações de Probabilidade 
 
 Crença 
 pessoas podem, subjetivamente, atribuir probabilidades diferentes para um 
mesmo evento 
 
 Frequência relativa 
 
 abordagem científica 
 
 
 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Resultados equiprováveis 
 
 Exemplo: 
 
 Evento A: De um lote com 100 peças, uma será escolhida aleatoriamente. 
Cada peça tem a mesma chance de ser selecionada 
Soma das probabilidades  1 ou 100% 
Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1% 
 
 
 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Nivelamento 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um experimento aleatório, o que são resultados equiprováveis? Cite alguns 
exemplos de experimentos que poderiam gerar esses resultados. 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Resultados equiprováveis 
 
 Exemplo: 
 
 Evento A: De um lote com 100 peças, uma será escolhida aleatoriamente. 
Cada peça tem a mesma chance de ser selecionada 
Soma das probabilidades  1 ou 100% 
Para o modelo: P(A) = 0,01 ou 1% 
 
 
 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Resultados equiprováveis 
 
 Toda vez que o espaço amostral consistir em N resultados possíveis que forem 
igualmente prováveis, a probabilidade de cada resultado é: 
 
 
 
N
P
1

Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Probabilidade de um Evento 
 
 Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E) 
é igual à soma das probabilidades dos resultados em E. 
 
 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.3. Exercício 1 
Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com 
probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. 
 
 Seja: Determine: 
 A o evento {a, b} 
 B o evento {b, c, d} 
 C o evento {d} 
 
 
 
 
 
 
 
 CBAP
CBAP
CBP
BAP
BAP
CP
BP
AP





Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.3. Exercício 2 
Uma inspeção visual de um ponto em pastilhas de um processo de fabricação de 
semicondutores resultou na seguinte tabela: 
 
 
a) Se desse processo uma pastilha for selecionada ao acaso e o ponto for inspecionado, 
qual será a probabilidade de que ele não contenha partículas? 
b) Qual a probabilidade de uma pastilha conter 2, 3 ou 4 partículas no ponto 
inspecionado? 
c) Qual a probabilidade de uma pastilha conter pelo menos 3 partículas no ponto 
inspecionado? 
d) Os eventos apontados anteriormente são equiprováveis? 
Número de Partículas de Contaminação 0 1 2 3 4 5 ou + 
Proporção de Pastilhas 0,4 0,2 0,15 0,1 0,05 0,1 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.3. Exercício 3 
Suponha que uma batelada contenha seis itens {a, b, c, d, e, f} e que dois itens sejam 
selecionados aleatoriamente, sem reposição. 
Suponha que o item f seja defeituoso, porém que os outros sejam bons. 
Qual a probabilidade de que o item f apareça na amostra? 
a) ( ) 1/5 
b) ( ) 1/3 
c) ( ) 1/6 
d) ( ) 1/15 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Axiomas de Probabilidade 
 
 Asseguram que as probabilidades atribuídas a um experimento podem ser 
interpretadas como frequências relativas 
 Os axiomas não determinam probabilidades 
 As probabilidades atribuídas são baseadas em nosso conhecimento do sistema sob 
estudo 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Axiomas de Probabilidade 
 
 Probabilidade é um número que é atribuído a cada membro de uma coleção de 
eventos, a partir de um experimento aleatório que satisfaça as seguintes propriedades: 
 Se S for o espaço amostral e E for qualquer evento em experimento aleatório, 
 
     212121 Ø
1)(0
1)(
EPEPEEPEESe
EP
SP



Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Operações 
 
Operações de Interesse 
 Uniões de eventos: 
 Interseções de eventos: 
 Complementos de eventos: 
 
Operações com conjuntos 
 úteis na determinação de probabilidades de um evento conjunto 
BA
BAA
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Regras de Adição 
 
Operações de Interesse 
 Uniões de eventos: 
 Interseções de eventos: 
 Complementos de eventos: 
 
Operações com conjuntos 
 úteis na determinação de probabilidades de um evento conjunto 
BA
BAA
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Regras de Adição 
 
 Utilizada para expressão a união de eventos        212121 EEPEPEPEEP 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Regras de Adição para três ou mais eventos 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 Como deve ser o raciocínio para o cálculo de ? 
 CBAP 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Regras de Adição para três ou mais eventos 
 
Exemplo: 
 
 CBAP 
       
     
 CBAP
CBPCAPBAP
CPBPAPCBAP



Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Regras de Adição para três ou mais eventos (eventos mutuamente exclusivos) 
 
 
       nn EPEPEPEEEP  2121
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.3. Exercício 4 
Suponhahaver uma lista com o histórico de 940 pastilhas em um processo de fabricação 
de semicondutores. Considere que uma pastilha será selecionada, ao acaso. 
Seja H o evento em que a pastilha contém altos níveis de contaminação. Considere P(H) = 
358/940. Suponha C o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de 
recobrimento. Considere P(C) = 626/940. 
A probabilidade de a partilha ser proveniente do centro da ferramenta de recobrimento e 
conter altos níveis de contaminação é 112/940. 
Determine a probabilidade de que uma pastilha, escolhida ao acaso, seja proveniente do 
centro da ferramenta de recobrimento ou conter altos níveis de contaminação. 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.3. Exercício 5 
Considere as pastilhas do exercício anterior. Agora, elas foram classificadas pelo grau de 
contaminação, conforme se nota pela tabela abaixo. 
 
 
 
 
 
a) Qual a probabilidade de uma pastilha estar na borda ou conter alto grau de 
contaminação? 
b) Qual a probabilidade de uma pastilha estar no centro ou conter baixo grau de 
contaminação? 
 
Localização na Ferramenta de Recobrimento 
Contaminação Centro Borda Total 
Baixa 514 68 582 
Alta 112 246 358 
Total 626 314 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Desafio! 
Considere os dados de falha dos poços 1 
a 8 apresentados ao lado. Seja A o evento 
em que a formação geológica tenha mais 
de 1000 poços e B o evento em que um 
poço tenha falhado. Determine as 
seguintes probabilidades: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Poços 
Grupo com Formação 
Geológica 
Falhas Total 
1 170 1685 
2 2 28 
3 443 3733 
4 14 363 
5 29 309 
6 60 1403 
7 46 933 
8 3 39 
 BAP  AP  BAP  BAP  BAP 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Gabarito 
1. 0,4; 0,9; 0,1; 0,3; 0,7; 0,8; 0,1; 0 
2. a) 0,4; b) 0,3; c) 0,25; d) Não 
3. (b) 
4. 218/235 
5. a) 213/470; b) 347/470 
Desafio. a) 0,079; b) 0,1968; c) 0,8142; d) 0,9889; e) 0,1858 
Cássius Henrique 
Aula 4 
Axiomas de Probabilidade 
Regra de Adição 
CEA 012 – Probabilidade 
Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 Estudar as páginas 22 a 28 (item 1.4) da referência abaixo: 
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo. 
 
 Estudar os itens 2.2 e 2.3 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.

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