Aula 6 Probabilidade Condicional

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Cássius Henrique 
Aula 6 
Probabilidade Condicional 
CEA 012 – Probabilidade 
 
Probabilidade Condicional 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Cássius Henrique 
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Relembrando... 
 
 Probabilidade para eventos equiprováveis: 
 
 Axiomas de probabilidade: 
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 Probabilidade da união de eventos: 
 Dois eventos com interseção 
 
 
 N eventos sem interseção 
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 Conceitos importantes: 
 Experimento aleatório 
 Espaço Amostral: S 
 Evento 
 Eventos Mutuamente Exclusivos 
 Interseção de eventos 
 União de eventos 
 Evento complementar 
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 Técnicas de Contagem 
 Permutação 
 Combinação Simples 
 Arranjo Simples 
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 Em sua opinião, o que poderia ser uma “probabilidade condicional”? Cite exemplos... 
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Probabilidade Condicional 
 
 No estudo das probabilidades existem casos de eventos de um espaço amostral que 
ocorrem independentes dos outros, e eventos que apresentam relações de 
dependências com os demais que possam ocorrer. 
 A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um evento A, 
sabendo da ocorrência de outro evento B, ambos sendo eventos de um espaço 
amostral S finito. 
 A ocorrência de A está condicionada ao fato de B já ter ocorrido, ou seja, a ocorrência 
do evento B é interferida pela ocorrência do evento A. 
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 Considere que em uma caixa, das que foram descarregadas em uma fábrica, haja 5 
ferramentas: 
 
 2 martelos 
 3 chaves de fenda 
 
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 Quais são as chances de que um funcionário, escolhendo aleatoriamente uma das 
ferramentas contidas na caixa, retire um martelo? 
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Contextualizando... 
 
 Quais são as chances de que um funcionário, escolhendo aleatoriamente uma das 
ferramentas contidas na caixa, retire um martelo? 5
2

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 Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro 
operário retire um martelo? 
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 Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro 
operário retire um martelo? 
Após a retirada da primeira ferramenta, as 
chances são mudadas... 
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 Suponha que o operário retirou uma chave de fenda. Qual a chance de que outro 
operário retire um martelo? 4
2

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 Considere agora que o operário tivesse retirado um martelo inicialmente (e não uma 
chave de fenda). Qual a chance do segundo operário retirar um martelo? 
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 Considere agora que o operário tivesse retirado um martelo inicialmente (e não uma 
chave de fenda). Qual a chance do segundo operário retirar um martelo? 4
1

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 Compare os resultados... 
 Retirar um martelo depois de retirar uma chave de fenda 
 
 
 
 Retirar um martelo depois de retirar um martelo 4
1
 4
2

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 As chances referentes à segunda ferramenta dependem da primeira retirada 
 
 O segundo evento depende do primeiro evento 
 
 
 
 
 Notação: P(B | A) 
Eventos Dependentes 
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 Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)? 
 
 A = retirar um martelo na primeira tentativa 
 B = retirar um martelo na segunda tentativa 
 
 Interesse: Probabilidade de A e B: 
)( BAP 
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 Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)? 
 Probabilidade de retirar um martelo na primeira tentativa  P(A) 
 
 
 
 Probabilidade de retirar um martelo na segunda tentativa, dado que um martelo foi 
retirado na primeira tentativa  P(B | A) 
 
5
2

4
1

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 Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)? 
 
 Logo, a probabilidade de retirada de 2 martelos em sequência será: 
 4
1

5
2

)( BAP 
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 Qual a chance de retirar 2 martelos (em sequência)? 
 
 
 Observações: 
 
 Então: 
 
 Probabilidades Condicionais 
10
1
4
1
5
2
)( BAP )(
)(
)|(
)|()()(
AP
BAP
ABP
ABPAPBAP



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Matematicamente: Probabilidade Condicional 
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP


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Matematicamente: Probabilidade Condicional 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)|(
An
BAn
Sn
An
Sn
BAn
AP
BAP
ABP













 



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Exemplo 1 
(MAUÁ/SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao 
acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Qual a probabilidade de que esse 
número seja menor que 5? 
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Exemplo 1 
(MAUÁ/SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao 
acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Qual a probabilidade de que esse 
número seja menor que 5? 
 Resolução: 
A = retirar uma bola com número ímpar (já ocorreu) 
B = retirar uma bola menor que 5 
 
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} 
B = {1, 2, 3, 4} 
A B = {1, 3} 

3
1
11
6
11
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)|( 




















 



Sn
An
Sn
BAn
AP
BAP
ABP
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Exemplo 2 
(OSEC/SP) Emuma comunidade, 15% das pessoas leem o jornal A, 12% leem o B e 3% 
leem ambos os jornais. Sorteando-se uma pessoa e sabendo-se que esta lê o jornal B, 
qual a probabilidade de que leia também o jornal A? 
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Exemplo 2 
(OSEC/SP) Em uma comunidade, 15% das pessoas leem o jornal A, 12% leem o B e 3% 
leem ambos os jornais. Sorteando-se uma pessoa e sabendo-se que esta lê o jornal B, 
qual a probabilidade de que leia também o jornal A? 
 
 Resolução: 
A = pessoa lê o jornal A 
B = pessoa lê o jornal B 
 
%25
%12
%3
)(
)(
)|( 


BP
BAP
BAP
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Dicas para a resolução de problemas 
 
 
 Nomeie os eventos de interesse 
 Faça diagramas 
 Evidencie as operações necessárias (e classifique-as quanto ao tipo) 
 Apresente a resposta utilizando linguagem matemática 
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L1.4. Exercício 1 
Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De procedimentos e 
ensaios anteriores, as seguintes as probabilidades são conhecidas: 
 probabilidade de A falhar é de 0,2 
 probabilidade de A e B falharem é de 0,15 
 probabilidade de apenas B falhar é de 0,15. 
 
a) Calcule a probabilidade de A falhar desde que B tenha falhado. 
b) Calcule a probabilidade de B falhar desde que A tenha falhado. 
c) As probabilidades calculadas anteriormente são iguais? Justifique. 
d) Esse é um caso de probabilidade condicional? Em que se fundamenta seu raciocínio? 
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L1.4. Exercício 2 
Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que 
dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é de 3/7, 
que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é de 2/7, e que a probabilidade de 
ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é de 1/7. Carlos, então, recebe um telefone 
de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo 
telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente a que probabilidade de Beatriz 
também estar hoje em Paris é igual a... 
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L1.4. Exercício 3 
Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de 
sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 
utilizam as duas marcas. 
a) Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a 
probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y? 
b) Se a pessoa sorteada (desse grupo) fosse usuária da marca Y. Qual seria a 
probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca X? 
c) As probabilidades anteriores são iguais? Justifique. 
d) As probabilidades calculadas anteriormente estão associadas a eventos 
complementares? Justifique. 
 
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L1.4. Exercício 4 
(CESGRANRIO/PETROBRÁS/2010) A FGV traça o perfil de alunos on-line. 
Mulheres solteiras, com curso superior e renda até R$ 2.000,00. Esse é o perfil do 
brasileiro que busca aperfeiçoamento profissional gratuito na Internet, como mostra 
levantamento feito pelo FGV on-line, de março a setembro 
de 2009 (Jornal O Globo, 03 mar. 2010). 
Os resultados desse levantamento são os seguintes: São mulheres: 58,3%; Ganham até 
R$ 2 mil por mês: 77,7%; Têm graduação: 68,1%; Concentram-se em SP, RJ e MG: 62,8%; 
Ocupam o cargo de analista: 34,1% 
Considere que 2.000 pessoas participaram dessa entrevista e que, do total de pessoas que 
se concentram em São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais, 50% são homens. 
Escolhendo-se, ao acaso, um dos homens entrevistados, qual é, aproximadamente, a 
probabilidade de que ele seja de São Paulo, Rio de Janeiro ou Minas Gerais? 
a) ( ) 0,568 b) ( ) 0,703 c) ( ) 0,753 d) ( ) 0,879 
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L1.4. Exercício 5 
Peças provenientes de um fornecedor são testadas quanto à resistência a temperaturas acima 
de 100 °C e à umidade. Os resultados estão apresentados abaixo. 
 
 
Determine a probabilidade de que a peça tenha: 
a) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C. 
b) baixa resistência à umidade. 
c) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C se ela não tiver baixa resistência à umidade. 
d) alta resistência à umidade sabendo que ela não tem baixa resistência a temperaturas acima 
de 100 °C. 
e) alta resistência a temperaturas acima de 100 °C dado que ela tenha baixa resistência à 
umidade. 
 
 Alta resistência à umidade Baixa resistência à umidade 
Alta resistência a temperaturas acima de 100 °C 1400 180 
Baixa resistência a temperaturas acima de 100 °C 320 50 
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Gabarito 
1. a) 0,5; b) 0,25 
2. 1/3 
3. a) 0,307; b) 0,364 
4. (c) 
5. a) 0,810; b) 0,118; c) 0,814; d) 0,886; e) 0,783