Aula 7 - Regras da Multiplicação e Probabilidade Total

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Cássius Henrique 
Aula 7 
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
 
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
Cássius Henrique 
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
Formulário até o momento 
 
 Probabilidade para eventos equiprováveis: 
 Axiomas de probabilidade: 
 
 
 
 
 N eventos sem interseção 
 
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Formulário até o momento 
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP


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Formulário até o momento 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)|(
An
BAn
Sn
An
Sn
BAn
AP
BAP
ABP













 



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CEA 012 – Probabilidade 
Teorema da Multiplicação 
 
 Aparecimento do conectivo “e”  interseção de eventos 
 
 Eventos de S 
 A e B, com e 
 
 Da Probabilidade Condicional sabemos que: 
 
 Organizando os termos dessa fórmula, temos: 
 SBA , 0)( BP
 
 
 BP
BAP
BAP

|
     BAPBPBAP |
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Eventos Independentes 
 
 A ocorrência de um evento não altera a ocorrência de outro evento 
 
 Para a Probabilidade Condicional usávamos 
 
 Quando os eventos são independentes, temos 
 
 Logo, podemos adaptar a primeira fórmula para 
 
 
 
 
 BP
BAP
BAP

|    APBAP |
 
 
 BP
BAP
AP


     BPAPBAP 
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Eventos Independentes 
 
 Para interseções entre eventos independentes, teremos sempre: 
 
 
 A probabilidade da interseção de n eventos independentes será, pois, dada por: 
 
 
       nn EPEPEPEEEP  ...... 2121     BPAPBAP 
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CEA 012 – Probabilidade 
Exemplo 1 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
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CEA 012 – Probabilidade 
Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja A = escolher um apartamento nesse prédio para ocupar 
  1
6
6
AP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja A = escolher um apartamento nesse prédio para ocupar 
X 
  1
6
6
AP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja B = escolher um 2º apartamento nesse prédio para ocupar 
X 
 
5
4
| ABP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja B = escolher um 2º apartamento nesse prédio para ocupar X 
X 
 
5
4
| ABP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar X 
X 
 
2
1
4
2
|  ABCP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar 
X 
X 
X 
 
2
1
4
2
|  ABCP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar 
X 
X 
X 
 
2
1
4
2
|  ABCP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar 
X 
X 
X 
       
 
5
2
2
1
5
4
1
||


CBAP
ABCPABPAPCBAP
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Exemplo 1 – Resolução 
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem 
apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três 
andares tenha exatamente um apartamento ocupado. 
 
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar 
 
 Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar 
X 
X 
X 
       

5
2
2
1
5
4
1
||


CBAP
ABCPABPAPCBAP
Aplicação do Teorema 
da Multiplicação 
(Interseção de eventos) 
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Exemplo 2 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par 
• B = resultado é estritamente maior que 4 
• C = resultado é múltiplo de 3 
Pergunta-se: 
a) Os eventos A e B são independentes? 
b) Os eventos B e C são independentes? 
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 


 
 
 
 
 
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1





CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
 
Teste do item (a): 
Os eventos A e B são independentes? 
 
 


 
 
 
 
 
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1





CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
 
Teste do item (a): 
Os eventos A e B são independentes? 
 
 


     
)(
6
1
6
1
3
1
2
1
6
1
?
OK
BPAPBAP


 
 
 
 
 
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1





CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
 
Teste do item (b): 
Os eventos B e C são independentes? 
 
 


 
 
 
 
 
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1





CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
 
Teste do item (b): 
Os eventos B e C são independentes? 
 
 


     
)(
9
1
6
1
3
1
3
1
6
1
?
NÃO
CPBPCBP


 
 
 
 
 
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1





CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos A e B 
Comprovando esse resultado... 
 
 


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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos A e B 
Comprovando esse resultado... 
 
 

  
 
 
  2
1
3
1
6
1
|
2
1




BP
BAP
BAP
AP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos A e B 
Comprovando esse resultado... 
 
 


 
 
 
  2
1
3
1
6
1
|
2
1




BP
BAP
BAP
AP
A e B são 
independentes!!! 
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos B e C 
Comprovando esse resultado... 
 
 


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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos B e C 
Comprovando esse resultado... 
 
 


 
 
 
  2
1
3
1
6
1
|
3
1




CP
CBP
CBP
BP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos B e C 
Comprovando esse resultado... 
 
 


 
 
 
  2
1
3
1
6
1
|
3
1




CP
CBP
CBP
BP
B e C NÃO são 
independentes!!! 
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos B e C 
Comprovando esse resultado... 
 
 


 
 
 
  2
1
3
1
6
1
|
3
1




BP
CBP
BCP
CP
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Exemplo 2 – Resolução 
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dadohonesto 
 Eventos: A, B e C 
• A = resultado é par = {2, 4, 6} 
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6} 
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6} 
– A B = {6} 
– B C = {6} 
Eventos B e C 
Comprovando esse resultado... 
 
 


 
 
 
  2
1
3
1
6
1
|
3
1




BP
CBP
BCP
CP
B e C NÃO são 
independentes!!! 
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.5. Exercício 1 
(CESGRANRIO/2012) Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois 
resultados consecutivos iguais. 
a) Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente cinco vezes? 
b) Para o desenvolvimento do raciocínio foi utilizado o princípio aditivo ou multiplicativo? 
Justifique associando a teoria dos conjuntos à probabilidade. 
Cássius Henrique 
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CEA 012 – Probabilidade 
L1.5. Exercício 2 
Em uma caixa com 1000 peças, 560 são destinadas à montagem do Produto A e 440 são 
destinadas à montagem do Produto B. Seja Ai o evento em que uma peça destinada à 
montagem do Produto A é retirada na i-ésima vez e Bj o evento em que uma peça 
destinada à montagem do Produto B é retirada na j-ésima vez. 
a) Considere que foram feitas 2 retiradas, com reposição. Qual a chance de que a 
primeira peça retirada seja destinada à montagem do Produto A e a segunda peça retirada 
seja destinada à montagem do Produto B? 
b) O eventos supracitados são independentes? Justifique por meio de cálculos. 
c) Considere que foram feitas 2 retiradas, sem reposição. Qual a chance de que a 
primeira peça retirada seja destinada à montagem do Produto B e a segunda peça retirada 
seja destinada à montagem do Produto A? 
d) O eventos citados no item (c) são independentes? Justifique por meio de cálculos. 
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CEA 012 – Probabilidade 
Nivelamento 
 
 
 
 
 
 
 
 Explique qual o caminho mais objetivo para verificar se dois ou mais eventos são 
independentes. Exemplifique. 
 Eventos independentes e eventos mutuamente exclusivos correspondem à mesma 
coisa? Justifique (Use diagramas e anote suas conclusões) 
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CEA 012 – Probabilidade 
L1.5. Exercício 3 
(PETROBRAS/2012.1-adap) Sabe-se por estudos estatísticos que as probabilidades de 
haver num certo almoxarifado os materiais A, B e C disponíveis para uso são de, 
respectivamente, 80%, 80% e 90%. 
a) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estarem faltando exatamente os três 
materiais no almoxarifado? 
b) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando apenas o material B? 
c) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estarem faltando somentes os materiais 
A e C? 
d) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando pelo menos um desses 
materiais no almoxarifado? 
e) Qual a influência da utilização do conceito de eventos complementares para 
desenvolver o raciocínio anterior? 
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CEA 012 – Probabilidade 
Probabilidade Total 
 
 Imagine que você saiba a probabilidade de um evento sujeita a algumas condições 
(exemplo: A ocorreu ou A não ocorreu). 
 Qual o raciocínio adequado para se expressar a probabilidade de B? 
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CEA 012 – Probabilidade 
Probabilidade Total 
 
 Imagine que você saiba a probabilidade de um evento sujeita a algumas condições 
(exemplo: A ocorreu ou A não ocorreu). 
 Qual o raciocínio adequado para se expressar a probabilidade de B? 
     
 
 
 
     
   
 
     
         APABPAPABPBP
APABPABP
AP
ABP
ABP
APABPABP
AP
ABP
ABP
ABPABPBP








||
||
||
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CEA 012 – Probabilidade 
Probabilidade Total 
 
 A Probabilidade que acabamos de resolver: Probabilidade Total do evento B.          APABPAPABPBP  ||
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CEA 012 – Probabilidade 
Nivelamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa fórmula faz algum sentido para você? 
Contextualize-a 
         APABPAPABPBP  ||
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CEA 012 – Probabilidade 
Probabilidade Total 
 
 Se generalizarmos para k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, a 
Probabilidade Total de B seria 
       
             kk
k
EPEBPEPEBPEPEBPBP
EBPEBPEBPBP

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Cássius Henrique 
Aula 7 
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
L1.5. Exercício 4 
Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o 
dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda 
que 2% das peças produzidas por A e 2% das produzidas por B são defeituosas, enquanto 
que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todas as peças produzidas são misturadas 
e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a 
probabilidade de que ela seja defeituosa? 
Cássius Henrique 
Aula 7 
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
Nivelamento 
 
 
 
 
 
 
 
 O que são eventos exaustivos? Diferencie-os dos eventos mutuamente exclusivos e 
dos eventos independentes e dependentes. Dê exemplos. 
Cássius Henrique 
Aula 7 
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
Gabarito 
1. a) 1/16 
2. a) 0,2464; c) 0,2466 
3. a) 0,004; b) 0,144; c) 0,016; d) 0,424 
4. 0,025 
Cássius Henrique 
Aula 7 
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total 
CEA 012 – Probabilidade 
Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 Estudar as páginas 43 (item 1.7) a 56 (item 1.8) da referência abaixo: 
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo. 
 
 Estudar os itens 2.4, 2.5 e 2.6 da referência abaixo: 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.