Aula 8 Independência e Teorema de Bayes

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Aula 8 
Eventos Independentes 
Teorema de Bayes 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
 
Independência e Teorema de Bayes 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
2015 
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Teorema de Bayes 
 Relação entre a probabilidade condicional e sua inversa 
 Conhecendo como encontrar 
 
 
 
 1| ABP   ?|1 BAP
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Exemplo 1 
Três tipos diferentes de peças encomendadas por uma empresa foram entregues em 3 
caixas, cada uma contendo um número diferente de peças. A primeira caixa tem 10 peças, 
das quais 4 são defeituosas. A segunda caixa tem 6 peças com 1 peça defeituosa. A 
terceira caixa tem 8 peças, das quais 3 são defeituosas. 
a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que 
ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas? 
b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma 
peça defeituosa? 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
Três tipos diferentes de peças encomendadas por uma empresa foram entregues em 3 
caixas, cada uma contendo um número diferente de peças. A primeira caixa tem 10 peças, 
das quais 4 são defeituosas. A segunda caixa tem 6 peças com 1 peça defeituosa. A 
terceira caixa tem 8 peças, das quais 3 são defeituosas. 
 
Eventos: 
A1 = escolher a caixa 1 
A2 = escolher a caixa 2 
A3 = escolher a caixa 3 
B = escolher uma peça defeituosa 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que 
ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas? 
 
 Estamos interessados na Probabilidade Total de B: 
 
 
       
             332211
321
||| ABPAPABPAPABPAPBP
ABPABPABPBP


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Exemplo 1 – Resolução 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que 
ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas? 
 
 Estamos interessados na Probabilidade Total de B: 
 
 
       
             
 
360
113
8
1
18
1
12
2
||| 332211
321



BP
ABPAPABPAPABPAPBP
ABPABPABPBP
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Exemplo 1 – Resolução 
 
b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma 
peça defeituosa? 
 
 Estamos interessados na Probabilidade Condicional 
 
 
 
 BAP |1
Não temos essa probabilidade 
na árvore de probabilidades 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
 
 
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Exemplo 1 – Resolução 
 
b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma 
peça defeituosa? 
 Estamos interessados na Probabilidade Condicional 
 Vamos reescrever a fórmula da probabilidade condicional 
 
 
 
 BAP |1
 
 
 
 
   
           
 
113
48
360
113
15
2
|
|||
|
|
|
1
332211
11
1
1
1



















BAP
ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
BP
ABP
BAP
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Teorema de Bayes 
 
 O procedimento geral de inferir a probabilidade de um evento passado em função de 
evidências presentes ou futuras chama-se procedimento Bayesiano, já que se baseia 
no Teorema de Bayes. 
 
 O Teorema de Bayes nos diz que: 
 
 
 
 
 
   
 BP
ABPAP
BP
ABP
BAP
|
|




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Teorema de Bayes 
 
 Aplicações em diversas áreas do conhecimento 
 Técnicas de Aprendizado de máquina 
 Técnicas de computação para reconhecimento de imagens 
 Roteamento de redes 
 Estatísticas criminais: 
 Usadas na investigação de crimes onde pode-se inferir o passado através de 
probabilidades sobre o que ocorreu no crime condicionado nas evidências 
 
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L1.6. Exercício 1 
(CESGRANRIO) Em uma fábrica de pisos cerâmicos, as linhas de produção 1, 2 e 3 
respondem respectivamente por 50, 30 e 20 por cento da produção. Algumas peças 
cerâmicas saem destas linhas com defeito. A porcentagem de peças defeituosas é de 
0,4%, 0,6% e 1,2% respectivamente para as linhas 1, 2 e 3. Para evitar que peças 
defeituosas saiam da empresa e cheguem ao mercado, o controle de qualidade realiza 
inspeções individuais em todas as peças. Qual a probabilidade de uma peça cerâmica 
defeituosa encontrada na inspeção final ter sido produzida na linha de Produção 1? 
 
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L1.6. Exercício 2 
Uma companhia transnacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A 
fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o 
restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de 
produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais 
produtos são considerados “defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, 
respectivamente, dos totais produzidos por fábrica. No centro de distribuição, é feito o 
controle de qualidade da produção combinada das fábricas. 
a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de 
qualidade? 
b) Qual o princípio probabilístico foi utilizado para a resolução do item (a)? Justifique. 
c) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade de 
que ele tenha sido produzido na fábrica II? 
d) Qual o princípio probabilístico foi utilizado para a resolução do item (c)? Justifique. 
 
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L1.6. Exercício 3 
Considere duas urnas idênticas. A primeira contém uma bola branca e uma bola preta. A 
segunda urna contém duas bolas pretas e uma bola branca. Escolhe-se aleatoriamente 
uma urna. Extrai-se a primeira bola econstata-se que é preta. A bola é reposta na urna e é 
feita uma segunda extração. Obtém-se novamente bola preta. Dadas essas informações, 
calcule a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna. 
a) 8/25 
b) 25/72 
c) 12/51 
d) 9/25 
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Exercício 3 – Solução 
 
 
     
 
 
   
  25
9
72
25
2
1
2
1
2
1
|
|
72
25
9
2
8
1
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
21
1211
211
21
21221121











PPP
UPPPUP
PPUP
PPP
PPUPPPUPPPP
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L1.6. Exercício 4 
(CEA012 – Teste T1/2014) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 
25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 
4% e 2%, respectivamente são defeituosos. Seja D o evento em que o parafuso é 
defeituoso e Mi o evento em que o parafuso é produzido pela máquina i (para i = 1, 2 e 3). 
a) “O experimento de se retirar uma peça ao acaso dentro das condições enunciadas 
acima é um experimento aleatório”. Justifique essa afirmação. 
b) Se escolhermos ao acaso um parafuso desta fábrica, qual a probabilidade de que este 
parafuso seja defeituoso? 
c) Os eventos Mi e D são independentes? Justifique. 
d) Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele é defeituoso. Qual a 
probabilidade de que ele seja proveniente da máquina 3? 
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L1.6. Exercício 5 
Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95% dos 
produtos altamente aprovados recebiam bons conceitos. 60% dos produtos 
moderadamente aprovados recebiam bons conceitos e 10% dos produtos ruins recebiam 
bons conceitos. Além disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% 
moderadamente aprovados e 25% tinha sido produtos ruins. 
a) Qual a probabilidade de um produto atingir um bom conceito? 
b) Se um novo projeto atingir um bom conceito, qual será a probabilidade de que ele será 
um produto altamente aprovado? 
c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele seja 
um produto altamente aprovado? 
 
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L1.6. Exercício 6 
Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação às 
especificações de qualidade do ar. Os resultados são apresentados na tabela: 
 
 
 
 
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do Fornecedor 1 e B o evento em 
que uma amostra atende às especificações. 
a) Os eventos A e B são independentes? 
b) Determine 
 
)|( ABP
 Conforme 
 Sim Não 
Fornecedor 
1 44 16 
2 50 10 
3 60 20 
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Gabarito 
1. 0,3326 
2. a) 0,01575; c) 0,5714 
3. (d) 
4. b) 0,345; d) 0,2319 
5. a) 0,615; b) 0,618; c) 0,052 
6. a) Não; b) 0,733 
 
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Próxima Aula: Revisão para Prova P1 
 
 
 
 
 Desenvolver o mapa conceitual da parte 1. (Utilize apenas o anverso de uma folha 
branca sem pauta; anote fórmulas, exemplos,... Não será permitido fazer cópias de 
mapas desenvolvidos por colegas. O mapa deverá ser todo manuscrito. É obrigatória a 
apresentação do mapa na próxima aula). 
 Estudar Capítulo 2 (exceto item 2.8) da referência abaixo; fazer exercícios de todas as 
aulas até esta. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC.