Aula 12 Funções de Distribuição Cumulativa, Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta

Prévia do material em texto

Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Cássius Henrique Xavier Oliveira 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas 
Setembro/2014 
Funções de Distribuição Cumulativa; Média e 
Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Relembrando... 
 
 
 
 
 
 
 
 Sabendo o que é uma distribuição de probabilidade, o que você imagina que seja uma 
distribuição de probabilidade cumulativa? Qual a sua finalidade? Como encontrá-la? 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.3. Exercício 1 
Há uma chance de que um bit transmitido por meio de um canal de transmissão digital seja 
recebido com erro. Seja X o número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. 
Os valores possíveis para X são {0, 1, 2, 3, 4}. Baseando-se em um modelo para os erros, 
as probabilidades para esse valores foram determinadas e estão apresentadas no quadro 
(logo abaixo). 
a) Represente graficamente a distribuição de probabilidade para bits com erro. 
b) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 0 bits com erro? 
c) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 bits com erro? 
d) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 2 bits com erro? 
e) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 3 bits com erro? 
f) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 4 bits com erro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Função de Distribuição Cumulativa 
 
 Interesse: expressar probabilidades cumulativas: P(X < x) 
 Método alternativa de expressar a distribuição de uma variável aleatória 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.3. Exercício 2 
Considere novamente o caso em que três peças serão retiradas ao acaso de uma linha de 
produção. Cada peça é classificada como boa (B) ou defeituosa (D). Considere agora que 
a chance de cada peça ser classificada como boa é nove vezes maior do que a chance 
dela ser defeituosa. 
a) Considerando X como a VAD que representa a quantidade de peças defeituosas. 
Apresente sua distribuição de probabilidade (FDP). 
b) Construa a distribuição cumulativa da VAD X. 
c) Represente graficamente a distribuição cumulativa de X 
d) Represente a função distribuição cumulativa (FDC) F(X) 
e) Qual a probabilidade de no máximo 2 peças defeituosas serem encontradas? 
f) Qual a probabilidade de mais de 2 peças defeituosas serem encontradas? 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Função de Distribuição Cumulativa (FDC) 
 
 A FDC de uma variável aleatória discreta X, denotada por F(x), é: 
 
 
 Para uma variável aleatória discreta X, F(x) satisfaz as seguintes probabilidades: 
 
 
 


xx
i
i
xfxXPxF )()(
 
F(y)F(x) yx
xF
xfxXPxF
xx
i
i


 

 então , Se)3(
1)(0)2(
)()()1(
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.3. Exercício 3 
A partir da seguinte função de distribuição cumulativa: 
 
 
 
 
a) Determine f(x). 
b) Represente graficamente a função de distribuição cumulativa 
c) Represente graficamente a função de distribuição de probabilidade 
d) Determine a probabilidade para x = 0 e x = 2 
e) Qual a probabilidade da VAD ser menor que 3 e maior que 1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












x
x
x-
x
xF
21
207,0
022,0
20
)(
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.3. Exercício 4 
Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 delas que não 
obedecem aos requerimentos do consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, 
reposição, da batelada. Seja a variável aleatória X o número de peças não conformes na 
amostra. 
a) Qual é a função de distribuição cumulativa de X? (Represente como F(x) e 
graficamente). 
b) Qual o domínio da VAD? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.3. Exercício 5 
Um arranjo consiste em três componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades de 
o primeiro, o segundo e o terceiro componentes satisfazerem as especificações sejam 
iguais a 0,95; 0,98 e 0,99. Considere que os componentes sejam independentes, 
determina a função de probabilidade cumulativa associada ao número de componentes no 
arranjo que satisfazem as especificações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.3. Exercício 6 
Represente a distribuição cumulativa do número de pastilhas que passa no teste utilizando 
os dados do exercício 5 (Aula 12). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Gabarito 
1. b) 0,6561; c) 0,9477; d) 0,9963; e) 0,9999; f) 1 
2. a) 0,729; 0,243; 0,027; 0,001; b) 0,729; 0,972; 0,999; 1; e) 0,999; f) 0,001 
3. d) 0,5; 0,3; e) 0,3 
4. b) R 
5. 0; 0,00001; 00168; 0,07831; 1 
6. 0; 0,008; 0,104; 0,488; 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Média e Variância 
 
 Valores constantemente usados para “resumir” uma distribuição de probabilidade de 
uma VA 
 Média (ou Esperança, ou Valor Esperado): medida de tendência central 
 Variância: medida de dispersão ou variabilidade 
 As duas grandezas não identificam uma distribuição 
 Pode haver mais de uma distribuição com médias e variâncias iguais 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Média (Valor Esperado ou Esperança) Notação: 
 
 Corresponde a uma média ponderada dos possíveis valores de uma VAD X, cujos 
pesos correspondem às frequências relativas (ou probabilidades) 
 
 Seja f(x) a função densidade de probabilidade (FDP) de uma VAD X, o valor esperado 
(média) denotado por ou por E(X), será dado por: 


  x xfxXE )()( 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 
Considere a distribuição de probabilidade dos acidentes com a empresa dentre 7 acidentes 
pesquisados. Calcule o valor esperado de acidentes com a empresa. 
x P(x) 
0 0,210 
1 0,367 
2 0,275 
3 0,115 
4 0,029 
5 0,004 
6 0,000 
7 0,000 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória DiscretaCássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 1 – Solução 
Considere a distribuição de probabilidade dos acidentes com a empresa dentre 7 acidentes 
pesquisados. Calcule o valor esperado de acidentes com a empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Há, em média, 1,389 acidentes! 
x P(x) xi . P(xi) 
0 0,210 0 . 0,210 
1 0,367 1 . 0,367 
2 0,275 2. 0,275 
3 0,115 3 . 0,115 
4 0,029 4 . 0,029 
5 0,004 5 . 0,004 
6 0,000 6 . 0,000 
7 0,000 7 . 0,000 
Média 1,398 
  x xfxXE )()( 
Desenvolvendo a 
fórmula na própria 
tabela... 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Média (Valor Esperado ou Esperança) Notação: 
 
Importante: 
 Não confunda a esperança de uma variável aleatória com o seu valor mais provável. O 
valor mais provável de uma variável aleatória é conhecido como moda da variável. 
 A esperança (valor esperado ou média) de uma variável aleatória X é para ser 
interpretada como a média aritmética do valor de X quando se repete os experimento 
várias vezes e calcula-se o valor de X para cada uma das realizações do experimento. 

Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Variância Notação: 
 
 Mede o nível de dispersão (espalhamento) dos possíveis valores da VAD X 
 É calculada por meio da multiplicação entre cada valor assumido pela VAD pelo 
quadrado de sua distância à média. 
 Seja f(x) a função densidade de probabilidade (FDP) de uma VAD X, a variância, 
denotada por ou por Var(X), será dada por: 
 
 
 
 Atenção: Como a variável fica elevada ao quadrado, a unidade de medida também fica! 
 
²     2222 )()(²)(  





 
xx
xfxxfxXEXVar
²
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Nivelamento... 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a variância mede a dispersão de uma VA, porque a fórmula sugere que a distância 
entre cada valor assumido por essa variável e a média seja elevada ao quadrado? 
Como corrigir a unidade de medida no final? 
    2222 )()(²)(  





 
xx
xfxxfxXEXVar
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Desvio Padrão Notação: 
 
 Também mede o nível de dispersão (espalhamento) dos possíveis valores da VAD X 
 É calculada extraindo-se a raiz da variância 
 Seja f(x) a função densidade de probabilidade (FDP) de uma VAD X, o desvio padrão, 
denotada por , será dada por: 
 
 
 Atenção: A unidade de medida do desvio padrão é a unidade original! 
 

)(² XVar 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 2 
Considere a distribuição de probabilidade enunciada no Exemplo 1, determine a variância 
e o desvio padrão do número de acidentes com a empresa. 
x P(x) xi . P(xi) 
0 0,210 0 . 0,210 
1 0,367 1 . 0,367 
2 0,275 2. 0,275 
3 0,115 3 . 0,115 
4 0,029 4 . 0,029 
5 0,004 5 . 0,004 
6 0,000 6 . 0,000 
7 0,000 7 . 0,000 
Média 1,398 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 2 – Solução 
Considere a distribuição de probabilidade enunciada no Exemplo 1, determine a variância 
e o desvio padrão do número de acidentes com a empresa. 
x P(x) xi . P(xi) xi² xi² . P(xi) 
0 0,210 0 . 0,210 0² 0² . 0,210 
1 0,367 1 . 0,367 1² 1² . 0,367 
2 0,275 2. 0,275 2² 2². 0,275 
3 0,115 3 . 0,115 32 3² . 0,115 
4 0,029 4 . 0,029 4² 4² . 0,029 
5 0,004 5 . 0,004 5² 5² . 0,004 
6 0,000 6 . 0,000 6² 6² . 0,000 
7 0,000 7 . 0,000 7² 7² . 0,000 
Média = 1,398 Variância 
3,066 – 1,398² 
= 1,1116 
Desvio-Padrão = 1,05 
Desenvolvendo a 
fórmula na própria 
tabela... 
22 )(²  





 
x
xfx
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Exemplo 2 – Solução 
Considere a distribuição de probabilidade enunciada no Exemplo 1, determine a variância 
e o desvio padrão do número de acidentes com a empresa. 
x P(x) xi . P(xi) xi² xi² . P(xi) 
0 0,210 0 . 0,210 0² 0² . 0,210 
1 0,367 1 . 0,367 1² 1² . 0,367 
2 0,275 2. 0,275 2² 2². 0,275 
3 0,115 3 . 0,115 32 3² . 0,115 
4 0,029 4 . 0,029 4² 4² . 0,029 
5 0,004 5 . 0,004 5² 5² . 0,004 
6 0,000 6 . 0,000 6² 6² . 0,000 
7 0,000 7 . 0,000 7² 7² . 0,000 
Média = 1,398 Variância 
3,066 – 1,398² 
= 1,1116 
Desvio-Padrão = 1,05 
Variância: 1,1116 acidentes² 
Desvio padrão: 1,05 acidentes 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Propriedades do Valor Esperado e da Variância 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.4. Exercício 1 
Considere novamente a situação: 
Há uma chance de que um bit transmitido por meio de um canal de transmissão digital seja 
recebido com erro. Seja X o número de bits com erro nos quatro próximos bits transmitidos. 
Os valores possíveis para X são {0, 1, 2, 3, 4}. Baseando-se em um modelo para os erros, 
as probabilidades para esse valores foram determinadas e estão apresentadas no quadro 
abaixo. 
 
 
 
 
 
Calcule a esperança, a variância, o desvio-padrão e a moda dessa VAD. 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.4. Exercício 2 
Considere o exercício 2 (Aula 13) em que três peças seriam retiradas ao acaso de uma 
linha de produção. Cada peça seria classificada como boa (B) ou defeituosa (D). A chance 
de cada peça ser classificada como boa é nove vezes maior do que a chance dela ser 
defeituosa. 
Para aquele caso, calcule o valor esperado, a variância, o desvio padrão e a moda da 
VAD. 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.4. Exercício 3 
Considere o exercício 3 (Aula 13), segundo a qual, certa VAD possui função de distribuição 
cumulativa descrita por: 
 
 
 
 
A partir da FDP gerada naquele exercício, calcule a média, a variância, o desvio padrão e a 
moda da VAD. 
 
 
 
 
 
 
 
 












x
x
x-
x
xF
21
207,0
022,0
20
)(
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.4. Exercício 4 
Considere novamente a situação (exercício 4, Aula 13) 
Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 delas que não 
obedecem aos requerimentos do consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, 
reposição, da batelada. Seja a variável aleatória X o número de peças não conformes na 
amostra. 
A partir da FDP gerada naquele exercício, calcule a esperança, a variância, o desvio 
padrão e a moda da VAD.Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
L2.4. Exercício 5 
Considere novamente a situação (exercício 5, Aula 13) 
Um arranjo consiste em três componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades de 
o primeiro, o segundo e o terceiro componentes satisfazerem as especificações sejam 
iguais a 0,95; 0,98 e 0,99. Considere que os componentes sejam independentes, 
determina a função de probabilidade cumulativa associada ao número de componentes no 
arranjo que satisfazem as especificações. 
A partir da FDP gerada naquele exercício, calcule a esperança, a variância, o desvio 
padrão e a moda da VAD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Interpretando os resultados... 
 
 
 
 
 
 
 
 Interprete os resultados dos exercício anteriores? Qual a relação entre as valores 
assumidos pelas VAD’s e a média, a variância e a moda? 
 Qual das distribuições possui maior variabilidade? Quando (na Engenharia de 
produção), a variabilidade é um bom fator e quando não é? 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Gabarito 
1. 0,4; 0,12; 0,34641; 0 
2. 0,3; 0,06; 0,245; 0 
3. 0,2; 1,8; 1,34; 0 
4. 0,117; 0,006; 0,077; 0 
5. 2,92; 5,6834; 2,3839; 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 12 
Funções de Distribuição Cumulativa; 
Média e Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade 
Sugestão para a próxima aula... 
 
 
 
 
 
 Estudar os itens 3.1 até 3.4 da referência abaixo 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Editora LTC. 
 
 Fazer exercícios de todas as aulas até esta.