modelo de ROMER

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Teorias do Crescimento Económico 
Mestrado de Economia 
2004-2005 
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O modelo de crescimento de Paul Romer de 1990 
 
Trata-se de um modelo de crescimento endógeno de 2ª geração; com efeito, o progresso técnico 
é endogeneizado, é o output de um sector de actividade privada, do sector de I&D e são os 
investigadores que trabalham neste sector que têm um poder de monopólio sobre as novas ideias 
criadas. 
Representação da Economia 
A economia está dividida em três sectores: 1. o sector do bem final, 2. o sector dos bens de 
equipamento e 3. o sector de I&D. 
Os produtores do sector 1 vendem o seu output num mercado de concorrência pura e perfeita e 
aprovisionam-se de serviços do trabalho num mercado de concorrência pura e perfeita e dos 
serviços de uma nova variedade de bens de capital num mercado monopolista. 
Os produtores do sector 2 produzem bens de capital de diferentes variedades, cada um produz 
uma única variedade e operam num mercado de concorrência monopolística: há livre entrada de 
produtores, mas têm um poder de mercado porque cada um tem o exclusivo da produção de uma 
nova variedade de bens. Para o efeito compram a patente ao sector de I&D. 
Finalmente, o sector 3 vende as patentes num mercado de monopólio aos produtores do sector 2. 
Quanto ao mercado de factores, aprovisionam-se dos serviços de trabalho num mercado de 
concorrência pura e perfeita. 
 
Sector 1 - O sector do bem final 
 
A função de produção de Dixit-Stiglitz 
 
1
0
( )Y
A
Y H L x i diα β α β− −= ∫ (1.1) 
A mede o conhecimento da sociedade, é um índice da variedade de bens de capital produzidos 
na economia. O progresso técnico corresponde a um acréscimo de A, a um acréscimo de novas 
variedades de bens de capital. x(i) é a quantidade de bem de capital da variedade (i) utilizado na 
produção final. 
 
YH H H= + A (1.2) 
 
H é a quantidade total de capital humano utilizado na economia, sendo HY a quantidade afectada 
ao sector 1 e HA a quantidade afectada ao sector de I&D. L representa o trabalho não 
qualificado. 
Nesta economia, o trabalho qualificado é apenas utilizado nos sectores 1 e 3 e as quantidades 
totais de H e L são constantes. 
Esta função de produção goza de propriedades interessantes. A função de produção é aditiva, tal 
significa que as produtividades marginais das diferentes variedades de bens de capital são 
independentes umas das outras. Tal significa que o aparecimento de novas variedades não torna 
obsoletas variedades mais antigas, ou seja, cada variedade é produtiva independentemente das 
novas inovações. 
 
Analisemos agora o grau de homogeneidade da função relativamente aos seus inputs tomados 
separadamente ou em conjunto a fim de percebermos melhor a fonte de crescimento sustentável 
do modelo. 
Vamos considerar uma situação de equilíbrio em que x(i)=x. 
Resolvendo o integral e substituindo x(i) por x obtém-se: 
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Adelaide Duarte, Coimbra 2005 1 
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Mestrado de Economia 
2004-2005 
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1
YY H L Axα β α− −= β (1.3) 
A F.P é homogénea de grau 1 em A: 
Prove-se que: 
1
( , , , ), com 1
( , , , ) ( ) 1Y
q Y F qA HY L x
F qA HY L x H L qA x qY
ζ
α β α β
ζ
ζ− −
= =
= = ⇒ = (1.4) 
A função de produção apresenta rendimentos constantes à escala em A, tal significa que o 
produto varia na mesma proporção que A. Se houver uma duplicação da variedade de bens de 
equipamento, a produção final duplica, ceteris paribus. Esta é a fonte de crescimento sustentável 
da economia. 
A F.P é homogénea de grau (1-α−β) em x: 
1 1
( , , , ), com 1
( , , , ) ( ) 0 1 1Y
Y
Y
q Y F A H L qx
F A H L qx H L A qx q Y
ζ
α β α β α β
ζ
α β ζ− − − −
= =
= = ∧ < + < ⇒ < (1.5) 
A função de produção apresenta rendimentos decrescentes à escala em x, ceteris paribus. 
A função de produção é homogénea de grau 1 em HY, L e x: 
 (1.6) 
1 1
( , , , )
( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1
Y
Y Y
q Y F A qH qL qx
F A qH qL qx qH L A qx q Y
ζ
α β α β α β α β ζ− − + + − −
=
= = ⇒ =
⇒ =
A função de produção apresenta rendimentos constantes à escala em HY, L e x, ceteris paribus. 
A função de produção apresenta rendimentos crescentes à escala em todos os factores de 
produção: 
1 1 1
( , , , )
( , , , ) ( ) ( ) ( ) 2
Y
Y Y
q Y F qA qH qL qx
F qA qH qL qx qH qL qA qx q Y
ζ
α β α β α β α β ζ− − + + + − −
=
= = 
Podemos comparar os resultados obtidos com uma função de produção tradicional que comporte 
bens de capital heterogéneos. 
1 1
1
0
( )Y
Y
A
Y H L x i di
Y H L A x
α β α β
α βα β
α β − − − −
− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
=
∫ (1.7) 
Como se pode demonstrar facilmente, esta função de produção apresenta rendimentos 
decrescentes à escala em A, 1-α-β. E apresenta rendimentos constantes à escala em todos os 
factores. 
Pelo contrário com a função de produção de Dixit-Stiglitz, a F.P apresenta rendimentos 
constantes à escala em A e rendimentos crescentes à escala em todos os factores. É o progresso 
técnico sob a forma de novas variedades de bens de equipamento que são utilizados na produção 
do bem final que sustentam o crescimento na economia de Paul Romer, note-se que quantidade 
dos bens de capital não sustenta o crescimento nesta economia. Relembremos que a função de 
produção do modelo de Romer apresenta rendimentos decrescentes em x. 
 
Os produtores dos bens finais são tomadores de preços no mercado do trabalho não qualificado e 
qualificado (capital humano) e no mercado dos bens de equipamento. 
No que respeita aos bens de equipamento, o preço da variedade x(i), é igual à sua produtividade 
marginal: 
( ) ( ) (1 ) ( )( )x i x i Y
Yp p H L x
x i
iα β α βδ α βδ
− −= ⇔ = − − (1.8) 
A equação (1.8) representa a curva de procura dirigida ao produtor do bem de capital da 
variedade (i) que a vai explorar em monopólio. 
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O sector 2 dos bens de equipamento 
Cada produtor produz uma única variedade de bens de equipamento e tem um poder de 
monopólio sobre o seu output. Vai maximizar os lucros tomando como dados os preços dos 
outros produtores. Os bens de equipamento produzidos pelos outros produtores são substitutos 
imperfeitos do bem que produz, trata-se, pois, de um mercado de concorrência monopolística. 
Seja η o preço relativo dos bens de capital em termos do bem de consumo final, o stock de 
capital K pode ser avaliado: 
0
( )
 com x(i)=x
A
iK x i d
K Ax
η
η
⎧ ⎫=⎪⎨⎪ ⎪=⎩ ⎭
∫ ⎪⎬ (1.9) 
 
Já sabemos que o produtor do bem de equipamento da variedade (i) tem um poder de monopólio 
sobre o bem que produz e vai explorar esse poder. Isso significa que vai maximizar os 
sobrelucros produzindo uma quantidade para a qual o custo marginal e a receita marginal se 
igualam e vende ao preço associado àquela quantidade de equilíbrio na curva de procura que lhe 
é dirigida. 
 
Função sobrelucros do produtor do bem de equipamento da variedade (i): 
( ) ( ) ( )i RT i CT iΠ = − (1.10)Começemos pela análise da recita total RT(i). O produtor daquela variedade de bem de capital, 
aluga-o ao preço px(i). Não esquecer que este bem tem uma duração infinita. A receita total é o 
valor actualizado do aluguer do bem de equipamento ao produtor do bem de consumo final. 
( )0
( )
( ) ( )
( )
( )
rt
x i
x i
RT i p x i e dt
x i p
RT i
r
∞ −=
=
∫
 (1.11) 
Quanto mais elevada for a taxa de juro, menor será a receita total. 
 
Quanto ao custo total CT(i), há dois elementos a referenciar, o custo de factores medido em 
unidades de bem do bem de consumo final, ηx(i); e o custo da aquisição da patente, pA que é 
pago aos inventores desta variedade de bem e que constitui um custo fixo que é pago na data, 
t=0. 
Podemos agora definir a função sobrelucros totais actualizados do produtor do bem de 
equipamento (i): 
( )0 0
( ) ( ) ( )rt x i Ai e x i p dt x iη∞ ∞ −Π = − −∫ ∫ p (1.12) 
 
[ ]
0
'
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
x
x
A
Max i Rm Cm
x i p iRT iRm Rm
x i x i r
x i p i p iRm
r r
CT iCm Cm x i p
x i x i
Cm
δ δ
δ δ
δ δ ηδ δ
η
∞ Π ⇒ =
⎡ ⎤= ⇒ = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ = +
= ⇒ = −
⇒ =
∫
⇒
 (1.13) 
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Igualando o 2º membro das duas equações, obtemos: 
 
'
( ) ( ) '
( ) ( )
( )
0 ( )x i x i x i x i
p x i p
p x i p r
r
η η+ − = ⇔ + = (1.14) 
Primeiro vamos deduzir a expressão da primeira derivada de px(i), tendo em conta a função 
procura que é dirigida ao produtor do bem de equipamento da variedade (i), vidé (1.8): 
 
'
( )
' 1
( )
' 1
( ) ( )
(1 )( ) ( )
(1 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Y
Y
x i
x i
x i x i
p H L x i
1p H L x i x i
p p x i
α β α β
α β α β
α β α β
α β α β
α β
− −
− −
−
= − − − −
= − − − −
= − −
− (1.15) 
Substituindo (1.15) em (1.14), obtemos: 
 ( ) ( ) ( )( ) 0 1
eq
x i x i x i
rp p r p ηα β η α β− − + − = ⇒ = − − (1.16) 
Falta deduzir a expressão de x(i) de equilíbrio: 
 
 
( )
1
1
( )
1
(1 )
(1 ) ( )
( )
(1 ) ( )
( )
(1 ) ( )
Y
Y
Y
x i
eq
p r
H L x i r
rx i
H L x i
rx i
H L x i
α β α β
α β
α β α β α β
α β
α β
α β η
α β η
η
α β
η
α β
− −
− +−− + +
− +
− − =
− − =
⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎥ (1.17) 
Sector 3 de I&D – Já sabemos que este sector produz novas ideias sob a forma de designs de 
novas variedades de bens de capital. O sector utiliza como input oneroso capital humano e como 
input não oneroso o stock de conhecimentos disponíveis, A, esta hipótese justifica-se porque se 
está a pressupor que as patentes antigas contêm informação que é disponibilizada a qualquer um. 
 (1.18) AA Hδ
• = A
Analisemos aquela função de produção. O crescimento das variedades de bens de equipamento é 
proporcional ao capital humano empregue no sector de I&D. Quanto mais capital humano for 
afecto a este sector, maior será o progresso técnico. 
 A
A H
A
δ
•
= (1.19) 
A produtividade marginal do capital humano é crescente no sector de I&D. 
 
( )
( )
( ) 0 0
A
A
A
H
H
H
pm A t
dpm dA t
dt dt
dpmdA t
dt dt
δ
δ
=
=
> ⇒ >
 (1.20) 
Se tivermos em conta que nesta economia, o capital humano não se acumula (o capital humano 
total é constante), o capital humano no presente é mais produtivo que o mesmo capital humano 
no passado porque o stock de conhecimentos hoje disponível é superior ao do passado. 
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A função sobrelucros neste sector é a diferença entre o valor das patentes vendidas e os salários 
pagos aos investigadores. (por simplificação considera-se que apenas se utiliza neste sector o 
factor oneroso capital humano). 
 (1.21) &I D A AA p wH
•Π = −
Os inputs do sector de I&D são comprados num mercado de concorrência pura e perfeita. O 
mercado de patentes é um mercado de monopólio. Os investigadores vendem as patentes a um 
preço tal que se apropriam integralmente dos lucros (actualizados) dos produtores de bens de 
equipamento. 
 
0xK A
xp x p
r r
x r
η
η
Π = − − =
(1 ) rα β− −
( ) ( )0
1
eq
eq
A A
x xpx p p
r
α β η α βη α β
+ +− − = ⇒ = =− −
 (1.22) 
Análise de (1.22): o preço de equilíbrio das patentes é determinado pelos investigadores de tal 
forma que o sobrelucro do sector dos bens de equipamento é apropriado integralmente pelo 
sector de I&D. Quanto mais elevado for a taxa de juro menos elevado será o lucro actualizado 
do sector 2 e portanto menos será o preço das patentes. 
 
Crescimento de equilíbrio: 
De acordo com a função de produção do bem final, a taxa de crescimento do output final é igual 
à taxa de crescimento das novas ideias. 
 Y A
Y A
• •
= (1.23) 
Por outro lado, a taxa de crescimento do stock de capital físico é igual à taxa de crescimento das 
novas ideias, vidé (1.9). 
 , porque K= AxK A
K A
η
• •
= (1.24) 
 
A taxa de crescimento do stock de capital físico é igual à taxa de crescimento do consumo. 
 , porque = constante constanteC K K Y C Y C
C K K K K K K
• • •
= − ∧ = ⇒ = (1.25) 
Finalmente podemos escrever: 
 , A
Y C K A H
Y C K A
γ
• • • •
= = = = = δ
A
 (1.26) 
 
Analisemos esta última fórmula, a taxa de crescimento de equilíbrio de longo-prazo é tanto mais 
elevada quanto mais elevado for o número de investigadores no sector de I&D. 
Vamos agora deduzir a expressão que nos dá o capital humano de equilíbrio do sector do bem 
final. 
Igualemos as produtividades marginais do capital humano do sector do bem de consumo final e 
do sector de I&D. 
 1 1YH L Ax p A
α β α βα δ− − − = (1.27) 
Substituindo x e pA pelas expressões respectivas, obtemos: 
 
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1 1
A Y
A
p A H L Ax
p A
α β α βδ α
δ
− − −=
YH
αα= 1 Lβ− A
2(1 ) Y
r
H α
η
α β− − Lβ
1
( )
α β
α β
α β η
− −− +⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ x
1 α β− −
1
YH
ηδ α −=
2(1 )
r
α β− −
1−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( )(1 )Y
rH
α β
α β
α
δ α β α β
+ +
+
= + − −
 (1.28) 
 
 Analisemos a última fórmula. Quanto mais elevada for a taxa de juro, menor será a afectação de 
capital humano ao sector de I&D e porquê porque menores serão os lucros deste sector porque o 
preço das patentes depende dos lucros actualizados do sector de bens de equipamento, os quais 
serão tanto mais baixos quanto mais elevada for a taxa de juro. 
Podemos exprimir a taxa de crescimento de equilíbriode SSG em função do capital humano de 
equilíbrio no sector de I&D, para tal substituiu-se (1.28) em (1.26). 
(1.29) 
( )
(1 )( )
 =
(1 )( )
A Y
rH H H H
com
rαγ δ δ δα β α β
αλ α β α β
= = − = = −− − +
− − +
λ
 
 
A expressão da taxa de equilíbrio de longo-prazo que deduzimos resulta das condições de 
equilíbrio do produtor, o equilíbrio na economia pressupõe a realização conjunta dos equilíbrio 
do produtor e do consumidor. 
 
Equilíbrio do consumidor 
A função de utilidade intertemporal dos consumidores é a seguinte: 
 
1-
0
c( ) com u(c)=
1-
tu c e dt
σ
ρ
σ
∞
−∫ (1.30) 
Da maximização da utilidade intertemporal dos consumidores, obtemos a expressão da taxa de 
crescimento óptima do consumo per capita1. 
 c r
c
ρ
σ
• −= (1.31) 
Em equilíbrio de SSG, a taxa de juro é constante, vidé (1.31). Tendo em conta (1.29) e (1.31), 
podemos deduzir a expressão da taxa de juro de equilíbrio. 
 
1
eq
r H r
Hr
ρ δ λσ
ρ σδ
σλ
− = −
+= +
 (1.32) 
E substitu indo a taxa de juro de equilíbrio pela sua expressão em (1.31), obtemos a 
expressão da taxa de crescimento de equilíbrio de SSG. 
 
1 Ver dedução em Anexo1. 
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 1
1 1
eq H Hρ σδ δ λργ ρσ σλ λσ
+⎡ ⎤ ⎡= − =⎢ ⎥ ⎢+ +⎣ ⎦ ⎣
− ⎤⎥⎦ (1.33) 
Análise da expressão – A taxa de crescimento de SSG depende dos parâmetros 
ρ, σ, λ (α e β), δ e de H. 
 
ρ, σ: − Quanto menores forem os valores dos parâmetros (ρ, σ), menos impacientes são os 
consumidores relativamente ao consumo presente, e menor será a taxa de juro de equilíbrio. 
Quanto mais baixa for a taxa de juro de equilíbrio mais elevado será o aluguer dos bens de 
equipamento aos produtores do sector do bem final e mais elevado será o preço das patentes, há 
assim incentivo a uma maior produção de novas ideias, havendo uma reafectação de trabalho do 
sector 1 para o sector 3. 
δ: Quanto mais elevada for a produtividade do capital humano no sector de I&D, mais elevada 
será a taxa de crescimento de SSG. 
H: Quanto mais elevado for o capital humano na economia, mais elevada será a taxa de 
crescimento da economia porque maior será a afectação de capital humano ao sector de I&D. 
Trata-se de um efeito de escala presente neste modelo, no entanto, ele não é confirmado 
empiricamente. 
 
 
Até aqui estudámos o equilíbrio de SSG da economia com as características da economia do 
modelo de Paul Romer de 1990. O equilíbrio de SSG é um equilíbrio descentralizado que resulta 
das decisões individuais e independentes de produtores e consumidores. Se quisermos utilizar 
este modelo para predições de política económica é necessário abordar a questão da diferença 
entre equilíbrio privado e equilíbrio social. Com efeito, na economia descrita existem falhas de 
mercado resultando um equilíbrio privado que não é óptimo. Depois de identificar as falhas de 
mercado, deduzimos a expressão da taxa de crescimento óptima e finalmente analisamos 
instrumentos de política económica que poderão ajudar a repor o equilíbrio óptimo. 
 
As falhas de mercado da economia de Paul Romer (1990): 
Como resultado das falhas de mercado presentes na economia, nem a quantidade de capital 
humano afecto ao sector de I&D nem a taxa de crescimento são tão elevadas como deveriam ser 
para a situação de óptimo seja atingida. 
Quais são as falhas de mercado? 
Externalidade positiva resultante da inovação corrente [φ=1] - As novas ideias actualmente 
criadas serão apropriadas, no futuro, a título não oneroso pelos investigadores do sector de 
I&D. O preço das patentes não internaliza a externalidade positiva da investigação corrente 
relativamente à investigação futura. Por essa razão, o preço das patentes inferior ao seu valor 
óptimo, a produção de novas ideias é inferior à quantidade óptima. 
Monopólio [xeq<xop] – A quantidade de bens de equipamento produzidos é inferior à quantidade 
óptima porque se trata de mercado de concorrência monopolística. Cada produtor encontra-se 
em situação de monopólio (relativo) em relação ao seu output. Assim vende a um preço superior 
ao custo marginal e os sobrelucros totais são apropriados pelos investigadores. 
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(px/r) 
(peq/r)= η/(1−α−β) 
CM(pAeq) Lucro 
captado pelo 
sector de I&D 
Cm=η 
D 
Rm 
xeq xop
 
 
 
( ) *
( )
( )
1
A
A
eq
CT x p x
pCM x
x
pCm x
r
η
η
ηη α β
= +
= +
= < = − −
 (1.34) 
 
Crescimento óptimo 
As predições de política económica supõem o estudo do equilíbrio óptimo porque como 
já sabemos estamos em presença de um modelo que apresenta falhas de mercado. A resolução 
do modelo para obtenção da solução centralizada levou aos seguintes resultados: 
e podemos obter as expressões da quantidade óptima de capital humano afecto ao sector de 
I&D. 
 ( )
( )
op
A
HH α β δ αρδ β ασ
+ −
+= (1.35) 
 
 
 ( ) ; com =
1 +
opt H Hα β δ αρ
β ασ
δ θρ αγ θθσ θ α
+ −
+ β
−= = + − (1.36) 
que se forem comparadas com as soluções de equilíbrio descentralizado, mostram que a solução 
descentralizada é sub-óptima: a taxa de crescimento é menos elevada assim como a quantidade 
de capital humano afecto ao sector de I&D. 
A solução é o subsidiar o preço dos bens de equipamento através de um imposto não 
distorcionário e a investigação. 
 
 
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Anexo 1 - Determinação da taxa de crescimento de SSG: 
 
 (1.37) 
( )
0
-(r-n)
max ( ) [ ( )]
. :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
com (0) 0
a( )e 0
n tU t e u c t dt
s a
w t r t a t c t na t a t
a
ρ∞ − −
•
∞
=
+ = + +
>
∞ ≥
∫
Seja v(t) o preço implícito actualizado dos activos em termos de unidades de utils. 
 (1.38) ( )( ) ( ) n tv t t e ρλ − −=
Formemos o Hamiltoniano (H): 
 
 
 
( )
( )
( )
[ ( )] ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
Condições de 1ºordem:
1) 0 ( ) '[ ( )]
2) ( ) ( ) ( )
( )
3) ( ) ( ) 0 (0) (0) 0lim lim
n t
n t
n t zt
t t
u c t v t w t r n a t c t a t
v t u c t
vv r n v t r n
v t
v t a t v a e e z r n
H e
H e
c
v H
t a
ρ
ρ
ρ
δ
δ
δ δ
δ δ
•− −
− −
•
•
− −
→∞ →∞
+ + − − +
= ⇒ =
= − ⇒ = − − ⇒ − = −
= ⇔ = ⇒ < −
=
 (1.39) 
A partir da cond. 1 deduzimos a expressão da taxa de crescimento do preço implícito 
actualizados dos activos. 
{ }( )
( ) ( )
( )
[ ( )] '[ ( )]
''[ ( )] ( ) '[ ( )]
''[ ( )]
n t
n t n t
n t
d v t d u c t
dt dtv u c t c n u c t
v u c t c
v
e
e e
e
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
− −
• • − − − −
• • − −
=
= − −
=
( )'[ ( )] n tu c t e ρ− −
'[ ( )]
( )
u c t
nρ− −
( )n te ρ− −
'[ ( )]u c t ( )n te ρ− −
''[ ( )] ( )
'[ ( )]
v u c t c c n
v u c t c
ρ
• •⎧ ⎫− = − + −⎨ ⎬⎩ ⎭
 (1.40) 
Igualando o segundo membro desta última equação ao 2º membro de 2) e resolvendo em ordem 
à taxa de crescimento do consumo, obtemos. 
 '[ ( )] ( )
''[ ( )]
c r r
u c t c tc
u c t
ρ ρ
σ
• −= =
−
− (1.41) 
A equação (1.41) dá-nos a fórmula da taxa de crescimento do consumo per capita. 
 
Anexo 2 - Solução de crescimento óptimo do modelo de crescimento de Paul Romer (1990) 
Função de Produção dos Decisores Públicos 
 
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1
 
YY H L Ax
Kcom x
A
α β α
η
β− −=
= (1.42) 
Substituindo x pela sua expressão obtemos. 
 
1
Y
KY H A L A
α β
α α β β
η
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.43) 
O problema de maximização intertemporal do consumo equaciona-se da seguinte forma. 
 
,
0
1 1
( ) 1
1
. :
( )
(0) 0 A(0) >0
A
t
C H
Y A
A
A
C te dt
s a
H H H
A H A
K H H L A K C
K
ρ
α β α β α β α β
σ
δ
η
∞
−
•
• + − − + −
−
−
+ =
=
= − −
> ∧
∫
 (1.44) 
Note-se que as variáveis de controlo são C e HA e as variáveis de estado são K e A. 
Escreva-se o Hamiltoniano. 
 
1 1
1 2
1
1 1 1
1 2
1
1 1 1
2
( ) 1 [( ) ] ( )
1
Conds. de 1ª ordem:
1) 0
2) 0 [( ) 0
3) (1 ) ( )
4)
t
A A
A
A
A
C te v H H L A K C v H A
C
C
v H H L A K v A
H
v v H H L A K v
K
v
A
ρ α β α β α β α β
σ
α β α β α β α β
α β α β α β α β
η δσ
δ λδ
δ α η δδ
δ α β ηδ
δ
δ
− + − − + −
−
− + − − + −
• •+ − − + −
•
−Η = + − − +−
Η = ⇒ =
Η = ⇒ − − + =
Η− = ⇒ − − − − =
Η− = 1 1 11 2( ) [( )A Av H H L A K v H vα β α β α β α βα β η δ
•+ − − − + −⇒ − + − − = 2
2
 (1.45) 
 A partir da condição 2) obtemos. 
 1 1 11 ( )AH H L A K A
α β α β α β α βλ α η− + − − + −− λ δ= (1.46) 
Derivando em ordem ao tempo e tomando e tomando H e L constantes, obtemos. 
 
1 1 1
1 2
1
1 2
1 2
1 2
( )
( ) (1 )
(1 ) (1 )
AH H L A K A
A K
A K
K A
K A
α β α β α β α β
2 A
A
λ α η
λ α β α βλ λ
λ λα β α βλ λ
− + − − + −
• •• •
• •• •
− =
+ + + − − = +
+ − − = + − +
λ δ
λ • (1.47) 
Em equilíbrio de SSG, as taxas de crescimento de K e A são iguais, o que implica que as taxas 
de crescimento dos preços implícitos sejam também iguais. 
1
1 2
. (1.44) e K Aeq
K A
2λ λ
λ λ
• •• •
= ⇒ = (1.48) 
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Adelaide Duarte, Coimbra 2005 10 
Teorias do Crescimento Económico 
Mestrado de Economia 
2004-2005 
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Resolva-se a condição 2) em ordem a (v1/v2), e obtemos. 
 1 1 1
2
2 '')
[( )A
v A
v H H L A Kα β α β α β α β 1
δ
α η− + − − + −= − (1.49) 
Resolva-se a condição 3) em ordem ao simétrico da taxa de crescimento de v1. 
 11
1
(1 )( )A
v H H L A K
v
α β α β α β α βα β η
•
+ − − + −− = − − − (1.50) 
Resolva-se a condição 4) em ordem ao simétrico da taxa de crescimento de v2. 
 1 1 12 1
2 2
( )( )A A
v v H H L A K H
v v
α β α β α β α βα β η δ
•
+ − − − + −− = + − − (1.51) 
Substituindo (v1/v2) pela sua expressão obtém-se. 
2
2
v A
v
δ
•
− =
( )AH H
αα − 1 Lβ− Aα β+ 1K α β− − 1α βη + −
( ) ( )AH H
αα β+ − Lβ A α β+ 1− 1K α β− − 1α βη + −
2
2
2 2
2 2
2
2
( )( )
Como , obtemos: 
( )( )
A
A
A
A
A
H
v H H
H
v
v
v
H H
H
δ
δ α β δα
λ ρλ
λ δ α β δ ρλ α
•
• •
•
−
+ −− = −
= −
+ −− = − −
(1.52) 
 
A condição 1 implica que: 
 1
1
c
c
λ σλ
• •
= − (1.53) 
Sabendo que em equilíbrio de SSG, a taxa de crescimento de equilíbrio é igual à taxa de 
crescimento do consumo, e substituindo a taxa de crescimento do preço implícito do stock de 
capital, obtemos a seguinte equação. 
 2
2
( )( )A
A
H H
H
δ α β δ ρα
λ
λ
•
+ − − −= (1.54) 
e podemos obter as expressões da quantidade óptima de capital humano afecto ao sector de 
I&D. 
 ( )
( )
op
A
HH α β δ αρδ β ασ
+ −
+= (1.55) 
 
 
E obtém-se a taxa de crescimento óptima. 
 ( ) ; com =
1 +
opt H Hα β δ αρ
β ασ
δ θρ αγ θθσ θ α
+ −
+ β
−= = + − (1.56) 
 
 
 
 
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Adelaide Duarte, Coimbra 2005 11 
	O sector 2 dos bens de equipamento
	Crescimento de equilíbrio: