AP1-MetDet_I-2015-1-gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pts) : Um comerciante que na˜o possu´ıa conhecimento de matema´tica, tem um
custo de R$ 250,00 para a comercializac¸a˜o de uma certa mercadoria. Ele acresce a esse valor 50%
de lucro. Certo dia, um fregueˆs pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre
o novo prec¸o, pensando que, assim, teria um lucro.
a) (1.5 pt) Determine por quanto o comerciante vendeu a mercadoria.
b) (1.0 pt) Determine, em termos percentuais, se houve, de fato, um lucro ou se houve um preju´ızo
na venda da mercadoria. O percentual e´ calculado sobre o valor de custo da mercadoria.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos, inicialmente, determinar o valor da mercadoria acrescido do lucro. Esse novo valor e´
calculado por
250 + 50% · 250 = 250 + 50
100
· 250 = 250 + 1
2
· 250 = 250 + 125 = 375
Assim, o novo valor da mercadoria e´ igual a R$ 375,00.
O valor que o comerciante vendeu a mercadoria para o fregueˆs com desconto de 40% sobre o
novo valor e´ calculado por
375− 40% · 375 = 375− 40
100
· 375 = 375− 2
✁✁✕
1
5
·✟✟✟✯75375 = 375− 2 · 75
1
= 375− 150 = 225.
Portanto, o comerciante vendeu a mercadoria para o fregueˆs por R$ 225,00.
b) Como o comerciante teve um custo de R$ 250,00 para comercializar a mercadoria e depois vendeu
por R$ 225,00, ele teve um preju´ızo de R$ 25,00. Ja´ que
250− 225 = 25.
Vamos determinar em termos percentuais o valor do preju´ızo em relac¸a˜o ao valor de custo da
mercadoria para o comerciante. Temos que:
25
250
=
1
10
=
10
100
= 10%.
Portanto, houve um preju´ızo de 10% sobre o valor de custo.
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Questa˜o 2 (1.5 pt) : Considere as afirmac¸o˜es:
i) O felino tigre e´ o mais bonito.
ii) O enunciado iii) e´ verdadeiro.
iii) Dentre os felinos, somente um e´ o mais bonito.
iv) Os felinos lea˜o e guepardo sa˜o os mais bonitos.
v) O felino puma na˜o e´ o mais bonito.
vi) Somente uma das afirmac¸o˜es anteriores e´ falsa.
Sabendo que a afirmac¸a˜o vi) e´ verdadeira, pode-se concluir que o valor-verdade (V, se verdadeiro;
F, se falso) de cada uma das afirmac¸o˜es de i) a v) e´, respectivamente,
a) VVVVF b) VVVFV c) VVFVV d) VFVVV e) FVVVV
Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o: Suponhamos, inicialmente, que a afirmac¸a˜o i) seja falsa. Da´ı, pela afirmac¸a˜o vi), segue
que as afirmac¸o˜es ii), iii), iv) e v) sa˜o verdadeiras. Assim, como a afirmac¸a˜o ii) e´ verdadeira, iii)
e´ verdadeira, isto e´, dentre os felinos um e´ o mais bonito. Mas enta˜o, a afirmac¸a˜o iv) e´ falsa, e
ter´ıamos duas falsas. O que contradiz a afirmac¸a˜o vi). Logo, o valor-verdade da afirmac¸a˜o i) e´ V.
A partir da´ı, vamos, agora, considerar que a afirmac¸a˜o ii) e´ falsa. Disso segue, que a afirmac¸a˜o iii)
sera´, tambe´m, falsa. Mas, isso contradiz o afirmac¸a˜o vi) que afirma que so´ ha´ uma afirmac¸a˜o falsa.
Logo, o valor-verdade da afirmac¸a˜o ii) e´ V.
Consequentemente, o valor-verdade da afirmac¸a˜o iii) tambe´m e´ V. Disto segue que a afirmac¸a˜o iv)
e´ F, pois se o felino tigre e´ o mais bonito, o lea˜o e o guepardo na˜o o podem ser.
Finalmente, a afirmac¸a˜o v) e´ V por dois motivos: primeiro, porque como o felino tigre e´ o mais
bonito, o puma na˜o e´ o mais bonito; e segundo, porque, ter´ıamos duas afirmac¸o˜es falsas, de novo,
contradizendo a afirmac¸a˜o vi).
Assim, temos a sequeˆncia de valores-verdade V
i)
V
ii)
V
iii)
F
iv)
V
v)
.
Questa˜o 3 (3.5 pts) : Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos
de vendedores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos
grupos A e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
e LB = 3x− 1
5
,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 100 reais.
b) (1.0 pt) Determine para que quantidade vendida, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) (1.5 pt) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo B e´ menor que o do grupo A,
sabendo que essas quantidades pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x < 14}.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 100 reais, temos
de resolver a equac¸a˜o
100 = 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
⇐⇒ 100 = 2x− 2 · 14
3
− 2
3
⇐⇒ 100 = 2x− 28
3
− 2
3
⇐⇒ 100 = 2x− 30
3
⇐⇒ 100 = 2x− 10
⇐⇒ −2x = −10− 100
⇐⇒ −2x = −110
⇐⇒ x = −110−2
⇐⇒ x = 55.
Portanto, o grupo A vende uma quantidade de 55 unidades do produto, quando o lucro deste
grupo e´ de 100 reais.
b) Para determinar quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a
equac¸a˜o
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
LA = LB
⇐⇒ 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
=
3x− 1
5
⇐⇒ 2x− 10 = 3x− 1
5
⇐⇒ 5 · (2x− 10) = 3x− 1
⇐⇒ 10x− 50 = 3x− 1
⇐⇒ 10x− 3x = −1 + 50
⇐⇒ 7x = 49
⇐⇒ x = 7.
Portanto, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 7 unidades do
produto.
c) Para determinar para quais quantidades, LB e´ menor que LA, temos de resolver a desigualdade
LB < LA
⇐⇒ 3x− 1
5
< 2
(
x− 14
3
)
− 2
3
⇐⇒ 3x− 1
5
< 2x− 10
⇐⇒ 3x− 1 < 5(2x− 10)
⇐⇒ 3x− 1 < 10x− 50
⇐⇒ 3x− 10x < −50 + 1
⇐⇒ −7x < −49
⇐⇒ x > −49−9
⇐⇒ x > 7.
Portanto, o lucro do grupo B e´ menor que o do grupo A para as quantidades 8, 9, 10, 11, 12
ou 13 unidades do produto.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 4 (2.5 pts) :
a) (0.5 pt) Determine o valor da expressa˜o aritme´tica
(3)−1 − (27)2/3
b) (1.0 pt) Determine o valor da expressa˜o aritme´tica
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
c) (1.0 pt) Simplifique a expressa˜o alge´brica
a
2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b ,
sabendo que a > 0, b > 0 e a 6= b.
Dica: Racionalize a expressa˜o: − 1√
a+
√
b
.
Soluc¸a˜o:
a) (3)−1 − (27)2/3 = 1
3
− 3√(27)2 = 1
3
− 9 = 1
3
− 27
3
=
1− 27
3
= −26
3
b)
−2
5
[
1 +
(
7
2
− 5
)
÷ 3
4
− 7
2
]
− = −2
5
[
1 +
(
7
2
− 10
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1 +
(
−3
2
)
÷ 3
4
− 7
2
]
= −2
5
[
1− 3
2
· 4
3
− 7
2
]
= −2
5

1− ✁3
✁2
· ✁✁✕
2
4
✁3
− 7
2


= −2
5
[
1− 2− 7
2
]
= −2
5
[
2
2
− 4
2
− 7
2
]
= −2
5
[
−9
2
]
= −✁2
5
[
−9
✁2
]
=
9
5
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP1 6
c)
a
2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b =
a
2 − b2
(a− b)2 −
1√
a+
√
b
+
√
a−√b
a− b
= ✘
✘✘✘(a− b)(a+ b)
(a− b)✁2
−
√
a−√b
(
√
a+
√
b)(
√
a−√b) +
√
a−√b
a− b
=
a+ b
a− b −
√
a−
√
b
a− b +
√
a−
√
b
a− b
=
a+ b− (√a−
√
b) +
√
a−
√
b
a− b
=
a+ b−√a+√b+√a−√b
a− b
=
a+ b
a− b
Boa Prova!
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ