AP3 MEt. DET. I gabarito 2013 2

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ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP3 - 2013.2
Questa˜o 1 (2 pontos). Resolva e simplifique a expressa˜o a seguir, sendo a > 0 e b > 0:
(
5a2
2b2
+
a2
b2
×
4
3
÷
1
3
×
3
8
)
−
1
2
Soluc¸a˜o:
(
5a2
2b2
+
a2
b2
×
4
3
÷
1
3
×
3
8
)
−
1
2
=
(
5a2
2b2
+
a2
b2
×
4
3
× 3×
3
8
)
−
1
2
=
(
5a2
2b2
+
a2
b2
×
3
2
)
−
1
2
=
(
5a2
2b2
+
3a2
2b2
)
−
1
2
=
(
8a2
2b2
)
−
1
2
=
(
4a2
b2
)
−
1
2
=
(
b2
4a2
) 1
2
=
b
2a
Questa˜o 2 (2 pontos). Considere C ⊂ N. Tomando como premissa a proposic¸a˜o
∀x ∈ C, x < 12⇒ x e´ ı´mpar.
marque se cada uma das proposic¸o˜es abaixo e´ verdadeira, falsa ou se na˜o e´ poss´ıvel decidir
isso usando apenas a premissa dada:
1
a) 14 ∈ C ( )V ( )F (×) Na˜o e´ poss´ıvel decidir.
b) 7 ∈ C ( )V ( )F (×) Na˜o e´ poss´ıvel decidir.
c) ∀x ∈ C, x ≥ 12 ou x e´ ı´mpar (×)V ( )F ( ) Na˜o e´ poss´ıvel decidir.
d) ∀x ∈ C, se x e´ par, enta˜o x ≥ 12. (×)V ( )F ( ) Na˜o e´ poss´ıvel decidir.
Questa˜o 3 (2 pontos). Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o | − 2x+ 5|+ 4 ≥ 8
Soluc¸a˜o: | − 2x+5|+4 ≥ 8 se e somente se | − 2x+5| ≥ 4, logo deve valer uma das duas
opc¸o˜es a seguir:
−2x+ 5 ≥ 4 ou −2x+ 5 ≤ −4.
No primeiro caso ter´ıamos: −2x ≥ −1, o que significa que x ≤ 1/2.
No segundo caso ter´ıamos: −2x ≤ −9, o que significa que x ≥ 9/2.
Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ (−∞, 1/2] ∪ [9/2,∞).
Questa˜o 4 (2 pontos). Os produtos A e B eram comercializados pelo mesmo prec¸o. Contudo,
o produto A sofreu um aumento de 20% e o prec¸o do produto B sofreu reduc¸a˜o de 10%. Qual
deve ser a porcentagem de desconto dada sobre o novo prec¸o do produto A para que ele seja
vendido pelo valor que esta´ sendo cobrado pelo produto B? Apresente desenvolvimento para
sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
Seja x o prec¸o original de A e B. Enta˜o A passou a custar 1, 2x e B passou a custar 0, 9x.
Para que A volte a ser vendido pelo mesmo prec¸o que B deve ter seu valor reduzido em 0, 3x.
0, 3x e´ um quarto de 1, 2x, isto e´, 25% do prec¸o atual de A. Logo A deve sofrer um desconto
de 25% para que seja vendido pelo mesmo prec¸o atualmente cobrado por B.
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Questa˜o 5 (2 pontos). Uma fa´brica produz pec¸as meta´licas quadradas que possuem em
cada lado um acabamento composto por uma tira de borracha. O custo de fabricac¸a˜o de
cada pec¸a depende do tamanho desta, sendo resultado da soma dos seguintes custos:
• 10 reais por metro quadrado de metal utilizado na pec¸a;
• 1 real por metro da tira de borracha utilizada;
• 2 reais de ma˜o de obra por pec¸a, independente do tamanho da mesma.
Sabendo que um quadrado com x metros de lado possui a´rea igual a x2 metros quadrados,
responda:
a) Qual o custo para fabricar uma pec¸a que tenha 5 metros de lado?
Soluc¸a˜o: Esta pec¸a tera´ a´rea de 25 metros quadrados, logo o metal custara´ 250 reais;
Como sa˜o quatro lados com 5 metros cada, sera˜o necessa´rios 20 metros de borracha,
acrescentando 20 reais ao custo. Ha´ ainda os dois reais de ma˜o de obra, logo o custo
total da pec¸a sera´ de 250 + 20 + 2 = 272 reais.
b) Seja f(x) a func¸a˜o que nos da´ o custo para construir uma pec¸a com x metros de lado.
Encontre a lei da func¸a˜o f .
Soluc¸a˜o: f(x) = 10x2 + 4x + 2, pois a pec¸a com x metros de lado tera´ x2 metros
quadrados de a´rea, custando 10 reais cada, tera´ 4x metros de lado, custando 1 real
cada metro, e ocasionara´ ainda um custo de ma˜o de obra de 2 reais.
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