Matemática Unidade III

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MATEMÁTICA
Unidade III
7 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
7.1 Introdução
Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado, como massa, volume, capacidade, 
velocidade, tempo etc.
 Observação
Uma grandeza está sempre relacionada com alguma unidade: metro, 
quilo, horas etc.
7.2 Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, ao dobrarmos uma 
delas, a outra também dobrar; ao triplicarmos uma delas, a outra também triplicar e assim 
sucessivamente. Por exemplo:
Tabela 4
Quitanda do sr. Manoel
Preço do abacaxi
em unidades em reais
1 2,50
2 5,00
3 7,50
10 25,00
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: quantidade e preço. Observe que:
• ao dobrar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago também dobra;
• ao triplicar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago também triplica.
Logo, as grandezas expostas na tabela de quantidade e preço são diretamente proporcionais.
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Unidade III
Toda grandeza proporcional está associada a uma razão de proporcionalidade que se mantém 
constante em todas as relações das grandezas. Verifique os exemplos a seguir:
1
2
2 50
5 00
0 5
abacaxi
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
2
3
5 00
7 50
0 67
abacaxis
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
2
10
5 00
25 0
0 2
abacaxis
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
7.3 Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, ao dobrarmos uma delas, a 
outra se reduzir pela metade; ao triplicamos uma delas, a outra se reduzir a uma terça parte e assim 
sucessivamente. Por exemplo: todas as sextas-feiras, Antonio, um homem muito caridoso, distribui pães 
aos moradores de rua do centro de São Paulo, no início da noite. Ele sempre leva 120 pães para serem 
distribuídos. Ao chegar ao local, ele verifica o número de pessoas e divide os pães igualmente entre eles. 
Na tabela a seguir, podemos verificar a quantidade de pães que cada pessoa recebe:
Tabela 5
Quantidade de pessoas Quantidade de pães por pessoa
10 12
20 6
30 4
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: pessoas e pães. Observe que:
• ao dobrar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por pessoa cai pela metade;
• ao triplicar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por pessoa cai para a terça parte.
Portanto, as grandezas pessoas e pães são inversamente proporcionais. Veja o exemplo a seguir:
10
20
1
2
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
12
6
2
1
paes
paes
=
ã
ã
10
30
1
3
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
12
4
3
1
paes
paes
=
ã
ã
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30
2
3
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
6
4
3
2
paes
paes
=
ã
ã
7.4 Regra de três simples
A regra de três simples possibilita relacionar duas grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. A ideia principal dessa regra é, a partir de uma relação, obter um dos valores com base 
em três valores já conhecidos. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
Na quitanda do sr. Manoel, três quilos de batata custam R$ 5,00. Assim, quanto custaria 6,5 quilos 
de batata?
 
3,0 quilos ⇒ R$ 5,00
6,5 quilos ⇒ x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais e, assim, ao transferir a relação para a notação 
de razão, temos que:
3
6 5
5
,
=
x
3x = 5 . 6,50
x =
32 5
3
,
x=10,83
Desse modo, 6,5 quilos de batatas na quitanda do sr. Manoel custam R$ 10,83.
 Lembrete
As setas representam o sentido da proporcionalidade: setas 
de mesmo sentido indicam que as relações são diretamente 
proporcionais e setas de sentido contrário indicam que as relações 
são inversamente proporcionais.
Exemplo 2
O professor Isaac ministra aulas de Matemática e adora seus alunos. Para incentivá-los, costuma 
distribuir, de vez em quando, bombons aos alunos que realizam as tarefas de casa. Em sua última aula, o 
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professor levou 24 bombons para distribuir igualmente entre seus alunos. Ao chegar à sala de aula, ele 
constatou que apenas 3 alunos realizaram toda a tarefa de casa.
Nesse caso, cada aluno receberia 8 bombons, no entanto, o professor mudou de ideia e resolveu 
dividir os bombons também para os 3 alunos que fizeram a metade da tarefa. Assim, quantos bombons 
cada aluno receberá?
 
8 bombons ⇒ 3 alunos 
 x ⇒ 6 alunos
Note que as grandezas são inversamente proporcionais e, assim, ao transferir a relação para a 
notação de razão, temos que:
8 6
3
6 8 3
24
6
4
x
x
x
x
=
= ⋅
=
=
Logo, cada aluno receberá quatro bombons.
7.5 Regra de três composta
A regra de três composta possibilita relacionar mais do que duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
Na padaria onde o sr. Antonio compra pães para doar nas noites de sexta-feira, trabalham 8 homens 
que produzem 300 pães em 6 horas. Nos meses de julho de cada ano, 3 desses funcionários recebem 
férias, assim, permanecem trabalhando apenas 5 homens na padaria. Dessa forma, quantos pães são 
produzidos em 10 horas no mês de julho?
 
6 horas ⇒
10 horas ⇒
300 pães ⇒
 x ⇒
8 homens
5 homens
Observe:
• as grandezas horas e pães são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o número de horas, 
aumenta-se o número de pães produzidos;
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• as grandezas homens e pães também são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o 
número de homens, aumenta-se o número de pães produzidos.
Como as grandezas são diretamente proporcionais, vamos transferir a relação para a notação de razão:
300 6
10
8
5
300 48
50
48 300 50
15 000
48
312 5
x
x
x
x
= ⋅
=
= ⋅
= =
.
,
Portanto, no mês de julho, os cinco homens produzirão aproximadamente 313 pães em 10 horas.
Exemplo 2
Em uma marcenaria, sabe-se que 3 marceneiros fabricam 2 mesas em 11 dias. Assim, quantos dias 
levarão para 5 marceneiros fabricarem 4 mesas?
 
2 mesas ⇒
4 mesas ⇒
11 dias ⇒
 x ⇒
3 marceneiros
5 marceneiros
Observe que:
• as grandezas mesas e dias são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o número de 
mesas, leva-se mais dias para fabricá-las;
• as grandezas marceneiros e dias são inversamente proporcionais, já que, ao aumentar o número 
de marceneiros, diminui-se o número de dias para fabricar as mesas.
Assim, temos uma mistura de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Transferindo a 
relação para a notação de razão, temos:
11 2
4
5
3
11 10
12
10 11 12
132
10
13 2
x
x
x
x
= ⋅
=
= ⋅
= = ,
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Portanto, os 5 marceneiros levarão aproximadamente 13 dias para fabricar 4 mesas.
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos a respeito do tema, consulte:
SEITER, C. Matemática para o dia a dia. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
8 PORCENTAGEM
8.1 Porcentagens ou taxas percentuais
Porcentagem ou percentagemé qualquer razão centesimal, ou seja, é uma fração cujo 
denominador é 100.
As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de fração com denominador 100 
(percentual) ou na forma decimal. A ilustração a seguir representa a transformação da forma percentual 
para a unitária e vice-versa.
Forma percentual Forma unitária
÷ 100
× 100
Figura 80
 Observação
O símbolo % indica que o valor está sendo dividido por 100.
A passagem da forma percentual para a unitária (ou decimal) é feita como demonstrado a seguir:
30% = 30
100
= 0,30
4% = 4
100
 = 0,04
1% = 
1
100
 = 0,01
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115% =
15
100
= 1,15
135% = 
135
100
= 1,35
27,9 % = 
27 9
100
,
= 0,279
A passagem da forma unitária para a percentual, por sua vez, é como segue:
0,30 x 100 = 30%
0,04 x 100 = 4%
0,01 x 100 = 1%
1,15 x 100 = 115%
1,35 x 100 = 135%
0,279 x 100 = 27,9%
Exemplo 1
Quanto é 15,5% de R$ 2.500,00?
15,5% de R$ 2500,00 = 2.500 . 15 5
100
, = 387,5
Resposta: 15,5% de R$ 2.500,00 é R$ 387,50
Exemplo 2
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um acréscimo de 15,5%. Qual é o valor 
final do produto?
15,5% de R$ 2.500,00 = 2.500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
Acrescentar 15,5% em R$ 2.500,00: 2.500 + 387,5 = R$ 2.887,50
Resposta: o valor final do produto é R$ 2.887,50
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Exemplo 3
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um desconto de 15,5%. Qual é o valor final do produto?
15,5% de R$ 2.500,00 = 2.500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
Descontar 15,5% em R$ 2.500,00: 2.500 - 387,5 = R$ 2.112,50
Resposta: o valor final do produto é R$ 2.112,50
Exemplo 4
Num lote de 85 lâmpadas, 13 delas apresentaram defeito. A razão entre o número de lâmpadas 
defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:
13
87
0 1494 14 94
14 94
100
= = =, , %
,
O que significaria se o lote tivesse 100 lâmpadas e aproximadamente 15 delas estivessem com defeito?
O número 14 94
100
, é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas.
8.2 Fator multiplicativo
A fórmula geral do fator multiplicado é expressa por:
• fator multiplicativo de aumento: Valor . (1 + p);
• fator multiplicativo de desconto: Valor . (1 - p).
Veja a aplicação do conceito no seguinte exemplo: se uma bolsa, inicialmente, vendida a R$ 32,00 
tiver seu preço aumentado em 20%, ela passaria a custar R$ 38,40, como nos mostram os cálculos:
• um aumento de 20% sobre 32 é igual a 0,2 . 32 = 6,4;
• assim, o novo preço passaria a ser de 32 + 6,4 = 38,4.
Frente ao exposto, poderíamos simplesmente fazer:
 32 + 0,2 . 32 = 32.(1+0,2) = 32 . 1,2 = 38,40
 
preço 
inicial
aumento preço final
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Perceba que o preço inicial foi multiplicado por 1,2. Esse é o fator multiplicativo de aumento.
Poderíamos ainda ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto:
Valor . (1 + p)
32 . (1 + 0,2) = 32 . 1,2 = 38,4
Assim, se estivéssemos um aumento de:
• 30%: multiplicaríamos o preço original por 1,3.
• 16%: multiplicaríamos o preço original por 1,16.
• 5%: multiplicaríamos o preço original por 1,05.
Se, por outro lado, houvesse uma liquidação na qual fosse anunciado um desconto de 20% sobre o 
preço original da bolsa, o cálculo seria:
 32 – 0,2 . 32 = 32.(1 – 0,2) = 32 .0,8 = 25,60
preço 
inicial
desconto preço final
Note que o preço inicial foi multiplicado por 0,8. Esse é o fator multiplicativo de desconto.
Também poderíamos ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto. Veja:
Valor . (1 – p)
32 . (1 – 0,2)=32 . 0,8 = 25,6
Assim, se tivéssemos um desconto de:
• 30%: multiplicaríamos o preço original por 0,7.
• 16%: multiplicaríamos o preço original por 0,84.
• 5%: multiplicaríamos o preço original por 0,95.
Exemplo 1
Um carro modelo Prisma 1.4 com motor flex, ar-condicionado, direção elétrica, controle de velocidade 
e bluetooth custa R$ 58.000,00. Devido à redução do IPI (Imposto sobre Produtos Industrializados) de 
2,0% qual será o valor a ser pago pelo carro?
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Inicialmente, devemos calcular o fator de multiplicação para desconto:
• Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto IPI (forma decimal)
• Fator de multiplicação = 1 – 0,02
• Fator de multiplicação = 0,98
Para sabermos o valor do Prisma, já com desconto de 2%, basta multiplicar o valor do carro pelo 
fator de multiplicação.
R$ 58.000,00 x 0,98 = R$ 56.840,00
O Prisma irá custar R$ 56.840,00
Exemplo 2
O salário mínimo de um trabalhador, no ano de 2016, sofreu um aumento de 11,68%. Sabendo que, 
no ano de 2015, o salário mínimo era de R$ 788,00, qual será o valor para 2016?
Inicialmente, devemos calcular o fator de multiplicação para aumento:
• Fator de multiplicação = 1 + taxa de aumento (forma decimal)
• Fator de multiplicação = 1 + 0,1168
• Fator de multiplicação = 1,1168
O valor em reais do salário mínimo, em 2016, será dado pelo produto do fator de multiplicação por 
R$ 788,00.
R$ 788,00 x 1,1168 = R$ 880,00
O valor do salário mínimo, em 2016, será R$ 880,00
8.3 Taxa percentual de variação
A taxa percentual de variação entre dois valores pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
diferença de valores
valor antigo
Nela, a diferença de valores é a subtração do maior valor pelo menor dividido pelo valor mais antigo 
no tempo. Observe os exemplos a seguir:
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 Lembrete
Quando o exercício pede a taxa percentual, não se pode esquecer de 
multiplicar o resultado por 100.
Exemplo 1
Um livro que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual de aumento?
Para efetuarmos esse cálculo:
diferença de valores
valor antigo =
−
= = =
30 24
24
6
24
0 25 25, %
Portanto, a taxa percentual de aumento foi de 25%.
Exemplo 2
Após dois meses, o livro que estava custando R$ 30,00 voltou a ser vendido por R$ 24,00. Qual foi 
a taxa percentual de desconto?
Para realizarmos esse cálculo:
diferença de valores
valor antigo =
−
= = =
30 24
30
6
30
0 2 20, %
Desse modo, a taxa percentual de desconto foi de 20%.
8.4 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de 
venda e o preço de custo.
lucro = preço de venda – preço de custo
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
lucro sobre o custo = 
lucro
 
preço de custo
 . 100%
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lucro sobre a venda = lucro
preço de venda
 . 100%
Exemplo 1
Uma loja compra determinado artigo à vista por R$ 540,00 e o revende por R$ 594,00.
a) Qual o percentual do lucro calculado sobre o preço de custo?
Lembrando que lucro = preço de venda – preço de custo, podemos reescrever a equação da seguinte 
forma:
preço de venda preço de custo
lucro sobre o custo 100%
preço de custo
594 540
lucro sobre o custo 100%
540
−
= ⋅
−
= ⋅
lucro sobreo custo = 10%
O percentual do lucro sobre o preço de custo é de 10%
b) Qual o percentual do lucro sobre o preço de venda?
Utilizando o mesmo raciocínio da letra a, temos:
preço de venda preço de custo
lucro sobre a venda 100%
preço de venda
594 540
lucro sobre a venda 100%
594
−
= ⋅
−
= ⋅
lucro sobre a venda = 9,09% 
Logo, o percentual do lucro sobre o preço de venda é de 9,09%.
A diferença no lucro, quando este é calculado sobre o preço de custo e sobre o preço de venda, é um 
ponto importante a ser observado.
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Mas, antes de observarmos essa diferença, vale destacar alguns conceitos preliminares:
• custo é o valor bruto do produto e/ou serviço, ou seja, é o valor do produto sem adicionar qualquer 
ganho;
• lucro é o valor adicionado ao valor bruto do produto e ele representa o ganho pela fabricação e/
ou comercialização do produto;
• preço de venda é o valor final do produto a ser oferecido ao consumidor.
preço de venda = custo + lucro
O preço de venda pode ser calculado com um lucro sobre o custo ou sobre o valor de venda.
Vejamos essa diferença a partir do seguinte exemplo: uma loja de equipamentos de informática 
comprou um notebook básico por R$ 1.500,00. Se o lucro for de 25% sobre o preço de custo desse 
equipamento, por quanto ele deverá ser vendido?
Para realizar esse cálculo, adote: V = C + L, onde V é o preço de venda, C é o preço de custo e L é o lucro.
Após substituir os valores dados, teremos:
V = C + 25% sobre o custo
V = 1.500 + 0,25 x 1.500
V = 1.500 + 375 = 1.875
Portanto, o preço de venda será de R$ 1.875,00, calculado com base no lucro sobre o custo.
Entretanto, se o lucro for sobre o preço de venda, por quanto o notebook deverá ser vendido?
Nesse caso, temos que o preço de venda será:
V = C + 25% sobre o preço de venda
V = C + 0,25.V
V - 0,25.V = C
V(1- 0,25) = C
V(0,75) = C
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V
C
=
0 75,
Após substituir os valores dados, teremos:
V = =
1 500
0 75
2 000
.
,
.
Portanto, se calculado com base no lucro sobre o preço de venda, este será de R$ 2.000,00.
Note que existe uma diferença de R$ 125 entre os lucros, já que 2.000 – 1.875 = 125.
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos sobre aplicações do conceito de 
porcentagem, consulte:
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: 
Saraiva, 1998.
Usando as fórmulas a seguir, é possível efetuar esses cálculos diretamente.
Quadro 6
Lucro sobre preço de custo Lucro sobre preço de venda
venda = custo (1 + p%)
(p% é a porcentagem de lucro)
venda
custo
p
=
−( %)1
(p% é a porcentagem de lucro)
 Resumo
Nesta unidade, trabalhamos com regra de três simples e composta 
enfatizando grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
A ideia principal da regra de três simples é, a partir de uma relação direta 
ou inversa, obter um dos valores com base em três valores já conhecidos.
Já na regra de três composta é possível relacionar mais do que duas 
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo para 
resolver a regra de três composta é o mesmo da regra de três simples, 
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quebrando o problema em várias partes e analisando-o separadamente em 
relação à incógnita, isto é, o valor que queremos achar e verificar se é 
diretamente ou inversamente proporcional.
Posteriormente vimos porcentagem ou percentagem, que é qualquer 
razão centesimal, ou seja, é uma fração cujo denominador é 100. As 
porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de 
fração com denominador 100 (percentual) ou na forma decimal. Para 
calcularmos decréscimos, descontos, aumentos, acréscimos, diminuição, 
redução ou inflação, podemos utilizar o fator de multiplicação.
Vale ressaltar ainda a importância de se estudar o lucro sobre preço de 
custo e sobre o preço de venda.
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2011) Para tentar liquidar o estoque de televisores cujo valor oferecido no 
crédito, após acréscimo de 20% sobre o valor da tabela, era de R$ 1.320,00, uma loja lançou uma 
nova campanha de vendas que ofereceu as seguintes condições promocionais, com base no valor 
da tabela:
Opção I – uma entrada de 25%, e o restante em 5 parcelas iguais e mensais; ou
Opção II – uma entrada de 60%, e o restante em 8 parcelas iguais mensais.
O cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela
A) R$ 55,00, se escolher a opção II.
B) R$ 66,00, se escolher a opção I.
C) R$ 192,50, se escolher a opção II.
D) R$ 198,00, se escolher a opção II.
E) R$ 275,00, se escolher a opção I.
Resposta correta: alternativa A.
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Unidade III
Análise das alternativas
Justificativa geral: o preço inicial do televisor corresponde a 100% do valor da tabela, porém sofreu 
um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial. Assim, para o fator de multiplicação 
F teremos:
120
F 1,2
100
= =
Lembrando que o fator de multiplicação é um número que deverá ser multiplicado pelo valor da 
aplicação inicial. Sendo x o preço da tabela, neste caso, fazemos:
(x + 0,2x) = 1.320
x (1 + 0,2) = 1.320 
1,2x = 1.320
1.320
x 1.100
1,2
= =
Vamos verificar as opões:
Opção I – Uma entrada de 25% do valor da tabela é dada:
0,25 . 1.100 = 275,00
Esse valor de entrada será descontado do valor do produto:
1.100,00 - 275,00 = 825,00
O restante será dividido em 5 parcelas iguais de R$ 165,00. O cálculo será: 825 � 5 = 165.
Opção II – Nessa situação, a entrada é de 60% do valor da tabela:
0,60 . 1.100 = 660,00
Esse valor de entrada será descontado do valor do produto:
1.100,00 - 660,00 = 440,00
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MATEMÁTICA
O restante será dividido em 8 parcelas iguais de R$ 55,00:
440 � 8 = 55,00
Questão 2. (Enade 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, 
de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três 
lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha 
pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00.
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver 
o problema: a partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o 
preço da caneta, do lápis e da borracha? Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas 
incógnitas são os preços das mercadorias.
Esse sistema de equações é:
A) Possível determinado, sendo o preço da borracha maior que o do lápis.
B) Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
C) Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, do lápis e da 
borracha.
D) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da 
borracha é igual a cinco vezes o preço do lápis subtraído de R$ 9,00.
E) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da 
borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00.
Resolução desta questão na plataforma.
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REFERÊNCIAS
Textuais
BELLOS, A. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. São Paulo: 
Companhia das Letras, 2011.
BONORA JUNIOR., D.; ALVES, J. B. Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências 
contábeis, administração e economia. São Paulo: Ícone, 2000.
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2006.
FUNÇÃO de 1º grau. Só matemática, 2017. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/
funcao1/funcao1.php>. Acesso em: 5 jun. 2017.
IEZZI, G.; DOLCE, O. Matemática – ciência e aplicação. 4. ed. São Paulo: Atual, 2006.
MORETTIN, P.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. Introdução ao cálculo para administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: Saraiva, 1998.
RIBEIRO, A. G. Regra de Sarrus. Brasil Escola, [s.d.]. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/
matematica/regra-sarrus.htm>. Acesso em: 7 jun. 2017.
SEITER, C. Matemática para o dia a dia. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
SILVA, S. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
___. et al. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: 
Saraiva, 2007.
SISTEMAS lineares. Só matemática, 2017. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/
sistemas/sistemas3.php>. Acesso em: 7 jun. 2017.
Sites
<http://ecalculo.if.usp.br/>.
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2011: Matemática. Questão 
20. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2011/MATEMATICA.
pdf>. Acesso em: 9 maio 2017.
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Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2011: Matemática. Questão 
18. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2011/MATEMATICA.
pdf>. Acesso em: 9 maio 2017.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2011: Matemática. Questão 
16. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2011/MATEMATICA.
pdf>. Acesso em: 9 maio 2017.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2011: Matemática. Questão 
19. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2011/MATEMATICA.
pdf>. Acesso em: 9 maio 2017.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2011: Matemática. Questão 
15. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2011/MATEMATICA.
pdf>. Acesso em: 9 maio 2017.
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2014: Matemática. 
Questão 11. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2014/33_
matematica_bacharelado.pdf>. Acesso em: 9 maio 2017.
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000