Exercicios teoria das organizações

Prévia do material em texto

Gabarito Lista 2
Teoria das Organizações e Contratos
Professor: Humberto Moreira
Monitor: Francisco Costa (fcosta@fgvmail.br)
1. Ver Bolton, Dewatripont seção 2.2.
2. a) Suponha um comtrato (Ij ; Dj) pooling que dê lucro zero às seguradoras. Neste caso,
Ij = [p1� + P2 (1� �)] (L�Dj) :
Neste caso, uma seguradora inativa pode ter lucro positivo entrando no mercado com um contrato (Ik; Dk)
que tenha um menor prêmio e maior franquia. Para isso o contrato deve atrair somente indivíduos de baixo
risco:
p1u (w � Ik �Dk) + (1� p1)u (w � Ik) � p1u (w � Ij �Dj) + (1� p1)u (w � Ij)
p2u (w � Ik �Dk) + (1� p2)u (w � Ik) < p2u (w � Ij �Dj) + (1� p2)u (w � Ij)
Somando a segunda com a primeira,
(p2 � p1) [u (w � Ij �Dj)� u (w � Ik �Dk)] � (p2 � p1) [u (w � Ij)� u (w � Ik)]
como p2 > p1; é possível encontrar um contrato que respeite estas equações. Para vermos que este contrato
terá lucro positivo, suponha que o novo contrato seja muito próximo ao pooling. Neste caso, a seguradora
terá praticamente o mesmo lucro (estritamente positivo) com os indivíduos de baixo risco e não terá prejuízo
com os de alto risco.
Logo, não existe equilíbrio pooling.
b) Se existe algum equilíbrio, este é separador pois, como vimos em (a), não há equilíbrio pooling. O contrato
do tipo mais arriscado receberá seguro total pois, como o tipo risco-baixo não tem incentivo a se passar por
risco alto, não tem necessidade de distorcer o agente risco-alto. Neste caso, seu contrato será D2 = 0 e
I2 = p2L.
Neste caso o contrato dos agentes de baixo risco deve ser tal que os agentes de alto-risco não os invejem.
Neste caso(I1; D1) é a solução de:
max
fI1;D1g
p1u (w �D1 � I1) + (1� p1)u (w � I1)
sa:I1 � p1(L�D1)
u (w � I2) � p2u (w �D1 � I1) + (1� p2)u (w � I1)
c) Quando a proporção de indivíduos de alto risco é pequena, isto é � ! 1, indivíduos de baixo risco
poderiam estar melhor com um contrato do tipo pooling. A idéia é que estes agentes preferem subsidiar
agentes arriscados em um contrato pooling a ter um contrato que os separe. Neste caso, uma …rma pode ter
lucro positivo oferecendo um contrato desse tipo. Como vimos que não existe equilíbrio pooling, o problema
pode não ter equilíbrio.
3. No caso de informação simétrica, o salário pago pelo principal dá ao agente exatamente sua utilidade
reerva. Se o principal quer induzir esforço baixo, 100 � 10w = 0 ) w = 0; 1 e o lucro do principal é
� = 14 � 20 � 0; 1 = 4; 9. Se o principal que induzir esforço alto, 100 � 10w � 2 = 0 ) w = 1098 e seu lucro é
� = 34 � 20� 1098 = 14; 89.
Com informação simétrica, o principal oferece um contrato com base no resultado (wS ; wF ). O principal
resolve
1
max
wS ;wF
0; 25 � (20� wF ) + 0; 75 � (20� wS)
s:a:0; 25 � �100� 10
wF
� 2�+ 0; 75 � �100� 10
wS
� 2� � 0
0; 25 � �100� 10
wF
� 2�+ 0; 75 � �100� 10
wS
� 2� �
� 0; 75 � �100� 10
wF
�
+ 0; 25 � �100� 10
wS
�
Sabemos que ambas as restrições são ativas, logo resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas:
3
wS
+
1
wF
=
392
10
e
1
wF
� 1
wS
=
4
10
Assim temos (wS ; wF ) = ( 1097 ;
10
101 ). O lucro esperado do principal é � = 0; 75� (20� 1097 )�0; 25� 10101 , é maior
que o lucro quando é exigido esforço baixo.
4. A utilidade esperada da …rma se esforçar deve ser maior que sua utilidade esperada caso ela não se esforce
(IC):
�1
�
tH � 1
2
1
�
+ (1� �1)
�
tL � 1
2
1
�
� �0
�
tH � 1
2
0
�
+ (1� �0)
�
tL � 1
2
0
�
�1tH + (1� �1) tL � 1
2
� �0tH + (1� �0) tL
A …rma também não pode ter utilidade menor sob o contrato do que fora do contrato (IR):
�1tH + (1� �1) tL � 1
2
� 0
tH =
1
2 � (1� �1) tL
�1
Substituindo na (IC):
(�0 � �1) tL = 1
2
+ (�0 � �1)
1
2 � (1� �1) tL
�1
(�0 � �1) tL
�
�1 + (1� �1)
�1
�
=
1
2
+ (�0 � �1)
1
2
�1
tL
�0 � �1
�1
=
1
2
�
1 +
�0 � �1
�1
�
=
1
2
�0
�1
tL =
1
2
�0
�0 � �1
5.
a) Seja q a probabilidade de o indivíduo ser selecionado para fazer o teste e f a multa caso seja pego bêbado.
Assumo que o teste é perfeito. A utilidade esperada de um motorista que não bebe é u(eN ). A utilidade
esperada de um motorista que bebe é (1� q) � u(eB) + q � [u(eB)� f ] = u(eB)� q � f . É razoável supor que
u(eB) > u(eN ), caso contrário ninguém beberia. Portanto, para que a política seja e…caz é necessário que a
restrição u(eN ) � u(eB)� q � /f seja satisfeita.
b) Seja P (eB) a probabilidade de ocorrer um acidente quando bêbado. Esta política é e…caz se u(eN ) �
u(eB)� P (eB) � /f . Ou seja, para uma dada multa é preciso que P (eB) > q.
2
c) O fato de o acidente ter vítimas ou não tem relação com a vontade do governo de coibir acidentes. Se o
objetivo é controlar o consumo de bebida, por que usar uma proxy do nível de alcoólico quando este pode
ser observado diretamente?
d) Multar motoristas sóbrios só torna a bebida mais atrativa ou, pelo menos, menos custosa.
e) Se o objetivo do mecanismo é induzir determinada ação, apenas a parte informativa dos sinais disponíveis
devem ser consideradas. O resto (houve ou não vítimas etc) é apenas ruído.
6.
a) Seleção adversa.
b) Perigo moral.
c) Seleção adversa.
d) Seleção adversa.
7. F V V F F.
8. a) Payo¤
�(�) = vi � bi, se bi > b�i
�(�) =
vi � bi
2
, se bi = b�i
�(�) = 0,c.c
Payo¤ esperado
�(x) = (vi � b(x)) � P (x > b�i) = (vi � b(x)) � F (x) (1)
�0(x) = (vi � b(x)) � f(x)� b0(x) � F (x) = 0
Repare que:
(b(x) � F (x))0 = b0(x) � F (x) + b(x) � f(x)
Substituindo (1)
(b(x) � F (x))0 = vi � f(x)
Integrando
b(v) � F (v) =
Z v
0
x � f(x)dx+ cte
lim
v!0
b(v) � F (v) = 0 ) cte = 0
Logo o lance ótimo do comprador é
b�(vi) =
R vi
0
x � f(x)dx
F (vi)
, se vi > 0:
b�(0) = 0
3
A receita esperado do leiloeiro é
R1 = Efmax [b�(v1); b�(v2)]g
R1 =
Z 1
0
2:b�(v):f(v):F (v)dv
Pois a densidade do maior valor dentre n valores é n:f(v):F (v)n�1.
b) Suponha que o lance ótimo do comprador seja b(vi) < vi. Neste caso, se b(vi) = max [b�(v1); b�(v2)] ou
b(vi) < vi < max [b
�(v1); b�(v2)], então ui(b(vi); vi) = ui(vi; vi). Agora, caso b(vi) < max [b�(v1); b�(v2)] < vi,
então ui(b(vi); vi) < ui(vi; vi): Logo o lance ótimo deve ser tal que b(vi) � vi.
Repare que b(vi) > vi também não é ótimo pois, caso b(v�i) > vi;o agente …ca com utilidade negativa.
Portanto o lance ótimo do comprador é b�(vi) = vi. Sua utilidade esperada é então
�(x) = (vi � b�i) � P (b(x) > b�i)
A receita esperada do leiloeiro é
R2 =
Z 1
0
2:v:f(v):(1� F (v))dv
Pois a densidade do segundo maior valor dentre n valores é n:(n� 1):f(v):F (v)n�2:(1� F (v))n�1.
4