EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ARQUIVO 1 2015

Prévia do material em texto

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.1 DEFINIÇÕES E CONCEITOS BÁSICOS
	
	Uma equação diferencial é uma equação envolvendo uma função e uma ou mais de suas derivadas. Se a função tem apenas uma variável independente, a equação é uma equação diferencial ordinária.
Por exemplo,
é uma equação diferencial ordinária na qual a variável dependente y = f(x) é uma função duas vezes diferenciável de x. Uma equação envolvendo uma função de várias variáveis e suas derivadas parciais é uma equação diferencial parcial.
	Além do tipo (ordinária ou parcial), equações diferenciais são classificadas pela ordem. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de ordem mais alta na equação.
Exemplo 1 – Classificação de equações diferenciais
 Equação			 Tipo			Ordem
(a) 
		Ordinária		 3
(b) 
		Ordinária		 2
(c) 
		Ordinária		 1
(d) 
		Parcial			 2
(e) 
		Ordinária		 1
	Resolver ou integrar uma equação diferencial é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis livres que, substituída na equação, transforme-a numa identidade.
Existem vários tipos de solução de uma equação diferencial, a saber:
Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da orem da equação. Dessa forma, uma equação de 1ª ordem apresenta apenas uma constante arbitrária em sua solução geral. Uma de 2ª ordem apresentará duas constantes e assim por diante.
Solução particular: é a solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias. Soluções particulares de uma equação diferencial podem ser obtidas através de condições iniciais, que dão o valor da variável dependente ou de uma de suas derivadas para um valor particular da variável independente.
Solução singular: é a solução da equação, que não pode, porém, ser deduzida da solução geral. Assim sendo, apenas alguns tipos de equações apresentam essa solução.
Exemplo 2 – Verificação de solução
Determine se as funções dadas são soluções da equação diferencial 
, ou seja, 
.
(a) 
	
	
(b) 
	
	
(c) 
	 
	Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem representa uma família de curvas conhecidas como curvas-solução, uma para cada valor da constante arbitrária. Podemos verificar facilmente que toda função da forma 
 é solução da equação diferencial 
. A figura mostra algumas curvas-solução para valores diferentes de C.
LISTA DE EXERCÍCIOS - I
Nos exercícios de 1 a 6, classifique a equação diferencial de acordo com o tipo e a ordem.
�
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
�
Nos exercícios de 7 a 9, mostre que a função dada é solução da equação diferencial indicada.
7) 
8) 
9) 
Nos exercícios de 10 a 12, verifique se a função dada é solução da equação diferencial indicada. 
10) 
11) 
12) 
Respostas:
Ordinária – Ordem 1.
Ordinária – Ordem 2.
Ordinária – Ordem 4.
Ordinária – Ordem 2.
Parcial – Ordem 1.
Ordinária – Ordem 2.
10. Não.
11. Sim.
12. Sim.
�
�
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
2.1 Método de separação de variáveis:
	Vamos começar a estudar, técnicas para resolver certos tipos específicos de equações diferenciais. Vamos começar resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser escrita na forma
 ou 
onde M é uma função contínua que depende apenas de x e N é uma função contínua que depende apenas de y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.
	Uma equação de variáveis separáveis podem ser:
Apenas funções de uma variável;
Produtos com fatores de uma só variável;
Constantes.
Exemplo: 
 Resolver as seguintes equações:
Encontre a solução particular da equação 
que satisfaz a condição inicial 
�
LISTA DE EXERCÍCIOS - II
Integre para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
Respostas:
a) 
b) 
c) 
d) 
 
e) 
f) 
Resolva as equações diferenciais:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
�
�
Respostas: 
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
O custo de certa peça de maquinaria é R$ 700,00 e seu valor é depreciado com o tempo, de acordo com a fórmula 
 , onde V é o seu valor t anos após a compra. Qual o valor da peça três anos após sua compra? (Resp. R$ 325,00)
Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por 
, onde t é o tempo em dias. No instante t = 0, existem 1000 bactérias.
Escreva uma equação para a população P em função do tempo t.
P(t) = 1000[1+ln(1+0,25t)12]
Qual será a população após 3 dias?
aproximadamente 7715
Após quantos dias a população terá aumentado para 12.000 bactérias?
aproximadamente 6 dias
Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 0,5 henry e a resistência é de 10 Ohms. Determine a corrente i considerando-se que a corrente inicial é nula. Dica: Use a Segunda Lei de Kirchhoff: 
Resp. i(t) = 1,2 – 1,2e–20t
A disseminação de uma doença infecciosa em uma população pode ser modelada pela equação 
, onde y é a porcentagem da população exposta à doença e t é o tempo em anos.
Resolva essa equação diferencial, supondo que y(0) = 0. R: 1–y = e –0,25t
Determine o tempo em anos para que metade da população seja exposta à doença. R: aproximadamente 2,8 anos
Determine a porcentagem da população exposta à doença após 4 anos.
R. aproximadamente 63%
�PAGE �
�PAGE �3�
_1326975710.unknown
_1485264746.unknown
_1485265415.unknown
_1501016669.unknown
_1501016685.unknown
_1501016725.unknown
_1486304054.unknown
_1486304057.unknown
_1486304058.unknown
_1486304055.unknown
_1485265416.unknown
_1485264895.unknown
_1485265080.unknown
_1485265140.unknown
_1485264993.unknown
_1485265028.unknown
_1485264948.unknown
_1485264788.unknown
_1485264858.unknown
_1485264773.unknown
_1485264559.unknown
_1485264714.unknown
_1485264731.unknown
_1485264583.unknown
_1485264496.unknown
_1485264523.unknown
_1326975782.unknown
_1216559674.unknown
_1232087867.unknown
_1263742158.unknown
_1326640627.unknown
_1326640655.unknown
_1263742285.unknown
_1232089595.unknown
_1263742065.unknown
_1263742116.unknown
_1232089658.unknown
_1232089716.unknown
_1232089761.unknown
_1232089670.unknown
_1232089621.unknown
_1232088232.unknown
_1232089572.unknown
_1232087895.unknown
_1232087793.unknown
_1232087829.unknown
_1232087847.unknown
_1232087810.unknown
_1217165917.unknown
_1217165940.unknown
_1217165876.unknown
_1214640146.unknown
_1214659440.unknown
_1216559521.unknown
_1216559632.unknown
_1214659484.unknown
_1216558722.unknown
_1214659461.unknown
_1214640218.unknown
_1214659391.unknown
_1214640178.unknown
_1214640049.unknown
_1214640098.unknown
_1152868510.unknown