calculo aula 4

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Cálculo Aplicado 
Aula 4 
 
 
Prof. Nelson Castanheira 
 
 
 
 
 
 
 
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Conversa inicial 
Olá, bem-vindo a aula 4 de Cálculo Aplicado. 
Estudamos como proceder para a coleta de dados em uma pesquisa. 
Verificamos que uma das formas de apresentar esses dados, de forma 
organizada, é em uma tabela. Essa tabela, por sua vez, pode gerar um gráfico 
que dá uma visão mais clara dos resultados obtidos na pesquisa. 
No material online, o professor Nelson Castanheira apresenta os 
temas que serão abordados nesta aula. Não perca! 
Contextualizando 
Sabemos que a Estatística nos permite calcular medidas de tendência 
central e medidas de dispersão, a partir dos dados coletados em uma pesquisa. 
Esses cálculos partem de dados que foram organizados e dispostos em tabelas. 
A partir de uma tabela podemos representar graficamente os resultados da 
pesquisa. 
Você sabe construir qualquer tipo de gráfico? 
Você sabe analisar um gráfico? 
Você sabe interpretar um gráfico? 
É sobre isso que estudaremos nessa aula! Para começar, consulte o 
material sobre Séries Estatísticas a seguir: 
Vamos agora falar um pouco sobre Séries Estatísticas? Você sabe o que 
é isso? Uma série estatística nada mais é que uma tabela à qual é associada 
um critério que a especifica. 
Assim, temos: 
Série temporal, que é aquela cujo critério que a especifica é o tempo; 
Série geográfica, que é aquela cujo critério que a especifica é o local; 
Série específica, que é aquela cujo critério que a especifica é o fato (o 
fenômeno em observação); 
Série mista, que é aquela na qual temos dois ou três critérios (dentre 
tempo, local e fato) simultaneamente presentes. 
 
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Uma série estatística, ou seja, uma tabela, resume perfeitamente o 
resultado de uma pesquisa qualquer que tenha sido o critério adotado. Mas há 
pessoas que preferem visualizar esses resultados em um gráfico. Assim, é 
comum utilizarmos os dados de uma tabela para construir o gráfico 
correspondente. 
Que tipo de gráfico utilizar? Isso é você quem decide. Utilize o gráfico de 
sua preferência, dentre aqueles que consegue construir com facilidade utilizando 
as ferramentas do software instalado em seu computador. Os mais utilizados 
são: o de setores (conhecido como pizza), o de colunas, o de barras e o de 
linhas. Há, ainda, o chamado histograma, que é um gráfico construído a partir 
de um gráfico de colunas. 
Para exemplificar, vamos supor a tabela a seguir, onde representamos 
uma distribuição de frequências com os resultados de uma prova realizada por 
80 pessoas, cujas notas variaram de 0 a 10 em intervalos de 1 ponto. 
Resultados da prova de Estatística Aplicada 
Notas (Xi) Frequência (fi) 
 0 1 4 
 1 2 8 
 2 3 10 
 3 4 12 
 4 5 12 
 5 6 14 
 6 7 10 
 7 8 5 
 8 9 3 
 9 10 2 
Fonte: dados obtidos em uma turma do 2º ano de Administração do Centro Universitário 
Uninter 
 
Para a representação gráfica desse resultado, veja os gráficos de 1 a 3. 
 
 
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Gráfico 1 – Exemplo de gráfico de colunas 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
 
Gráfico 2 – Exemplo de gráfico de barras 
 
Fonte: elaborado pelo autor 
 
 
Gráfico 3 – Exemplo de gráfico de setores (pizza) 
4
8 10
12 12 14 10
5 3 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
N
Ú
M
ER
O
 D
E 
A
LU
N
O
S
NOTAS OBTIDAS
NOTA OBTIDA NA PROVA DE 
ESTATÍSTICA
0 a 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 9 a 10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Número de alunos
N
o
ta
s 
d
o
s 
al
u
n
o
s
Número de alunos por nota
0 a 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 9 a 10
 
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Fonte: elaborado pelo autor 
Tema 1: Construção e Tipos de Gráficos 
 
Gráfico é uma representação do resultado de uma pesquisa a partir de 
dados coletados, ordenados e dispostos em uma tabela. Há vários tipos de 
gráficos, mas nessa aula estudaremos somente os mais utilizados na Estatística. 
O propósito de se transformar uma tabela em um gráfico é permitir uma rápida e 
fácil visualização dos resultados, o que torna a análise e a interpretação desses 
resultados mais objetiva. 
Construção de um gráfico 
Os gráficos podem ser classificados em cinco tipos básicos: diagramas, 
cartogramas, organogramas, fluxogramas e estereogramas. 
Nos limitaremos aqui ao estudo dos diagramas, que se dividem em 
gráficos de linhas e de superfície. Os gráficos de linhas, por sua vez, se 
subdividem em poligonais e curvas. Os gráficos de superfícies se subdividem em 
gráfico de colunas, de barras, de setores (pizza) e histograma. 
Para a construção de um gráfico, precisamos conhecer seus principais 
aspectos e elementos: 
 
4
8
10
12
12
14
10
5
3 2
Resultados da prova de Estatística
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 
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a. Título na parte superior, devidamente numerado; 
b. Legenda na parte inferior, utilizada para identificação e explicação sucinta 
do conteúdo; 
c. Eixos com o nome ou o símbolo das variáveis neles representadas; 
d. A escala do gráfico, normalmente representada da esquerda para a direita 
no eixo horizontal e de baixo para cima no eixo vertical. 
Um gráfico construído com esses elementos torna-se autoexplicativo. 
Construindo um gráfico de colunas 
Como exemplo, suponhamos que fizemos uma pesquisa da velocidade 
instantânea de um corpo em seis diferentes momentos de observação e 
obtivemos os seguintes dados, representados na tabela. 
 Velocidade instantânea de um veículo 
 Momentos Velocidade instantânea (km/h) 
 
 1 38 
 2 50 
 3 62 
 4 45 
 5 30 
 6 28 
 
 
Para a construção do gráfico correspondente à tabela, vamos representar 
no eixo X (o eixo horizontal) os seis momentos de observação e no eixo Y (o eixo 
vertical) a velocidade instantânea do corpo no momento da observação. 
 
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Construindo um gráfico de barras 
Como exemplo, suponhamos que fizemos uma pesquisa da quantidade 
de alunos matriculados em seis diferentes cursos de uma Universidade na 
modalidade a distância e obtivemos os seguintes dados, representados na 
tabela. 
 
Alunos matriculados em seis cursos de uma Universidade 
 Cursos Alunos matriculados 
 Administração 4.584 
 Ciências Contábeis 3.455 
 Pedagogia 9.408 
 Letras – Português 2.144 
 Engenharia Mecânica 3.401 
 Engenharia de Produção 6.677 
 
38
50
62
45
30
28
0
10
20
30
40
50
60
70
Momento 1 Momento 2 Momento 3 Momento 4 Momento 5 Momento 6
V
e
lo
c
id
a
d
e
 i
n
s
ta
n
tâ
n
e
a
 (
k
m
/h
)
Momentos da medição
G r á f ico 4 - Ve l o c ida de i n s t an tân ea d e u m ve í c u l o 
 
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Para a construção do gráfico correspondente à tabela, vamos representar 
no eixo X (o eixo horizontal) a quantidade de alunos matriculados e no eixo Y (o 
eixo vertical) os seis cursos pesquisados. 
 
Construindo um gráfico de setores (pizza) 
Como exemplo, vamos representar a população de cada uma das regiões 
geográficas do Brasil. Obtivemos os seguintesdados, representados na tabela. 
 
População nas regiões geográficas do Brasil em 01/07/2013 
 Região geográfica População 
 Norte 16.983.484 
 Nordeste 55.794.707 
 Centro-oeste 14.993.191 
 Sudeste 84.465.570 
 Sul 28.795.762 
 TOTAL 201.032.714 
 
 
4584
3455
9408
2144
3401
6677
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Administração
Ciências Contábeis
Pedagogia
Letras – Português
Engenharia Mecânica
Engenharia de Produção
Alunos matriculados na modalidade a distância
C
u
rs
o
s
 p
e
s
q
u
is
a
d
o
s
Gráfico 5 - Alunos matriculados em seis cursos de uma 
Universidade 
 
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Para a construção do gráfico correspondente à tabela, vamos representar 
em cada fatia da pizza (setor) a população das cinco regiões geográficas do 
Brasil. 
 
Observe que cada divisão da pizza tem o tamanho proporcional do valor 
que ela representa. 
Construindo um histograma 
Para a construção de um histograma, suponhamos que o resultado de um 
teste de Estatística, aplicado a uma turma de 69 alunos, foi o representado na 
tabela. 
 
 
16.983.484; 8,45%
55.794.707; 27,75%
14.993.191; 7,46%
84.465.570; 42,02%
28.795.762; 14,32%
Gráfico 6 - População brasileira em 01 de julho de 2013
Norte Nordeste Centro-oeste Sudeste Sul
 
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O Histograma consiste em uma sucessão de colunas (retângulos), como 
o representado no gráfico 7. Observar que no eixo horizontal representamos as 
classes (ou intervalos) dos valores obtidos em uma pesquisa e no eixo vertical 
representamos a frequência de ocorrência de cada classe (ou intervalo). 
 
Resultado de um teste de Estatística 
 
 
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Leitura Obrigatória 
Leia as páginas 24 a 44 do livro “Estatística Aplicada a Todos os Níveis”, 
do professor Nelson Castanheira, disponível no link a seguir. 
http://ava.grupouninter.com.br/tead/hyperibook/IBPEX/101.html 
 
Complementando os estudos, acesse os seguintes materiais: 
http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf 
www.infoescola.com/estatistica/histograma/ 
 
No material online, o professor Nelson Castanheira fala mais sobre 
a construção e os tipos de gráficos. 
 
Tema 2: Análise e Interpretação de Gráficos 
Ao realizarmos uma pesquisa, vamos obter dados que, uma vez 
organizados, serão dispostos em tabelas e, consequentemente, poderão ser 
representados pela utilização de um gráfico. Tão importante quanto a escolha de 
um tipo de gráfico e a sua construção, é a análise e a interpretação desse gráfico. 
O primeiro passo da análise é verificarmos que grandezas estão sendo 
representadas nos eixos horizontal e vertical do gráfico ou, no caso de gráfico 
de setores (pizza), o que está representado em cada fatia. 
O segundo passo é interpretarmos o gráfico para que possamos tomar 
uma decisão. 
Suponhamos, como exemplo, a representação gráfica do crescimento de 
uma dívida ao longo do tempo, nos critérios de capitalização simples (utilização 
de juros simples) e de capitalização composta (utilização de juros compostos). 
 
 
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Comportamento de uma dívida ao longo do tempo 
 
 
 
O que observamos nesse gráfico? 
Observamos que no eixo horizontal está representado o tempo em dias, 
enquanto no eixo vertical está representada a dívida em reais. 
Observamos também que no dia zero há uma dívida em reais. Na medida 
em que o tempo avança, a dívida vai crescendo com o seguinte comportamento: 
a. Na capitalização simples, onde foi utilizado o juro simples, a dívida cresce 
linearmente; 
b. Na capitalização composta, onde foi utilizado o juro composto, a dívida 
cresce exponencialmente. 
Disso, se deduz que devemos uma dívida em capitalização composta, 
optando quando possível para uma dívida em capitalização simples, pois ao 
longo do tempo a dívida em capitalização composta é muito maior que na 
capitalização simples. 
Analisando outro exemplo, suponhamos que o gráfico a seguir está 
representando as vendas de três vendedores de veículos, ao longo dos quatro 
trimestres de determinado ano. 
 
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Vendas de veículos da marca X ao longo do ano 20XX 
 
Vamos então interpretar esse gráfico. 
 O vendedor A apresentou queda nas suas vendas durante todo o ano, 
tendo vendido 32 unidades no primeiro trimestre, 27 no segundo, 22 no 
terceiro e 18 no quarto. 
 Durante o mesmo período, o vendedor B apresentou aumento constante 
em suas vendas, subindo trimestre a trimestre, tendo iniciado com 28 
unidades vendidas no primeiro trimestre, 33 unidades no segundo, 37 
unidades do terceiro e 40 unidades no quarto. 
 O vendedor C, por sua vez, apresentava crescimento nas unidades 
vendidas durante os três primeiros trimestres do ano, mas diminuiu suas 
vendas no quarto trimestre. 
 
1º Trimestre 2º Trimestre 3º Trimestre 4º Trimestre
Vendedor a 32 27 22 18
Vendedor B 28 33 37 40
Vendedor C 19 20 25 20
32
27
22
18
28
33
37
40
19
20
25
20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
V
en
d
as
 n
o
 t
ri
m
es
tr
e
Veículos vendidos em 20XX
Vendedor a Vendedor B Vendedor C
 
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Leitura Obrigatória: 
Leia as páginas 24 a 44 do livro “Estatística Aplicada a Todos os Níveis”, 
do professor Nelson Castanheira. 
http://ava.grupouninter.com.br/tead/hyperibook/IBPEX/101.html 
 
Complementando os estudos, acesse o artigo a seguir: 
http://vestibular.mundoeducacao.bol.uol.com.br/enem/interpretacao-
graficos-no-enem.htm 
 
No material online, o professor Nelson Castanheira aborda mais 
alguns aspectos sobre a análise e a interpretação de gráficos. 
 
Tema 3: Funções Crescentes, Decrescentes e Constantes 
Antes de entrarmos no assunto gráfico de uma função, vamos recordar o 
que se entende por função. Imaginemos dois conjuntos, A e B, não vazios. 
Chamamos de função A em B e representamos por f: A → B ou por y = f(x) a 
qualquer relação binária que associa a cada elemento de A um único elemento 
de B. 
Em outras palavras, a cada x  A está associado um único y  B. Assim, 
nenhum elemento do conjunto A pode ficar sem ter relação a um único elemento 
do conjunto B. 
Como exemplo, suponhamos os conjuntos A = {1, 3, 4 , 6 , 9} e B = {3 , 7 
, 9 , 13 , 19} e observemos que entre eles há a seguinte relação: f(x) = 2x + 1. 
Vamos representar essa relação por um Diagrama de Venn. 
 
 
 
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Figura 1 – Diagrama de Venn com a relação y = 2x + 1 
 
 
O gráfico de uma função definida pela formação y = f(x) pode ser 
representado em um sistema de coordenadas cartesianas: no eixo horizontal 
representamos os valores de x e no eixo vertical representamos os valores de y, 
sendo y uma função de x. Veja a figura a seguir. 
Sistema cartesiano de coordenadas 
 
 
Observe que a interseção dos eixos é o ponto 0 (zero). À direita e acima 
da origem os valores são positivos. À esquerda e abaixo da origem os valores 
são negativos. 
Vamos então fazer o gráfico da função definida pela lei de formação: y = 
2x + 1. 
 
 
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 Para tal, vamos atribuir a x alguns valores e calcular os correspondentes 
valores de y, ou seja, de f(x). 
 Parax = -1, temos que y = -1 
 Para x = 0, temos que y = 1 
 Para x = 1, temos que y = 3 
 Para x = 2, temos que y = 5 
 Para x = 3, temos que y = 7 
 
Com esses pontos, que denominamos pares ordenados, já 
conseguiremos fazer o gráfico correspondente à função. Veja a figura a seguir. 
 Gráfico da função y = 2x + 1 
 
Observe que cada ponto do gráfico corresponde a um par ordenado, ou 
seja, corresponde a um valor de x e a um valor de y. 
É importante observar que toda função pode ser representada por um 
gráfico no plano cartesiano, mas a recíproca não é verdadeira, ou seja, nem todo 
gráfico no plano cartesiano está representando uma função. Observe, ainda, que 
esse gráfico é sempre crescente. 
Vamos agora, como outro exemplo, representar o gráfico da função y = 4, 
ou seja, y é igual a uma constante. Veja a figura a seguir. 
 
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Gráfico da função y = 4 
 
Observe que o gráfico resultante da função y = 4 é uma constante, ou 
seja, o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo horizontal. 
Mais um exemplo. Vamos agora representar graficamente a função y = -
3x + 2. 
Para tal, vamos atribuir a x alguns valores e calcular os correspondentes 
valores de y, ou seja, de f(x). 
 Para x = -1, temos que y = 5 
 Para x = 0, temos que y = 2 
 Para x = 1, temos que y = -1 
 Para x = 2, temos que y = -4 
 Para x = 3, temos que y = -7 
 
Com esses pontos, que denominamos pares ordenados, já 
conseguiremos fazer o gráfico correspondente à função. Veja a figura a seguir. 
 
 
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Gráfico da função -3x + 2 
y = f(x) 
 
Observe que esse gráfico é sempre decrescente. 
 
E quando a função y = f(x) for do segundo grau, como fica o gráfico 
correspondente? 
Vamos supor a função polinomial de 2º grau, também conhecida como 
função quadrática: f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Toda função polinomial de 2º 
grau é representada graficamente por uma curva denominada de parábola. Para 
sabermos se essa parábola está acima ou abaixo do eixo x, se ela está ou não 
cortando o eixo x ou, ainda, se ela está tangenciando o eixo x, são necessárias 
algumas análises. 
Precisamos saber qual o sinal do número “a”. Se a > 0, a parábola terá a 
sua concavidade voltada para cima e se a < 0, a parábola terá a sua concavidade 
voltada para baixo. 
Para posicionar corretamente a parábola no plano cartesiano, precisamos 
conhecer o valor de Δ, onde Δ = b2 – 4ac. Quando Δ > 0, a parábola intercepta 
o eixo x em dois pontos distintos a que chamaremos x1 e x2. Quando Δ = 0, a 
parábola tangencia o eixo x, pois x1 = x2. Quando Δ < 0, a parábola não intercepta 
o eixo x, estando ou acima ou abaixo dele. 
 
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Como exemplo, vamos analisar a função y = x2 – 5x + 6 e vamos 
representa-la graficamente. 
 Δ = b2 – 4ac 
 Δ = (–5)2 – 4. 1. 6 
 Δ = 25 – 24 
 Δ = 1 
Como Δ > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos. Como 
a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. 
 
Parábola com a concavidade para cima (a > 0) 
 
Observe que o gráfico, da esquerda para a direta, é inicialmente 
decrescente até atingir um ponto mínimo, a partir do qual ele é crescente. Esse 
ponto mínimo chama-se vértice da parábola (V). 
Para sabermos os pontos em que a parábola corta o eixo x, precisamos 
calcular as raízes x1 e x2 da função, objeto de nosso estudo a seguir. 
 
 
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Leitura Obrigatória: 
Leia as páginas 101 a 130 do livro “Tópicos de matemática aplicada”, dos 
autores Nelson Castanheira, Alex Rocha e Luiz Roberto Dias de Macedo, 
disponível no link a seguir. 
http://ava.grupouninter.com.br/tead/hyperibook/IBPEX/278.html 
 
Complementando o estudo de funções, assista ao vídeo a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=bim6KI5xxFs 
 
No material online, o professor Nelson Castanheira fala mais sobre 
as funções crescentes, decrescentes e constantes. 
 
Tema 4: Raízes 
Vamos inicialmente aprender a calcular as raízes de uma função do 
primeiro grau. Uma função polinomial do primeiro grau é uma função da forma y 
= ax + b, com a ≠ 0. 
Como exemplos, temos as funções: 
 y = 4x + 8 (observar que a = 4 ; b = 8) 
 y = –9x + 3 (observar que a = –9 ; b = 3) 
 y = 
2
3
 𝑥 + 5 (observar que a = 
2
3
 ; b = 5) 
 y = 
𝑥
5
−
3
4
 (observar que a = 
1
5
 ; b = −
3
4
) 
E como procedemos para a obtenção da raiz de uma função polinomial 
do primeiro grau? Para tal, consideramos y = 0 e isolamos a incógnita x, que é a 
raiz da função. Ou seja, a determinação da raiz de uma função do primeiro grau 
é a determinação do valor de x. 
Temos que: y = ax + b 
Se fizermos y = 0, temos: ax +b = 0 
Isolando o termo que possui x, temos: 
 
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ax = –b 
Logo, x = –b/a 
Vejamos nossos quatro exemplos dados anteriormente e calculemos as 
raízes. 
y = 4x + 8 
 4x + 8 = 0 
 4x = –8 
 x = –8/4 
 x = –2 
 y = –9x + 3 
 –9x + 3 = 0 
 9x = 3 
 x = 3 
 
 y = 
2
3
 𝑥 + 5 
 
2
3
 𝑥 + 5 = 0 
 
2
3
 𝑥 = –5 
 2x = –15 
 x = –7,5 
 y = 
𝑥
5
−
3
4
 
 
𝑥
5
−
3
4
 = 0 
 
𝑥
5
 = −
3
4
 
 4x = –15 
 x = –15/4 
 x = –3,75 
 
Observe que, ao determinarmos o valor de x considerando y igual a zero, 
determinamos o valor em que a reta corta o eixo horizontal, ou seja o eixo x. Vale 
ressaltar que: 
 
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 Quando a > 0, temos uma função crescente. 
 Quando a < 0, temos uma função decrescente. 
 Quando a = 0, temos uma função constante. 
 
Vamos agora aprender a calcular as raízes de uma função do segundo 
grau. Uma função polinomial do segundo grau é uma função da forma y = ax2 + 
bx + c, com a ≠ 0. Uma função do segundo grau tem duas raízes e, para 
determina-las, utilizamos a fórmula de Bhaskara: 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 , sendo b2 – 4ac = Δ 
Vimos no capítulo anterior que, quando Δ > 0, a parábola intercepta o eixo 
x em dois pontos distintos a que chamaremos x1 e x2, quando Δ = 0, a parábola 
tangencia o eixo x, pois x1 = x2 e quando Δ < 0, a parábola não intercepta o eixo 
x pois não tem raízes reais, estando ou acima ou abaixo dele. 
Para a determinação das raízes, iguala-se a função a zero, ou seja, 
fazemos y = 0. 
Analisemos alguns exemplos. 
Vamos calcular as raízes da função polinomial: 
y = x2 – 5x + 6 
Primeiramente igualaremos a função a zero, ou seja: 
x2 – 5x + 6 = 0 
 
Aplicando Bháskara, temos: 
 x =
−(−5)±√(−5)2−4.1.6
2.1
 
 x =
5±√25−24
2
 
 x =
5±√25−24
2
 
 x =
5±√1
2
 
Como Δ > 0, teremos duas raízes diferentes, a saber: 
 
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 x1 = 
5+1
2
 
 x1 = 3 
x2 = 
5−1
2
 
 x2 = 2 
 
Assim, a parábola corta o eixo x nos pontos 2 e 3. Como a > 0, a parábola 
terá a sua concavidade voltada para cima, conforme estudado no capítulo 
anterior. Veja a figura a seguir. 
Gráfico da função y = x2 – 5x + 6 
 
Observe que quando x = 0, y = 6, ou seja a parábola corta o eixo vertical 
(eixo y) no ponto y = 6. 
Vamos agora calcular as raízes da função polinomial y = x2 – 4x + 4 
Primeiramente igualaremos a função a zero, ou seja: 
 x2 – 4x + 4 = 0 
 
Aplicando Bháskara, temos: 
 x =
−(−4)±√(−4)2−4.1.4
2.1
 
 
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24 
 x =
4±√16−16
2
 
 x =
4±√0
2
 
 x =
4±0
2
 
 
Como Δ = 0, teremos duas raízes iguais, a saber: 
 x1 = 
4+0
2
 
 x1 = 2 
x2 = 
4−0
2
 
 x2 = 2 
 
Assim, a parábola tangencia o eixo x no ponto 2. Como a > 0, a parábola 
terá a sua concavidade voltada para cima. Veja a figura a seguir. 
Gráfico da função y = x2 – 4x + 4 
 
Observe que quando x = 0, y = 4, ou seja a parábola corta o eixo vertical 
(eixo y) no ponto y = 4. 
 
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25 
Mais um exemplo. Vamos calcular as raízes da função polinomial y = –2x2 
+ 4x – 5 
Primeiramente igualaremos a função a zero, ou seja: 
 –2x2 + 4x – 5 = 0 
 
 
Aplicando Bháskara, temos: 
 x =
−4±√(4)2−4.(−2).(−5)
2.(−2)
 
 x =
−4±√16−40
−4
 
 x =
−4±√−24
−4
 
Como Δ < 0, não há solução no campo dos números Reais. Então, a 
parábola não corta nem tangencia o eixo x. Como a < 0, a parábola terá a sua 
concavidade voltada para baixo. Veja a figura a seguir. 
Gráfico da função y = –2x2 + 4x – 5 
 
 
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26 
Observe que quando x = 0, y = –5, ou seja a parábola corta o eixo vertical 
(eixo y) no ponto y = –5. 
 Leitura Obrigatória: 
Leia as páginas 116 a 130 do livro “Tópicos de matemática aplicada”, dos 
autores Nelson Castanheira, Alex Rocha e Luiz Roberto Dias de Macedo, 
disponível no link a seguir. 
http://ava.grupouninter.com.br/tead/hyperibook/IBPEX/278.html 
Para saber mais sobre os gráficos, acesse os vídeos a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=v5_FTxcBSSg 
https://www.youtube.com/watch?v=2N02Iqgk8Ls 
 
No material online, o professor Nelson Castanheira fala mais sobre as 
raízes! 
 
Trocando Ideias 
Está com alguma dúvida sobre o conteúdo? 
Não perca tempo e entre em contato com o nosso tutor. Ele sempre está 
disponível para ajudá-lo. 
 
 
Na Prática 
1. As notas de um professor que participou de um processo seletivo em 
que a banca avaliadora era composta por cinco membros estão 
apresentadas no gráfico a seguir. Sabe-se que cada membro da 
banca atribui duas notas ao professor, uma relativa aos 
conhecimentos específicos da área de atuação e outra aos 
conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi 
 
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27 
dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca 
avaliadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a 
maior e a menor notas atribuídas ao professor. 
A nova média, em relação à média anterior, é: 
 
a. 0,25 ponto maior. 
b. 1,00 ponto maior. 
c. 1,00 ponto menor. 
d. 1,25 ponto maior. 
 
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28 
e. 2,00 pontos menor. 
2. Construa um gráfico de colunas a partir dos dados da tabela a seguir. 
Vendas do Maurício em um 
semestre 
Quantidade vendida 
Janeiro/20XX 28 
Fevereiro/20XX 33 
Março/20XX 20 
Abril/20XX 18 
Maio/20XX 25 
Junho/20XX 35 
3. Construa um gráfico de setores (pizza) a partir dos dados da tabela 
a seguir. 
Participação de certo 
produto no mercado 
brasileiro 
Fatia de participação 
Marca A 27% 
Marca B 15% 
Marca C 18% 
Marca D 32% 
Marca E 8% 
 
4. Analise o gráfico e na sequência responda às perguntas. 
 
 
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29 
 
 
a. Qual dos vendedores apresentou vendas sempre crescentes? 
b. Qual dos vendedores apresentou vendas sempre decrescentes? 
c. Qual dos vendedores vendeu mais unidades nos 4 meses? 
5. Dadas as três funções do primeiro grau a seguir, qual delas é 
crescente, qual delas é decrescente e qual delas é constante? 
a. y = –8 
b. y = –9x + 4 
c. y = 2x – 7 
 
6. Calcule a raiz da função: y = 3x – 12 
 
7. Calcule a raiz da função: y = x2 – 7x + 6 
 
8. Desenhe o gráfico da função: y = 3x – 12 
18
16
12
8
22
25
20
22
10
14
17
25
19
25
28
0
5
10
15
20
25
30
Janeiro Fevereiro Março Abril
U
n
id
ad
es
 v
en
d
id
as
 n
o
s 
m
es
es
 d
e 
ja
n
ei
ro
 a
 a
b
ri
l
Título do Gráfico
Vendedor A
Vendedor B
Vendedor C
Vendedor D
 
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30 
 
9. Desenhe o gráfico da função: y = x2 – 7x + 6 
 
10. O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico 
mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em 
Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. 
 
 Questão com interpretação de gráficos no Enem de 2012 
 
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, 
a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram: 
a. Março e abril. 
b. Março e agosto. 
c. Agosto e setembro. 
d. Junho e setembro. 
e. Junho e agosto. 
Confira a resolução dessas atividades no material online. 
Síntese 
Nessa aula, fizemos um estudo completo sobre gráficos. Primeiramente, 
verificamos como construir um gráfico e relacionamos os seus principais tipos. 
Na sequência, fizemos a análise e a interpretação de gráficos. 
 
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31 
Finalmente, estudamos o gráfico de uma função de primeiro e de segundo 
graus e aprendemos como determinar suas raízes. 
 
Assista às considerações finais do professor Nelson Castanheira 
sobre os conteúdos abordados nesta rota no material online. 
 
Referências 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística básica. 5. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002. 
 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Estatística aplicada a todos os níveis. 5. ed. 
Curitiba: Intersaberes, 2010. 
 
MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, 
Alex. Tópicos de matemática aplicada. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2008.