Caderno RQ4-Análise-Combinatória

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Caderno RQ4 
Análise Combinatória 
 
 
 
Prof. Milton Araujo 
2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br 
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Sumário 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3 
2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM .................................................................................... 4 
3 PERMUTAÇÃO SIMPLES ................................................................................................................... 6 
4 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES .................................................................................................. 10 
5 ARRANJO SIMPLES......................................................................................................................... 14 
5.1 CÁLCULO DE ARRANJO SIMPLES SEM FÓRMULA ................................................................................. 14 
6 ARRANJO COM REPETIÇÕES .......................................................................................................... 16 
7 COMBINAÇÃO SIMPLES ................................................................................................................. 17 
7.1 CÁLCULO DE COMBINAÇÃO SIMPLES SEM FÓRMULA ........................................................................... 17 
8 COMBINAÇÃO COM REPETIÇÕES .................................................................................................. 19 
9 RESUMO ........................................................................................................................................ 21 
9.1 PERMUTAÇÃO ........................................................................................................................... 21 
9.2 ARRANJO.................................................................................................................................. 21 
9.3 COMBINAÇÃO............................................................................................................................ 21 
9.4 O TRIÂNGULO DE TARTAGLIA–PASCAL ............................................................................................ 22 
9.4.1 Relação de Stifel ................................................................................................................ 22 
10 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 23 
11 TESTES ........................................................................................................................................... 25 
12 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 40 
13 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 47 
 
 
 
 
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1 Introdução 
 
“Só quem constrói o futuro tem o direito de julgar o passado.” 
[Nietzsche] 
 
A Análise Combinatória é um tópico pouco apreciado pelos estudantes. Muitos 
deixam de estudar o assunto e perdem boas oportunidades de se destacarem dos 
demais concorrentes. 
 
Para que o leitor se sinta motivado a aprender o assunto, deixarei aqui algumas 
dicas que poderão ajudá-lo a encaminhar, sem grandes sobressaltos, a solução da 
maioria das questões. 
 
Primeira: trabalharemos sempre com a ideia de candidatos (n) e de vagas (p). 
 
Segunda: Na Permutação, pretende-se formar agrupamentos que diferem entre si 
somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o 
número de candidatos (n) é igual ao número de vagas (p) e a solução consiste 
apenas em embaralhar os n elementos do conjunto dado. 
 
Terceira: No Arranjo, os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo 
número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de 
outra forma, no Arranjo, o número de candidatos (n) é maior do que o número de 
vagas (p): e trocando-se a ordem dos elementos forma-se um resultado 
diferente. 
 
Quarta: Na Combinação, os agrupamentos formados diferem entre si pelo 
número de elementos, não importando a ordem desses elementos no 
resultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de candidatos (n) é 
maior do que o número de vagas (p): e, trocando-se a ordem dos 
elementos em cada resultado, forma-se um conjunto igual. 
 
O assunto não é difícil! Como quase tudo na Matemática, só requer paciência e 
motivação para ser encarado e vencido. 
 
Então... Vamos começar? 
 
 
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2 Princípio Fundamental da Contagem 
 
Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico. 
 
Exemplo: 
 
Um prédio de escritórios tem 2 entradas (a, b) e 3 elevadores (c, d, e). De quantas 
maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios? 
 
Solução: 
 
Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”), 
pode-se compreender o raciocínio. 
 
 
A partir do diagrama ao lado, formamos todos os 
pares possíveis: 
(a, c); (a, d); (a, e); (b, c); (b, d); (b, e) 
 
Se o nosso objetivo for encontrar apenas o total 
de possibilidades, basta-nos raciocinar da 
seguinte maneira: 
 
Para cada entrada, tem-se 3 elevadores. Em 
matemática, a palavra cada significa 
multiplicação. 
 
Note que, para cada uma das 2 entradas, há 3 
elevadores disponíveis. Logo, 2 × 3 = 6 
 
Resposta: Há 6 maneiras de se entrar no prédio e acessar um dos escritórios. 
 
Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como princípio fundamental 
da Contagem, enunciado do seguinte modo: 
 
“O número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado 
pelo produto dos números de possibilidades deocorrer cada um dos 
eventos.” 
 
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Em palavras simples: princípios de contagem são princípios multiplicativos, isto 
é, faz-se contagens de arranjos e combinações de maneira rápida por meio de 
multiplicações. 
 
Desafio: 
 
Tendo assimilado o conceito acima, o leitor estará apto a responder rapidamente 
o seguinte problema: 
 
Um prédio de escritórios tem 2 entradas, 3 elevadores, 4 andares e 5 escritórios 
por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar 
um dos escritórios? 
 
Resposta: 120. 
 
 
Fatorial de um número Natural n 
 
Símbolo: ! 
 
O símbolo "!" ao lado de um número significa fatorial deste número e é calculado 
do seguinte modo: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Por definição: 1! = 1 e 0! = 1 
 
 
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3 Permutação Simples 
 
Uma Permutação simples de n elementos de um dado conjunto é uma sequência 
desses n elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos 
determina uma permutação diferente. Os elementos a serem permutados são 
todos distintos, isto é, não há elementos repetidos. 
 
Fórmula: 
 
 
 
A simbolização é lida como: “Permutação de n elementos” 
 
Exemplo: 
 
Com as cores azul, verde e vermelha, uma pessoa deseja pintar bandeirinhas com 
três listras cada uma. Sem repetir cores, quantas bandeirinhas será possível pintar 
com essas três cores? 
 
Solução 1: 
 
Formar os conjuntos manualmente: 
 
Azul Azul Verde Verde Vermelha Vermelha 
Verde Vermelha Azul Vermelha Azul Verde 
Vermelha Verde Vermelha Azul Verde Azul 
 
Resposta: 
 
Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada 
uma, sem repetir cores. 
 
Imagine você fazer o esquema acima com 5 cores e 5 listras... 
 
Solução 2: 
 
Usando a fórmula da Permutação, com n = 3: 
 
 
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Resposta: 
 
Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada 
uma, sem repetir cores. 
 
Outro exemplo: 
 
Com as letras da palavra ESCOLA: 
 
a) Quantos anagramas* podemos formar? 
 
[(*) Nota: “anagrama” é um conjunto formado com todas as letras de uma 
palavra sob qualquer ordenamento. Exemplo: CSOLEA é um anagrama da 
palavra ESCOLA. Veja que um anagrama não precisa formar uma palavra com 
significado.] 
 
Solução: 
 
Basta calcularmos a Permutação de n = 6 elementos: 
 
 
 
Resposta: 
 
Com as 6 letras da palavra ESCOLA é possível formar 720 anagramas. 
 
b) Quantos anagramas começam com a letra E? 
 
Solução: 
 
Veja que a letra E não participará do embaralhamento, pois permanecerá fixa no 
começo da palavra. Assim, restam n = 5 letras: 
 
 
 
Resposta: 
 
É possível formar 120 anagramas que começam com a letra E. 
 
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c) Quantos anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A? 
 
Solução: 
 
Agora são as letras E e A que não participarão do embaralhamento. Restam, 
portanto, n = 4 letras: 
 
 
 
Resposta: 
 
É possível formar 24 anagramas que começam com a letra E e terminam com a 
letra A. 
 
d) Em quantos anagramas aparece a sílaba LA? 
 
Solução: 
 
Observe o esquema a seguir: 
 
E S C O LA 
 
Veja que as letras LA devem permanecer juntas e sempre nesta ordem. 
 
Se embaralharmos os cartões acima, teremos o total de anagramas pedido. 
 
 
 
Resposta: 
 
É possível formar 120 anagramas que contêm a sílaba LA. 
 
e) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E e S? 
 
Solução: 
 
Observe o esquema a seguir: 
 
ES C O L A 
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ou 
SE C O L A 
 
Veja que agora as letras E e S devem permanecer juntas, em qualquer ordem. 
 
Podemos raciocinar do seguinte modo: 
 
(1) há um embaralhamento externo, que consiste em se embaralhar os cartões, 
sem nos preocuparmos com o conteúdo de cada cartão. O resultado desse 
embaralhamento é dado pela permutação de 5: 
 
 
 
(2) Há também um embaralhamento interno, que consiste em se observar se há 
cartões com letras que podem se apresentar em qualquer ordem. Neste caso, as 
letras E e S podem se apresentar como: ES ou SE, ou seja, permutação de 2: 
 
 
 
O resultado final é dado por 
 
Resposta: 
 
É possível formar 240 anagramas com as letras E e S juntas. 
 
 
Desafio: 
 
f) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E, S e L? 
 
Dica: Coloque as letras E, S e L em um único cartão e faça os embaralhamentos 
(permutações) externo e interno. 
 
ESL C O A 
 
Resposta: 144. 
 
 
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4 Permutação com Repetições 
 
Nas permutações com repetições há elementos repetidos, tornando-se necessário 
levar em conta que tais elementos não geram novos resultados, e, desse modo, 
tais conjuntos devem ser retirados da contagem. 
 
Por exemplo: 
 
Na palavra CLORO, se trocarmos as duas letras O de lugar não teremos uma 
palavra diferente. 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 
 
 significa "Permutação de n elementos com repetições"; 
n é o número de elementos a serem permutados; 
a, b, ... representam as quantidades de repetições de cada elemento. 
 
Exemplo: 
 
Quantos anagramas tem a palavra CLORO? 
 
Solução: 
 
Como há duas letras O dentre as 5 letras da palavra CLORO, devemos dividir o 
fatorial de 5 pelo fatorial de 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
A palavra CLORO tem 60 anagramas. 
 
 
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Exercícios Resolvidos: 
 
1) Quantos são os anagramas da palavra BANANA? 
 
Solução: 
 
Há três letras A e duas letras N dentre as 6 letras da palavra BANANA, logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
A palavra BANANA tem 60 anagramas. 
 
2) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ITAQUAQUECETUBA pelo 
número de anagramas da palavra PINDAMONHANGABA, obtém-se uma fração 
equivalente a 
 
a) 1/3. 
b) 1/2. 
c) 3/5. 
d) 2/3. 
e) 3/2. 
 
Solução: 
 
ITAQUAQUECETUBA tem 15 letras (n = 15), com as seguintes repetições: 
2 letras T, 3 letras A, 2 letras Q, 3 letras U, 2 letras E. 
 
 
 
 
 
 
 
PINDAMONHANGABA tem 15 letras (n = 15), com as seguintes repetições: 
3 letras N, 4 letras A. 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo-se um resultado pelo outro (conformesolicita o comando da questão): 
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Resposta: Alternativa B. 
 
Retomando-se o exemplo com a palavra ESCOLA, responda: 
 
a) Quantas palavras com 3 letras podemos formar? 
 
b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar? 
 
Veja que agora 
 
 
n = 6 
p = 3 
 
O número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (p) 
 
Sempre que isto acontecer, é necessário tomar uma decisão entre Arranjo e 
Combinação. 
 
Para tomar tal decisão, retire uma possível resposta da questão. Por exemplo, no 
item a solicita-se a quantidade de palavras com 3 letras que podem ser formadas 
a partir das letras da palavra ESCOLA. 
 
ESC é uma das palavras com 3 letras. Note que quaisquer 3 letras da palavra 
ESCOLA formará uma nova palavra com 3 letras. Aqui não é necessário que a 
palavra tenha sentido! 
 
Faça uma troca de dois elementos nesta possível resposta: 
 
SEC 
 
Agora, compare os dois resultados: ESC e SEC. 
 
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Veja que as palavras são diferentes! Isto nos informa que a ordem dos elementos 
no resultado é relevante, isto é, a troca de dois elementos cria uma resposta 
diferente. 
 
Quando isto ocorre, resolve-se a questão por Arranjo. 
 
Faremos a mesma análise com relação ao item 
 
b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar? 
 
Tomaremos aqui o mesmo grupo de letras que usamos para a análise anterior: 
 
{E, S, C} 
 
Trocando-se a posição de dois elementos no conjunto acima, tem-se: {S, E, C}. 
 
Observe que os conjuntos {E, S, C} e {S, E, C} são o mesmo conjunto, isto é, 
não importa a ordem com que os elementos se apresentam dentro do conjunto. O 
conjunto é o mesmo! 
 
Isto nos diz que a ordem dos elementos no resultado NÃO É relevante. 
 
Quando isto ocorre, resolve-se a questão por Combinação. 
 
Passaremos agora a ver como calcular Arranjos e Combinações simples, tanto 
por meio de fórmulas, quanto seu o uso delas... 
 
 
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5 Arranjo Simples 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
onde: 
 
 é lido como "Arranjo de n elementos, tomados p a p." 
n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados; 
p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados. 
 
Exemplo: 
 
Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as letras da palavra 
ESCOLA? 
 
Solução: 
 
Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de um Arranjo (leia a 
análise feita anteriormente!) 
 
Basta calcularmos o Arranjo das 6 letras da palavra ESCOLA tomando-as 3 a 3, 
ou: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 120 palavras 
com 3 letras. 
 
5.1 Cálculo de Arranjo Simples sem fórmula 
 
Para desenvolver o Arranjo de n elementos tomados p a p, sem o uso da fórmula, 
proceda do seguinte modo: 
 
 
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Desenvolva o fatorial de n e pare quando atingir a quantidade p de fatores. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, 
pois p = 3. 
 
Outro exemplo: 
 
 
 
O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois p = 4. 
 
 
Exercícios: 
 
Calcule, sem o uso da fórmula, os seguintes Arranjos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
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6 Arranjo com Repetições 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Quantas são as possibilidades de se formar placas de veículos automotores com 3 
letras e 4 algarismos? 
 
Solução: 
 
Sabe-se que uma placa de carro pode conter tanto letras, quanto algarismos 
repetidos, por exemplo: AAQ-7785. 
 
Note que a placa deve conter letras e algarismos. 
 
Faremos a contagem separadamente e multiplicaremos os resultados 
encontrados. 
 
Letras: 
 
n = 26 
p = 3 
 
 
 
 
Algarismos: 
 
n = 10 
p = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
É possível emplacar 175.760.000 de veículos. 
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7 Combinação Simples 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 é lido como "Combinação de n elementos, tomados p a p." 
n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados; 
p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados. 
 
Exemplo: 
 
Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar com as letras da palavra 
ESCOLA? 
 
Solução: 
 
Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de uma Combinação. 
 
Basta calcularmos a Combinação das 6 letras da palavra ESCOLA tomando-as 3 
a 3, ou: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 20 conjuntos com 3 letras 
cada um. 
 
 
7.1 Cálculo de Combinação Simples sem fórmula 
 
Para desenvolver a Combinação de n elementos tomados p a p, sem o uso da 
fórmula, proceda do seguinte modo: 
 
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Desenvolva o fatorial de n e pare quando atingir a quantidade p de fatores. A 
seguir, divida pelo fatorial de p. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, 
pois p = 3. A seguir, dividiu-se pelo fatorial do p. 
 
Outro exemplo: 
 
 
 
 
 
 
O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois p = 4. A seguir, 
dividiu-se pelo fatorial de 4, pois p = 4. 
 
 
Exercícios: 
 
Calcule, sem o uso da fórmula, as seguintes Combinações: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
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8 Combinação com Repetições 
 
Este tópico raramente é cobrado em Concursos Públicos. No Teste ANPAD não 
há notícia da ocorrência de alguma questão nos últimos 14 anos, pelo menos. 
 
Mesmo assim, é válido abordá-lo, tendo em vista que os examinadores mudam 
periodicamente... 
 
A combinação de n elementos, tomados p a p, na qual podem ocorrer elementos 
repetidos nos respectivos grupos de p elementos, é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
 
 
 
 
Fica mais fácil de entender por meio de um exemplo. 
 
Exemplo: 
 
DonaCarlota tem um salão de beleza e, semanalmente, compra 8 galões de 
xampu de 6 marcas diferentes. De quantas formas essa compra pode ser feita? 
 
a) 28. 
b) 127. 
c) 1.287. 
d) 20.160. 
e) 40.320. 
[Fonte: banco de questões do autor.] 
 
Solução: 
 
Montamos um esquema que ajudará a entender melhor o que acontece, por meio 
de algumas "simulações" de possíveis resultados: 
 
O esquema a seguir é conhecido como "bola-mais", que consiste em representar 
as quantidades por bolas e os espaços entre as colunas são preenchidos com 
sinais "+". 
 
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Marca A Marca B Marca C Marca D Marca E Marca F Total 
 +  +  +  +  + 8 
 + +  +  + +  8 
 +  + +  +  + 8 
 
Na primeira situação (quadro acima) simulamos a compra de dois galões da 
marca A, um galão da marca B, um galão da marca C, dois galões da marca D, 
dois galões da marca E e nenhum galão da marca F. 
 
Na segunda situação simulamos a compra de um galão da marca A, nenhum 
galão da marca B, cinco galões da marca C, um galão da marca D, nenhum galão 
da marca E e um galão da marca F 
 
Na terceira situação simulamos a compra de nenhum galão da marca A, quatro 
galões da marca B, nenhum galão da marca C, um galão da marca D, três galões 
da marca E e nenhum galão da marca F 
 
É claro que não é possível continuar a solução da questão por meio de 
simulações de possíveis resultados. O esquema mostrado acima serve apenas 
para observarmos o raciocínio que será empregado na solução final. 
 
Note que o total de bolas em cada linha é sempre igual a p, que, no caso da 
questão em tela, é igual a 8. 
 
Observe que a quantidade de símbolos "+" em cada linha é sempre igual a , 
ou, no caso da questão, igual a 5. 
 
Disto resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Há 1.287 diferentes combinações possíveis para Carlota escolher. 
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9 Resumo 
 
9.1 Permutação 
 
Consiste em se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de 
seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (n) é 
igual ao número de vagas (p) e a solução consiste apenas em embaralhar os n 
elementos do conjunto dado. 
 
9.2 Arranjo 
 
Os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, 
quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no 
Arranjo, o número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (p): 
 e trocando-se a ordem dos elementos forma-se um resultado diferente. 
 
9.3 Combinação 
 
Os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não 
importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras palavras, na 
Combinação, o número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (p): 
 e, trocando-se a ordem dos elementos em cada resultado, forma-se um 
conjunto igual. 
 
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9.4 O Triângulo de Tartaglia–Pascal 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 
0 1 ... 
1 1 1 ... 
2 1 2 1 ... 
3 1 3 3 1 ... 
4 1 4 6 4 1 ... 
5 1 5 10 10 5 1 ... 
6 1 6 15 20 15 6 1 ... 
7 1 7 21 35 35 21 7 1 ... 
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ... 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
9.4.1 Relação de Stifel 
 
Cada número do triângulo de Tartaglia-Pascal é igual à soma do número 
imediatamente acima e do seu antecessor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
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10 Exercícios 
 
1) Um buffet oferece uma variedade de 8 tipos de comidas. Nesse restaurante, os 
estudantes pagam metade do preço com a condição de servirem somente 4 tipos 
de comida. Quantos pratos com 4 tipos diferentes de comida são possíveis 
montar? 
Resposta: 70. 
 
2) Em uma gincana estudantil, 5 alunos disputam uma corrida de bicicleta. De 
quantas maneiras podemos compor os três primeiros lugares? 
Resposta: 60. 
 
3) Numa turma com 10 amigos, serão sorteados 4 ingressos para um show de 
rock. De quantas maneiras distintas pode aparecer o resultado do sorteio? 
Resposta: 210. 
 
4) Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados com os 
algarismos de 1 a 7? 
Resposta: 210. 
 
5) Os 20 sócios de um clube querem formar sua diretoria com um presidente, um 
secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras pode ser formada essa diretoria? 
Resposta: 6.840. 
 
6) Em uma cidade as placas dos automóveis são formadas por três letras 
diferentes, seguidas de quatro algarismos também diferentes. Quantas são as 
placas que podem ser obtidas, utilizando-se os algarismos ímpares e vogais? 
Resposta: 7.200. 
 
7) Uma emissora de rádio é composta por 4 narradores e 6 comentaristas. Deseja-
se formar uma comissão com 4 de seus radialistas para fazer a cobertura de um 
jogo de futebol. De quantas maneiras distintas é possível organizar essa comissão 
sabendo que existem 2 vagas para narradores e 2 para comentaristas? 
Resposta: 90. 
 
8) De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 pessoas em uma fila? 
Resposta: 120. 
 
24 
 
 
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9) Uma pessoa tem dez amigos, dos quais dois estão brigados entre si. De 
quantas maneiras ela pode convidar cinco amigos para jantar, tendo o cuidado de 
não convidar, simultaneamente, os dois amigos brigados? 
Resposta: 196. 
 
Solução/Comentários: 
 
Combinando-se todos os 10 amigos cinco a cinco, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Entre os 252 grupos formados, há alguns em que os dois brigões estarão juntos. 
 
Para excluir os grupos em que os dois desafetos estão presentes, precisamos 
contá-los primeiro. 
 
Dos 5 lugares à mesa do jantar, vamos reservar dois para os brigões. Assim, 
sobrarão os outros 8 amigos, disputando os 3 lugares restantes à mesa. 
 
 
 
 
 
Há 56 grupos em que os dois amigos brigados estarão presentes. Esses grupos 
precisam ser subtraídos do total de grupos possíveis. Logo, 
 
 
 
10) Três irmãs dispõem de 5 diferentes fantasias para, perfiladas (lado a lado), 
posarem juntas numa foto. De quantas maneiras distintas podemos compor essa 
foto? 
Resposta: 360. 
 
 
 
25 
 
 
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11 Testes 
 
1) O número de anagramas com a palavra UFRGS é 
 
a) 20. 
b) 40. 
c) 60. 
d) 100. 
e) 120. 
 
2) O número de anagramas com a palavra ÔNIBUS que começa por vogal é 
 
a) 2160. 
b) 120. 
c) 240. 
d) 720. 
e) 360. 
 
3) O número de anagramas da palavra JABOTI que começam por vogal e 
terminam por consoante é 
 
a) 120. 
b) 216. 
c) 540. 
d) 720. 
e) 750. 
 
4) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os 
algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 9? 
 
a) 100. 
b) 120. 
c) 150.d) 180. 
e) 210. 
 
5) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que 
começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os 
valores de x e y são, respectivamente, 
26 
 
 
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a) 48 e 36. 
b) 48 e 72. 
c) 72 e 36. 
d) 24 e 36. 
e) 72 e 24. 
 
6) Quantos são os anagramas da palavra SARARA? 
 
a) 60. 
b) 120. 
c) 240. 
d) 720. 
e) 750. 
 
7) Um estudante permutou os 6 dígitos do seu aniversário para compor uma 
senha bancária. O número total de possibilidades de senha para este estudante 
que nasceu em 01.05.85 é 
 
a) 90. 
b) 180. 
c) 360. 
d) 720. 
e) 750. 
 
8) Um trem é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um 
restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante 
não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos 
diferentes de montar a composição é 
 
a) 20. 
b) 320. 
c) 500. 
d) 600. 
e) 720. 
 
9) Quantos números diferentes podemos formar permutando os algarismos do 
número 122.223? 
 
27 
 
 
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a) 15. 
b) 30. 
c) 20. 
d) 40. 
e) 120. 
 
10) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ARARA pelo número de 
anagramas da palavra URUBU, obtém-se uma fração equivalente a 
 
a) 1/2. 
b) 1/3. 
c) 3/2. 
d) 2/3. 
e) 3/5. 
 
11) ANPAD-2006. A figura ao lado mostra o mapa 
imaginário de uma cidade constituída por cinco 
bairros. Deseja-se colorir cada bairro com uma das 
cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, 
dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor. 
O número de maneiras diferentes segundo as quais o 
mapa pode ser pintado 
é 
 
 
a) 6. 
b) 12. 
c) 24. 
d) 48. 
e) 120. 
 
12) ANPAD-2003. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca 
diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para 
esgotar todas as prováveis sequências dessas músicas serão necessários 
aproximadamente 
 
a) 100 dias. 
b) 1 ano. 
c) 10 anos. 
d) 1 século. 
e) 10 séculos. 
28 
 
 
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13) ANPAD-2003. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou 
com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No 
final, dois clubes ficaram empatados e, por isso, houve um jogo para o 
desempate. O número total de jogos disputados foi 
 
a) 112. 
b) 111. 
c) 110. 
d) 56. 
e) 55. 
 
14) ANPAD-2003. Em uma ilha falam-se apenas quatro idiomas. Cada habitante 
fala exatamente dois idiomas e, para cada conjunto de dois idiomas há um único 
habitante que fala esses dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é 
igual a 
 
a) 6. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
e) 24. 
 
15) ANPAD-2007. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois 
casais e um padre. Esse grupo deseja tirar uma foto, obedecendo às seguintes 
regras: 
 todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados); 
 o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado 
esquerdo; 
 cada casal deve permanecer junto. 
Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, 
ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem 
ser geradas para tirar diferentes fotos? 
 
a) 84. 
b) 92. 
c) 96. 
d) 192. 
e) 5040. 
 
29 
 
 
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16) ANPAD-2007. O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra 
ADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas 
respectivas posições, é 
 
a) 120. 
b) 56. 
c) 30. 
d) 20. 
e) 10. 
 
17) Utilizando-se o teclado do computador, deseja-se atribuir códigos para 
algumas funções. Para isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três teclas 
SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois 
algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser 
obtida por esse processo é de 
 
a) 216. 
b) 270. 
c) 288. 
d) 360. 
e) 400. 
 
18) ANPAD-2006. Para proteger um arquivo que continha um documento 
confidencial, Alberto criou uma senha com uma sequência de 4 algarismos 
distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, 
o número máximo de tentativas diferentes é igual a 
 
a) 90. 
b) 112. 
c) 168. 
d) 224. 
e) 280. 
 
19) ANPAD-2006. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a 
cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar 
passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam-se impressos os nomes 
das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos 
de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas 
cidades quaisquer? 
30 
 
 
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a) 5. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 15. 
e) 20. 
 
20) ANPAD-2006. Existem sete funcionários aptos a executar quatro tarefas 
distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar 
qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer 
quatro dentre os sete funcionários e atribuir a cada um deles uma das quatro 
atividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é 
 
a) 840. 
b) 625. 
c) 365. 
d) 35. 
e) 24. 
 
21) ANPAD-2005. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos 
podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9? 
 
a) 130. 
b) 180. 
c) 240. 
d) 360. 
e) 180. 
 
22) ANPAD-2004. Sobre uma circunferência, marcam-se 9 pontos distintos. 
Então, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é 
 
a) 36. 
b) 63. 
c) 84. 
d) 168. 
e) 504. 
 
23) ANPAD-2004. O Conselho Desportivo de uma escola é composto por 2 
professores e 3 alunos. Candidataram-se para constituir esse Conselho 5 
31 
 
 
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professores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este 
Conselho pode ser composto é 
 
a) 360. 
b) 1100. 
c) 2200. 
d) 3260. 
e) 6188. 
 
24) ANPAD-2004. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de 
números de 3 algarismos distintos que se podem formar é 
 
a) 120. 
b) 180. 
c) 210. 
d) 216. 
e) 343. 
 
25) ANPAD 2009 - Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o 
número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, desde que cada uma 
delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a 
 
a) 126. 
b) 119. 
c) 104. 
d) 100. 
e) 98. 
 
26) ANPAD 2009 - Uma indústria de cosméticos está se preparando para 
participar de um evento em que montará um estande e exporá um novo produto 
para massagens. Para isso, convocou sete de seus funcionários (sendo três 
químicos e quatro vendedores) e contratou cinco massagistas para formar equipes 
de cinco pessoas que revezarão durante o evento. Considerando-se que, para 
compor cada equipe, são necessáriospelo menos dois massagistas, pelo menos 
um vendedor e exatamente um químico, então será possível formar 
 
a) 500 equipes distintas. 
b) 300 equipes distintas. 
c) 200 equipes distintas 
32 
 
 
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d) 100 equipes distintas. 
e) 60 equipes distintas. 
 
27) ANPAD 2009 - Vitor esqueceu a senha numérica que colocou em um 
arquivo. Ele lembra que era formada por quatro algarismos diferentes, sendo que 
o primeiro era o triplo do terceiro. Então, o maior número de tentativas diferentes 
que Vitor pode fazer para abrir o arquivo é 
 
a) 168. 
b) 224. 
c) 336. 
d) 480. 
e) 504. 
 
28) ANPAD 2010 - Para montar uma pizza, os clientes de um restaurante devem 
obrigatoriamente escolher: 
 
I. um dentre os tipos de massa: fina, média e grossa; 
II. um dentre os tamanhos: médio e grande; 
III. um dentre os queijos: mussarela, prato e gorgonzola; 
IV. adição ou não de orégano; e 
V. de um a três dentre os tipos de recheio: calabresa, frango, presunto, 
brócolis e filé, sem possibilidade de repetição em uma mesma pizza. 
 
Dadas essas condições, o número de pizzas distintas que é possível montar é 
igual a 
 
a) 3.060. 
b) 900. 
c) 206. 
d) 95. 
e) 35. 
 
29) ANPAD 2010 - Uma empresa multinacional é formada por nove sócios, dos 
quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro são brasileiros, dois são japoneses 
e três são italianos. Decidiu-se que a próxima diretoria seria constituída de quatro 
sócios e deveria contemplar todas as três nacionalidades. O número de formas 
distintas de se formar essa diretoria é igual a 
 
33 
 
 
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a) 32. 
b) 76. 
c) 95. 
d) 126. 
e) 144. 
 
30) ANPAD 2010 - O presidente de uma indústria decidiu formar uma comissão 
de três pessoas para, uma vez por semana, fazer uma vistoria no setor produtivo. 
Para evitar que a comissão seja sempre a mesma, ele designou quatro mulheres e 
três homens devidamente capacitados para tal atividade. Sabendo-se eu foi 
exigida a presença de pelo menos uma mulher em cada comissão, o número de 
comissões distintas passíveis de serem formadas é igual a 
 
a) 35. 
b) 34. 
c) 30. 
d) 18. 
e) 12. 
 
31) ANPAD 2011 - Um professor distribui aos seus alunos 
uma folha com a figura ao lado. Os alunos devem colorir 
cada quadrado de modo que os dois quadrados adjacentes 
(que compartilham uma mesma aresta) não tenham a 
mesma cor. assim, de quantas formas distintas a figura pode 
ser colorida se o professor só aceita figuras que tenham 
exatamente três cores distintas, independentemente de quais 
sejam as três cores escolhidas? 
 
 
a) 6. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 15. 
 
32) ANPAD 2011 - Caio comprou presentes distintos para seus cinco sobrinhos: 
João, que mora na cidade A; Pedro e Luís, que moram na cidade B e no mesmo 
endereço; e José e Antônio, que moram na cidade C e também no mesmo 
endereço. Considerando-se que Caio não pode visitar seus parentes no momento 
e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido, 
34 
 
 
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quantas são as maneiras distintas pelas quais Caio pode enviar os presentes, sem 
identificação do nome do destinatário, pelos Correios? 
 
a) 20. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 60. 
e) 120. 
 
33) ANPAD 2011 - A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência 
conjunta das variáveis setor e grau de instrução referente aos dados dos 36 
funcionários de uma empresa 
 
 Grau de Instrução 
Setor Ensino Médio 
Completo 
Ensino Superior 
Completo 
A 7 4 
B 8 4 
C 5 8 
 
A empresa vai sortear três desses 36 funcionários para fazer parte de uma 
comissão. A probabilidade de que a comissão seja formada por dois funcionários 
que tenham apenas o ensino médio completo e um funcionário com ensino 
superior completo é 
 
a) 
 
 . 
 
b) 
 
 . 
 
c) 
 
 
 
 
 . 
 
d) 
 
 
 
 
 . 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
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34) ANPAD 2011 - No novo sistema de segurança implantado em uma empresa, 
cada funcionário terá uma senha de acesso constituída de quatro caracteres, dos 
quais três são necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distinção 
entre maiúsculas e minúsculas) e um é necessariamente algarismo (de 0 a 9), não 
havendo necessariamente uma ordem específica para a combinação entre letras e 
algarismos. Sendo assim, qual é o número de senhas que possuem três letras 
iguais? 
 
a) 2.080. 
b) 1.040. 
c) 936. 
d) 260. 
e) 234. 
 
35) ANPAD 2012 - Na sala da casa da minha avó, há um lustre com 10 lâmpadas 
coloridas. Como medida de economia de energia elétrica, há um sistema que 
acende, simultaneamente, de quatro a seis lâmpadas aleatoriamente. O número de 
maneiras distintas pelas quais as lâmpadas do lustre podem ser acesas, se o 
sistema for acionado, é igual a 
 
a) 396. 
b) 462. 
c) 584. 
d) 672. 
e) 724. 
 
36) ANPAD 2012 - Três rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, 
os seis, lado a lado, na mesma fileira. O número de maneiras pelas quais eles 
podem distribuir-se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma 
ao lado da outra, e nas extremidades fiquem apenas rapazes é igual a 
 
a) 3. 
b) 6. 
c) 36. 
d) 72. 
e) 108. 
 
37) ANPAD 2012 - Maria tem contas de oito cores diferentes e quer montar 
brincos com quatro contas enfileiradas, devendo as cores das contas ser distintas 
36 
 
 
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entre si. A última conta deve ser azul, preta, branca ou vermelha, e a primeira não 
pode ser vermelha. Assim, o número de brincos diferentes que podem ser 
formados é igual a 
 
a) 672. 
b) 750. 
c) 840. 
d) 1.240. 
e) 1.568. 
 
38) ANPAD 2012 - Anagramas de uma palavra são as diferentes palavras que 
podemos formar permutando-se de todos os modos possíveis as suas letras. O 
anagrama de uma palavra não precisa ter significado. Quantos anagramas da 
palavra ANPAD não começam nem terminam por vogal? 
 
a) 6. 
b) 18. 
c) 24. 
d) 60. 
e) 120. 
 
39) ANPAD 2013 - Utilizando duas letras A, três letras B e (n – 5) letras C, 
podemos formar (n – 2) n (n – 1) anagramas diferentes com as n letras. 
Determine o valor de n. 
 
a) 4. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 7. 
e) é a maior raiz positiva da equação n(n – 7) = –6 aumentada de 2 unidades. 
 
40) ANPAD 2013 - Se as expressões 
 
 e 
 existirem, então 
necessariamente teremos: 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) 
 . 
e) 
 
 
41) ANPAD 2014 - A quantidade de anagramas da palavra ANPAD em que as 
letras A aparecem separadas é igual a 
 
37 
 
 
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a) 24. 
b) 36. 
c) 60. 
d) 84. 
e) 96. 
 
42) FUNDATEC 2011 – Cada trabalho de iniciação científica de certa 
universidade é avaliado por uma banca de cinco professores. Sabendo-se que osdepartamentos A, B e C contam, respectivamente, com três, dois e quatro 
professores disponíveis para a tarefa, o número de possíveis bancas que se podem 
formar, desde que cada uma delas tenha pelo menos um professor de cada 
departamento, é igual a 
 
a) 126 
b) 119 
c) 104 
d) 100 
e) 98 
[Fonte: banco de questões do autor] 
 
43) ANPAD – Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 12 
empresas distintas para venda, dentre as quais encontram-se as empresas A, B e 
C. Ele deseja formar carteiras utilizando 8 dessas empresas de modo que as duas 
regras abaixo sejam satisfeitas. 
 
 A empresa A compõe a carteira se, e somente se, a empresa B também a 
compõe. 
 A empresa C compõe a carteira se, e somente se, a empresa A não a 
compõe. 
 
Assim, o número de carteiras distintas que ele pode formar pode ser escrito 
como: 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
38 
 
 
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44) ANPAD – O número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 8 
deputados e 3 senadores, de maneira que em cada comissão tenha pelo menos 2 
senadores é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
 
Neste link você encontra uma coletânea de provas de Concursos Públicos. 
Algumas delas estão resolvidas e comentadas: 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809233615794458/ 
 
 
 
 
39 
 
 
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Gabarito: 
 
1-E 2-E 3-B 4-A 5-A 6-A 7-B 8-D 9-B 10-A 
11-A 12-D 13-B 14-A 15-D 16-C 17-D 18-D 19-B 20-A 
21-C 22-C 23-C 24-B 25-E 26-B 27-A 28-B 29-B 30-B 
31-D 32-B 33-E 34-B 35-D 36-D 37-B 38-B 39-D 40-A 
41-B 42-E 43-B 44-A 
 
 
Para outras questões sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões por 
Assunto no livro "500 questões resolvidas" (baixe-o, gratuitamente, aqui: 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/648787848505703/). 
 
Baixe os cadernos de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral: 
 
(1) Provas de 2009 a 2012: 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/648788225172332/ 
 
(2) Provas de 2013 e 2014: 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/ 
 
No final deste Caderno há uma lista de links diretos para os arquivos mais 
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12 Instituto Integral Editora - Catálogo 
 
1. Raciocínio Lógico Formal 
 
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2. Raciocínio Lógico Informal 
 
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478483703306/ 
3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/664
452690272552/ 
4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/667
512393299915/ 
5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/809
923325725487/ 
6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I 
 
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788225172332/ 
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7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II 
 
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npad 
8. 500 questões resolvidas 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/648
787848505703/ 
9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/810
897222294764/ 
10. Caderno RQ5 – Probabilidade 
 
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11. Caderno RQ6 - Estatística 
 
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12. Caderno RQ7 – Funções 
 
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13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões 
 
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14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes 
 
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15. Caderno RQ10 - Geometria Plana, 
Geometria Espacial, Geometria Analítica 
 
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16. Caderno RQ11 – Matemática 
Básica 
 
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17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro 
Grau – 1 ou 2 incógnitas 
 
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colecao.html 
 
15. Caderno RQ10 - Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas 
 
16. Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques 
 
17. Caderno RQ12 – Geometrias Plana, Espacial e Analítica 
 
 
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(Quem vai fazer o curso presencial deverá imprimir os itens destacados) 
 
Onde baixar gratuitamente? 
 
1. No grupo Sou Integral no Facebook (associe-se ao grupo): 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/ 
 
2. Através de nossa Lista Preferencial: 
http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesanpad 
http://iintegral.leadlovers.com/iintegral (Técnicas de Superaprendizagem - Vol 1) 
 
3. Em nossa pasta de material didático no Dropbox: 
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Dica para imprimir com baixo custo: 
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(leia a mensagem até o final!) 
 
 
 
 
 
 
 
Você gostaria de fazer uma doação? Você paga apenas o valor simbólico de R$ 27,00 (pela coleção inteira!) no link: 
http://hotmart.net.br/show.html?a=M156693M. 50% do valor pago será encaminhado a instituições de caridade 
no Brasil e também ao Programa Médicos Sem Fronteiras. Os 50% restantes cobrirão custos (comissão da plataforma 
de vendas esalários de digitadores, revisores e outros profissionais envolvidos na composição dos livros. Obrigado!) 
 
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MATERIAL EXCLUSIVO! 
 
Manual do Candidato - Teste ANPAD 
 
 
O Manual contém, entre outros assuntos: 
 
- O que é Teste ANPAD? 
- Provas do Teste ANPAD 
- Como se preparar: 
- - Material da ANPAD 
- - Apostilas e livros 
- - Aulas particulares 
- - Grupos de estudos 
- - Cursos preparatórios 
- Roteiro de estudos 
- Estratégias para a prova 
- Jornada de estudos 
- Véspera da prova 
- No dia da prova 
- Durante a prova 
- Ordem de realização das provas 
- Escore ANPAD 
- Resultado Geral 
- Próximas edições 
- Edital 
 
E muitas DICAS! 
 
Disponível através da Lista Preferencial do Instituto Integral. 
Inscreva-se agora mesmo e receba as instruções para baixar o seu: 
 
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O Manual do Candidato Teste ANPAD também pode ser baixado 
diretamente na Comunidade Sou Integral, no Facebook: 
 
https://www.facebook.com/groups/souintegral/ 
 
 
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LANÇAMENTO EXCLUSIVO! 
 
Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards 
 
 
Alguns tópicos abordados neste livro: 
 
- O que é um flash card? 
- Como confeccionar um flash card? 
- Como memorizar o conteúdo de um flash card? 
- Uso de flash cards nas operações lógicas 
- Aplicações dos flash cards nas operações 
lógicas 
- - Aplicações dos flash cards no argumento 
lógico dedutivo 
- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas 
notáveis 
- Uso de flash cards em Tautologias, 
Contradições e Contingências 
- Uso dos flash cards nas negações: 
 Leis de De Morgan 
 Negação da Condição 
 Negação da bicondição 
 Negação das proposições categóricas: 
todo, nenhum, algum, algum não é 
 
 
Disponível em: 
 
http://edu.institutointegral.com.br/tecnicas-de-superaprendizagem 
 
 
Também disponível aqui: 
 
http://iintegral.leadlovers.com/iintegral 
 
 
 
 
 
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13 Currículo Informal 
 
Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por 
minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante. 
 
Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em 
dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média. 
Ali nasceu o gosto por ensinar... 
 
Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha 
mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá 
para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e 
espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes 
deliciosos e irresistíveis. 
 
Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de 
Matemática, Estatística e Matemática Financeira. 
 
Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de 
Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um 
professor amigo, durante o ano de 1980. 
 
Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico 
Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas 
conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica 
de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois 
conheci o Padre Chico. 
 
Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o 
Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal. 
 
O Padre Chico 
 
Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um 
nome impronunciável em português. 
 
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Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de 
aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia 
de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio! 
 
Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim 
(Alemanha). 
 
Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi 
jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada 
explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico 
gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna. 
 
Primeira Lição 
 
Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre 
Chico a respeito da Lógica Formal. 
 
– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com 
sua peculiar cordialidade. 
 
– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas 
conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de 
aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei. 
 
– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares 
raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente 
filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância 
na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a 
Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia. 
Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou. 
 
“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”, 
pensei. 
 
– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico, 
“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de 
Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou 
matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa 
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confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou 
interpretando erroneamente seus conceitos.” 
... 
 
Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um 
dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro. 
 
Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a 
faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia 
Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi 
interrompido, e só foi concluído em 1998. 
 
Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS. 
 
De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico, 
Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para 
concursos públicos. 
 
Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar 
candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar 
Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas). 
 
De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na 
Esade e na Unifin. 
 
Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras 
FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de 
Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para 
diversos concursosno RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e 
Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc. 
 
Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa 
Federal. 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693 
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Blog da Editora: http://institutointegraleditora.com.br/blog/ 
 
 
 
 
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Plataforma EaD: http://www.institutointegralead.com.br/ 
 
 
 
 
Instituto Integral - 16 anos 
Site do curso presencial: http://www.institutointegral.com.br 
 
 
 
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