ModelosMatematicos

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Modelos matemáticos 
 
Quando tratamos de um problema de PO, estamos diretamente relacionados 
com a modelagem matemática de um problema. A modelagem apresenta processos 
que são usados em várias situações. No entanto, vamos nos focar no estudo dos 
problemas que requerem uma solução, uma decisão. Nessa circunstância, você pode 
fazer a modelagem da situação para realizar várias simulações dos possíveis 
panoramas que irão se configurar diante de determinadas alternativas e, assim, 
visualizar as consequências de uma tomada de decisão. Portanto, podemos dizer que 
ela oferece diretrizes para as decisões nos vários âmbitos da organização. Ou seja, 
oferece informações para chegarmos à melhor decisão ou à melhor solução para o 
problema. 
Você deve estar se perguntando se não foi sempre assim. Não, a elaboração de 
modelos tornou-se viável a partir das inovações tecnológicas, ou seja, da 
disponibilidade de bancos de dados, microcomputadores, entre outros instrumentos 
atualmente disponíveis. 
Assim surgiu uma nova condição para o gerenciamento de problemas ou para a 
gestão das organizações. Muitas vezes deixamos de lado a intuição (instrumento 
anterior dos responsáveis pelas decisões) e passamos a utilizar somente os modelos de 
situações, criados a partir da seleção dos dados relevantes e da simulação das 
possíveis soluções. 
Todavia, a postura de abandono da intuição não é a melhor escolha. O 
recomendável é unir as duas fontes de informações. Utilizarmos a intuição como 
ferramenta auxiliar nos processos de: 
• classificação da relevância da informação, a fim de utilizá-la ou não; 
• escolha dos cenários a serem estudados; 
• validação do modelo sugerido para a situação; 
• análise dos resultados dos estudos. 
É possível percebermos nessa descrição operacional (reveladora da interferência do 
aspecto subjetivo) que se de fato atribuirmos apenas aos dados da modelagem a 
responsabilidade pela decisão estamos negando a capacidade humana de análise e de 
ponderação sobre os fatos. Veja essa dinâmica de interação entre os modelos 
utilizados em PO e a intuição do decisor na Figura 1. 
Figura 1 – Processo de tomada de decisão 
 
Fonte: Lachtermacher, 2009, p. 3. 
Você pode acompanhar na figura, pela direção das setas, a concepção que 
reserva para a intuição a função de selecionar aspectos do modelo que considerar 
pertinentes, bem como a de validar perspectivas de resultados. Observe que, enquanto 
todo o processo ocorre no espaço do chamado “mundo real” (inclusive o “mundo 
simbólico”), a intuição situa-se fora de tal espaço. 
No que se refere aos modelos, você irá encontrar na literatura e na prática de 
gestão três tipos: os físicos, os análogos e os matemáticos ou simbólicos. No entanto, 
neste estudo, quando nos referimos aos modelos, estamos tratando dos modelos 
matemáticos, que são os mais utilizados nas atividades gerenciais. 
As características fundamentais dos modelos matemáticos são: 
• as grandezas são representadas por variáveis de decisão; 
• as relações entre as variáveis são apresentadas por expressões 
matemáticas; 
• necessitam de informações quantificáveis. 
O que ocorre é o seguinte: no processo de enunciação do problema e resolução 
para encontrar a solução ótima, aplicamos a modelagem, ou seja, procuramos definir 
os aspectos que nos permitem delinear os passos para a obtenção da solução do 
problema. 
Mas, ao falarmos em modelos e modelagem, devemos destacar que as funções 
linear, mista e não linear, entre outras, são técnicas matemáticas de uso na PO. E, 
nesse contexto, a estruturação do modelo tem relação direta com o sistema 
representado, que é real. 
Prevalece no estudo de PO, como você irá observar, ao analisar os exemplos, a 
ideia de uma estrutura em que é observado um conjunto de elementos que se 
interligam estabelecendo uma situação específica, um contexto, ou seja, a realidade 
concreta dos fatos e fatores. Nesse sentido, a modelagem é um processo que utiliza 
ferramentas matemáticas para organizar os dados de uma circunstância de tal forma 
que crie modelos facilitadores para uma tomada de decisão. 
Para facilitar os procedimentos, ou seja, a aplicação dessa ferramenta, 
costumamos dizer que a PO é dividida em seis fases, na seguinte ordem: 
• formulação do problema; 
• construção ou alteração do modelo; 
• cálculo do modelo; 
• teste do modelo e da solução; 
• estabelecimento e controle das soluções; 
• implantação e acompanhamento. 
Se você observar cada uma dessas fases, vai perceber que elas de fato são as 
etapas a serem transpostas, enfrentadas e executadas na solução do problema 
apresentado para encontrar a solução ótima. Vamos, portanto, fazer um resumo 
descritivo dos seis passos listados. Você irá perceber que o quinto e o sexto passo 
apresentam alguns aspectos interdependentes. 
Formulação do problema — Nessa fase, determinamos o que pretendemos 
fazer. É o momento de definições, no qual devemos desenvolver o problema 
cuidadosamente, com clareza e coerência, delimitando os objetivos a alcançar e 
identificando as limitações ou restrições do produto em estudo, inclusive esboçando e 
acolhendo críticas aos possíveis caminhos que desejamos alcançar. É o período 
adequado para fazermos as proposições possíveis, verificando os registros e coletando 
novas informações, com máxima precisão e veracidade das informações. 
E se a formulação for feita de modo equivocado? Você deve lembrar que, se a 
formulação for feita de modo equivocado, fugindo do objeto de estudo, todas as outras 
fases ficam comprometidas e podem levar ao erro. 
Construção ou alteração do modelo — Partimos para o enfrentamento dessa 
fase com a concepção de que o modelo é uma representação da realidade estudada, 
portanto, ele depende do estudo do problema já levantado na fase inicial. É importante 
lembrar que os elementos constitutivos do modelo são oriundos de dados da empresa 
ou do mercado, ou, ainda, do cenário que está sendo analisado. Aqui prevalece a 
modelagem matemática, definida por equações e inequações matemáticas, seja na 
função objetivo ou em suas restrições, como veremos mais adiante. Cabe lembrar que 
nessa fase é preciso separar as variáveis decisivas, também chamadas de variáveis 
controláveis, das variáveis não controláveis. Para exemplificar, podemos dizer que uma 
variável controlável é aquela que, em uma situação de produção, representa a 
quantidade produzida. Já o outro tipo de variável não controlada poderia ser a 
demanda dessa quantidade ou o preço de mercado praticado por certo produto. 
Cálculo do modelo — Também podemos chamá-la de resolução do modelo. É a 
fase na qual encontramos a solução ou as soluções do modelo por meio de diversas 
técnicas de resolução, desde as mais simples, nas quais os problemas também são 
simples, até técnicas de programação lineares mais sofisticadas. O método simplex é 
uma dessas técnicas que podemos utilizar quando se trata de problemas com mais de 
duas variáveis controladas. Existem também muitos recursos computacionais que 
permitem fazer o cálculo com extremo rigor, confiabilidade e rapidez. Podemos 
destacar alguns, como o Solver do Microsoft® Office Excel, Lindo, Lingo, OMP, Maple, 
PLM, WinQSB, etc. 
Teste do modelo e da solução — Nessa fase, verificamos se os resultados 
obtidos pelas soluções encontradas do modelo matemático servem para o modelo real 
do problema, após sua implantação, ou, ainda, se ele permite verificar se serão 
necessárias novas soluções para melhorar ainda mais. 
Estabelecimento e controle das soluções — Por que controle? Naconstrução do 
modelo, bem como na sua execução, devemos identificar alguns parâmetros ou valores 
fixos para a solução do problema. Esses parâmetros devem ser controlados, para que, 
caso sofram desvios durante o processo, o modelo possa ser corrigido. 
Implantação e acompanhamento — É quando verificamos com precisão o que 
conseguimos, ou seja, o que encontramos nas fases anteriores, desde que tenhamos 
feito todo o acompanhamento do processo. Podemos também, nessa etapa, fazer 
correções ou ajustes no modelo, caso sejam necessários. 
É interessante que você saiba que a pesquisa operacional atua em vários níveis 
do conhecimento, que podem ser formulados matematicamente, adotando uma técnica 
específica para cada situação, como, por exemplo: 
• em setores cujo objetivo é otimizar a quantidade produzida para alcançar o 
menor custo ou a maior receita (aumentar ou diminuir), situação na qual 
podemos citar a agricultura, a indústria química ou a produção industrial; 
• na indústria moveleira e metalúrgica, a qual procura minimizar o 
desperdício com problemas de cortes de chapas ou madeiras, tendo assim um 
melhor aproveitamento; 
• em carteira de investimentos que possam trazer uma opção melhor para 
um determinado investimento, em função de obter uma melhor rentabilidade; 
• em situações de transporte para otimizar o tempo e custo tanto no que se 
refere a fluxo de transporte, como fluxo para obtenção do caminho mínimo. 
Para cada situação, como já dissemos, utilizamos uma ferramenta (procedimento) 
ou técnica, conforme particularidades que apresentam. Entre elas, podemos destacar: 
• a programação linear (PL) que consiste na programação matemática que 
procura otimizar situações-problema sujeitas a certas restrições— 
maximizando ou minimizando. Cabe ressaltar que existem outros tipos de 
programação linear, com características bem definidas, como as da 
Programação Inteira, Mista ou Dinâmica; 
• a teoria das filas, cuja finalidade é trabalhar com situações de 
congestionamentos de sistemas, tempo de espera em filas, entre outras; 
• a teoria dos grafos, técnica que é direcionada para os fluxos máximos, o 
caminho mais curto, a roteirização de caminhos para veículos, o planejamento 
e programação de projetos — PERT e CPM; 
• a simulação, que atua com modelos representativos analisando o 
comportamento de variáveis e abrangendo situações que favorecem à lei do 
acaso, sendo otimizadas. Como exemplo podemos falar sobre a simulação de 
Monte Carlo; 
• a teoria dos jogos, a qual se baseia em estratégias para persuasão e 
tomada de decisão. 
Você pode usar todas essas técnicas para o estudo do problema e a obtenção de 
dados quantificados como subsídios para tomar decisões na empresa.