MetodoGrafico

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Método Gráfico 
Com o intuito de visualizar o significado geométrico da função objetivo e 
das restrições de um problema de programação linear com duas variáveis, 
podemos utilizar o método gráfico. Inicialmente iremos considerar um sistema 
de eixos coordenados onde cada variável do problema da indústria de artigos 
de couro está associada a um dos eixos. 
 
 
A primeira restrição, 500b+200c<=20000 é representada facilmente 
construindo-se uma tabela como segue: 
b c 
0 100 
40 0 
 
 Atribuímos, inicialmente, o valor 0 para b e calculamos o valor de c. Em 
seguida basta substituir c por 0 para determinarmos o valor de b. Note que as 
escolhas de b = 0 e c = 0 facilitam a representação da restrição pois geram 
pontos sobre os eixos coordenados. Como a restrição é de menor ou igual, 
consideramos a região que fica abaixo da reta 500b+200c=20000. 
 
 De modo similar, atribuímos valores nulos, separadamente, para b e c e 
substituímos esses valores na equação 1b+1c<=44 para, dessa maneira 
representamos em seguida a segunda restrição do problema. 
b c 
0 44 
44 0 
 
 Novamente, pelo fato de termos uma restrição de menor ou igual, a 
região abaixo da reta 1b+1c=44 é considerada. 
 
 Assim, temos a região factível destacada na figura abaixo. A região 
contém as possíveis soluções do problema. Por outro lado, pontos fora da 
região não satisfazem as restrições do problema. 
 
 
 
Observe que as restrições limitam a capacidade de produção. Elas agem 
como cortes feitos em um plano, inicialmente ilimitado, mas que obviamente 
tem as limitações devido às características físicas do problema. 
Graficamente, a função objetivo pode ser representada atribuindo 
valores aleatórios para L e, em seguida, representando as respectivas retas 
obtidas. Mas por que devemos proceder assim? Note que a função objetivo é 
uma função cujo valor do lucro (L) depende das variáveis do problema, nesse 
caso, b e c. Como ainda não sabemos o valor ótimo dessas variáveis, 
atribuímos valores quaisquer para elas de modo a observarmos o 
comportamento de função objetivo e, consequentemente, encontrarmos a 
solução ótima do problema. 
Para o nosso exemplo, a função objetivo é dada por L=39b+17c. 
Com o intuito de representarmos graficamente a função objetivo, vamos 
atribuir, aleatoriamente, os seguintes valores para L: 
1°) L=0 
2°) L=1000 
3°) L=1500 
Para L=0, a função objetivo pode ser escrita como 39b+17c=0. Para 
representarmos graficamente essa reta, construiremos uma tabela e 
atribuiremos um valor aleatório para b com o objetivo de substituir esse valor 
na expressão 39b+17c=0 para calcularmos c. Em seguida, atribuiremos um 
valor para c e com isso poderemos calcular o valor de b da mesma maneira. A 
tabela a seguir apresenta esses valores. 
b c 
0 0 
-17 39 
 
Nesse caso é fácil perceber que a função objetivo passará pelos pontos 
(0, 0) e (-17, 39). 
 
De modo análogo, podemos representar graficamente a função objetivo 
para L=1000. Nesse caso, os pontos escolhidos para que possamos representar 
graficamente a reta são os seguintes. 
b c 
0 58,8 
25,6 0 
 
Logo, temos o seguinte gráfico. 
 
 
E, finalmente, fazendo L=1500, a função objetivo pode ser escrita como 
39b+17c=1500 e a tabela contendo os valores de b e c para que possamos 
fazer a representação gráfica é a seguinte. 
 
b c 
0 88,2 
38,5 0 
 
Nesse caso, temos o seguinte gráfico. 
 
 
 
Observe que à medida em que aumentamos o valor de L, as retas 
associadas à função objetivo se aproximam cada vez mais de um dos vértices 
da região factível do problema. 
Isso sempre irá acontecer. A solução ótima de um problema de PL 
encontra-se em um dos vértices da região factível. No caso do problema possuir 
mais do que uma solução ótima, a solução encontra-se em todos os pontos 
entre dois vértices ótimos. Assim, uma forma bastante simples de determinar a 
solução ótima de um problema de PL através do método gráfico é construir 
uma tabela contendo os vértices da região factível e, em seguida, substituir 
cada um desses pontos na função objetivo. 
Pensando assim, para que possamos resolver graficamente um problema 
de PL, não é necessário representar graficamente a função objetivo. Podemos 
construir uma tabela contendo os vértices da região factível. Em seguida, basta 
substituir as coordenadas do vértice na função objetivo e o que fornecer o 
maior valor corresponderá então à solução do problema. 
No nosso exemplo, os vértices são: (0, 0), (0, 44), (37,33; 6,66) e (40, 
0). O vértice (37,33; 6,66) foi obtido através da resolução do sistema de 
equações 





44cb
20000200c500b 
Sendo assim, a tabela contendo os vértices e os respectivos valores de L 
é dada a seguir. 
(b,c) L=39b+17c L 
(0,0) 
L=39(0)+17(0) 
L=0+0 
L=0 
0 
(0,44) 
L=39(0)+17(44) 
L=0+748 
L=748 
748 
(37,33; 6,66) 
L=39(37,33)+17(6,66) 
L=1455,87+113,22 
L=1569,09 
1569,09 
(40,0) L=39(40)+17(0) 1560 
L=1560+0 
L=1560 
 
Como o maior lucro possível foi L=1569,09 para b=37,33 e c=6,66, 
temos que a solução ótima do problema é: 
b=37,33 
c=6,66 
L=1569,09 
Tanto o método gráfico quanto o método simplex fornecem soluções que 
nem sempre são inteiras. Quando utilizamos o WinQSB, por exemplo, é possível 
selecionar o tipo de variável do problema (contínua, inteira, binária ou 
irrestrita). No caso do problema da indústria de artigos de couro, o tipo mais 
indicado são as variáveis inteiras. 
É importante ressaltar que se o problema for de maximização, a solução 
ótima consiste no vértice que gera o maior valor para a função objetivo. Para 
problemas de minimização, o nosso objetivo é determinar o vértice que gera o 
menor valor para a função objetivo.