Equação geral da corrente senoidal

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Equação geral da corrente senoidal
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A característica básica de uma corrente alternada é a sua variação, normalmente periódica, com o tempo.
No circuito simples da Figura 01, uma fonte de corrente alternada CA alimenta uma carga genérica (são também usuais as iniciais inglesas AC).
Assim, a tensão e a corrente na carga são funções do tempo, v(t) e i(t) respectivamente (é também usual a notação com dispensa da indicação do tempo, ou seja, v e i simplesmente).
Fig 01
Em circuitos de corrente contínua, é comum simbolizar a carga com um resistor. No caso de CA, dispositivos que armazenam energia como capacitores e indutores têm comportamentos distintos.
No circuito da figura, o símbolo indica uma carga genérica, podendo ser qualquer combinação de resistores, capacitores e indutores.
A corrente alternada mais simples (e usada na prática) é denominada senoidal porque é expressa matematicamente pela função seno.
Em (a) da Figura 02, o gráfico padrão da função sen x para o intervalo  0 < x < 4π.
Entretanto, a formulação mais genérica deve ser
sen(x + φ) #A.1#
Onde φ é o ângulo de fase. Representa um deslocamento angular em relação à origem. Assim, em (a) da figura ocorre φ = 0 e, em (b) da mesma figura, φ > 0.
Fig 02
Segundo relações trigonométricas,
#B.1#
Conclui-se, portanto, que a corrente alternada também pode ser representada pela função co-seno. Nesta série de páginas, ambas as funções podem ser usadas.
Para a adequada representação de tensão e corrente senoidais, segundo a formulação básica do movimento periódico, o ângulo x das igualdades anteriores deve ser igual à velocidade angular (ω) multiplicada pelo tempo (t).
E a função seno (que só varia entre −1 e +1) deve ser multiplicada por um valor indicativo da amplitude ou valor de pico.
Quanto ao ângulo de fase, é comum considerar zero para uma grandeza (tensão, por exemplo) e φ para a outra. Assim, o ângulo φ é a diferença de fase entre corrente e tensão.
Fig 03
Portanto, tensão (v) e corrente (i) senoidais podem ser escritas conforme equações abaixo.
#C.1#
#C.2#
v, i: valores instantâneos. Equivalem às notações v(t) e i(t) respectivamente.
Vp, Ip: valores de pico.
ω: velocidade angular (unidade SI: rad/s).
t: tempo (s).
φ: ângulo de fase (rad).
A freqüência (f) é relacionada com a velocidade angular (ω) pela igualdade
#D.1#
Unidade SI da freqüência: hertz Hz, equivalente a 1/s.
O período T é o tempo para um ciclo completo, ou seja, ωT = 2 π. Portanto,
#D.2#
Obs: a velocidade angular (ω) é também denominada frequência angular, em conformidade com a relação #D.1# (é simplesmente a frequência multiplicada pelo fator 2π). Poderia ter a mesma unidade da frequência, uma vez que ângulo é uma grandeza adimensional. Entretanto, para evitar ambiguidades, usa-se quase sempre a unidade rad/s. Em vários estudos, é preferível o uso de ω no lugar de f para eliminar a repetição excessiva do fator 2π.
Uma função sinusoidal F(t) é uma função alternada que oscila entre dois valores -Fmáx e Fmáx e tem a mesma forma da função seno ou cosseno, como mostra a figura 11.3. Basta saber os valores das 3 distâncias T, Fmáx e tmáx referidas na figura, para caraterizar cada uma dessas funções.
Figura 11.3. Função sinusoidal com períodoT e valor máximo Fmáx.
O intervalo T entre dois máximos ou dois mínimos sucessivos é o período da função e o seu inverso, f=1/T, é a frequência.
Designando por tmáx o valor absoluto da coordenada t onde a função atinge o seu valor máximo Fmáx, pela última vez antes de t=0, define-se a fase da função como:
φ=2π(tmaxT)
Uma função sinusoidal também pode ser caraterizada pelo seu valor máximo Fmáx (também chamado amplitude), a sua fase φ e a sua frequência angular: ω, definida por:
ω=2πT
Assim sendo, as funções sinusoidais têm todas a forma geral:
F(t)=Fmaxcos(ωt+φ)(4)
Note-se que é possível representar a mesma função de várias formas. Pode-se substituir o cosseno por seno e subtrair π/2 à fase, sem alterar o resultado. Pode-se também inverter os sinais da frequência angular e da fase, simultaneamente, e ainda somar ou subtrair qualquer múltiplo de 2π à fase. No entanto, para facilitar a identificação à vista, utilizam-se apenas a função cosseno, frequências angulares positivas e fases no intervalo [0, 2π[. Essas 3 escolhas são arbitrárias, mas são habituais.
Duas funções sinusoidais que não tenham o mesmo valor máximo, fase e frequência angular, são necessariamente diferentes. E duas funções sinusoidais com a mesma frequência angular terão, necessariamente, a mesma frequência e o mesmo período.
	
Dadas duas variáveis x e y, dizemos que y é função senoidal de x, quando é dado por uma fórmula do tipo:
em que  e K são constantes. As expressões  e  mostram que tanto a f.e.m. como a corrente do gerador são funções senoidais do tempo. Dizemos simplesmente que a f.e.m. e a corrente são senoidais.
 Função senoidal
As correntes que as usinas elétricas fornecem para as cidades são sempre senoidais (as correntes usadas na indústria, nas residências, etc.).
Todas as definições do próximo parágrafo valem para correntes senoidais.
1ª - Corente alternada senoidal
 
Chama-se corrente alternada senoidal aquela cuja intensidade é dada em função do tempo por:
 em que  e  são constantes. 
2ª - Pulsação
 
É a grandeza  que aparece na expressão da corrente. 
A unidade de pulsação é radiano/segundo.
3ª - Período
 
	É o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas da corrente num mesmo sentido com o mesmo valor. É o tempo T da figura 330.
O período em geral se avalia em segundos.
	
Figura 330
4ª - Frequência
 
É o inverso do período. Sendo f a frequência e T o período, temos:
A unidade de frequência é: 1/segundo (cujo símbolo é 1/seg ou seg-1 ). A frequência significa o número de períodos existentes na unidade de tempo.
Na prática, em vez de se usar como unidade de frequência o seg-1 , que fisicamente é a unidade correta, avalia-se a frequência emciclo por segundo. Por exemplo: dizemos que na cidade de São Paulo, a frequência da corrente é de 60 ciclos por segundo, em vez de dizermos que é de 60seg-1 . Significa que essa corrente tem 60 períodos em um segundo, isto é, ela muda de sentido 60 vezes num segundo.
A frequência se relaciona com a pulsação por:
Sendo f=1/T , também podemos escrever:
=2/T
5ª - Fase
 
Chama-se fase no instante t ao ângulo  , isto é, a fase e o produto da pulsação pelo tempo. Avalia-se a fase em radianos.
6ª - Valor eficaz
 
Chama-se valor eficaz da intensidade de uma corrente alternada à intensidade de uma corrente elétrica constante e imagináriaque faria com que o condutor absorvesse a mesma potência que absorve quando é percorrido pela corrente alternada. Pode-se demonstrar que o valor eficaz é igual ao quociente do valor máximo por  , isto é:
Exemplo
 
O que caracteriza a intensidade de uma corrente alternada é o seu valor eficaz. Assim, quando se diz corrente alternada de 5 ampères, fica subentendido que o valor eficaz é de 5 ampères. Uma corrente alternada tem a lei:
Qual seu valor máximo e seu valor eficaz?
Solução
 
O valor máximo é 14 A, de acordo com a fórmula . O valor eficaz é:
 ou 
	
Figura 332
	O significado físico desses 10A é o seguinte:
nessa corrente alternada a corrente varia desde 0 até 14A, depois diminui outra vez até zero, muda de sentido, cresce novamente até 14A, diminui até zero, etc(fig. 332). Mas, se em vez de sofrer essas variações, a corrente fosse constante e igual a 10A, o circuito absorveria a mesma potência.