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Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas Departamento de Matema´tica MTM3101 - Ca´lculo 1 12a lista de exerc´ıcios (13/11/2017 a 24/11/2017) 1. Verifique se as integrais impro´prias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.∫ 3 −∞ dx (9− x)2(a) ∫ ∞ 0 xe−xdx(b) ∫ +∞ 0 dx (1 + x) √ x (c)∫ ∞ −∞ cos2 x dx(d) ∫ 0 −∞ e−xdx(e) ∫ ∞ 1 lnx x dx(f)∫ 3 0 1√ x dx(g) ∫ pi/2 0 sec2 x dx(h) ∫ 4 −4 1 (x+ 1)2/3 dx(i)∫ 1 −1 x−4/3dx(j) ∫ 0 −2 1 (x+ 1)1/3 dx(k) ∫ 2 0 1 1− x2 dx(l)∫ +∞ 2pi sen θ dθ(m) ∫ 8 0 1 x1/3 dx(n) ∫ 4 0 dx (4− x)3/2(o)∫ +∞ −∞ 2x (x2 + 1)2 dx(p) ∫ ∞ 2 dx x− 1(q) ∫ 2 1 ds s √ s2 − 1(r) 2. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral impro´pria e´ convergente ou divergente, justificando sua resposta.∫ ∞ 0 x2 − 1 x4 + 1 dx(a) ∫ ∞ 1 senx x2 dx(b) ∫ 2 −∞ x3 − 2x2 + 4x− 1 x4 + 2x3 − 5x2 + x− 3 dx(c) 3. Determine a a´rea A da regia˜o do primeiro quadrante limitado pela curva y = 2−x, o eixo x e o eixo y. 4. Calcule ∫ ∞ −∞ xe−x 2 dx. 5. Seja f : [0,∞) → R uma func¸a˜o cont´ınua, limitada e com derivada cont´ınua e limitada em [0,∞). Considere L(f) : [0,∞)→ R definida por L(f)(s) = ∫ ∞ 0 e−stf(t) dt, que e´ chamada de transformada de Laplace de f . Mostre que a func¸a˜o L(f) esta´ bem definida; isto e´, mostre que a integral impro´pria acima e´ convergente, para cada s > 0. (a) Mostre que L(f ′)(s) = sL(f)(s)− f(0), para cada s > 0. (b) 1 6. Encontre a transformada de Laplace das func¸o˜es f(t) = { 0, t < 0 1, t > 0 (a) f(t) = { 0, t < 0 t, t ≥ 0(b) f(t) = { 0, t < 0 sen t, t ≥ 0(c) 2
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