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Lista de exercícios 12

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
12a lista de exerc´ıcios (13/11/2017 a 24/11/2017)
1. Verifique se as integrais impro´prias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de
convergir calcule o resultado.∫ 3
−∞
dx
(9− x)2(a)
∫ ∞
0
xe−xdx(b)
∫ +∞
0
dx
(1 + x)
√
x
(c)∫ ∞
−∞
cos2 x dx(d)
∫ 0
−∞
e−xdx(e)
∫ ∞
1
lnx
x
dx(f)∫ 3
0
1√
x
dx(g)
∫ pi/2
0
sec2 x dx(h)
∫ 4
−4
1
(x+ 1)2/3
dx(i)∫ 1
−1
x−4/3dx(j)
∫ 0
−2
1
(x+ 1)1/3
dx(k)
∫ 2
0
1
1− x2 dx(l)∫ +∞
2pi
sen θ dθ(m)
∫ 8
0
1
x1/3
dx(n)
∫ 4
0
dx
(4− x)3/2(o)∫ +∞
−∞
2x
(x2 + 1)2
dx(p)
∫ ∞
2
dx
x− 1(q)
∫ 2
1
ds
s
√
s2 − 1(r)
2. Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral impro´pria e´ convergente ou divergente, justificando
sua resposta.∫ ∞
0
x2 − 1
x4 + 1
dx(a)
∫ ∞
1
senx
x2
dx(b)
∫ 2
−∞
x3 − 2x2 + 4x− 1
x4 + 2x3 − 5x2 + x− 3 dx(c)
3. Determine a a´rea A da regia˜o do primeiro quadrante limitado pela curva y = 2−x, o eixo x e o eixo y.
4. Calcule
∫ ∞
−∞
xe−x
2
dx.
5. Seja f : [0,∞) → R uma func¸a˜o cont´ınua, limitada e com derivada cont´ınua e limitada em [0,∞).
Considere L(f) : [0,∞)→ R definida por
L(f)(s) =
∫ ∞
0
e−stf(t) dt,
que e´ chamada de transformada de Laplace de f .
Mostre que a func¸a˜o L(f) esta´ bem definida; isto e´, mostre que a integral impro´pria acima e´
convergente, para cada s > 0.
(a)
Mostre que
L(f ′)(s) = sL(f)(s)− f(0), para cada s > 0.
(b)
1
6. Encontre a transformada de Laplace das func¸o˜es
f(t) =
{
0, t < 0
1, t > 0
(a) f(t) =
{
0, t < 0
t, t ≥ 0(b) f(t) =
{
0, t < 0
sen t, t ≥ 0(c)
2

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