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Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas Departamento de Matema´tica MTM3101 - Ca´lculo 1 4a lista de exerc´ıcios (21/08/2017 a 01/09/2017) 1. a) O gra´fico da figura a seguir e´ composto por segmentos de reta unidos pelas extremidades. Em quais pontos do intervalo [−4, 6] f ′ na˜o esta´ definida? Justifique sua resposta. b) Represente graficamente a derivada de f . 2. Use as informac¸o˜es a seguir para fazer o gra´fico da func¸a˜o f no intervalo fechado [−2, 5]. i) O gra´fico de f e´ composto por segmentos de reta fechados unidos pelas extremidades. ii) O gra´fico comec¸a no ponto (−2, 3). iii) A derivada de f e´ a func¸a˜o escada da figura a seguir. 1 3. Use a definic¸a˜o para calcular as derivadas da func¸a˜o. Depois, determine os valores da derivada conforme especificado. f(x) = 4− x2; f ′(−3), f ′(0), f ′(1).(a) g(t) = 1 t2 ; g′(−1), g′(2), g′(√3 ).(b) p(θ) = √ 3θ; p′(1), p′(3), p′(2/3).(c) 4. Seja g(x) = { x2 + 2, x < 1 2x+ 1, x > 1. Mostre que g e´ deriva´vel em x = 1 e calcule g′(1).(a) Esboce o gra´fico de g.(b) 5. Seja f(x) = { x+ 1, x < 1 −x+ 3, x > 1. Esboce o gra´fico de f .(a) A func¸a˜o f e´ deriva´vel em x = 1? Por queˆ?(b) 6. Seja f : R→ R uma func¸a˜o que satisfaz f(x+ h) = f(x)f(h), para todo x, h ∈ R e f(0) 6= 0. Calcule o valor de f(0).(a) Mostre que se existir f ′(0) enta˜o a func¸a˜o f sera´ diferencia´vel em R e que f ′(x) = f ′(0)f(x), para todo x ∈ R. (b) 7. Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x4 e paralela a` reta y = 4x+ 3. 8. Seja r a reta tangente ao gra´fico de f(x) = 1 x2 no ponto p. Verifique que r intercepta o eixo x no ponto (3p 2 , 0). 9. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 onde a tangente e´ horizontal. 10. Mostre que a curva y = 6x3 + 5x− 3 na˜o tem reta tangente com inclinac¸a˜o 4. 11. As curvas y = x2 + ax+ b e y = cx− x2 teˆm uma tangente em comum no ponto (1, 0). Encontre a, b e c. 12. A reta normal a` curva C em um ponto P e´, por definic¸a˜o, a reta que passa por P e e´ perpendicular a` reta tangente a C em P . Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` para´bola y = 1− x2 no ponto (2,−3). Esboce a para´bola e sua reta normal. 13. A reta s passa pelo ponto (3, 0) e e´ normal ao gra´fico de f(x) = x2 no ponto (x0, y0). As coordenadas x0 e y0 sa˜o, respectivamente: 2 e 4(a) 1 2 e 1 4 (b) 1 e 1(c) 1 3 e 1 9 (d) 5 2 e 25 4 (e) 14. Dado f(x) = √ 9− x2, mostre que a derivada a` direita em −3 e a derivada a` esquerda em 3 na˜o existem. 2 15. Suponha que f(3) = −2, f ′(3) = 3, g(3) = 1 e g′(3) = −2. Encontre os valores de: (fg)′ (3)(a) ( f g )′ (3)(b) ( g f )′ (3)(c) 16. A regra do produto fornece a fo´rmula d dx (uv) = u dv dx + v du dx para a derivada do produto uv de duas func¸o˜es deriva´veis de x. Qual e´ a fo´rmula ana´loga para a derivada do produto uvw de treˆs func¸o˜es deriva´veis de x? 17. Dado f(x) = 2x3 encontre f ′(x3). 18. Se a reta tangente a y = f(x) em (2, 1) passa pelo ponto (1, 2), encontre f(2) e f ′(2). 19. Calcular a derivada da func¸a˜o, onde ela existir, nos seguintes casos: f(x) = 37(a) f(x) = 17x− 65(b) f(s) = √ 3 (s3 − s2)(c) f(x) = (1 +√x )2(d) g(x) = 1 x4 + 2x− x−4(e) f(x) = 3x 3 − 2x2 + 4 4x3 + 5x2 (f) F (x) = (5x− 8)−2 (x2 + 3)−3 (g) f(x) = √ 1 + √ 1 + x(h) f(x) = 4 x250(i) f(x) = 7 √ x3 + 101−x 2 (j) g(x) = 3 √ x2 − 3 6x2 + 3 (k) f(x) = x x+ 3 x (l) g(x) = (7x2 + 6x)7(3x− 1)4(m) H(z) = (z3 − 3z2 + 1)−3(n) f(x) = (x2 + 3)(2x− 5)(3x+ 2)(o) f(x) = pix(p) f(x) = log7 x(q) f(x) = √ x+ 2 + 6 x3 + 2x (r) f(x) = log3 x+ 5x 2 lnx(s) f(x) = ex x5 + 2x (t) f(x) = x+ 4 x lnx (u) f(x) = 4 √ x− 2 x+ 2 (v) g(x) = ex 3 ln(3 + √ x)(w) y = √ x4 + e √ x(x) 20. Calcular a derivada das seguintes func¸o˜es: f(x) = sec x(a) f(x) = cotg x(b) f(x) = cosec x(c) f(x) = tan x(d) f(x) = cosx cotg x secx− cosx(e) f(x) = 2 cosx x2 + 1 2 x+ 1 (f) f(x) = ln[x+ cosx](g) f(x) = e2x ln ( x senx+ e−x x5 + 1 ) (h) f(x) = cosx+ senx x2 + 1 (i) f(x) = x4 + 2x x senx (j) 3 f(x) = x3 + senx x3 − senx(k) f(x) = 5 cosecx+ cotg x+ x 5tg x(l) f(x) = x3 cosx (3 + lnx+ senx)(m) f(x) = ( 3 √ x+ √ x ) excotg x(n) y = cos (sen x)(o) y = etan 2 x(p) y = ln(cosecx+ cotg x)(q) f(x) = cosx sen4 x (r) f(t) = t e2 sen t ln(3t+ 1) (s) y = sen[(2t+ 5)−2/3](t) 21. Verifique se as func¸o˜es f, g : R→ R abaixo sa˜o diferencia´veis no ponto x = 2. f(x) = { x2, se x 6 2 x+ 2, se x > 2. (a) g(x) = { x sen(pix), se x 6 2( x2 + 1 ) cos(pix), se x > 2. (b) 22. Considere a func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) = { x2 sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0. Pergunta-se: a func¸a˜o f e´ cont´ınua em R? Justifique sua resposta;(a) a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em R? Justifique sua resposta;(b) caso seja diferencia´vel, encontre a func¸a˜o f ′ : R→ R;(c) se existe, a func¸a˜o f ′ e´ cont´ınua em R? Justifique sua resposta.(d) 23. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g(t) = f(t2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1). 24. Seja g : R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que g(−1) = 3 e g′(−1) = 5. Calcule f ′(0), sendo f dada por f(x) = exg(4x− 1). 25. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = (x2 − 4)2 (3x− 5)2 no ponto (1, 9/4). 26. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal em (p, f(p)) sendo dados: f(x) = x2 − 2x+ 1 e p = 2.(a) f(x) = 2√x e p = 4.(b) f(x) = e7x 2 e p = 0.(c) f(x) = sen(pix) e p = 1.(d) 27. Considere a func¸a˜o diferencia´vel g : R → R tal que g(2) = 2 e g′(2) = 2. Determine H ′(2), onde H e´ dada por H(x) = g(g(g(x))). 28. Seja y = t 2 x+t , onde t = t(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy dx (1) sabendo que dt dx (1) = 4 e t(1) = 2. Observac¸a˜o: Note que t e´ uma func¸a˜o de x. 29. Diferencie: (Sugesta˜o: |a| = √a2). g(x) = |x2 − 4|(a) g(x) = x |x|(b) f(x) = 3√|x|+ x(c) 30. Mostre que a func¸a˜o f(x) = |x − 5| na˜o e´ diferencia´vel em 5. Encontre uma fo´rmula para f ′ e esboce seu gra´fico. 4
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