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Lista de exercícios 4

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
4a lista de exerc´ıcios (21/08/2017 a 01/09/2017)
1. a) O gra´fico da figura a seguir e´ composto por segmentos de reta unidos pelas extremidades. Em quais
pontos do intervalo [−4, 6] f ′ na˜o esta´ definida? Justifique sua resposta.
b) Represente graficamente a derivada de f .
2. Use as informac¸o˜es a seguir para fazer o gra´fico da func¸a˜o f no intervalo fechado [−2, 5].
i) O gra´fico de f e´ composto por segmentos de reta fechados unidos pelas extremidades.
ii) O gra´fico comec¸a no ponto (−2, 3).
iii) A derivada de f e´ a func¸a˜o escada da figura a seguir.
1
3. Use a definic¸a˜o para calcular as derivadas da func¸a˜o. Depois, determine os valores da derivada conforme
especificado.
f(x) = 4− x2; f ′(−3), f ′(0), f ′(1).(a)
g(t) =
1
t2
; g′(−1), g′(2), g′(√3 ).(b)
p(θ) =
√
3θ; p′(1), p′(3), p′(2/3).(c)
4. Seja
g(x) =
{
x2 + 2, x < 1
2x+ 1, x > 1.
Mostre que g e´ deriva´vel em x = 1 e calcule g′(1).(a)
Esboce o gra´fico de g.(b)
5. Seja
f(x) =
{
x+ 1, x < 1
−x+ 3, x > 1.
Esboce o gra´fico de f .(a)
A func¸a˜o f e´ deriva´vel em x = 1? Por queˆ?(b)
6. Seja f : R→ R uma func¸a˜o que satisfaz
f(x+ h) = f(x)f(h),
para todo x, h ∈ R e f(0) 6= 0.
Calcule o valor de f(0).(a)
Mostre que se existir f ′(0) enta˜o a func¸a˜o f sera´ diferencia´vel em R e que
f ′(x) = f ′(0)f(x), para todo x ∈ R.
(b)
7. Determine a reta que e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x4 e paralela a` reta y = 4x+ 3.
8. Seja r a reta tangente ao gra´fico de f(x) = 1
x2
no ponto p. Verifique que r intercepta o eixo x no ponto
(3p
2
, 0).
9. Ache os pontos sobre a curva y = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1 onde a tangente e´ horizontal.
10. Mostre que a curva y = 6x3 + 5x− 3 na˜o tem reta tangente com inclinac¸a˜o 4.
11. As curvas y = x2 + ax+ b e y = cx− x2 teˆm uma tangente em comum no ponto (1, 0). Encontre a, b e
c.
12. A reta normal a` curva C em um ponto P e´, por definic¸a˜o, a reta que passa por P e e´ perpendicular
a` reta tangente a C em P . Ache uma equac¸a˜o da reta normal a` para´bola y = 1− x2 no ponto (2,−3).
Esboce a para´bola e sua reta normal.
13. A reta s passa pelo ponto (3, 0) e e´ normal ao gra´fico de f(x) = x2 no ponto (x0, y0). As coordenadas
x0 e y0 sa˜o, respectivamente:
2 e 4(a)
1
2
e
1
4
(b) 1 e 1(c)
1
3
e
1
9
(d)
5
2
e
25
4
(e)
14. Dado f(x) =
√
9− x2, mostre que a derivada a` direita em −3 e a derivada a` esquerda em 3 na˜o existem.
2
15. Suponha que f(3) = −2, f ′(3) = 3, g(3) = 1 e g′(3) = −2. Encontre os valores de:
(fg)′ (3)(a)
(
f
g
)′
(3)(b)
(
g
f
)′
(3)(c)
16. A regra do produto fornece a fo´rmula
d
dx
(uv) = u
dv
dx
+ v
du
dx
para a derivada do produto uv de duas func¸o˜es deriva´veis de x. Qual e´ a fo´rmula ana´loga para a
derivada do produto uvw de treˆs func¸o˜es deriva´veis de x?
17. Dado f(x) = 2x3 encontre f ′(x3).
18. Se a reta tangente a y = f(x) em (2, 1) passa pelo ponto (1, 2), encontre f(2) e f ′(2).
19. Calcular a derivada da func¸a˜o, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x) = 37(a) f(x) = 17x− 65(b)
f(s) =
√
3 (s3 − s2)(c) f(x) = (1 +√x )2(d)
g(x) =
1
x4
+ 2x− x−4(e) f(x) = 3x
3 − 2x2 + 4
4x3 + 5x2
(f)
F (x) =
(5x− 8)−2
(x2 + 3)−3
(g) f(x) =
√
1 +
√
1 + x(h)
f(x) = 4 x250(i) f(x) =
7
√
x3 + 101−x
2
(j)
g(x) =
3
√
x2 − 3
6x2 + 3
(k) f(x) =
x
x+ 3
x
(l)
g(x) = (7x2 + 6x)7(3x− 1)4(m) H(z) = (z3 − 3z2 + 1)−3(n)
f(x) = (x2 + 3)(2x− 5)(3x+ 2)(o) f(x) = pix(p)
f(x) = log7 x(q) f(x) =
√
x+ 2 +
6
x3 + 2x
(r)
f(x) = log3 x+ 5x
2 lnx(s) f(x) =
ex
x5 + 2x
(t)
f(x) =
x+ 4
x lnx
(u) f(x) = 4
√
x− 2
x+ 2
(v)
g(x) = ex
3
ln(3 +
√
x)(w) y =
√
x4 + e
√
x(x)
20. Calcular a derivada das seguintes func¸o˜es:
f(x) = sec x(a) f(x) = cotg x(b)
f(x) = cosec x(c) f(x) = tan x(d)
f(x) =
cosx cotg x
secx− cosx(e) f(x) =
2 cosx
x2 + 1
2
x+ 1
(f)
f(x) = ln[x+ cosx](g) f(x) = e2x ln
(
x senx+
e−x
x5 + 1
)
(h)
f(x) =
cosx+ senx
x2 + 1
(i) f(x) =
x4 + 2x
x senx
(j)
3
f(x) =
x3 + senx
x3 − senx(k) f(x) = 5 cosecx+ cotg x+ x
5tg x(l)
f(x) = x3 cosx (3 + lnx+ senx)(m) f(x) = ( 3
√
x+
√
x ) excotg x(n)
y = cos (sen x)(o) y = etan
2 x(p)
y = ln(cosecx+ cotg x)(q) f(x) =
cosx
sen4 x
(r)
f(t) =
t e2 sen t
ln(3t+ 1)
(s) y = sen[(2t+ 5)−2/3](t)
21. Verifique se as func¸o˜es f, g : R→ R abaixo sa˜o diferencia´veis no ponto x = 2.
f(x) =
{
x2, se x 6 2
x+ 2, se x > 2.
(a) g(x) =
{
x sen(pix), se x 6 2(
x2 + 1
)
cos(pix), se x > 2.
(b)
22. Considere a func¸a˜o f : R→ R dada por f(x) =
{
x2 sen
(
1
x
)
, se x 6= 0
0, se x = 0.
Pergunta-se:
a func¸a˜o f e´ cont´ınua em R? Justifique sua resposta;(a)
a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em R? Justifique sua resposta;(b)
caso seja diferencia´vel, encontre a func¸a˜o f ′ : R→ R;(c)
se existe, a func¸a˜o f ′ e´ cont´ınua em R? Justifique sua resposta.(d)
23. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g(t) = f(t2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1).
24. Seja g : R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel tal que g(−1) = 3 e g′(−1) = 5. Calcule f ′(0), sendo f dada
por f(x) = exg(4x− 1).
25. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
(x2 − 4)2
(3x− 5)2 no ponto (1, 9/4).
26. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal em (p, f(p)) sendo dados:
f(x) = x2 − 2x+ 1 e p = 2.(a) f(x) = 2√x e p = 4.(b)
f(x) = e7x
2
e p = 0.(c) f(x) = sen(pix) e p = 1.(d)
27. Considere a func¸a˜o diferencia´vel g : R → R tal que g(2) = 2 e g′(2) = 2. Determine H ′(2), onde H e´
dada por
H(x) = g(g(g(x))).
28. Seja y = t
2
x+t
, onde t = t(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dx
(1) sabendo que dt
dx
(1) = 4 e t(1) = 2.
Observac¸a˜o: Note que t e´ uma func¸a˜o de x.
29. Diferencie: (Sugesta˜o: |a| = √a2).
g(x) = |x2 − 4|(a) g(x) = x |x|(b) f(x) = 3√|x|+ x(c)
30. Mostre que a func¸a˜o f(x) = |x − 5| na˜o e´ diferencia´vel em 5. Encontre uma fo´rmula para f ′ e esboce
seu gra´fico.
4

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