Lista de exercícios sobre Derivadas e reta tangente

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
5a lista de exerc´ıcios (04/09/2017 a 15/09/2017)
1. Calcular a derivada da func¸a˜o, onde ela existir, nos seguintes casos:
f(x) = arcsen
(
3x+ 1
x
)
(a) f(x) = arccos
(
x√
1− x2
)
(b)
g(x) = (3 + tg x)x(c) y = (lnx)x(d)
f(x) = arcsen(7x)(e) f(x) = x2 arctg(2x)(f)
f(x) = xpi + xx
x
(g) f(x) = (5 + cos(5x))x
2
(h)
y =
sen(3x)
arctg(4x)
(i) y = e3x arcsen(2x)(j)
f(x) = (ex
3
+ senx)tgx(k) f(x) = xe
x
(l)
2. Seja f(x) = x3 − 3x2 − 1, x ≥ 2. Determine o valor de df−1/dx no ponto x = −1 = f(3).
3. Verifique que:
d
dx
[
x arctg x− 1
2
ln(1 + x2)
]
= arctg x.(a)
d
dx
[√
27x2 + 6x− 1
x
− 3 arcsen
(
1− 3x
6x
)]
=
1
x2
√
27x2 + 6x− 1.(b)
4. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
5. Determine uma reta que seja paralela a` reta x+ y = 1 e que seja tangente a` curva
x2 + xy + y2 = 3.
6. Encontre dy/dx por diferenciac¸a˜o impl´ıcita.
√
xy = 1 + x2y(a) sen(x+ y) = y2 cosx(b)
y
x− y = 2 + x
2(c)
x2y2 + x sen y = 4(d) e2x = sen(x+ 3y)(e) x3 + x2y + 4y2 = 6(f)
7. Encontre, em cada um dos itens abaixo, dy/dx, onde a func¸a˜o y = y(x) e´ dada, implicitamente, pelas
equac¸o˜es abaixo:
cos2(x+ y) = 1/4(a) (y2 − 9)4 = (4x2 + 3x− 1)2(b)
x arctg x+ y2 = 4(c)
√
2x+ y +
√
x+ 2y = 6(d)
1
8. Nos correspondentes itens do exerc´ıcio acima, encontre o valor de dy
dx
(x0) onde:
x0 = 0 e 0 6 y 6 pi(a) x0 = −1 e y > 0(b)
x0 = 0 e y > 0(c) x0 = 0(d)
9. Encontre as derivadas primeiras e segundas da func¸a˜o:
y = θ sen θ(a) f(t) = t8 − 7t6 + 2t4(b) F (t) = (1− 7t)7/2(c)
10. A equac¸a˜o do movimento e´ dada por s = 2t3−3t2−12t, t ≥ 0, onde s esta´ em metros e t em segundos.
Encontre:
A velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸o˜es em t;(a)
A acelerac¸a˜o depois de 1 segundo;(b)
A acelerac¸a˜o no instante em que a velocidade e´ 0.(c)
11. Encontre os valores de λ para os quais y = eλx satisfaz a equac¸a˜o y + y′ = y′′.
12. Sendo y = ex cosx, mostre que
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ 2y = 0.
Ale´m disso, mostre que se x = cos(2t) e y = sen2 t, enta˜o d
2y
dx2
= 0.
13. Seja y = f(x) uma func¸a˜o diferencia´vel tal que, para todo x ∈ Df , o ponto (x, f(x)) e´ soluc¸a˜o da
equac¸a˜o
xy3 + 2xy2 + x = 4.
Se f(1) = 1. Calcule f ′(1).
14. Supondo que y = f(x) seja uma func¸a˜o real deriva´vel e que satisfaz a equac¸a˜o xy2+y+x = 1, podemos
afirmar que f ′(x) e´ igual a
−f(x)
2xf(x)− 1(a)
−1− [f(x)]2
2xf(x) + 1
(b)
−[f(x)]2
2xf(x) + 1
(c)
−1 + [f(x)]2
2xf(x) + 1
(d)
1− [f(x)]2
2xf(x) + 1
(e)
15. Seja f : R→ R uma func¸a˜o deriva´vel ate´ 2a ordem e g uma func¸a˜o definida por g(x) = f(e2x). Verifique
que
g′′(x) = 4e2x
[
f ′(e2x) + e2xf ′′(e2x)
]
.
16. Seja f(x) = e−x senx. Calcule f (2001)(0).
17. Uma escada de 8m esta´ encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do
pe´ da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade superior estara´
descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?
18. O nu´mero de galo˜es de a´gua em um tanque, t minutos depois de iniciar seu esvaziamento, e´ dado por
Q(t) = 200 (30 − t2). A que taxa a a´gua escoara´ ao fim de 10min? Qual e´ a taxa me´dia de sa´ıda da
a´gua durante os 10 primeiros minutos?
19. Quando um prato circular de metal e´ aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma taxa de
0, 01 cm/min. A que taxa a a´rea do prato aumenta quando seu raio e´ de 50 cm.
20. Uma part´ıcula se desloca ao longo da para´bola y = x2 no primeiro quadrante de modo que sua
coordenada x (medida em metros) aumente a uma taxa constante de 10m/s. A que taxa o aˆngulo de
inclinac¸a˜o θ da reta que liga a part´ıcula a` origem varia quando x = 3m.
2
21. Um homem anda ao longo de um caminho reto no plano, na vertical, de baixo para cima, a uma
velocidade de 2m/s. Um holofote, que esta´ localizado no cha˜o a 20m do caminho, focaliza o homem.
A que taxa o holofote esta´ girando quando o homem esta´ a 20m do ponto do caminho mais pro´ximo
da luz?
22. Usando uma aproximac¸a˜o linear, calcule um valor aproximado para e0,03.
23. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para o acre´scimo ∆ y que a func¸a˜o y = x3 sofre
quando se passa de x = 1 para 1 + dx = 1, 01. Calcule o erro ∆y − dy.
24. Seja V =
4
3
pi r3 .
Calcule a diferencial de V = V (r).(a)
Calcule o erro ∆V − dV .(b)
25. Utilizando a diferencial, calcule um valor aproximado para
√
0, 98. Avalie o erro.
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