Simulado_AL_14_1_Prova_3

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PROVA 3 
Simulado 
ABI em Computação (Bacharelado e 
Licenciatura) 
 Prof. Eryc de Oliveira Leão 
1º Semestre Algebra Linear CH 72 ha / 60h 
INSTRUÇÕES: 
 As respostas das questões deverão estar a caneta! 
 Não é permitido o uso de smartphones, tablets ou computadores pessoais. 
 Todas as informações necessárias para fazer esta prova estão neste caderno de provas. Caso 
algum erro seja descoberto em alguma questão, ela será posteriormente anulada. 
 Apenas a resposta será considerada na correção desta avaliação. Portanto, use o rascunho, faça 
os cálculos passo a passo e tome bastante cuidado para não errá-los. 
TEXTO BASE PARA QUESTÃO 1: O processo de Gram-Schmidt para construir uma base 
ortogonal {v1, v2 e v3} e em seguida uma base ortonormal T = {w1, w2, w3} de um subespaço não-
nulo W de R
n
 com base S = {u1, u2 e u3} é o seguinte: 
Calcule os vetores 1, 2 e 3 da base ortogonal, sucessivamente, um de cada vez, pela fórmula: 
 1 1 ; 2 2 – 
 
 
 1 ; 3 3 – 
 
 
 1 – 
 
 
 2 
 
Em seguida, construa uma base ortonormal a partir da base ortogonal encontrada 
anteriormente: 
 1 
 
 
 1 ; 2 
 
 
 2 ; 3 
 
 
 3 
 
1 
Use o processo de Gram-Schmidt para 
encontrar uma base ortonormal para o 
subespaço de R
3
 com base {(1,-1,0), (2,0,1)}. 
Respostas: 
 
 
Rascunho: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEXTO BASE PARA AS QUESTÕES 2, 3 e 4: Seja um vetor qualquer, dado qualquer vetor 
de um espaço vetorial, o vetor 
Proju 
 
 
 , chama-se projeção ortogonal de sobre o eixo que contém . 
Seja W o subespaço bidimensional com base {w1 e w2}. A projeção de sobre o subespaço W é 
dada por: 
 ProjW 
 
 
 1 
 
 
 2 
2 
Calcule a projeção ortogonal do vetor v = (3, 4, -1) 
sobre o vetor u = (1, 0 , 2) 
Respostas: 
 
3 
Seja W o subespaço bidimensional formado pela 
base S = { (1, 0, 2) e (2, -1, 0)}. Calcule a projeção 
ortogonal do vetor v = (3, 4, -1) sobre o subespaço 
W. 
Respostas: 
 
4 
Encontre a distância entre o vetor v = (3, 4, -1) e o 
subespaço W formado pela base S = { (1, 0, 2) e (2, -
1, 0)} 
Respostas 
Rascunho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Encontre o polinômio característico da matriz A seguinte: 
A = 
 
 
 
 
 Resposta: 
 
6 
Encontre o polinômio característico, os autovalores e os 
autovetores de cada matriz. 
A = 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
Rascunho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Informe qual dentre as seguintes matrizes, se houver alguma, são 
diagonalizáveis 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
 
Resposta: 
 
TEXTO BASE PARA AS QUESTÕES 8 e 9: 
Definição: Uma matriz B é dita semelhante a uma matriz A se existe uma matriz invertível P tal 
que B = P
-1
AP. 
Definição: Uma matriz quadrada A é chamada diagonalizável se A for semelhante a uma matriz 
diagonal, isto é, se A = PDP
-1
 para alguma matriz inversível P e alguma matriz diagonal D. 
8 
Encontre, se possível, uma matriz invertível P tal que P
-1
AP = A seja 
diagonal. 
A = 
 
 
 
Resposta: 
9 
Diagonalize, usando uma matriz ortogonal, a matriz A 
dada, encontrando a matriz diagonal D e a matriz 
ortogonal P. 
A = 
 
 
 
 
Resposta: 
 
10 Encontre a matriz canônica que representa a 
transformação linear L seguinte: 
L: R
2→R2 definida por L(x,y) = (x + y + 1 , x - y). 
Resposta: 
Rascunho