APOSTILA DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA

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Vetores e 
Geometria Analítica
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
Revisada por Antonio Fernando Silveira Alves (setembro/2012)
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Vetores e Geometria 
Analítica, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi-
co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................5
1 VETORES NO R3 ........................................................................................................................................7
1.1 O Ponto no R3 ....................................................................................................................................................................7
1.2 Segmentos Orientados Equipolentes ......................................................................................................................9
1.3 Vetor ................................................................................................................................................................................... 10
1.4 Adição de Vetores ......................................................................................................................................................... 11
1.5 Produto de Vetor por um Escalar ............................................................................................................................ 15
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas ........................................................................................................... 19
1.7 Vetor em Coordenadas ............................................................................................................................................... 21
1.8 Geometria Dinâmica ................................................................................................................................................... 26
1.9 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 27
1.10 Atividades Propostas ................................................................................................................................................ 28
2 PRODUTOS ENTRE VETORES ...................................................................................................... 31
2.1 Produto Escalar ou Produto Interno ...................................................................................................................... 31
2.2 Produto Vetorial ou Produto Externo .................................................................................................................... 39
2.3 Produto Misto ................................................................................................................................................................ 44
2.4 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 49
2.5 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 50
3 RETAS E PLANOS NO R3 .................................................................................................................. 53
3.1 Sistema de Coordenadas ........................................................................................................................................... 53
3.2 A Reta no R3 ..................................................................................................................................................................... 55
3.3 O Plano no R3 .................................................................................................................................................................. 59
3.4 Posição Relativa ............................................................................................................................................................. 67
3.5 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 86
3.6 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 86
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................... 89
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 91
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................... 125
APÊNDICE ................................................................................................................................................... 127
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INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), esta apostila compreende o conteúdo do módulo VII e reúne os principais tó-
picos da disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com a finali-
dade de orientar você, aluno(a) do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD), no desenvolvimento do conteúdo desta 
disciplina. É, portanto, um guia indispensável para acompanhar com sucesso as aulas WEB e SATÉLITE. 
A disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA tem por objetivo fornecer a você subsídios que o 
auxiliem nas demais disciplinas do curso de ENGENHARIA AMBIENTAL/PRODUÇÃO.
Saliento, ainda, a importância dos conceitos abordados no Capítulo 1, com o estudo dos vetores 
no R³, como aplicação na disciplina FÍSICA, e a importância dos Capítulos 1 e 2 no estudo da disciplina 
ÁLGEBRA LINEAR, que você terá a oportunidade de estudar nos Módulos mais avançados do seu curso 
de ENGENHARIA AMBIENTAL/PRODUÇÃO.
A Geometria, bem como toda a ciência, pode ser estudada através de diferentes métodos, ou seja, 
um mesmo tópico geométrico pode ser abordado sob diversos enfoques ou pontos de vista. Assim, de 
acordo com o método utilizado, diferentes nomes são atribuídos às disciplinas de Geometria, como, por 
exemplo:
ƒƒ Geometria Axiomática (ou de Posição): é o estudo da Geometria, que devemos a Euclides, 
feito por meio da ligação entre axiomas, definições e teoremas, reunidos em seus “Elementos” 
(cerca de 300 a.C.);
ƒƒ Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria, devido a Gaspard Monge (1746-1818), que 
consiste em considerar as projeções dos entes geométricos sobre dois planos fixados, para, 
através dessas projeções, tirar conclusões sobre esses entes geométricos;
ƒƒ Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano,
o qual devemos a René 
Descartes (1596-1650), que associa equações aos entes geométricos e no qual, através do estu-
do dessas equações, feito com o auxílio da Álgebra, tiramos conclusões a respeito desses entes 
geométricos.
 
Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo da Geometria. Assim é que, 
para estudarmos a Geometria Axiomática, utilizamos a Lógica; para o desenvolvimento da Geometria 
Descritiva, a ferramenta utilizada é o Desenho; e, para o estudo da Geometria Analítica, lançamos mão da 
Álgebra Elementar, bem como da Álgebra Vetorial.
O estudo da Álgebra Vetorial, feito nos capítulos iniciais desta apostila, servirá de apoio para o ca-
pítulo que aborda o tema Retas e Planos no R3, para possibilitar a você, caro(a) aluno(a), uma aplicação 
imediata dos conceitos apresentados no Cálculo Vetorial, fazendo um importante elo entre esses concei-
tos. 
Você irá perceber, ao estudar esta apostila, que determinar um plano, por exemplo, do ponto de 
vista da Geometria Analítica, significa determinar sua equação e, para isso, os conceitos de produto 
vetorial e produto misto, vistos no Cálculo Vetorial, serão amplamente aplicados.
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
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Durante o desenvolvimento desta disciplina, estaremos sempre abordando os conceitos sob duas 
formas de registro: o Registro Algébrico, representado por meio de expressões matemáticas, e o Regis-
tro Geométrico, efetuado por meio das representações geométricas ou gráficas dos entes matemáticos 
estudados. 
A apostila ainda apresenta vários exemplos e atividades propostas, com as devidas resoluções indi-
cadas e comentadas no final da apostila. 
Vários dessas atividades se encontram resolvidas e minuciosamente explicadas nas aulas WEB e 
também serão resolvidas nas aulas SATÉLITE, sendo extremamente importante que você assista às aulas, 
pois estas o(a) auxiliarão na resolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do 
módulo.
Para que o ciclo da aprendizagem se feche harmoniosamente, é necessário que você não deixe as 
dúvidas se acumularem e usufrua das ferramentas disponíveis para perguntas e respostas, tais como os 
Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de Bate-Papo. 
Também fique atento(a) ao Mural e ao Material de Apoio, pois, através do primeiro, me comunicarei 
com você e, através do segundo, disponibilizarei o resumo das aulas Satélite, a resolução das atividades 
não eletrônicas e qualquer outro tipo de material pertinente e interessante.
Desejo a você um ótimo Módulo, com a seguinte frase do filósofo francês Charles de Montes-
quieu: “É preciso estudar muito para saber um pouco.”
Estou à disposição para o que se fizer necessário. Não deixe de se comunicar. Aguardo seu contato.
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
���9(725(6�12�5�������2�3RQWR�QR�5���
Sistema cartesiano ortogonal �
Prezado(a) aluno(a), certamente você já conhece o sistema de eixos coordenados, no qual 
representamos pontos, retas, gráficos de funções, entre outros, também chamado Plano Cartesiano. 
No entanto, seu conhecimento deve estar restrito ao sistema de duas coordenadas, no qual 
trabalhamos com dois eixos apenas: o eixo horizontal, denominado eixo x, e o eixo vertical, 
denominado eixo y. Esse sistema é utilizado quando queremos representar os entes matemáticos em 
duas dimensões, sendo chamado de R2. Porém, nesta disciplina, iremos aprofundar os estudos sobre 
esses entes matemáticos e iremos utilizar a representação em três dimensões, ou seja, no espaço, que 
chamaremos de R3. Para tanto, será necessário utilizar três coordenadas (x, y, z) e, consequentemente, 
três eixos coordenados: o eixo x, o eixo das abscissas; o eixo y, o eixo das ordenadas; e o eixo z, o eixo 
das cotas. 
Para compreender melhor como será essa representação com três eixos, observe o canto de 
uma parede qualquer e relacione com a figura a seguir. Abrindo mão do rigor matemático, podemos 
dizer que tanto o eixo x quanto o eixo y seriam equivalentes ao rodapé, que definem o chão, e o eixo z 
seria equivalente à linha vertical que está entre as duas paredes que formam esse canto que você está 
observando. 
Vamos às definições matemáticas. 
Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a dois, 
determinando, assim, o espaço R3, conforme mostra a figura a seguir. �'LFLRQiULR�3HUSHQGLFXODULGDGH� �RX� RUWRJRQDOLGDGH��� HP� JHRPHWULD�� p� D� H[SUHVVmR� TXH� LQGLFD� TXH� GRLV�REMHWRV��UHWDV�RX�SODQRV��VH�LQWHUFHSWDP��IRUPDQGR�XP�kQJXOR�UHWR��RX�VHMD��XP�kQJXOR�GH���ž��/RJR��SRGHPRV�GL]HU�TXH�GXDV�UHWDV�VmR�SHUSHQGLFXODUHV�VH�R�kQJXOR�IRUPDGR�HQWUH�HODV� IRU�XP�kQJXOR�GH���ž�������
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VETORES NO R31 
1.1 O Ponto no R3
���9(725(6�12�5�������2�3RQWR�QR�5���
Sistema cartesiano ortogonal �
Prezado(a) aluno(a), certamente você já conhece o sistema de eixos coordenados, no qual 
representamos pontos, retas, gráficos de funções, entre outros, também chamado Plano Cartesiano. 
No entanto, seu conhecimento deve estar restrito ao sistema de duas coordenadas, no qual 
trabalhamos com dois eixos apenas: o eixo horizontal, denominado eixo x, e o eixo vertical, 
denominado eixo y. Esse sistema é utilizado quando queremos representar os entes matemáticos em 
duas dimensões, sendo chamado de R2. Porém, nesta disciplina, iremos aprofundar os estudos sobre 
esses entes matemáticos e iremos utilizar a representação em três dimensões, ou seja, no espaço, que 
chamaremos de R3. Para tanto, será necessário utilizar três coordenadas (x, y, z) e, consequentemente, 
três eixos coordenados: o eixo x, o eixo das abscissas; o eixo y, o eixo das ordenadas; e o eixo z, o eixo 
das cotas. 
Para compreender melhor como será essa representação com três eixos, observe o canto de 
uma parede qualquer e relacione com a figura a seguir. Abrindo mão do rigor matemático, podemos 
dizer que tanto o eixo x quanto o eixo y seriam equivalentes ao rodapé, que definem o chão, e o eixo z 
seria equivalente à linha vertical que está entre as duas paredes que formam esse canto que você está 
observando. 
Vamos às definições matemáticas. 
Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a dois, 
determinando, assim, o espaço R3, conforme mostra a figura a seguir. �'LFLRQiULR�3HUSHQGLFXODULGDGH� �RX� RUWRJRQDOLGDGH��� HP� JHRPHWULD�� p� D� H[SUHVVmR� TXH� LQGLFD� TXH� GRLV�REMHWRV��UHWDV�RX�SODQRV��VH�LQWHUFHSWDP��IRUPDQGR�XP�kQJXOR�UHWR��RX�VHMD��XP�kQJXOR�GH���ž��/RJR��SRGHPRV�GL]HU�TXH�GXDV�UHWDV�VmR�SHUSHQGLFXODUHV�VH�R�kQJXOR�IRUPDGR�HQWUH�HODV� IRU�XP�kQJXOR�GH���ž�������
DicionárioDicionário
Perpendicularidade (ou ortogonalidade): em geometria, é a expressão que indica que dois objetos (retas ou planos) se 
interceptam, formando um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º. Logo, podemos dizer que duas retas são perpendi-
culares se o ângulo formado entre elas for um ângulo de 90º.
Sistema Cartesiano Ortogonal
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Dado um ponto P do espaço, sejam P1, P2 e P3 as suas projeções, respectivamente, sobre os eixos 
x, y e z; e sejam xP, yP e zP, respectivamente, as medidas algébricas dos segmentos orientados ��� 23H23�23 . 
Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP, yP, zP), que são as coordenadas de P 
em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz. �
Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP), em que: � ƒ� xP = �23 = abscissa de P – eixo x = eixo das abscissas; ƒ� yP = �23 = ordenada de P – eixo y = eixo das ordenadas; ƒ� zP = �23 = cota de P – eixo z = eixo das cotas. �
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal. 
O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano. 
� 3�3�� 3��
3��
2�[� \�
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A todo terno
ordenado (a, b, c) do R3, corresponde um único ponto P do espaço, tal que a = xP, b 
= yP e c = zP. �����6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�(TXLSROHQWHV��
Definição �
Dois segmentos orientados &'H$% são equipolentes e indica-se Erro! Não é possível criar 
objetos a partir de códigos de campo de edição. quando uma das três afirmações for verificada: �
1.� A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos; 
2.� &'H$% são colineares e é possível deslizar &' sobre essa reta, fazendo com que C 
coincida com A e D coincida com B; 
3.� A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um paralelogramo. � �������
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem 
mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. �
Relação de equivalência 
 
A equipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as seguintes propriedades: �
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo; �� � � �������� $%$% a ��
� $� %� '�&�
Vetores e Geometria Analítica
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Dado um ponto P do espaço, sejam P1, P2 e P3 as suas projeções, respectivamente, sobre os eixos 
x, y e z; e sejam xP, yP e zP, respectivamente, as medidas algébricas dos segmentos orientados ��� 23H23�23 . 
Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP, yP, zP), que são as coordenadas de P 
em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz. �
Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP), em que: � ƒ� xP = �23 = abscissa de P – eixo x = eixo das abscissas; ƒ� yP = �23 = ordenada de P – eixo y = eixo das ordenadas; ƒ� zP = �23 = cota de P – eixo z = eixo das cotas. �
Oxyz = sistema cartesiano ortogonal. 
O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano. 
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A todo terno ordenado (a, b, c) do R3, corresponde um único ponto P do espaço, tal que a = xP, b 
= yP e c = zP. �����6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�(TXLSROHQWHV��
Definição �
Dois segmentos orientados &'H$% são equipolentes e indica-se Erro! Não é possível criar 
objetos a partir de códigos de campo de edição. quando uma das três afirmações for verificada: �
1.� A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos; 
2.� &'H$% são colineares e é possível deslizar &' sobre essa reta, fazendo com que C 
coincida com A e D coincida com B; 
3.� A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um paralelogramo. � �������
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem 
mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. �
Relação de equivalência 
 
A equipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as seguintes propriedades: �
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo; �� � � �������� $%$% a ��
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A todo terno ordenado (a, b, c) do R3, corresponde um único ponto P do espaço, tal que a = xP, b 
= yP e c = zP. �����6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�(TXLSROHQWHV��
Definição �
Dois segmentos orientados &'H$% são equipolentes e indica-se &'$% a quando uma das 
três afirmações for verificada: �
1.� A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos; 
2.� &'H$% são colineares e é possível deslizar &' sobre essa reta, fazendo com que C 
coincida com A e D coincida com B; 
3.� A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um paralelogramo. � �������
Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes quando possuem 
mesmo módulo (comprimento), mesma direção e mesmo sentido. �
Relação de equivalência 
 
A equipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz as seguintes propriedades: �
a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo; �� � � �������� $%$% a ��
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1.2 Segmentos Orientados Equipolentes
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b) Simetria: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' , então &' 
é equipolente a $% ; �� � ��������������� $%a&'&'a$%VH Ÿ ���
c) Transitividade: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' e se &' é equipolente ao segmento orientado () , então $% é equipolente a () . �� � ������� ()a$%()a&'H&'a$%VH Ÿ �������9HWRU��
Definição �
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado $% é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado $% . 
O segmento orientado $% é um representante do vetor $% , que também pode ser indicado 
por $% ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, Y . � �$WHQomR��2EVHUYH�TXH��HPERUD�XVHPRV�D�PHVPD�QRWDomR�SDUD�UHSUHVHQWDU�YHWRU�H�VHJPHQWR�RULHQWDGR��QmR�SRGHPRV�HP�KLSyWHVH�DOJXPD�FRQIXQGLU�HVVHV�GRLV�HQWHV�PDWHPiWLFRV��SRLV��HQTXDQWR�R�VHJPHQWR� RULHQWDGR� p� XP� FRQMXQWR� GH� SRQWRV�� R� YHWRU� p� XP� FRQMXQWR� GH� VHJPHQWRV�RULHQWDGRV���
Na figura, os segmentos orientados $% , &' , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor Y . �
Relação de Equivalência
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b) Simetria: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' , então &' 
é equipolente a $% ; �� � ��������������� $%a&'&'a$%VH Ÿ ���
c) Transitividade: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' e se &' é equipolente ao segmento orientado () , então $% é equipolente a () . �� � ������� ()a$%()a&'H&'a$%VH Ÿ �������9HWRU��
Definição �
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado $% é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado $% . 
O segmento orientado $% é um representante do vetor $% , que também pode ser indicado 
por $% ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, Y . � �$WHQomR��2EVHUYH�TXH��HPERUD�XVHPRV�D�PHVPD�QRWDomR�SDUD�UHSUHVHQWDU�YHWRU�H�VHJPHQWR�RULHQWDGR��QmR�SRGHPRV�HP�KLSyWHVH�DOJXPD�FRQIXQGLU�HVVHV�GRLV�HQWHV�PDWHPiWLFRV��SRLV��HQTXDQWR�R�VHJPHQWR� RULHQWDGR� p� XP� FRQMXQWR� GH� SRQWRV�� R� YHWRU� p� XP� FRQMXQWR� GH� VHJPHQWRV�RULHQWDGRV���
Na figura, os segmentos orientados $% , &' , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor Y . �
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b) Simetria: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' , então &' 
é equipolente a $% ; �� � ��������������� $%a&'&'a$%VH Ÿ ���
c) Transitividade: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' e se &' é equipolente ao segmento orientado () , então $% é equipolente a () . �� � ������� ()a$%()a&'H&'a$%VH Ÿ �������9HWRU��
Definição �
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado $% é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado $% . 
O segmento orientado $% é um representante do vetor $% , que também pode ser indicado 
por $% ou por qualquer letra
minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, Y . � �$WHQomR��2EVHUYH�TXH��HPERUD�XVHPRV�D�PHVPD�QRWDomR�SDUD�UHSUHVHQWDU�YHWRU�H�VHJPHQWR�RULHQWDGR��QmR�SRGHPRV�HP�KLSyWHVH�DOJXPD�FRQIXQGLU�HVVHV�GRLV�HQWHV�PDWHPiWLFRV��SRLV��HQTXDQWR�R�VHJPHQWR� RULHQWDGR� p� XP� FRQMXQWR� GH� SRQWRV�� R� YHWRU� p� XP� FRQMXQWR� GH� VHJPHQWRV�RULHQWDGRV���
Na figura, os segmentos orientados $% , &' , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor Y . �
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b) Simetria: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' , então &' 
é equipolente a $% ; �� � ��������������� $%a&'&'a$%VH Ÿ ���
c) Transitividade: se o segmento orientado $% é equipolente ao segmento orientado &' e se &' é equipolente ao segmento orientado () , então $% é equipolente a () . �� � ������� ()a$%()a&'H&'a$%VH Ÿ �������9HWRU��
Definição �
Inicialmente, vamos abordar este tema por meio da sua representação Geométrica. Nos tópicos 
seguintes, iremos estudar esses mesmos conceitos por meio da sua representação Algébrica. 
Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um 
conjunto de segmentos orientados equipolentes. 
Assim, o vetor determinado por um segmento orientado $% é o conjunto de todos os 
segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado $% . 
O segmento orientado $% é um representante do vetor $% , que também pode ser indicado 
por $% ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima, como, por exemplo, Y . � �$WHQomR��2EVHUYH�TXH��HPERUD�XVHPRV�D�PHVPD�QRWDomR�SDUD�UHSUHVHQWDU�YHWRU�H�VHJPHQWR�RULHQWDGR��QmR�SRGHPRV�HP�KLSyWHVH�DOJXPD�FRQIXQGLU�HVVHV�GRLV�HQWHV�PDWHPiWLFRV��SRLV��HQTXDQWR�R�VHJPHQWR� RULHQWDGR� p� XP� FRQMXQWR� GH� SRQWRV�� R� YHWRU� p� XP� FRQMXQWR� GH� VHJPHQWRV�RULHQWDGRV���
Na figura, os segmentos orientados $% , &' , ..., são equipolentes e, por esse motivo, 
representam o mesmo vetor Y . �
1.3 Vetor
AtençãoAtenção
Observe que, embora usemos a mesma notação para representar vetor e segmento orientado, não podemos em 
hipótese alguma confundir esses dois entes matemáticos, pois, enquanto o segmento orientado é um conjunto de 
pontos, o vetor é um conjunto de segmentos orientados.
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Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se $% é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado 34 , com origem em P, tal que 34~$% . Logo, o vetor $% tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. �����$GLomR�GH�9HWRUHV��
Sejam dois vetores X e Y . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por X + Y . 
Seja $% um representante de X . Com origem em B, existe um único representante %& do 
vetor Y . Definimos o vetor X + Y como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado $& . �
Adição de vetores – Regra do triângulo ����������
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Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se $% é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado 34 , com origem em P, tal que 34~$% . Logo, o vetor $% tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. �����$GLomR�GH�9HWRUHV��
Sejam dois vetores X e Y . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por X + Y . 
Seja $% um representante de X . Com origem em B, existe um único representante %& do 
vetor Y . Definimos o vetor X + Y como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado $& . �
Adição de vetores – Regra do triângulo ����������
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Vetores e Geometria Analítica
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������� Y�$%�&O ������������ ��� �
Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se $% é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado 34 , com origem em P, tal que 34~$% . Logo, o vetor $% tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. �����$GLomR�GH�9HWRUHV��
Sejam dois vetores X e Y . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por X + Y . 
Seja $% um representante de X . Com origem em B, existe um único representante %& do 
vetor Y . Definimos o vetor X + Y como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado $& . �
Adição de vetores – Regra do triângulo ����������
� X � Y �$� %� &�X � Y �YX � �
� (�$� %� &� '�0� 1�
������� Y�$%�&O ������������ ��� �
Assim, um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de segmentos orientados 
distintos, pois, se $% é um segmento orientado e P é um ponto qualquer do espaço, então existe um 
único segmento orientado 34 , com origem em P, tal que 34~$% . Logo, o vetor $% tem 
exatamente um representante em cada ponto do espaço. �����$GLomR�GH�9HWRUHV��
Sejam dois vetores X e Y . Vamos definir o vetor soma desses vetores, indicado por X + Y . 
Seja $% um representante de X . Com origem em B, existe um único representante %& do 
vetor Y . Definimos o vetor X + Y como sendo o vetor cujo representante é o segmento orientado $& . �
Adição de vetores – Regra do triângulo ����������
� X � Y �$� %� &�X � Y �YX � �
1.4 Adição de Vetores
Adição de Vetores - Regra do Triângulo
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�����$WHQomR��1HVVD�VLWXDomR��WHPRV�GRLV�SRQWRV�LPSRUWDQWHV�D�REVHUYDU������ 9HULILTXH�TXH��QHVWD�VLWXDomR��D�RULJHP�GR�YHWRU� Y �FRLQFLGH�FRP�D�H[WUHPLGDGH�GR�YHWRU�X ��1HVVH�FDVR��SDUD�UHSUHVHQWDUPRV�R�YHWRU� UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV� X �H� Y ��EDVWD�WUDoDUPRV�R�YHWRU� YX � ��TXH�³IHFKDUi´�R�WULkQJXOR�$%&������ 9HULILTXH�WDPEpP�TXH�R�YHWRU� YX � �SRVVXL�VHX�LQtFLR�FRLQFLGLQGR�FRP�R�LQtFLR�GR�YHWRU�X �H�D�VXD�H[WUHPLGDGH�FRLQFLGLQGR�FRP�D�H[WUHPLGDGH�GR�YHWRU� Y ���(VVH�p�XP�DVSHFWR� LPSRUWDQWH�D�VHU�REVHUYDGR�SDUD�TXH�VH�HIHWXH�FRUUHWDPHQWH�D�VRPD�GH�GRLV�YHWRUHV��TXDQGR�XP�YHWRU�SRVVXL�D� VXD�RULJHP�FRLQFLGLQGR�FRP�D�H[WUHPLGDGH�GR�RXWUR�YHWRU��(VVD�UHJUD�p�FRQKHFLGD�FRPR�5HJUD�GR�7ULkQJXOR�SDUD�D�VRPD�GH�YHWRUHV����
Adição de vetores – Regra do paralelogramo ������������$WHQomR��2EVHUYH��DJRUD��DV�GLIHUHQoDV�HP�UHODomR�DR�H[HPSOR�DQWHULRU���
� $� %�&�X �Y � YX � � '�X �Y �
AtençãoAtenção
Nessa situação, temos dois pontos importantes a observar:
•	Verifique que, nesta situação, a origem do vetor v coincide com a extremidade do vetor u . Nesse caso, para 
representarmos o vetor resultante da soma entre os vetores u e v , basta traçarmos o vetor vu + , que “fechará” 
o triângulo ABC; 
•	Verifique também que o vetor vu + possui seu início coincidindo com o início do vetor u e a sua extre-
midade coincidindo com a extremidade do vetor v .
Esse é um aspecto importante a ser observado para que se efetue corretamente a soma de dois vetores, quando um 
vetor possui a sua origem coincidindo com a extremidade do outro vetor. Essa regra é conhecida como Regra do 
Triângulo para a soma de vetores.
AtençãoAtenção
Observe, agora, as diferenças em relação ao exemplo anterior: 
•	Verifique que, neste exemplo, os vetores u e v possuem um ponto em comum, como no anterior, porém 
agora esse ponto representa a origem dos dois vetores. Nesse caso, para representarmos o vetor resultante 
da soma entre os vetores u e v , é necessário traçar dois vetores auxiliares e paralelos aos vetores u e v , for-
mando, assim, o paralelogramo ABCD. O vetor vu + resultante da soma entre os vetores u e v será a diagonal 
maior do paralelogramo ABCD; 
•	Verifique também que, nesta situação, o vetor vu + resultante da soma entre os vetores u e v possui a 
origem coincidindo
com a origem dos vetores u e v .
Esse é um aspecto importante a ser observado para que se efetue corretamente a soma de dois vetores, quando os 
vetores possuem a sua origem coincidindo. Essa regra é conhecida como Regra do Paralelogramo para a soma 
de vetores. 
Veja mais exemplos e maiores detalhes sobre a soma de vetores sob a perspectiva geométrica nas aulas web, dispo-
níveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).
���� 9HULILTXH�TXH��QHVWH�H[HPSOR��RV�YHWRUHV�X �H� Y �SRVVXHP�XP�SRQWR�HP�FRPXP��FRPR�QR�DQWHULRU��SRUpP�DJRUD�HVVH�SRQWR�UHSUHVHQWD�D�RULJHP�GRV�GRLV�YHWRUHV��1HVVH�FDVR��SDUD�UHSUHVHQWDUPRV�R�YHWRU�UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV�X �H� Y ��p�QHFHVViULR�WUDoDU�GRLV�YHWRUHV�DX[LOLDUHV�H�SDUDOHORV�DRV�YHWRUHV� X �H� Y �� IRUPDQGR��DVVLP��R�SDUDOHORJUDPR�$%&'��2�YHWRU� YX � �UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV� X �H� Y �VHUi�D�GLDJRQDO�PDLRU�GR�SDUDOHORJUDPR�$%&'������ 9HULILTXH�WDPEpP�TXH��QHVWD�VLWXDomR��R�YHWRU� YX � �UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV�X �H�Y �SRVVXL�D�RULJHP�FRLQFLGLQGR�FRP�D�RULJHP�GRV�YHWRUHV�X �H�Y ���(VVH�p�XP�DVSHFWR� LPSRUWDQWH�D�VHU�REVHUYDGR�SDUD�TXH�VH�HIHWXH�FRUUHWDPHQWH�D�VRPD�GH�GRLV�YHWRUHV��TXDQGR�RV�YHWRUHV�SRVVXHP�D�VXD�RULJHP�FRLQFLGLQGR��(VVD� UHJUD�p�FRQKHFLGD�FRPR�5HJUD�GR�3DUDOHORJUDPR�SDUD�D�VRPD�GH�YHWRUHV���9HMD� PDLV� H[HPSORV� H� PDLRUHV� GHWDOKHV� VREUH� D� VRPD� GH� YHWRUHV� VRE� D� SHUVSHFWLYD�JHRPpWULFD�QDV�DXODV�ZHE��GLVSRQtYHLV�QR�$PELHQWH�9LUWXDO�GH�$SUHQGL]DJHP��$9$�����
Propriedades da adição de vetores �
a) Comutativa: X + Y = Y + X , quaisquer que sejam os vetores X e Y ; 
 ��������������
� X Y � $� %� &�X Y �'�XYYX � �XYYX � � �� $'%&Y '&$%X � Ÿ°¿°¾½ � � $&'&$' $&%&$% XYYX � � ��������������
b) Associativa: X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z , quaisquer que sejam X , Y e Z ; 
 ����������
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser considerado um 
segmento orientado $$ , com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, todos os 
segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si e, desse modo, o conjunto de todos os 
segmentos nulos do espaço é um vetor, indicado por � , que recebe o nome de vetor nulo. Então, se X é um vetor qualquer, temos: �����
d) Simétrico: a cada vetor X , é associado um vetor -X , chamado simétrico ou oposto de X , do 
seguinte modo: se $%X , então %$X � . Como, $$%$$% � , temos que: ����
Z�YX��ZY�X �� �� �
� ���X � �X ���� � �X �
�X�X�H��X�X �� �� �
� X Y $� %� &�X YX ��� Y �'�Z ZZY �Z�YX��ZY�X �� ��
Adição de Vetores - Regra do Paralelogramo
Vetores e Geometria Analítica
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�����$WHQomR��1HVVD�VLWXDomR��WHPRV�GRLV�SRQWRV�LPSRUWDQWHV�D�REVHUYDU������ 9HULILTXH�TXH��QHVWD�VLWXDomR��D�RULJHP�GR�YHWRU� Y �FRLQFLGH�FRP�D�H[WUHPLGDGH�GR�YHWRU�X ��1HVVH�FDVR��SDUD�UHSUHVHQWDUPRV�R�YHWRU� UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV� X �H� Y ��EDVWD�WUDoDUPRV�R�YHWRU� YX � ��TXH�³IHFKDUi´�R�WULkQJXOR�$%&������ 9HULILTXH�WDPEpP�TXH�R�YHWRU� YX � �SRVVXL�VHX�LQtFLR�FRLQFLGLQGR�FRP�R�LQtFLR�GR�YHWRU�X �H�D�VXD�H[WUHPLGDGH�FRLQFLGLQGR�FRP�D�H[WUHPLGDGH�GR�YHWRU� Y ���(VVH�p�XP�DVSHFWR� LPSRUWDQWH�D�VHU�REVHUYDGR�SDUD�TXH�VH�HIHWXH�FRUUHWDPHQWH�D�VRPD�GH�GRLV�YHWRUHV��TXDQGR�XP�YHWRU�SRVVXL�D� VXD�RULJHP�FRLQFLGLQGR�FRP�D�H[WUHPLGDGH�GR�RXWUR�YHWRU��(VVD�UHJUD�p�FRQKHFLGD�FRPR�5HJUD�GR�7ULkQJXOR�SDUD�D�VRPD�GH�YHWRUHV����
Adição de vetores – Regra do paralelogramo ������������$WHQomR��2EVHUYH��DJRUD��DV�GLIHUHQoDV�HP�UHODomR�DR�H[HPSOR�DQWHULRU���
� $� %�&�X �Y � YX � � '�X �Y �
���� 9HULILTXH�TXH��QHVWH�H[HPSOR��RV�YHWRUHV�X �H� Y �SRVVXHP�XP�SRQWR�HP�FRPXP��FRPR�QR�DQWHULRU��SRUpP�DJRUD�HVVH�SRQWR�UHSUHVHQWD�D�RULJHP�GRV�GRLV�YHWRUHV��1HVVH�FDVR��SDUD�UHSUHVHQWDUPRV�R�YHWRU�UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV�X �H� Y ��p�QHFHVViULR�WUDoDU�GRLV�YHWRUHV�DX[LOLDUHV�H�SDUDOHORV�DRV�YHWRUHV� X �H� Y �� IRUPDQGR��DVVLP��R�SDUDOHORJUDPR�$%&'��2�YHWRU� YX � �UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV� X �H� Y �VHUi�D�GLDJRQDO�PDLRU�GR�SDUDOHORJUDPR�$%&'������ 9HULILTXH�WDPEpP�TXH��QHVWD�VLWXDomR��R�YHWRU� YX � �UHVXOWDQWH�GD�VRPD�HQWUH�RV�YHWRUHV�X �H�Y �SRVVXL�D�RULJHP�FRLQFLGLQGR�FRP�D�RULJHP�GRV�YHWRUHV�X �H�Y ���(VVH�p�XP�DVSHFWR� LPSRUWDQWH�D�VHU�REVHUYDGR�SDUD�TXH�VH�HIHWXH�FRUUHWDPHQWH�D�VRPD�GH�GRLV�YHWRUHV��TXDQGR�RV�YHWRUHV�SRVVXHP�D�VXD�RULJHP�FRLQFLGLQGR��(VVD� UHJUD�p�FRQKHFLGD�FRPR�5HJUD�GR�3DUDOHORJUDPR�SDUD�D�VRPD�GH�YHWRUHV���9HMD� PDLV� H[HPSORV� H� PDLRUHV� GHWDOKHV� VREUH� D� VRPD� GH� YHWRUHV� VRE� D� SHUVSHFWLYD�JHRPpWULFD�QDV�DXODV�ZHE��GLVSRQtYHLV�QR�$PELHQWH�9LUWXDO�GH�$SUHQGL]DJHP��$9$�����
Propriedades da adição de vetores �
a) Comutativa: X + Y = Y + X , quaisquer que sejam os vetores X e Y ; 
 ��������������
� X Y � $� %� &�X Y �'�XYYX � �XYYX � � �� $'%&Y '&$%X � Ÿ°¿°¾½ � � $&'&$' $&%&$% XYYX � � ��������������
b) Associativa: X + ( Y + Z ) = (X + Y ) + Z , quaisquer que sejam X , Y e Z ; 
 ����������
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser considerado um 
segmento orientado $$ , com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, todos os 
segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si e, desse modo, o conjunto de todos os 
segmentos nulos do espaço é um vetor, indicado por � , que recebe o nome de vetor nulo. Então, se X é um vetor qualquer, temos: �����
d) Simétrico: a cada vetor X , é associado um vetor -X , chamado simétrico ou oposto de X , do 
seguinte modo: se $%X , então %$X � . Como, $$%$$% � , temos que: ����
Z�YX��ZY�X �� �� �
� ���X � �X ���� � �X �
�X�X�H��X�X �� �� �
� X Y $� %� &�X YX ��� Y �'�Z ZZY �Z�YX��ZY�X �� ��
Propriedades da Adição de Vetores
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� $'%&Y '&$%X � Ÿ°¿°¾½ � � $&'&$' $&%&$% XYYX � � ��������������
b) Associativa: X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z , quaisquer que sejam X , Y e Z ; 
 ����������
c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser considerado um 
segmento orientado $$ , com origem A e extremidade A (segmento nulo). Assim, todos os 
segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si e, desse modo, o conjunto de todos os 
segmentos nulos do espaço é um vetor, indicado por � , que recebe o nome de vetor nulo. Então, se X é um vetor qualquer, temos: �����
d) Simétrico: a cada vetor X , é associado um vetor -X , chamado simétrico ou oposto de X , do 
seguinte modo: se $%X , então %$X � . Como, $$%$$% � , temos que: ����
Z�YX��ZY�X �� �� �
� ���X � �X ���� � �X �
�X�X�H��X�X �� �� �
� X Y $� %� &�X YX ��� Y �'�Z ZZY �Z�YX��ZY�X �� ��
���
O vetor -X é o único vetor que satisfaz a igualdade anterior, qualquer que seja X . �
Diferença (subtração) de vetores �
Sejam dois vetores, X e Y . Vamos definir o vetor diferença desses vetores. 
O vetor diferença Z = X Y� é a soma de X com o oposto de Y . � ��Y�XZ �� �� �
Seja $% um representante de X . Com origem em B, existe um único representante %' do 
vetor Y� . Definimos o vetor Z� = X �Y� como o vetor cujo representante é o segmento orientado $' . ��������������������
� X � Y �
$� %� &�X � Y �X ��� Y �� Y �'�X ��� Y �
Diferença (Subtração) de Vetores
Vetores e Geometria Analítica
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���
O vetor -X é o único vetor que satisfaz a igualdade anterior, qualquer que seja X . �
Diferença (subtração) de vetores �
Sejam dois vetores, X e Y . Vamos definir o vetor diferença desses vetores. 
O vetor diferença Z = X Y� é a soma de X com o oposto de Y . � ��Y�XZ �� �� �
Seja $% um representante de X . Com origem em B, existe um único representante %' do 
vetor Y� . Definimos o vetor Z� = X �Y� como o vetor cujo representante é o segmento orientado $' . ��������������������
� X � Y �
$� %� &�X � Y �X ��� Y �� Y �'�X ��� Y ������3URGXWR�GH�9HWRU�SRU�XP�(VFDODU��'LFLRQiULR��(VFDODU��TXDOTXHU�Q~PHUR�UHDO��6XD�UHSUHVHQWDomR�VHUi�IHLWD�SRU�PHLR�GH�OHWUDV�PLQ~VFXODV�GR�DOIDEHWR�JUHJR���
��
Definição �
Seja Į um número real e Y um vetor. 
Vamos definir o vetor YĮ . �
1.� Se Į = 0 ou �Y , por definição temos: �YĮ ; 
 
2.� Se �YH�Į zz , seja $% um representante do vetor Y . �
O vetor YĮ é definido como o vetor que tem como representante o segmento orientado $& , 
cujo comprimento é |Į | vezes o comprimento de $% , situa-se sobre a reta que contém $% e, se Į > 
0, tem o mesmo sentido que $% e, se Į < 0, tem sentido contrário ao de $% . �������������
Propriedades do produto de vetor por escalares �
Quaisquer que sejam os escalares ȕHĮ e quaisquer que sejam os vetores X e Y , valem as 
seguintes propriedades: �
� $� %� &� $� %�&�Į�!��� Į�����;�;�
1.5 Produto de Vetor por um Escalar
DicionárioDicionário
Escalar: qualquer número real. Sua representação será feita por meio de letras minúsculas do alfabeto grego.
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�����3URGXWR�GH�9HWRU�SRU�XP�(VFDODU��'LFLRQiULR��(VFDODU��TXDOTXHU�Q~PHUR�UHDO��6XD�UHSUHVHQWDomR�VHUi�IHLWD�SRU�PHLR�GH�OHWUDV�PLQ~VFXODV�GR�DOIDEHWR�JUHJR��� ��
Definição �
Seja Į um número real e Y um vetor. 
Vamos definir o vetor YĮ . �
1.� Se Į = 0 ou �Y , por definição temos: �YĮ ; 
 
2.� Se �YH�Į zz , seja $% um representante do vetor Y . �
O vetor YĮ é definido como o vetor que tem como representante o segmento orientado $& , 
cujo comprimento é |Į | vezes o comprimento de $% , situa-se sobre a reta que contém $% e, se Į > 
0, tem o mesmo sentido que $% e, se Į < 0, tem sentido contrário ao de $% . �������������
Propriedades do produto de vetor por escalares �
Quaisquer que sejam os escalares ȕHĮ e quaisquer que sejam os vetores X e Y , valem as 
seguintes propriedades: �
� $� %� &� $� %�&�Į�!��� Į�����;�;�
�
a)� YȕYĮYȕ��Į � � �
b)� YĮXĮ�YXĮ� � � �
c)� Yȕ��Į�YĮ�ȕ �
d)� �� Y Y H������ Y � �� Y �
Exemplos �
1. Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de $& , D é ponto 
médio de $* . Escreva +&H$)�$+ , em função de �EHD ���������
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Perceba, por exemplo, que o vetor $+ 
pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: � *+$*$+ � � ��������������� (+'($'$+ �� � �������������� ,+),&)%&$%$+ ���� ��
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que queremos mostrar é o 
conceito de adição de vetores. Considerando, por exemplo, o segundo modo escrito, temos que o 
primeiro vetor da soma $' tem sua origem sempre coincidindo com a origem do vetor $+ (ponto 
A), assim como o segundo vetor deve ter origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro; assim 
sucessivamente, vamos “emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até 
fecharmos o caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor $+ (ponto H). Então, teremos: 
 
� $� %� &�'� (� )�*� +� ,�D �E �
� *+$*$+ � ($* = 2b, pois D é ponto médio de $*e D*+ , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: � DE�$+ � �� &)$&$) � ( D�$& , pois B é ponto médio de p$&)'SRLV�E&)�$& paralelogramo). 
Então, fica: � ED�$) � �� $*+,+&&,+,+&,&+,+& � Ÿ� Ÿ� �� �ED+& � ���
2. Na figura a seguir, \��[��%&H\$'�[$% �� . Escreva os vetores '&H$& , em função de \GHH[ . 
 ������� ��� ���\��[��$& � �� \��[��[\'& �\��[���[\'& %&$%$''& %&$%'$'& ���� ����� ��� �� ��\��[��'& � �
� $� %�&�'�\��[��[$& �\��[���[$& %&$%$& �� ��� � 
Propriedades do Produto de Vetor por Escalares
Vetores e Geometria Analítica
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�����3URGXWR�GH�9HWRU�SRU�XP�(VFDODU��'LFLRQiULR��(VFDODU��TXDOTXHU�Q~PHUR�UHDO��6XD�UHSUHVHQWDomR�VHUi�IHLWD�SRU�PHLR�GH�OHWUDV�PLQ~VFXODV�GR�DOIDEHWR�JUHJR��� ��
Definição �
Seja Į um número real e Y um vetor. 
Vamos definir o vetor YĮ . �
1.� Se Į = 0 ou �Y , por definição temos: �YĮ ; 
 
2.� Se �YH�Į zz , seja $% um representante do vetor Y . �
O vetor YĮ é definido como o vetor que tem como representante o segmento orientado $& , 
cujo comprimento é |Į | vezes o comprimento de $% , situa-se sobre a reta que contém $% e, se Į > 
0, tem o mesmo sentido que $% e, se Į < 0, tem sentido contrário ao de $% . �������������
Propriedades do produto de vetor por escalares �
Quaisquer que sejam os escalares ȕHĮ e quaisquer que sejam os vetores X e Y , valem as 
seguintes propriedades: �
� $� %� &� $� %�&�Į�!��� Į�����;�;�
�
a)� YȕYĮYȕ��Į � � �
b)� YĮXĮ�YXĮ� � � �
c)� Yȕ��Į�YĮ�ȕ �
d)� �� Y Y H������ Y � �� Y �
Exemplos �
1. Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de $& , D é ponto 
médio de $* . Escreva +&H$)�$+ , em função de �EHD ���������
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Perceba, por exemplo, que o vetor $+ 
pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: � *+$*$+ � � ��������������� (+'($'$+ �� � �������������� ,+),&)%&$%$+ ���� ��
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que queremos mostrar é o 
conceito de adição de vetores. Considerando, por exemplo, o segundo modo escrito, temos que o 
primeiro vetor da soma $' tem sua origem sempre coincidindo com a origem do vetor $+ (ponto 
A), assim como o segundo vetor deve ter origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro; assim 
sucessivamente, vamos “emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até 
fecharmos o caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor $+ (ponto H). Então, teremos: 
 
� $� %� &�'� (� )�*� +� ,�D �E �
�
a)� YȕYĮYȕ��Į � � �
b)� YĮXĮ�YXĮ� � � �
c)� Yȕ��Į�YĮ�ȕ �
d)� �� Y Y H������ Y � �� Y �
Exemplos �
1. Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de $& , D é ponto 
médio de $* . Escreva +&H$)�$+ , em função de �EHD ���������
Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Perceba, por exemplo, que o vetor $+ 
pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores: � *+$*$+ � � ��������������� (+'($'$+ �� � �������������� ,+),&)%&$%$+ ���� ��
Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que queremos mostrar é o 
conceito de adição de vetores. Considerando, por exemplo, o segundo modo escrito, temos que o 
primeiro vetor da soma $' tem sua origem sempre coincidindo com a origem do vetor $+ (ponto 
A), assim como o segundo vetor deve ter origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro; assim 
sucessivamente, vamos “emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até 
fecharmos o caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor $+ (ponto H). Então, teremos: 
 
� $� %� &�'� (� )�*� +� ,�D �E �
� *+$*$+ � ($* = 2b, pois D é ponto médio de $*e D*+ , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: � DE�$+ � �� &)$&$) � ( D�$& , pois B é ponto médio de p$&)'SRLV�E&)�$& paralelogramo). 
Então, fica: � ED�$) � �� $*+,+&&,+,+&,&+,+& � Ÿ� Ÿ� �� �ED+& � ���
2. Na figura a seguir, \��[��%&H\$'�[$% �� . Escreva os vetores '&H$& , em função de \GHH[ . 
 ������� ��� ���\��[��$& � �� \��[��[\'& �\��[���[\'& %&$%$''& %&$%'$'& ���� ����� ��� �� ��\��[��'& � �
� $� %�&�'�\��[��[$& �\��[���[$& %&$%$& �� ��� � 
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� *+$*$+ � ($* = 2b, pois D é ponto médio de $*e D*+ , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: � DE�$+ � �� &)$&$) � ( D�$& , pois B é ponto médio de p$&)'SRLV�E&)�$& paralelogramo). 
Então, fica: � ED�$) � �� $*+,+&&,+,+&,&+,+& � Ÿ� Ÿ� �� �ED+& � ���
2. Na figura a seguir, \��[��%&H\$'�[$% �� . Escreva os vetores '&H$& , em função de \GHH[ . 
 ������� ��� ���\��[��$& � �� \��[��[\'& �\��[���[\'& %&$%$''& %&$%'$'& ���� ����� ��� �� ��\��[��'& � �
� $� %�&�'�\��[��[$& �\��[���[$& %&$%$& �� ��� � ��
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os
vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: $2�$)$($'$&$% ���� . (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) ��������� ����
Vamos escrever cada um dos vetores $)$($'$&$% ���� como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor $2 . � 2)$2$) 2($2$( 2'$2$' 2&$2$& 2%$2$% � � � � � �� �
Somando membro a membro, obtemos: � 2)2(2'2&2%$2�$)$($'$&$% ����� ���� ��
Observe que: 2(2% � , 2)2& � e $22' (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
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(�)� �����;������2�
��
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: $2�$)$($'$&$% ���� . (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) ��������� ����
Vamos escrever cada um dos vetores $)$($'$&$% ���� como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor $2 . � 2)$2$) 2($2$( 2'$2$' 2&$2$& 2%$2$% � � � � � �� �
Somando membro a membro, obtemos: � 2)2(2'2&2%$2�$)$($'$&$% ����� ���� ��
Observe que: 2(2% � , 2)2& � e $22' (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
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 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%��
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 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%��
Vetores e Geometria Analítica
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19
� *+$*$+ � ($* = 2b, pois D é ponto médio de $*e D*+ , pois ABHG é paralelogramo). 
Ficando então: � DE�$+ � �� &)$&$) � ( D�$& , pois B é ponto médio de p$&)'SRLV�E&)�$& paralelogramo). 
Então, fica: � ED�$) � �� $*+,+&&,+,+&,&+,+& � Ÿ� Ÿ� �� �ED+& � ���
2. Na figura a seguir, \��[��%&H\$'�[$% �� . Escreva os vetores '&H$& , em função de \GHH[ . 
 ������� ��� ���\��[��$& � �� \��[��[\'& �\��[���[\'& %&$%$''& %&$%'$'& ���� ����� ��� �� ��\��[��'& � �
� $� %�&�'�\��[��[$& �\��[���[$& %&$%$& �� ��� � ��
3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: $2�$)$($'$&$% ���� . (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) ��������� ����
Vamos escrever cada um dos vetores $)$($'$&$% ���� como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor $2 . � 2)$2$) 2($2$( 2'$2$' 2&$2$& 2%$2$% � � � � � �� �
Somando membro a membro, obtemos: � 2)2(2'2&2%$2�$)$($'$&$% ����� ���� ��
Observe que: 2(2% � , 2)2& � e $22' (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
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3. Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O. Demonstre que: $2�$)$($'$&$% ���� . (Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa 
circunferência de centro O e raio r) ��������� ����
Vamos escrever cada um dos vetores $)$($'$&$% ���� como soma de outros vetores, em 
que apareça o vetor $2 . � 2)$2$) 2($2$( 2'$2$' 2&$2$& 2%$2$% � � � � � �� �
Somando membro a membro, obtemos: � 2)2(2'2&2%$2�$)$($'$&$% ����� ���� ��
Observe que: 2(2% � , 2)2& � e $22' (por se tratar de um hexágono regular, todos 
esses vetores possuem o mesmo módulo e são colineares dois a dois, apresentando, portanto, a 
mesma direção e sentidos opostos). 
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 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$
�VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%��
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 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%��
1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
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 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%��
AtençãoAtenção
Podemos dizer que, mediante a definição explicitada, para definirmos as coordenadas do seguimento orientado 
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 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%��
, basta subtrairmos as coordenadas do ponto B pelas coordenadas do ponto A. 
Observe que, para isso, devemos considerar o sentido do segmento. Se o segmento possui origem no ponto A e 
extremidade no ponto B, as coordenadas do segmento 
��
 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%�� serão dadas por B – A.Para determinar as coordenadas do segmento 
��
 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU�
DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%�� (sentido contrário ao de 
��
 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%�� ), ou seja, origem em B e extre-midade em A, as coordenadas do segmento 
��
 Assim, ficamos com: 
 2)2($22)2($2�$)$($'$&$% ����� ���� , que, cancelando os vetores 
opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar: � $2�$)$($'$&$% ���� �������6HJPHQWRV�2ULHQWDGRV�HP�&RRUGHQDGDV��
Prezado(a) aluno(a), nos tópicos seguintes, iremos rever os temas abordados, porém sob a 
perspectiva algébrica, ou seja, com a sua representação feita por meio de sentenças matemáticas. 
Seja o espaço R3, cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z), em que x, y, z são números reais. 
Já vimos que, a todo terno ordenado (x, y, z) do R3, corresponde um único ponto P do espaço de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por P = (x, y, z). 
Desse modo, o segmento orientado $% , com origem A = (xA , yA , zA) e extremidade B = (xB , yB , 
zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA. �
Notação: $% = B – A = (x, y, z) 
 %$ = A – B = (x, y, z) ��$WHQomR��� 3RGHPRV�GL]HU�TXH��PHGLDQWH�D�GHILQLomR�H[SOLFLWDGD�� SDUD�GHILQLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR� VHJXLPHQWR� RULHQWDGR� $% �� EDVWD� VXEWUDLUPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� %� SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$���� 2EVHUYH� TXH�� SDUD� LVVR�� GHYHPRV� FRQVLGHUDU� R� VHQWLGR� GR� VHJPHQWR�� 6H� R� VHJPHQWR�SRVVXL�RULJHP�QR�SRQWR�$�H�H[WUHPLGDGH�QR�SRQWR�%��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR� $% �VHUmR�GDGDV�SRU�%�±�$��� 3DUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� VHJPHQWR� %$ � �VHQWLGR� FRQWUiULR� DR� GH� $% ��� RX�VHMD��RULJHP�HP�%�H�H[WUHPLGDGH�HP�$��DV�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU�$�±�%�� serão dadas por A – B.Sendo assim, podemos afirmar que as coordenadas de um segmento orientado sempre serão determinadas pela subtração das coordenadas do ponto final pelas coordenadas do ponto inicial.�� 6HQGR�DVVLP��SRGHPRV�DILUPDU�TXH�DV�FRRUGHQDGDV�GH�XP�VHJPHQWR�RULHQWDGR�VHPSUH�VHUmR� GHWHUPLQDGDV� SHOD� VXEWUDomR� GDV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� ILQDO� SHODV� FRRUGHQDGDV� GR�SRQWR�LQLFLDO���
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as coordenadas dos segmentos 
orientados $% e %$ . 
 $% = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1)) $% = (4, – 4, 6) %$ = (–1 – 3, 2 – (–2), –1 – 5) %$ = (– 4, 4, – 6) 
 
Note que $% e %$ são segmentos de sentidos opostos, logo as suas coordenadas possuem o 
mesmo valor numérico, porém sinais opostos. �
Segmentos orientados equipolentes em coordenadas �
Dois segmentos orientados, $% e &' , são equipolentes se têm as mesmas coordenadas 
cartesianas. 
Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD). � °°¯°°®­ � � � � � �œ &'$% &'$% &'$% ]]]] \\\\ [[[[&'a$% ��
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) e D = (0, 5, 3), verifique se os 
segmentos orientados $% e &' são equipolentes. 
Temos que: $% = (– 4, 4, 2) e &' = (– 4, 4, 2) &'a$%? . �
�� 6HQGR�DVVLP��SRGHPRV�DILUPDU�TXH�DV�FRRUGHQDGDV�GH�XP�VHJPHQWR�RULHQWDGR�VHPSUH�VHUmR� GHWHUPLQDGDV� SHOD� VXEWUDomR� GDV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� ILQDO� SHODV� FRRUGHQDGDV� GR�SRQWR�LQLFLDO���
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as coordenadas dos segmentos 
orientados $% e %$ . 
 $% = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1)) $% = (4, – 4, 6) %$ = (–1 – 3, 2 – (–2), –1 – 5) %$ = (– 4, 4, – 6) 
 
Note que $% e %$ são segmentos de sentidos opostos, logo as suas coordenadas possuem o 
mesmo valor numérico, porém sinais opostos. �
Segmentos orientados equipolentes em coordenadas �
Dois segmentos orientados, $% e &' , são equipolentes se têm as mesmas coordenadas 
cartesianas. 
Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD). � °°¯°°®­ � � � � � �œ &'$% &'$% &'$% ]]]] \\\\ [[[[&'a$% ��
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) e D = (0, 5, 3), verifique se os 
segmentos orientados $% e &' são equipolentes. 
Temos que: $% = (– 4, 4, 2) e &' = (– 4, 4, 2) &'a$%? . �
Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas
Vetores e Geometria Analítica
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�� 6HQGR�DVVLP��SRGHPRV�DILUPDU�TXH�DV�FRRUGHQDGDV�GH�XP�VHJPHQWR�RULHQWDGR�VHPSUH�VHUmR� GHWHUPLQDGDV� SHOD� VXEWUDomR� GDV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� ILQDO� SHODV� FRRUGHQDGDV� GR�SRQWR�LQLFLDO���
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as coordenadas dos segmentos 
orientados $% e %$ . 
 $% = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1)) $% = (4, – 4, 6) %$ = (–1 – 3, 2 – (–2), –1 – 5) %$ = (– 4, 4, – 6) 
 
Note que $% e %$ são segmentos de sentidos opostos, logo as suas coordenadas possuem o 
mesmo valor numérico, porém sinais opostos. �
Segmentos orientados equipolentes em coordenadas �
Dois segmentos orientados, $% e &' , são equipolentes se têm as mesmas coordenadas 
cartesianas. 
Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD). � °°¯°°®­ � � � � � �œ &'$% &'$% &'$% ]]]] \\\\ [[[[&'a$% ��
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) e D = (0, 5, 3), verifique se os 
segmentos orientados $% e &' são equipolentes. 
Temos que: $% = (– 4, 4, 2) e &' = (– 4, 4, 2) &'a$%? . �
�� 6HQGR�DVVLP��SRGHPRV�DILUPDU�TXH�DV�FRRUGHQDGDV�GH�XP�VHJPHQWR�RULHQWDGR�VHPSUH�VHUmR� GHWHUPLQDGDV� SHOD� VXEWUDomR� GDV� FRRUGHQDGDV� GR� SRQWR� ILQDO� SHODV� FRRUGHQDGDV� GR�SRQWR�LQLFLDO���
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as coordenadas dos segmentos 
orientados $% e %$ . 
 $% = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1)) $% = (4, – 4, 6) %$ = (–1 – 3, 2 – (–2), –1 – 5) %$ = (– 4, 4, – 6) 
 
Note que $% e %$ são segmentos de sentidos opostos, logo as suas coordenadas possuem o 
mesmo valor numérico, porém sinais opostos. �
Segmentos orientados equipolentes em coordenadas �
Dois segmentos orientados, $% e &' , são equipolentes se têm as mesmas coordenadas 
cartesianas. 
Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD). � °°¯°°®­ � � � � � �œ &'$% &'$% &'$% ]]]] \\\\ [[[[&'a$% ��
Exemplo 
 
1. Dados, em R3, os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2,
3, 2), C = (4, 1, 1) e D = (0, 5, 3), verifique se os 
segmentos orientados $% e &' são equipolentes. 
Temos que: $% = (– 4, 4, 2) e &' = (– 4, 4, 2) &'a$%? . ������9HWRU�HP�&RRUGHQDGDV���
Definição �
 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas coordenadas. �
Exemplo �
1. Sejam os pares de pontos do R3: �
A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2) 
A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1) 
A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6) 
--------------------------------------- 
An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2) �
A cada um desses pares, associamos os segmentos orientados QQ������ %$��%$�%$�%$ ! , 
cujas coordenadas são: � �������Y�$%�&O�������%$ �������%$ �������%$ �������%$ QQ �� �� �� °°°°¿°°°°¾½ ��������� ����������� $� %�$�� %��$�� %�� $Q� %Q�&O��$% �� � Y � �����������
1.7 Vetor em Coordenadas
Regina Maria Sigolo Bernardinelli
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�����9HWRU�HP�&RRUGHQDGDV���
Definição �
 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas coordenadas. �
Exemplo �
1. Sejam os pares de pontos do R3: �
A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2) 
A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1) 
A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6) 
--------------------------------------- 
An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2) �
A cada um desses pares, associamos os segmentos orientados QQ������ %$��%$�%$�%$ ! , 
cujas coordenadas são: � �������Y�$%�&O�������%$ �������%$ �������%$ �������%$ QQ �� �� �� °°°°¿°°°°¾½ ��������� ����������� $� %�$�� %��$�� %�� $Q� %Q�&O��$% �� � Y � ������������
O conjunto dos segmentos orientados QQ������ %$��%$�%$�%$ ! forma uma classe de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos são segmentos orientados que 
possuem as mesmas coordenadas. Essa classe de equivalência define o vetor Cl ($% ) = Y , de 
coordenadas (3, 1, 2), denotado por: Y = (3, 1, 2). 
Qualquer um dos segmentos orientados anteriores representa o mesmo vetor Y e basta 
qualquer um deles para que o vetor Y fique perfeitamente determinado. 
O conjunto de todos os vetores do espaço R3 é denotado por V3, sendo conveniente observar a 
distinção entre o conjunto R3, que é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais, e o 
conjunto V3, que é o conjunto de todos os vetores do espaço R3. 
Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmas coordenadas, que são as 
coordenadas do vetor. 
Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xB , yB , zB), as coordenadas do vetor Y são: x = xB – xA; y = yB – yA; z 
= zB – zA. 
 
Notação: Y =$% = B – A = (x, y, z) 
 Y = %$ = A – B = (x, y, z) �$WHQomR��� 3HUFHED� TXH�� DQDORJDPHQWH� FRPR� GHWHUPLQDPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GH� XP� VHJXLPHQWR�RULHQWDGR$% �� IDUHPRV� SDUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� YHWRU� Y � � $% �� RX� VHMD�� EDVWD�VXEWUDLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�%�SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$����� � � Y � �$% � �%�±�$��� �� 'D�PHVPD�IRUPD��GHWHUPLQDPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR�YHWRU� Y � �%$ ��VHQWLGR�FRQWUiULR�DR�GH� $% ���$V�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU��� � � � �� � � Y � �%$ � �$�±�%�������
�
Observações 
 
1) Existe uma correspondência biunívoca entre o espaço R3 e o conjunto V3 de vetores, que 
associa a cada ponto P = (x, y, z) de R3 um vetor Y = (x, y, z); 
 
2) Existe um e somente um representante de um vetor dado, ligado a um ponto dado. �
Igualdade de vetores �
Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas. 
Se �]�\��[YH�]\��[Y �������� , então: � �������� ]]�\\�[[YY œ ���
Adição de vetores 
 
Sejam os vetores �]�\��[YH�]\��[Y �������� , em V3. 
A soma �� YY � é o vetor definido por: � �]]�\\�[�[YY �������� ��� � ��
Observe, caro(a) aluno(a), que, para realizarmos a adição entre dois vetores �� YHY , basta 
somarmos a coordenada x de um vetor com a coordenada x do outro vetor, somarmos a coordenada 
y de um vetor com a coordenada y do outro vetor e somarmos a coordenada z de um vetor com a 
coordenada z do outro vetor. ������
Vetores e Geometria Analítica
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�����9HWRU�HP�&RRUGHQDGDV���
Definição �
 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas coordenadas. �
Exemplo �
1. Sejam os pares de pontos do R3: �
A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2) 
A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1) 
A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6) 
--------------------------------------- 
An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2) �
A cada um desses pares, associamos os segmentos orientados QQ������ %$��%$�%$�%$ ! , 
cujas coordenadas são: � �������Y�$%�&O�������%$ �������%$ �������%$ �������%$ QQ �� �� �� °°°°¿°°°°¾½ ��������� ����������� $� %�$�� %��$�� %�� $Q� %Q�&O��$% �� � Y � ������������
O conjunto dos segmentos orientados QQ������ %$��%$�%$�%$ ! forma uma classe de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos são segmentos orientados que 
possuem as mesmas coordenadas. Essa classe de equivalência define o vetor Cl ($% ) = Y , de 
coordenadas (3, 1, 2), denotado por: Y = (3, 1, 2). 
Qualquer um dos segmentos orientados anteriores representa o mesmo vetor Y e basta 
qualquer um deles para que o vetor Y fique perfeitamente determinado. 
O conjunto de todos os vetores do espaço R3 é denotado por V3, sendo conveniente observar a 
distinção entre o conjunto R3, que é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais, e o 
conjunto V3, que é o conjunto de todos os vetores do espaço R3. 
Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmas coordenadas, que são as 
coordenadas do vetor. 
Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xB , yB , zB), as coordenadas do vetor Y são: x = xB – xA; y = yB – yA; z 
= zB – zA. 
 
Notação: Y =$% = B – A = (x, y, z) 
 Y = %$ = A – B = (x, y, z) �$WHQomR��� 3HUFHED� TXH�� DQDORJDPHQWH� FRPR� GHWHUPLQDPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GH� XP� VHJXLPHQWR�RULHQWDGR$% �� IDUHPRV� SDUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� YHWRU� Y � � $% �� RX� VHMD�� EDVWD�VXEWUDLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�%�SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$����� � � Y � �$% � �%�±�$��� �� 'D�PHVPD�IRUPD��GHWHUPLQDPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR�YHWRU� Y � �%$ ��VHQWLGR�FRQWUiULR�DR�GH� $% ���$V�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU��� � � � �� � � Y � �%$ � �$�±�%�������
AtençãoAtenção
Perceba que, analogamente como determinamos as coordenadas de um seguimento orientado
�
O conjunto dos segmentos orientados QQ������ %$��%$�%$�%$ ! forma uma classe de 
equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos são segmentos orientados que 
possuem as mesmas coordenadas. Essa classe de equivalência define o vetor Cl ($% ) = Y , de 
coordenadas (3, 1, 2), denotado por: Y = (3, 1, 2). 
Qualquer um dos segmentos orientados anteriores representa o mesmo vetor Y e basta 
qualquer um deles para que o vetor Y fique perfeitamente determinado. 
O conjunto de todos os vetores do espaço R3 é denotado por V3, sendo conveniente observar a 
distinção entre o conjunto R3, que é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais, e o 
conjunto V3, que é o conjunto de todos os vetores do espaço R3. 
Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmas coordenadas, que são as 
coordenadas do vetor. 
Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xB , yB , zB), as coordenadas do vetor Y são: x = xB – xA; y = yB – yA; z 
= zB – zA. 
 
Notação: Y =$% = B – A = (x, y, z) 
 Y = %$ = A – B = (x, y, z) �$WHQomR��� 3HUFHED� TXH�� DQDORJDPHQWH� FRPR� GHWHUPLQDPRV� DV� FRRUGHQDGDV� GH� XP� VHJXLPHQWR�RULHQWDGR$% �� IDUHPRV� SDUD� GHWHUPLQDU� DV� FRRUGHQDGDV� GR� YHWRU� Y � � $% �� RX� VHMD�� EDVWD�VXEWUDLUPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�%�SHODV�FRRUGHQDGDV�GR�SRQWR�$����� � � Y � �$% � �%�±�$��� �� 'D�PHVPD�IRUPD��GHWHUPLQDPRV�DV�FRRUGHQDGDV�GR�YHWRU� Y � �%$ ��VHQWLGR�FRQWUiULR�DR�GH� $% ���$V�FRRUGHQDGDV�GR�VHJPHQWR�%$ �VHUmR�GDGDV�SRU���