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AP2 - Me´todos Determin´ısticos I - 2017-1 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais I 1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com os enunciados das Questo˜es e, inicial- mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o em uma etiqueta. 2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova e se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. 3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicado para este fim. 4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada. 5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho e qualquer outro aparelho que per- mita a conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade detectada sera´ reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas. 6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos. Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas I 1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. 2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´- las de acordo com as questo˜es! 3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. 4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. 5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina: I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 28/05/2017 Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a seguir.) Considere a inequac¸a˜o |x + 1| > |x− 3|. Questa˜o 1 (1.0 pt) Reescreva a frase abaixo no caderno de respostas, preenchendo as lacunas com nu´meros e/ou relac¸o˜es de ordem (maior, menor, maior ou igual, menor ou igual), para obter a interpretac¸a˜o geome´trica correta da inequac¸a˜o dada: “O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja distaˆncia ao ponto e´ a` distaˆncia ao ponto .” Soluc¸a˜o: O mo´dulo |x − a| representa, geometricamente, a distaˆncia entre os pontos x e a a da reta. Assim, a interpretac¸a˜o geome´trica correta da inequac¸a˜o |x+1| > |x−3|, que pode ser reescrita como e´ |x− (−1)| > |x− 3|: “O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja distaˆncia ao ponto −1 e´ maior ou igual a` distaˆncia ao ponto 3.” ou, equivalentemente, “O conjunto-soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ o conjunto dos pontos da reta real cuja distaˆncia ao ponto 3 e´ menor ou igual a` distaˆncia ao ponto −1.” Questa˜o 2 (1.0 pt) A partir da interpretac¸a˜o geome´trica acima da questa˜o 1, deˆ, na forma de intervalo ou de unia˜o de intervalos, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o. Soluc¸a˜o: Pela questa˜o 1, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o consiste dos pontos mais pro´ximos de 3 do que de −1, ou situados a` mesma distaˆncia, representados abaixo: Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 Repare que o ponto que esta´ a` mesma distaˆncia de −1 e 3 e´ dado por (−1) + 32 = 1. Este ponto pertence a` soluc¸a˜o, pois sua distaˆncia a −1 e´ igual a` distaˆncia ao 3, isto e´, |1− (−1)| = |1− 3|. Temos como conjunto-soluc¸a˜o, portanto, o intervalo [1,+∞). Questa˜o 3 (2.0 pt) Uma func¸a˜o f e´ definida pela expressa˜o abaixo, no maior dom´ınio onde ela pode ser avaliada. f(x) = √ −x2 − 4x− 3. Determine, na forma de intervalo, o dom´ınio da func¸a˜o f . Soluc¸a˜o: Na expressa˜o de f , como extra´ımos a raiz quadrada do polinoˆmio −x2− 4x− 3, e´ preciso que este polinoˆmio seja maior ou igual a zero para que esta raiz quadrada esteja definida. Por Bhaskara, vemos que as ra´ızes dele sa˜o −3 e −1. Desta forma, o polinoˆmio −x2 − 4x− 3 pode ser fatorado como, −x2 − 4x− 3 = − (x + 3) (x + 1) . Estudando os sinais dos dois fatores, temos (−∞,−3) −3 (−3,−1) −1 (−1,+∞) x + 3 − 0 + + + x + 1 − − − 0 + (x + 3)(x + 1) + 0 − 0 + −(x + 3)(x + 1) − 0 + 0 − Assim, −x2 − 4x− 3 > 0⇔ −(x + 3)(x + 1) > 0⇔ x ∈ [−3,−1]. Logo, o dom´ınio de f e´ o conjunto [−3,−1]. Questa˜o 4 (2.0 pt) Em um plano cartesiano, represente o conjunto C dos pontos (x, y) que satisfazem ao sistema 2 6 x 6 4 1 < y < 4 x + y = 5. Lembre-se de que um ponto (x, y) estara´ em C se, e somente se, satisfizer todas as equac¸o˜es e inequac¸o˜es acima simultaneamente. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 Soluc¸a˜o: A desigualdade 2 6 x 6 4 representa a regia˜o esboc¸ada abaixo: A desigualdade 1 < y < 4 representa a regia˜o esboc¸ada abaixo: A igualdade x + y = 5 representa uma reta. Para esboc¸a´-la, vamos determinar dois de seus pontos. Fazendo x = 2, temos 2 + y = 5 ∴ y = 5− 2 = 3. Fazendo x = 4, temos 4 + y = 5 ∴ y = 5− 4 = 1. Assim, os pontos (2, 3) e (4, 1) esta˜o na reta. A reta enta˜o pode ser esboc¸ada como abaixo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 Esboc¸ando as treˆs condic¸o˜es, temos Os pontos que satisfazem a`s treˆs condic¸o˜es simultaneamente sa˜o enta˜o (Este texto e´ comum a`s questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.) Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti- vamente, por D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 5P2 − 5, onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em milho˜es de unidades. Questa˜o 5 (1.0 pt) Quais sa˜o os prec¸os ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo)? E qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)? Soluc¸a˜o: Encontramos o prec¸o ma´ximo do produto, valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo, verificando quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0 ⇔ P 2 − 4P − 5 = 0 ⇔ P = −1 ou P = 5. Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 5. Assim, o prec¸o ma´ximo do produto e´ R$5,00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 6 Encontramos o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta do mesmo, verificando quando temos a oferta igual a zero. Neste caso, temos que Q(P ) = 0 ⇔ 5P2 − 5 = 0 ⇔ 5P2 = 5 ⇔ P = 5 · 25 = 2. Assim, o prec¸o m´ınimo do produto, valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta para ele, e´ R$2,00. Questa˜o 6 (1.5 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da de- manda e da oferta referentes a este prec¸o? Soluc¸a˜o: Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda, D, e oferta, Q. D(x) = Q(x) ⇔ −P 2 + 4P + 5 = 5P2 − 5 ⇔ −2P 2 + 8P + 10 = 5P − 10⇔ −2P 2 + 3P + 20 = 0 ⇔ 2P 2 − 3P − 20 = 0 ⇔ P = −(−3)± √ (−3)2 − 4 · 2 · (−20) 2 · 2 ⇔ P = 3± √ 169 4 = 3± 13 4 ⇔ P = 4 ou P = −104 . Como prec¸o e´ um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor positivo de P , que e´ P = 4. Assim, o prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$ 4,00. A demanda e a oferta correspondentes a este prec¸o e´ de D(P ) = Q(P ) = 5·42 − 5 = 5, isto e´, 5 milho˜es de unidades. Questa˜o 7 (1.5 pt) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto de demanda ma´xima. Soluc¸a˜o: Ja´ vimos, na questa˜o anterior, que D(5) = 0, Q(2) = 0 e D(4) = Q(4) = 5. Repare que o ponto de equil´ıbrio sera´ enta˜o (4, 5). O gra´fico da func¸a˜o oferta Q e´ uma reta, pois ela e´ uma func¸a˜o de polinomial 1o grau. E, como ja´ conhecemos dois de seus pontos (2, 0) e (4, 5), podemos esboc¸ar a reta. O gra´fico da func¸a˜o demanda D e´ uma para´bola. Ja´ conhecemos as duas ra´ızes −1 e 5. O ve´rtice (xv, yv) desta para´bola representa o ponto de demanda ma´xima, e suas coordenadas sa˜o dadas por xv = − b2a = − 4 2 · (−1) = 2 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 7 yv = −∆4a = − 42 − 4 · (−1) · 5 4 · (−1) = − 36 −4 = 9. Assim, o ve´rtice e´ o ponto (2, 9). Esboc¸ando as func¸o˜es, temos Mas ja´ vimos que os prec¸os para os quais ha´ demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 5, assim, podemos esboc¸ar o gra´fico das func¸o˜es apenas para estes valores de P , como abaixo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ RASCUNHO Nome: Matr´ıcula: Atenc¸a˜o! • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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