GA L5

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5a LISTA DE EXERCI´CIOS DE G.A. - QUI´MICA LICENCIATURA
Professor: Jose´ Carlos de Souza Ju´nior
1. Determine x de modo que ~u e ~v sejam ortogonais:
(a) ~u = (x, 0, 3) e ~v = (1, x, 3).
(b) ~u = (x, x, 4) e ~v = (4, x, 1).
(c) ~u = (x+ 1, 1, 2) e ~v = (x− 1,−1,−2).
2. Determine ~u ortogonal a (−3, 0, 1) tal que ~u · (1, 4, 5) = 24 e ~u · (−1, 1, 0) = 1.
3. Obtenha ~u ortogonal a (1, 1, 0) tal que ||~u|| = √2 e a medida angular em graus entre ~u e
(1,−1, 0) seja 45.
4. Calcule a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u em cada caso.
(a) ~v = (1,−1, 2) e ~u = (3,−1, 1)
(b) ~v = (−1, 1, 1) e ~u = (−2, 1, 2)
(c) ~v = (1, 3, 5) e ~u = (−3, 1, 0)
(d) ~v = (1, 2, 4) e ~u = (−2,−4,−8)
5. Em cada caso, decomponha ~v como soma de dois vetores ~p e ~q, de modo que ~p seja paralelo
e ~q seja ortogonal a ~u.
(a) ~v = (−1,−3, 2) e ~u = (0, 1, 3)
(b) ~v = (0, 1, 2) e ~u = (0,−1,−2)
(c) ~v = (1, 2,−1) e ~u = (2,−1, 0)
6. Sa˜o dadas as coordenadas de ~u e ~v em relac¸a˜o a uma base ortonormal fixada. Calcule,
em radianos, a medida angular entre ~u e ~v.
(a) ~u = (1, 0, 1), ~v = (−2, 10, 2).
(b) ~u = (3, 3, 0), ~v = (2, 1,−2).
(c) ~u = (
√
3
2
, 1
2
, 0), ~v = (
√
3
2
, 1
2
,
√
3).
7. Sendo E uma base ortonormal, determine x para que os vetores ~u = (x, 10, 200)E e
~v = (−10, x, 0)E sejam ortogonais.
8. Dados ~e1 = (1,−3, 2) e ~e2 = (2, 1,−3), seja ~w = λ~e1 + ~e2. Determine λ ∈ R, tal que
~w ⊥ ~e1.
9. Decomponha ~w = (1, 0, 3) como soma de dois vetores ~w1 e ~w2, onde o conjunto
{ ~w1, (1, 1, 1), (−1, 1, 2)} e´ linearmente dependente e ~w2 e´ ortogonal aos dois u´ltimos veto-
res do conjunto.
10. Mostre que as bases E = {~e1, ~e2, ~e3} e F{−~e1, ~e2, ~e3} teˆm orientac¸a˜o oposta.
11. Considere um triaˆngulo equila´tero ∆ABC de lado unita´rio. Determine ||−→AB ∧ −→AC||.
12. Encontre um vetor unita´rio ortogonal a ~u = (1,−3, 1) e a ~v = (−3, 3, 3).
13. Calcule:
(a) A a´rea do paralelogramo ABCD sendo
−→
AB = (1, 1,−1) e −−→AD = (2, 1, 4).
(b) A a´rea do triaˆngulo ∆ABC sendo
−→
AC = (−1, 1, 0) e −→AB = (0, 1, 3).
14. Verifique se as bases E = {~e1, ~e2, ~e3} e F = {~f1, ~f2, ~f3} teˆm a mesma orientac¸a˜o, ou
orientac¸a˜o oposta nos casos:
(a)

~f1 = 2~e1 − ~e2 − ~e3
~f2 = ~e1 − ~e3
~f3 = ~e2
(b)

~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3
~f2 = ~e1 − ~e2 + ~e3
~f3 = ~e1 + ~e2 − ~e3
15. Calcule o volume de um
(a) paralelep´ıpedo definido pelos vetores ~u = (2,−2, 0), ~v = (0, 1, 0) e ~w = (−2,−1,−1).
(b) tetraedro ABCD, dados
−→
AB = (1, 1, 0),
−→
AC = (0, 1, 1) e
−−→
AD = (−4, 0, 0).