1.3 Minimizacao de Custos

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IBMEC – MG
Curso: Ciências Econômicas
Disciplina: 
Análise Microeconômica IV
Mercados e Eficiência
Professor: Christiano Alves Farias
1.3 Teoria da Firma:
Minimização de Custos
Uma Abordagem Gráfica
Capítulo 6 Slide 3
Tópicos para Discussão
• Tecnologia da Produção
• Isoquantas
• Isocustos
• Otimização Condicionada
Capítulo 6 Slide 4
Introdução
• Neste capítulo nos voltamos para a produção da 
empresa.
• A teoria da firma trata das seguintes questões:
– O modo pelo qual uma firma toma decisões de 
produção minimizadoras de custo
– O modo pelo qual os custos de produção variam com o 
nível de produção
– Maneira como as empresas tomam suas decisões de 
produção
Capítulo 6 Slide 5
Tecnologia da Produção
• O Processo Produtivo
– Combinação e transformação de insumos ou 
fatores de produção em produtos
• Tipos de Insumos (fatores de produção)
– Trabalho
– Matérias-primas
– Capital
Capítulo 6 Slide 6
Tecnologia da Produção
• Função de Produção:
– Indica o maior nível de produção que uma firma 
pode atingir para cada possível combinação de 
insumos, dado o estado da tecnologia.
– Mostra o que é tecnicamente viável quando a 
firma opera de forma eficiente.
Capítulo 6 Slide 7
Tecnologia da Produção
• No caso de dois insumos a função de 
produção é:
Q = F(K,L)
Q = Produto, K = Capital, L = Trabalho
• Essa função depende do estado da tecnologia
Capítulo 6 Slide 8
Isoquantas
• Premissas
– Um produtor de alimentos utiliza dois 
insumos:
• Trabalho (L) & Capital (K)
Capítulo 6 Slide 9
Isoquantas
• Observações:
1) Para qualquer nível de K, o produto aumenta 
quando L aumenta.
2) Para qualquer nível de L, o produto aumenta 
quando K aumenta.
3) Várias combinações de insumos podem produzir 
a mesma quantidade de produto.
Capítulo 6 Slide 10
Isoquantas
• Isoquantas
– São curvas que representam todas as possíveis 
combinações de insumos que geram a mesma 
quantidade de produto
Capítulo 6 Slide 11
Função de Produção para Alimentos
1 20 40 55 65 75
2 40 60 75 85 90
3 55 75 90 100 105
4 65 85 100 110 115
5 75 90 105 115 120
Capital 1 2 3 4 5
Trabalho
Capítulo 6 Slide 12
Produção com dois insumos variáveis (L,K)
Trabalho por ano
1
2
3
4
1 2 3 4 5
5
Q1 = 55
As isoquantas são dadas
pela função de produção
para níveis de produto iguais a 
55, 75, e 90.A
D
B
Q2 = 75
Q3 = 90
C
E
Capital
por ano Mapa de Isoquantas
Capítulo 7 Slide 13
Isocusto
• Linha de Isocusto 
 C = wL + rK
 Isocusto: Linha que descreve todas as 
combinações de L e K que podem ser 
compradas pelo mesmo custo.
The User Custo of CapitalEscolha de Insumos Minimizadora de Custos
Capítulo 7 Slide 14
Isocusto
• Reescrevendo C como uma equação linear que 
relaciona K e L:
 K = C/r - (w/r)L
 Inclinação da Isocusto: 
É a razão entre o salário e o custo do capital.
Mostra a taxa à qual podemos substituir 
trabalho por capital sem alteração do custo.
 
r
w
L
K 


Linha de Isocusto
Capítulo 7 Slide 15
Escolha de Insumos 
• Veremos agora como minimizar o custo de 
produzir determinado nível de produto.
– Isso será feito através da combinação de isocustos 
com isoquantas
Capítulo 7 Slide 16
Produção com Custo Mínimo
Trabalho por ano
Capital
por
ano
A quantidade Q1 pode ser 
produzida com as 
combinações K2L2 ou K3L3.
Entretanto, essas combinações
implicam custo maior
relativamente à 
combinação K1L1.
Q1
Q1 é uma isoquanta
para o nível de produção Q1..
A curva de isocusto C0 mostra
todas as combinações de K e L
que custam C0.
C0 C1 C2
CO C1 C2 são
três linhas
de isocusto
A
K1
L1
K3
L3
K2
L2
Capítulo 7 Slide 17
• Isoquantas, Isocustos e a Função de Produção
K
L
PMg
PMg- TMST 


L
K
r
w
L
K 

 isocusto de linha da Inclinação
r
w
PMg
PMg
K
L 
Produção com Custo Mínimo
Teoria da Firma:
Minimização de Custos
Um Tratamento Algébrico
Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a
função de produção descreverá a maior produção que
pode ser obtida com as combinações destes insumos.
),( LKF
Produto Marginal do Capital
Ou seja, iremos supor que ambos os insumos possuem produtos 
marginais positivos e declinantes
Produto Marginal do Trabalho
KLKFLKPMgK  ),(),(
0),( LKPMgK
0),(  KLKPMgK
LLKFLKPMgL  ),(),(
0),( LKPMgL
0),(  LLKPMgL
Uma empresa competitiva aceita os preços estipulados para o 
trabalho, w, e o capital, r. Problema da minimização do custo
sujeito à restrição de que um nível de produção deve ser 
atingido
0Q
rKwL C Minimizar (1)
(2)
0),( QLKF 
Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o 
método dos multiplicadores de Lagrange
O lagrangiano do problema é
 0),( QLKFrKwL  
(3)
Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as 
derivadas a zero, encontramos

Combinando as duas primeiras equações acima, obtemos
(4)
0),(  LKPMgrK K
0),(  LKPMgwL L
0),( 0  QLKF
),(
),(
0),(
LKPMG
r
rLKPMG
LKPMGr
K
K
K






),(
),(
0),(
LKPMG
w
wLKPMG
LKPMGw
L
L
L






Combinando estas mesmas equações de outra forma, obtemos o 
multiplicador de Lagrange
wLKPMgrLKPMg LK ),(),( 
(5)
),(),( LKPMgwLKPMgr LK 
(6)
),( LKPMgr K
),( LKPMgw L
Medem o custo do insumo adicional para a 
produção de uma unidade adicional de 
produto
),(),( LKPMG
w
LKPMG
r
LK

Igualando a 
 
Passando cada termo para o outro lado temos
Taxa Marginal de Substituição Técnica
representa uma isoquanta de produção 
*),( QLKF  *Q
À medida que as combinações de insumos variam ao longo da 
isoquanta, a variação de produção iguala-se a zero ( )
0dQ
0),(),(  dQdLLKPMgdKLKPMg LK
(7)
Reordenando a equação 7, definimos a TMST
Reescrevendo a equação 5 como 
observamos que a TMST é igual a razão entre os preços dos 
insumos
),(),(TMST LKPMgLKPMgdLdK KLLK 
(8)
rwLKPMgLKPMg KL ),(),(
(9)
Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equação 5
que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos 
devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo 
unitário de cada insumo
wLKPMgrLKPMg LK ),(),( 
(5)
Dualidade na Teoria da Produção e do Custo
A decisão da empresa em relação a insumos é de natureza dual
Combinação 
ótima de K e L
Escolha da mais baixa linha de isocusto
tangente à isoquanta de produção
Escolha da mais alta isoquanta de produção
tangente a uma determinada linha de isocusto
Já fizemos a minimização do custo. Agora vamos à 
maximização da produção
F(K,L)Maximizar 
sujeito à restrição
O lagrangiano é
Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as 
derivadas a zero, encontramos

0CrKwL 
(10)
)(),( 0CrKwLLKF  
(11)
0),(  rLKPMgK 
00  CrKwL
0),(  wLKPMgL 
(12)
Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemos
wLKPMgrLKPMg LK ),(),( 
(5)
que é exatamente a condição de minimização de custo
Função Cobb-Douglas de Custo e Produção
LAKLKF ),(
ou, em logaritmos,
LKALKF logloglog),(log  
Supomos que de forma que a empresa tenha 
produtos marginais decrescentes para trabalho e capital
1 e 1  
Por exemplo, se o produto marginal do trabalho é expresso por 
  1),(  LBAKLLKFPMgL
a apresenta diminuição à medidaque L aumenta
LPMg
Se
1 
1 
1 
rendimentos constantes de escala
rendimentos crescentes de escala
rendimentos decrescentes de escala
Exemplos
23,0 e 77,0  • Empresa Pequena:
1 
Como a empresa possui rendimentos constantes de 
escala
22,0 e 83,0  • Empresa Grande:
1 
Como a empresa possui rendimentos crescentes de 
escala
Para minimizar o custo de produção de uma função Cobb-
Douglas, sujeita a uma restrição, utilizamos o método dos 
multiplicadores de Lagrange
O lagrangiano é
)( 0QLAKrWwL 
 (13)
Diferenciando em relação a K, L e e igualando as derivadas a 
zero, encontramos

(14)
0)( 1   LAKwL
0)( 1    LAKrK (15)
00  QLAK
 (16)
A partir da equação 14, temos
1  LAKw
(17)
Substituindo a equação 17 na equação 15, obtemos
1  LAKw
(18)
wrKL 
(19)
ou então
0QwKrAK 
  (20)
Utilizando a equação 19 para eliminar L da equação 16
AQrwK 0)(
 
(21)
Reescrevendo esta equação, temos
Assim, encontramos a quantidade ótima de capital
e a quantidade ótima de trabalho
  )(10)( )()(   AQrwK
(22)
  )(10)( )()(   AQwrL (23)











 






























1
 
A
Q
rwC (24)
Agora vamos determinar a função de custo da empresa
rKwLC 
Substituindo as equações 22 e 23 em
Esta função de custo informa
• como o custo total da produção aumenta à medida que o nível 
de produção Q aumenta
• como o custo varia quando variam os preços dos insumos
 
Quando for igual a 1, a equação 24 pode ser simplificada 
para
Q
A
rwC 



























1
 





 (25)
Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição
Determinação de Máximos e Mínimos
• Passos:
• A) Construir o lagrangeano;
• B) Derivar em relação as variáveis e igualar a 
zero;
• C) Verificar a condição de segunda ordem.
Exercício Resolvido
• Sejam e as funções Produção e Custo Total de
Produção de uma empresa. Ao nível de
produção z =16, qual a combinação de fatores
(x, y) que minimiza o custo? Qual o custo
mínimo?
Resolução: