Relatório Cordas Vibrantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE FÍSICA
FIS122 – FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II-E / LABORATÓRIO.
Amado Lacerda Rios
João Elias Vieira Jr.
Raquel Marques
Thiago Marçal B. Filho
Cordas Vibrantes
Salvador/BA
Dezembro de 2017
Amado Lacerda Rios
João Elias Vieira Jr.
Raquel Marques
Thiago Marçal B. Filho
Cordas Vibrantes
Relatório da atividade prática sobre cordas vibrantes, vinculada à disciplina Física Geral e Experimental II - Laboratório, do Instituto de Física da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para aprovação na disciplina.
RESUMO
Comprovou-se por meio do experimento que os harmônicos são, de fato, múltiplos do harmônico fundamental e que a frequência de oscilação é inversamente proporcional ao tamanho do fio, diretamente proporcional à tração aplicada ao fio e inversamente proporcional à densidade linear deste. Tais conclusões podem ser obtidas tanto através do método gráfico, quanto por meio do método dos mínimos quadrados. Os coeficientes encontrados a partir dos gráficos construídos durante o experimento foram razoavelmente próximos do esperado com base nos modelos teóricos. Algumas fontes prováveis de erro foram: sintonia do frequêncímetro, visualização do harmônico ideal, precisão do frequencímetro e perdas de energia por atrito com o ar e erros de medição atribuídos aos operadores.
INTRODUÇÃO
	Uma onda pode ser entendida como uma perturbação que se propaga em um meio. Existem vários tipos de ondas na natureza, como por exemplo, ondas mecânicas e ondas eletromagnéticas. Uma das principais propriedades das ondas é transportar energia sem arrastar o meio material por meio do qual ela se propaga.
	Neste experimento, estudaremos as ondas estacionárias. Trata-se de ondas transversais, que se propagam numa corda vibrante. Possuem grande amplitude de vibração e traduzem uma manifestação de ressonância da corda em relação a uma força externa.
	O objetivo deste experimento é comprovar a equação de Lagrange para cordas vibrantes (dada por ) por meio de testes experimentais. Para isto, devemos modificar as variáveis que afetam a formação de ondas estacionárias nas cordas, obtendo assim, a relação destas com a frequência de vibração da onda. As variáveis e parâmetros são: frequência de vibração das ondas estacionárias (f), o número de ventres (n), o comprimento da corda (L), a tensão na corda ou fio () e sua densidade linear (μ). 
OBJETIVO GERAL
Obtenção experimental da relação entre a frequência de vibração das ondas estacionárias (f), o número de ventres (n) (correspondendo a n-1 nodos), e os parâmetros que caracterizam a corda: o seu comprimento (L), a tensão a que está submetida (τ), a sua densidade linear (µ).
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Diminuir os erros da medida;
Aferir na balança a massa (m) do porta-pesos;
Registrar a massa (m) do porta-pesos;
Utilizar a régua para medir o comprimento do fio;
Registrar o comprimento do fio;
Calcular a densidade linear de cada um dos 5 fios;
Medir e registrar os valores dos parâmetros , , e , durante a série de medidas relativas a cada um desses parâmetros.
MATERIAIS
Gerador de áudiofrequência (0-103 Hz)
Alto-falante usado como vibrador
Porta-pesos
Massas aferidas de 10, 20, 50 e 100 g,
05 fios de nylon com diâmetros diferentes.
METODOLOGIA
Inicialmente realizamos a leitura prévia do experimento. Em seguida, efetuamos a regulagem da balança para que a mesma estivesse devidamente nivelada e efetuamos a pesagem do porta-pesos.
A seguir, a partir de dados fornecidos pelo professor, calculamos a densidade linear de massa de cada um dos cinco fios de nylon utilizados no experimento.
Estudamos separadamente a dependência de com relação a cada um de seus parâmetros (, , e ). Em cada série de medida, enquanto o comportamento do parâmetro em estudo era observado, os outros três parâmetros eram mantidos fixos, sendo anotados seus respectivos valores.
Durante a realização das medidas, deve ser observado que:
 o comprimento correspondente à distância entre a haste presa no alto-falante e o eixo da polia);
a tensão deve levar em conta não apenas as massas aferidas, mas também a massa do porta-pesos;
fixar o valor de significa usar apenas um dos fios. A utilização dos 5 fios será necessária apenas quando do estudo da dependência entre e .
TRATAMENTO DOS DADOS
V.1	 Relação entre (frequência) e (harmônicos)
V.1.1	Método dos mínimos quadrados
O resultado experimental ( tabela I ) nos indica a existência de uma relação linear entre e , ou seja, uma relação do tipo . Assim, podemos utilizar o método de mínimos quadrados para encontrar os coeficientes e , sendo:
 ( I ) e ( II ) 
Considerando (frequência em Hertz) e (número de ventres ou harmônicos), construímos a seguinte tabela, onde os valores de e foram obtidos durante o experimento, fixados, , e :
 Tabela I
	
	
	
	
	1
	16,5
	16,5
	1
	2
	33,0
	66,0
	4
	3
	49,3
	147,9
	9
	4
	65,7
	262,8
	16
	5
	82,1
	410,5
	25
	
	
	
	
	
	
	
	
	15
	246,6
	903,7
	55
Substituindo os somatórios acima nas equações ( I ) e ( II ), temos:
 e 
Portanto, temos como resultado: 
Observe-se que, como era esperado, o valor de é bastante pequeno, quando comparado com o valor de .
V.1.2	Método gráfico
	
Ainda utilizando os dados da tabela I, e tendo em conta a relação linear entre e (ou seja, ), obtemos o coeficiente angular () da função, conforme abaixo:
 
		
	Conhecido o coeficiente angular, basta agora tomar dois pares quaisquer (,) da mesma linha da tabela I para, assim, determinar o coeficiente linear ( ) da função . Utilizando o par (1; 16,5), temos:
	
	
Portanto, obtemos: 
Observamos que os resultados obtidos com a utilização dos dois métodos acima foram bastante próximos e confirmamos que, como esperado, o valor de é um valor pequeno, quando comparado com o valor de . Note-se ainda que depende dos valores de , e , ou seja, (isto é, é uma função de , e ).
V.2	 Relação entre e (comprimento do fio)
V.2.1	Método dos mínimos quadrados
Conforme os resultados obtidos experimentalmente (tabela II), a relação de dependência entre e já não se trata de uma relação linear, mas sim, exponencial, ou seja, uma relação do tipo (com e constantes). Todavia, podemos “linearizar” essa relação, por meio de manipulação matemática simples, utilizando logaritmos, conforme abaixo:
Fazendo: 
, e , 
temos uma função afim do tipo , possibilitando assim a determinação dos coeficientes utilizando o método dos mínimos quadrados, conforme abaixo:
 ( I-a ) e ( II-a ) 
Considerando (frequência em Hertz) e (comprimento em metros), construímos a seguinte tabela, onde os valores de e foram obtidos durante o experimento, fixados , e :
 Tabela II
	
	
	
	
	
	
	1,10
	40,20
	0,041393
	1,604226
	0,06640
	0,001713
	1,15
	38,60
	0,060698
	1,586587
	0,09630
	0,003684
	1,20
	35,00
	0,079181
	1,544068
	0,12226
	0,006270
	1,25
	33,00
	0,096910
	1,518514
	0,14716
	0,009392
	1,30
	31,70
	0,113943
	1,501059
	0,17104
	0,012983
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	0,392125
	7,754455
	0,603162
	0,034042
Substituindo os somatórios acima nas equações ( I-a ) e ( II-a ), temos:
 e
	Definimos que . Daí,
 e
	Portanto, temos que: 
V.2.2	Método gráficoAinda utilizando os dados da tabela II, e tendo em conta a relação linear entre e (ou seja, ), obtemos o coeficiente angular () da função, conforme abaixo:
 
		
	Conhecido o coeficiente , basta agora tomar dois pares quaisquer (,) da mesma linha da tabela II para, assim, determinar o coeficiente da função . Utilizando o par (1,10; 40,20), temos:
	
	Portanto, obtemos: 
Observamos que os resultados obtidos com a utilização dos dois métodos acima foram bastante próximos. Note-se ainda, que semelhantemente ao observado no caso anterior para , o valor de depende dos valores de , e , ou seja, .
V.3	 Relação entre e (tensão aplicada ao fio)
V.3.1	Método dos mínimos quadrados
Analogamente ao item anterior, temos aqui a relação do tipo , (sendo e constantes), de onde se obtém:
Do mesmo modo que em V.2.1, podemos considerar a função como uma função afim (sendo , e ), o que torna possível a determinação das constantes e com a utilização do método dos mínimos quadrados, conforme a seguir.
 ( I-b ) e ( II-b ) 
Considerando (frequência em Hertz) e (tensão no fio, em Newton), construímos a tabela a seguir, onde os valores de e foram obtidos durante o experimento, fixados , , :
 Tabela III
	
	
	
	
	
	
	0,095
	19,0
	-1,022276
	1,278754
	-1,307240
	1,045049
	0,099
	20,9
	-1,004365
	1,320146
	-1,325908
	1,008749
	0,162
	23,5
	-0,790485
	1,371068
	-1,083809
	0,624867
	0,166
	24,6
	-0,779892
	1,390935
	-1,084779
	0,608231
	0,987
	44,2
	-0,005683
	1,645422
	-0,009351
	0,000032
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-3,602701
	7,006325
	-4,811086
	3,286928
Substituindo os somatórios nas equações ( I-b ) e ( II-b ), temos:
 e 
Definimos . Daí,
 e
Portanto, temos como resultado: 
V.3.2	Método gráfico
	
	Ainda utilizando os dados da tabela III, e tendo em conta a relação linear entre e (ou seja, ), obtemos o coeficiente angular () da função, conforme abaixo:
 
		
	Conhecido o coeficiente , basta agora tomar dois pares quaisquer (,) da mesma linha da tabela III para, assim, determinar o coeficiente da função . Utilizando o par (0,095; 19,0), temos:
	
	
Assim, obtemos: 
Observamos que os resultados obtidos com a utilização dos dois métodos acima foram bastante próximos. Note-se ainda que, semelhantemente ao observado no caso anterior para , o valor de depende dos valores de , e , ou seja, .
V.4	 Relação entre e (densidade linear do fio).
V.4.1	Método dos mínimos quadrados
À semelhança dos dois últimos itens, os resultados obtidos experimentalmente indicam que a relação entre e é do tipo (sendo e constantes), de onde se obtém:
Do mesmo modo que em V.2.1 e V.3.1, podemos considerar a função como uma função afim (sendo , e), o que torna possível a determinação das constantes e com a utilização do método dos mínimos quadrados, conforme a seguir.
 ( I-c ) e ( II-c ) 
Considerando (frequência em Hertz) e (densidade linear do fio, em kg/m), construímos a tabela a seguir, onde os valores de e foram obtidos durante o experimento, fixados , e :
 Tabela IV
	
	
	
	
	
	
	0,0003400
	31,7
	-3,468521
	1,501059
	-5,206456
	12,030639
	0,0005072
	29,1
	-3,294821
	1,463893
	-4,823265
	10,855844
	0,0006205
	24,9
	-3,207258
	1,396199
	-4,477972
	10,286505
	0,0007869
	22,8
	-3,104080
	1,357935
	-4,215139
	9,635315
	0,0010000
	20,8
	-3,000000
	1,318063
	-3,954190
	9,000000
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	-16,074681
	7,037150
	-22,677022
	51,808303
Substituindo os somatórios nas equações ( I-c ) e ( II-c ), temos:
 e 
Definimos . Daí,
 e
Portanto, temos como resultado: 
V.3.2	Método gráfico
	
	Ainda utilizando os dados da tabela IV, e tendo em conta a relação linear entre e (ou seja, ), obtemos o coeficiente angular () da função, conforme abaixo:
 
		
	Conhecido o coeficiente , basta agora tomar dois pares quaisquer (,) da mesma linha da tabela IV para, assim, determinar o coeficiente da função . Utilizando o par (0,00034; 31,7), temos:
	
	
Assim, obtemos: 
Observamos que os resultados obtidos com a utilização dos dois métodos acima foram bastante próximos. Por fim, note-se que, semelhantemente ao observado no caso anterior para , o valor de depende dos valores de , e , ou seja, .
V.5	 Relação entre e , , e .
Vimos que os valores das constantes , , e dependem do número de harmônicos (), do comprimento do fio (), da tensão aplicada ao fio () e da densidade linear do fio (), conforme as seguintes relações de dependência: , ¸ e . Assim, com o auxílio dos valores obtidos para as constantes , e , é possível escrever uma única relação entre e os quatro parâmetros (, , e ), isto é, encontrar: , onde é uma constante (cujo valor será determinado a partir dos valores de , , e ).
Da teoria, sabemos que a relação de dependência decom , , e é conhecida como expressão de Lagrange, a qual possui a seguinte forma:
 
V.5.1 Determinação da constante .
Queremos determinar o valor de em . A partir dos coeficientes e das relações encontrados no tratamento de dados, pode-se chegar a quatro relações que determinam o valor de m. Consideraremos m como sendo uma média desses quatro valores, pois assim asseguramos uma maior precisão ao valor atribuído a m.
 
 
 
 
 
	
V.5.2 Valores esperados
A partir da expressão de Lagrange, podemos deduzir os valores esperados para os coeficientes calculados acima, conforme a seguir:
Comparando com , concluímos que:
Relembrando que os resultados obtidos experimentalmente foram:
CONCLUSÃO
	 Foi comprovado que os harmônicos são realmente múltiplos do harmônico fundamental. 
 A frequência de oscilação é inversamente proporcional ao tamanho do fio, é diretamente proporcional à tração aplicada ao fio e inversamente proporcional à densidade linear deste. Chegamos a essas conclusões tanto através do método gráfico, quanto por meio do método dos mínimos quadrados. 
 Em todos os gráficos, os coeficientes encontrados foram razoavelmente próximos do esperado. Algumas fontes prováveis de erro foram: sintonia do frequêncímetro, visualização do harmônico ideal, precisão do frequencímetro, perdas de energia por atrito com o ar e eventuais erros de medição cometidos pelo(s) operador(es).
	
REFERÊNCIAS:
HALLIDAY, David. Fundamentos de física, volume II. 10. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2016.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica, vol. II. 5. ed. São Paulo: Blucher, 2014.
http://www.fis.ufba.br/fisica-geral-e-experimental-ii-fis122
http://www2.fis.ufba.br/dftma/TeoriaDeErros2013v3.pdf