CircElet1 Cap2

Prévia do material em texto

Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola Politécnica 
Universidade de São Paulo 
 
Curso de Circuitos Elétricos 
Volume 1 – Capítulo 2 
 
 
Associações de Bipolos e Leis de Kirchhoff 
 
 
L. Q. Orsini e D. Consonni 
 
Agradecimentos : Dilma Maria Alves da Silva 
 Luiz Carlos Molina Torres 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B6 B1 B2 
B3 B4 
B5 
1 
2 3 
4 
1 
B1 B2 
B3 
B4 
B5 
B6 
2 
3 
4 
B6 B1 B2 
B3 B4 
B5 
1 
2 3 
4 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Problema da Ponte de Königsberg (1736) 
 Topologia 
 Leonard Euler 
(1707-1783) 
Matemático suíço, 
produziu cerca de 900 
monografias em 
matemática, música, 
astronomia, mecânica, 
ótica, etc...Viveu muito 
tempo em São 
Petesburgo (Rússia), 
protegido pela czarina 
Catarina, a Grande. 
Perdeu um olho, e 
sofreu de cegueira 
crescente. 
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
GRAFOS 
 
 
 
Número de nós = nt = 4 
Número de Ramos = r = 6 
Ramos de árvore = 3 
Ramos de ligação = 3 
 
Número de árvores = 
nt 
(nt-2)
 = 16 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÕES DE SUB-GRAFO 
 
 
• ÁRVORE (de grafo conexo) : sub-grafo 
conexo que contém todos os nós + conjunto 
de ramos suficiente para interligar os nós ⇒ 
nenhum percurso fechado. 
 
• LAÇO : qualquer sub-grafo conexo tal que 2 
e apenas 2 ramos incidem em cada nó; 2 
nós pertencem a cada ramo ⇒ trajetória 
fechada. 
 
• CORTE (ou conjunto de corte) (de grafo 
conexo) : conjunto de ramos tal que se 
todos são removidos, o grafo fica dividido 
em 2 partes; se todos são removidos menos 
1, o grafo se mantém conexo. 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
TEOREMA BÁSICO DAS ÁRVORES 
 
 
Grafo Conexo com n t nós e r ramos: 
 
 
• Há um caminho único entre qualquer 
par de nós em uma árvore 
 
• n = n t – 1 Ramos de árvores 
 
l = r – n t + 1 Ramos de ligação 
 
• cada ramo de ligação ⇒⇒⇒⇒ um único laço 
fundamental 
 
l laços fundamentais 
 
• Cada ramo de árvore ⇒⇒⇒⇒ um único 
corte fundamental 
 
n cortes fundamentais 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 Planares 
Grafos 
 Não-planares 
 
Os grafos não-planares contêm como sub-
grafo pelo menos um dos: 
 
GRAFOS DE KURATOVSKY 
 
 
 
 
 
5 nós 
 
10 ramos 
 
 
6 nós 
 
9 ramos 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1a. Lei : Correntes ( nós e cortes ) 
 Gustav Robert 
Kirchhoff 
(1824-1887) 
 
Físico alemão, 
publicou seu trabalho 
sobre correntes e 
tensões elétricas em 
1847. Realizou 
pesquisas com Robert 
Bunsen, que 
resultaram na 
descoberta do césio e 
do rubídio. 
 
 2a. Lei : Tensões ( laços e malhas ) 
± =∑ j tk
k
( ) 0
± =∑ v tk
k
( ) 0
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
• Aplicada a um nó: 
 
 
 
 
 
 
• Aplicada a um corte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
j1 
j2 
j3 j4 
– j1 + j2 + j3 – j4 = 0 
 j1 – j2 – j3 = 0 
orientação do 
 corte 
j1 j2 j3 
n1 
n2 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simulação com o PSpice 
iD 
iR iC 
iD 
iR 
iC 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 iC + iR – iD = 0 
 iD = iC + iR 
 
iD 
iC iR 
iD 
iC 
iR 
t 
t 
t 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 Aplicada a laços : 
 
 
 
 
 llll = no de ramos no laço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v1 – v2 + v3 – v4 + v5 – v6 = 0 
 
± = ∀
=
∑ v ti
i 1
b g
l
0000 t
 
j1 
v1 
v2 
v3 
v4 
v5 
v6 
j2 
j3 
j4 
j5 
j6 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simulação com o PSpice 
eg 
vD 
vR 
eg 
vD 
vR 
 eg = vR + vD 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) = 
 
 
1
2
A e A e
R e A e
m
j t
m
* j t
m
j t
$ $
$
ωωωω ωωωω
ωωωω
+
R
S|
T|
−d i
 
 
 
 Valor instantâneo do sinal →→→→ 
 
 Domínio do tempo →→→→ 
 
 s(t) = Am cos ( ωωωωt + θθθθ ) 
 
 Fasor associado a sinal senoidal: 
 
 
$S A e Am j m= =θθθθ θθθθ
 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1a Lei K.: 
 
 em cada nó 
 
 
 2a Lei K.: 
 
 em um laço 
 
Exemplo: Linha Trifásica 
 
 
 
 
 
 
± =∑ $Jk
k
0
 
± =∑ $Vk
k
0
v1(t) = Vm cos ( ωωωωt – 90o ) 
v2(t) = Vm cos( ωωωωt + 150o) 
v3(t) = Vm cos ( ωωωωt + 30o ) 
$ $ $V V V 01 2 3+ + =
v2 
v1 v3 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 a
 
sin
 
ωωωωt 
 
+ b
 
cos
 
ωωωωt =
 
 c
 
cos
 
(ωωωωt + θθθθ
 
) 
 = c cos
 
ωωωωt cos
 
θθθθ – c sin
 
ωωωωt
 
sin
 
θθθθ 
 
 a = – c sin θθθθ 
 
 b = c cos θθθθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c a b2 2= +
 
θθθθ = −FHG
I
KJarc tg
a
b
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
s(t) = A1 cos (ωωωωt + θθθθ1) + A2 cos (ωωωωt + θθθθ2) 
 + . . . . + An cos ( ωωωωt + θθθθn ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
$A A1 1 1= θθθθ 
$A A2 2 2= θθθθ 
$A An n n= θθθθ 
$ $ $ $S A A .. . . A1 2 n= + + + 
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 s(t) = s1(t) + s2(t) + . . . . sn(t) 
 si(t) sinais senoidais 
 mesma frequência 
 
 
 
 
 
 
 Se s(t) = s1(t) . s2(t) 
 
 
 
$ $ $ $S S S .. . . . . S1 2 n= + + + 
$ $ $S S . S1 2≠
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 Se: 
 
s (t) = A1cos (ωωωωt + θθθθ1) . A2cos (ωωωωt + θθθθ2) 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 
 
 Lembrar que: 
 
 
 
 
$
$
A AA A
1 1
2 2
=
=
θθθθ
θθθθ
1111
2222
 
$ $ $S A . A1 2≠
cosa .cosb 1
2
cos a b 1
2
cos a b= − + +b g b g
 
Curso de Circuitos Elétricos, L.Q. Orsini e D. Consonni, Cap.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tensão Corrente 
 
 
 Resistência Condutância 
 
 
 Indutância Capacitância 
 
 
 Carga elétrica Fluxo magnético 
 
 
 Aberto Curto 
 
Carga elétrica Fluxo magnético 
Indutância Capacitância
a
Tensão Corrente 
Resistência Condutância 
Aberto Curto