Exercícios de Razões Trigonométricas

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Exercícios de Razões Trigonométricas 
 
a) No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas (Use: 
sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14) 
 
 
cos 65° = y / 9 
0,42 * 9 = y 
y = 3,78 
sen 65° = x /9 
0,91 * 9 = x 
x = 8,19 
b) Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas. 
(Sen 60° = 0,866) 
 
sen 60° = / a 
0,866 . a = 20,78 
a = 24 
cos 60° = b / 24 
0,5 * 24 = b 
b = 12 
c) Sabe-se que, em um triângulo retângulo isósceles, cada lado congruente mede 30 cm. 
Determine a medida da hipotenusa desse triângulo. 
 
 
Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô: 
2 
 
d) 
e) 
f) 
 
 
Resposta d: 
tg  = 48 / 14 = 24 / 7 
tg Ê = 14 / 48 = 7 / 24 
Resposta e: 
tg Ô = / = 1 
tg Ê = / = 1 
 Resposta f: 
16² = 2² + x² 
x² = 252 
x = 
tg  = 2 / = / 21 
tg Ô = / 2 = 3 
 
 
g) Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, quais são os valores de tg  
e tg Ê? 
3 
 
 
 
 
Se sabemos que é um triângulo isósceles, então seus lados são iguais. Logo, tg  = 1 e tg Ê = 
1 
 
h) Encontre a medida RA sabendo que tg  = 3. 
 
 
 
3 = 9 / x 
3x = 9 
x = 3 
(RA)² = 9² + 3² 
(RA)² = 90 
(RA) = 
 
Encontre x e y: 
i) 
j) 
4 
 
Resposta i: 
cos 45° = x / 
 * = x 
x = 20 
( )² = 20² + y² 
800 = 400 + y² 
y² = 400 
y = 20 
 Resposta j: 
cos 30° = / y 
 
y = 18 
18² = ( )² + x² 
324 = 243 + x² 
x² = 81 
x = 9 
REGRA DE TRÊS 
a) Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos 
caminhões iguais a esse seriam necessários? 
 
 3 --- 200m³ 
? --- 1.600m³ 
(1.600 * 3) / 200 = 24 caminhões 
 
 
b) A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um 
deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será 
a duração dos alimentos? 
 
 3 --- 12 dias 
2 --- ? 
(12 * 3) / 2 = 18 dias 
 
 
c) Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, 
atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número 
de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média? 
 
 3 --- 125 
5 --- ? 
(125 * 3) / 5 = 75 ligações 
 
 
d) Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas 
por dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias? 
 
 8 --- 10 --- 7.500 
? --- 4 --- 6.000 
8 / x = 4 / 10 * 7.500 / 6.000 
8 / x = 30.000 / 60.000 
8 / x = 1 / 2 
x = 16 horas 
5 
 
 
 
e) Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6 baterias de 15 minutos cada, 
lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?
 
 300 / x = 6 / 10 * 15 /12 
300 / x = 90 / 120 
x = 300 * 120 / 90 
x = 400 pedras 
 
 
f) Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. 
Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia? 
 
 200 / x = 10 / 6 * 18 / 15 * 8 / 6 
200 / x = 1440 / 540 
200 * 540 / 1440 = x 
x = 75 caixas 
 
 
g) Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um 
congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média 
desse ônibus? 
 
 75 * 40) / 50 = x 
x = 60 Km / h 
 
 
h) Sabendo que os números a, 12 e 15 são diretamente proporcionais aos números 28, b e 20, 
determine os números a e b. 
 
 15 / 20 = 3 / 4 
a = (28 / 4) * 3 = 21 
a = 21 
b = (12 / 3) * 4 = 16 
 
 
i) Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou 
uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que 
tem 10,5 m de altura? 
 
 
 53 / x = 1,5 / 10,5 
(53 * 10,5 ) / 1,5 = 371 cm 
 
j) Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 
60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a 
mesma quantidade de suco? 
 
 
60 / x = 2 / 3 
(60 * 2) / 3 = 40 latas 
 
Exercícios de Ângulos 
As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
6 
 
a) 55º 
 
b) 
 74º 
 
c) 
 33º 
 
As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta 
b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130° 
 
 
Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
7 
 
a) 
 
160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
 
b) 
 
6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° =135° e 2*20°+5° = 45° 
 
 
Exercícios de Ângulos (parte 2) 
c) 
 
Sabemos que a figura tem 90°. 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
 
8 
 
d) 
 
Sabemos que os ângulos laranja+verde formam 180°, pois são exatamente a metade de 
um círculo. 
Então, 138°+x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
 
Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo: 
 
 Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°. 
Então, 6x + 4x + 2x = 180° 
12x = 180° 
x = 180°/12 
x = 15° 
Os ângulos são: 30°, 60° e 90°. 
 
 
Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado? 
 
Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e portanto a soma deles vale 360º. 
 
 
Exercícios de Quadriláteros 
 
Determine a medida dos ângulos indicados: 
a) b) 
9 
 
c) 
Resposta a: 
x + 105° + 98º + 87º = 360º 
x + 290° = 360° 
x = 360° - 290° 
x = 70º 
 
Resposta b: 
x + 80° + 82° = 180° 
x + 162° = 180° 
x = 180º - 162º 
x = 18° 
 
18º + 90º + y + 90º = 360° 
y + 198° = 360° 
y = 360º - 198° 
y = 162º 
 
Resposta c: 
3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º 
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 
10a = 720º 
a = 720° / 10 
a = 72° 
 
72° + b + 90° = 180° 
b + 162° = 180° 
b = 180° - 162° 
b = 18° 
 
 
 
d) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e 
x + 13°. Determine as medidas desses ângulos. 
 
 
 x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360° 
4x + 112° = 360° 
4x = 360° - 112° 
x = 248° / 4 
x = 62° 
Então, os ângulos são: 
x + 17° = 79° 
x + 37° = 99° 
x + 45° = 107º 
x + 13° = 75° 
 
e) No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y. 
10 
 
 
 
 
 9y + 16° = 7y + 40° 
9y = 7y + 40° - 16° 
9y = 7y + 24° 
9y - 7y = 24° 
2y = 24° 
y = 24º /2 
y = 12° 
Então: 
x + (7 * 12° + 40°) = 180° 
x = 180º - 124° 
x = 56° 
 
f) A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida da diagonal 
, da diagonal e o perímetro do triângulo BMC. 
 
 
 
 x = 15 
y = 20 
= 20 + 20 = 40 
 = 15 + 15 = 30 
BMC = 15 + 20 + 25 = 60 
 
g) No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas: 
 
 
11 
 
 x = 15 
y = 20 
= 20 + 20 = 40 
 = 15 + 15 = 30 
BMC = 15 + 20 + 25 = 60 
 
h) Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da figura abaixo: 
 
 
 x + 27° + 90° = 180° 
x + 117° = 180° 
x = 180° - 117° 
x = 63° 
 
y + 34° + 90° = 180° 
y + 124° = 180° 
y = 180°- 124° 
y = 56° 
As medidas dos ângulos são: 
63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124° 
 
i) A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos 
internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. 
 
 
 c = 117° 
a + 117° = 180° 
a = 180° - 117° 
a = 63° 
b = 63° 
 
j) Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a 
medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y. 
 
Exercícios de Proporções 
 
Resolva as seguintes proporções: 
a) b) 
12 
 
c) d) 
e) f) 
g) 
 
Resposta a: 
x * 35 = 21 * 5 
35x = 105 
x = 3 
Resposta b: 
10 * x = 7 * 50 
10x = 350 
x = 35 
Resposta c: 
1 * 49 = 7(x - 6) 
49 = 7x - 42 
49 + 42 = 7x 
91 = 7x 
x = 13 
Resposta d: 
(5x + 3) * 30 = 10 ( -21) 
150x + 90 = -210 
150x = -210 - 90 
150x = -300 
x = -2 
Resposta e: 
5 * 54 = (x + 4) * 30 
270 = 30x + 120 
270 - 120 = 30x 
150 = 30x 
x = 5 
Resposta f: 
0,9 * 27 = x (-18) 
24,3 = -18x 
x = -1,35 
Resposta g: 
(7x + 5) * (3/4) = 4 * 2x 
(7x + 5) * (3/4) = 8x 
21x + 15 = 32x 
15 = 11x 
x = 15/11 
 
 
 
h) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção . 
 
 Propriedade: 
(x + y) / y = (5 + 9) / 9 
Assim: 
42 / y = 14 / 9 
42 * 9 = 14 * y 
378 / 14 = y 
13 
 
y = 27 
Sabendo que y = 27, vamos descobrir o x: 
x + 27 = 42 
x = 42 - 27 
x = 15 
 
 
i) Sabendo que a + b = 55, determine a e b na proporção . 
 
 Propriedade: 
(a + b) / b = (4 + 7) / 7 
55 / b = 11 / 7 
55 * 7 = 11 * b 
b = 385 / 11 = 35 
a + 35 = 55 
a = 55 - 35 = 20 
 
 
j) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, 
assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho. 
 
x + y = 45 
x / y = 7 / 2 
Propriedade: 
(x+y) / y = (7+2) / 2 
45 / y = 9 / 2 
45 * 2 = 9 * y 
y = 90 / 9 = 10 
A idade do filho é 10 anos. 
x + 10 = 45 
x = 45 - 10 = 35 
A idade do pai é 35 anos. 
 
 
 
Exercícios de Razões 
 
a) A razão é igual a 10. Determine a razão . 
 
 
 
 . 
b) A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a 
distância real entre essas duas cidades? 
 
 
 2000 * 8,5 = 17000 cm. 
c) A idade de Pedro é 30 anos e a idade de Josefa é 45 anos. Qual é a razão entre as 
idades de Pedro e Josefa? 
 
 
 A razão é: . 
d) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso bruto. Qual é a 
14 
 
razão do peso líquido para o peso bruto? 
 
 
 A razão é: . 
e) A razão entre o comprimento da sombra e da altura de um edifício é de . Se o 
edifício tem 12 m de altura, qual o comprimento da sombra? 
 
 
2 * 12 / 3 = 8m de comprimento. 
f) Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 
problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho? 
 
 
 Pedrinho acertou e Cláudia acertou . 
Pedrinho teve o melhor desempenho. 
 
 
g) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês é 
de . O que resta coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de 
R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança? 
 
840,00 / 5 = 168,00*1 = 168,00. 
 
 
h) Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 
derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas 
disputadas? 
 
 
 26 + 15 + 11 = 52 jogos ao total. 
Então: . 
 
i) Durante o Campeonato Brasileiro de 2010, uma equipe teve 12 penaltis a seu favor. 
Sabendo que a razão do número de acertos para o total de penaltis foi de , quantos 
penaltis foram convertidos em gol por essa equipe? 
 
 
12 / 4 = 3 * 3 = 9 penaltis. 
 
 
j) Um reservatório com capacidade para 8m³ de água, está com 2000L de água. Qual a 
razão da quantidade de água que está no reservatório para a capacidade total do 
reservatório? (Lembre-se que 1dm³ = 1L). 
 
 8 m³ * 1000 = 8.000 dm³ 
.