AD1 Q3 2017 2 Gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 3 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Questa˜o 3 (2,5 pontos) Considere as afirmac¸o˜es:
p: Para todo nu´mero inteiro b, existe um nu´mero inteiro a tal que a+ b = 10.
q: Existe um nu´mero inteiro b tal que, para todo nu´mero inteiro a, a+ b = 10.
(a) Escreva as duas afirmac¸o˜es acima utilizando os quantificadores “existe”e “para todo”e os con-
juntos nume´ricos adequados, e sem utilizar palavras.
(b) Diga, justificando adequadamente, se cada afirmac¸a˜o acima e´ verdadeira ou falsa.
Soluc¸a˜o:
(a) p: ∀b ∈ Z, ∃a ∈ Z | a+ b = 10
q: ∃b ∈ Z | ∀a ∈ Z, a+ b = 10
(b) A afirmac¸a˜o p e´ verdadeira. Para todo b ∈ Z, se tomarmos a = 10 − b, que e´ tambe´m um
nu´mero inteiro, teremos
a+ b = (10− b) + b = 10.
Logo, para todo inteiro b, existe um inteiro a = 10− b tal que a+ b = 10.
A afirmac¸a˜o q e´ falsa. Na˜o existe um inteiro b para o qual, todo inteiro a satisfaz a + b = 10.
De fato, qualquer que seja b ∈ Z, na˜o e´ verdade que a soma com qualquer inteiro a seja 10. Se
tomarmos, por exemplo, a = −b, teremos
a+ b = −b+ b = 0 6= 10.
(isso acontece para qualquer a diferente de 10− b, na˜o apenas para a = −b).
E´ importante observar que apenas quando apresentamos um valor para a, no caso, a = −b, tal
que a+b 6= 10 e´ que estamos justificando devidamente que a afirmac¸a˜o q e´ falsa. O texto inicial
“Na˜o existe um inteiro b para o qual, todo inteiro a satisfaz a+ b = 10. De fato, qualquer que
seja b ∈ Z, na˜o e´ verdade que a soma com qualquer inteiro a seja 10.” e´ apenas um reforc¸o,
com outras palavras, de que a afirmac¸a˜o q e´ falsa.