Eliminação de Gauss

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34 Cálculo Numérico 
a) Construção das matrizes R e Rt 
Usando o Algoritmo 2.4 temos: 
r
l 
º º J r
l 2 4
l Rt = 2 2 O e R = O 2 1 4 1 3 o o 3 
b) Cálculo da solução dos sistemas triangulares 
Rty = b � sistema triangular inferior 
R x = y � sistema triangular superior 
Portanto, temos a solução do sistema: 
:X = ( 1 , - 2, l )t 
2.3.4 Métodos de eliminação 
Os métodos de eliminação consistem em transformar o sistema de equa­
ções lineares Ax = b onde A (aij) i, j = 1, 2, . . . , n x = (xi)t j = l, 2, . . . , n e (bi)t 
i = 1, 2, .. . , n num sistema de equação equivalente através da aplicação de 
operações elementares. 
Método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal 
Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aij) i, j = 1, . . . , n x = (xi)t j = 1, . . . , n b = (bi)t i = l, . . . , n e det(A) '# O. 
a11 X1 + a12 X2 + · · · + aln Xn = b1 
a21 X1 + a22 X2 + · · · + a2n Xn = b2 
O método de eliminação de Gauss, com pivotamento sobre os elementos 
da diagonal, consi$te em transformar o sistema dado, através de operações 
Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas 35 
elementares sobre as linhas, em um sistema equivalente triangular superior, 
tomando, em cada passo, como pivô, os elementos da diagonal da matriz A. 
(A, b) -�ºpe_ra�ções_e_le_m_en_ta_res_� (A (n-1 ) , b(n-1 ) ) 
onde A < n-l l x = b ( n-l ) é um sistema triangular superior depois de aplicados 
(n - 1) passos. 
Consideremos o sistema dado, escrito na seguinte forma: 
aW x1 + aW x2 + aW x3 + a�� x4 + . . . + a�� Xn = a��+t 
(1) (1) (1) (1 ) (1 ) (1) ª21 X1 + ª22 X2 + a23 X3 + a24 X4 + . . . + a2n Xn = a2n+l 
a<1> x + a<1> x + a<1> x + nl 1 n2 2 n3 3 (1 ) - (1) · · · +ann Xn - ann+l 
Considere a matriz aumentada: 
(A, b) = 
ª(1) 1 1 
a(l) 21 
(1 ) ª12 . . . 
(1 ) ª22 . . . 
ª(1) ln 
ª(1) 2n 
(1 ) ª1n+l 
(1 ) ª2n+l 
a�l a�J . . . a� . ª�+1 
d (l ) . 1 . - 1 1 (l) - b on e ai i = ai j 1 = . . . , n J - . . . , n+ ain+l - i i = l . . . , n . 
Passo 1 
Vamos supor que o coeficiente a � : i ':t O, seja considerado elemento pivô. 
Caso ag i = O, procedemos trocas de linhas até que o coeficiente que ocupa a 
primeira linha e primeira coluna seja dif�rente de zero. Aplicamos operações 
elementares às linhas de (A, b) tomando nulos os elementos da 1ª coluna 
· abaixo da diagonal: 
ª(1) ª(1) ª(1) ª(1) ª(1) (1 ) 1 1 12 13 14 ln aln+l 
(A, b)= 
d (1) _ · - 1 on e ai j - aij 1 - . . . , n 
ª(1) 
o a� 
o ª(2) 32 
O a�l 
ª(2) 23 
a� 
ª(2) n3 
j = l . . ., n+ l 
d 
i1 • 2 sen o mi1 = ----w- 1 = , . . . , n. ª11 
ª(2) ª(2) (2) 24 2n ª2n+l 
ª(2) ª(2) (2) 34 3n a3n+l 
(2) (2) (2) ªn4 . . . ann . ªnn+l 
(l) - b . - 1 ªin+l - i 1 - . . . , n 
36 Cálculo Numérico 
Assim, o sistema dado inicialmente pode ser escrito da seguinte maneira: 
aW X1 + aW X2 + aW X3 + a�� X4 + . . . + a�� Xn = a��+t 
O + a&2d x2 + a&2] x3 + a&21 x4 + . . . + a&� Xn = a&�+t 
O + a�2d X2 + aW X3 + aW X4 + . . . + a�� Xn = a�2�+1 
o (2) - (2) + a nn Xn - ann+l 
Passo 2: 
Supondo que o coeficiente a g> ::F- O seja considerado elemento pivô. Caso 
a �;> = O, efetuamos trocas de linhas até que o coeficiente que ocupe a segunda 
linha e segunda coluna seja diferente de zero. 
Dessa forma, tomamos nulos os elementos da 2ll coluna abaixo da dia­
gonal na matriz (A,b), conforme segue: 
ª(1) 1 1 
o 
(A, b)= o 
o 
Assim: 
ª(1) 12 
a<i] 
o 
o 
ª(1) 13 
ª(2) 23 
a� 
ª(2) n3 
ª(1) ª(1 ) (1) 14 ln aln+l 
ª(2) ª(2) (2) 24 2n a2n+l 
a� (2) . . . a3 n . (2) a3n+l 
(2) (2) (2) ªn4 . . . ann . ªnn+l 
( 3 ) (2) ( 2) • 3 . 2 1 ai j = ai j - mi2 a2i 1 = , . . . , n J = , . . . , n + 
ª(2) 
d i2 . 3 on e, mi2 = (2) 1 = , . . . , n ª22 
Temos o sistema na seguinte forma: 
aW x1 + aW x2 + aW x3 + aW x4 + . . . + a�� xn = a��+t 
o (2) (2) (2) (2) - (2) + ª22 X2 + a23 X3 + a24 X4 + . . . + a2n Xn - a2n+l 
O O (2) (2) (2) - (2) + a33 X3 + a34 X4 + . . . + a3n Xn - a3n+l 
O O (2) (2) (2) - (2) + an3 X3 + an4 X4 + . . . + a nn Xn - ann+l 
Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas 37 
Assim, depois de executados (n - 1) passos, obtemos o sistema inicial 
dado Ax = b na forma equivalente triangular superior, da seguinte maneira: 
(1 ) (1 ) (1) (1) (1 ) ª1 1 X1 + ª12 X2 + ª13 X3 + · · · + aln Xn = aln+l 
(2) (2) (2) - (2) ª22 X2 + ª23 X3 + · · · + ª2n Xn - ª2n+l 
a(n-1) X = a(n-1) nn n nn+l 
cuja solução é dada conforme Algoritmo 2.2 por: 
a(n-1) nn+l Xn = (n-1) ann 
n (i ) � (i ) ªin+l - ""' aij xj 
xi = __ _,_
i=
(=
i+
l_
l __ i = (n-1), (n-2), . . . , 1 
a . ! l i 
Algoritmo 2.5 
a) Construção do sistema triangular superior equivalente 
Para k = 1, . . . , n - 1, faça 
Para i = k + l, . . . , n, faça 
( k ) 
< k > 
_ 
ª i k 
mi k - (k) 
ª k k 
Para j = k, . . . , n + 1 
a��+ll = a��l - m�kk
l x a(k
�l I J I J 1 J 
b) Calcular a solução do sistema triangular superior 
Usar o Algoritmo 2.2. 
Exemplo 2.7 
Usando o método de eliminação de Gauss, resolva o sistema de equações lineares: 
Considere a matriz aumentada, conforme o exemplo: 
(A, b) = [ � 
-3 
o 1 . 1 ] 
2 1 . 1 
1 3 . 3 
38 Cálculo Numérico 
Depois de executar os passos 1 e 2 do método de eliminação de Gauss, 
temos a matriz na forma triangular superior equivalente: 
o 
2 
o 
1 . 1 1 
o . o 
4 4 
Reescrevendo o sistema na forma equivalente triangular superior, temos: 
Solução do sistema: 
{3X1 + ÜX2 + lX3 = 1 
2X2 + ÜX3 = Ü 
4 X3 = 4 
x = (O, O, l)t 
Método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial 
Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aii) i, j = l, . . . , n, 
x = (xj)t j = l, . . . , n b = (bi)t i = 1, . . . , n e det(A) -:;:. O. 
Representamos: 
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) al l X1 + a12 X2 + a13 X3 + a14 X4 + . . . +aln Xn = aln+l 
(1 ) (1) (1 ) (1 ) (1) (1 ) ª21 X1 + ª22 X2 + a23 X3 + a24 X4 + . . . + a2n Xn = a2n+l 
(1 ) (1) (1 ) (1 ) (1) (1) a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + a34 X4 + . . . + a3n Xn = a3n+l 
a<1l x + a<1l x + aC1> x + nl 1 n2 2 n3 3 (
1 ) - (1) + a nn Xn - ann+l 
d (l) - . - 1 . - 1 1 (l ) - b . - 1 on e ai i - ai i 1 - , . . . , n J - , . . . , n+ ain+l - i 1 - , . . . , n. 
O método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial consiste 
em transformar o sistema dado, através de operações elementares sobre as 
linhas, em um sistema triangular superior, tomando, em cada passo, como 
pivô o elemento de maior valor absoluto abaixo da diagonal, de cada coluna 
da matriz A conforme ilustramos a seguir: