Eletricidade Aplicada (Matéria Completa)

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AULA 1: Um circuito elétrico é uma coleção de elementos (resistores, indutores, capacitores, geradores, etc.) interligados de maneira específica. Circuitos precisam ter no mínimo um percurso fechado para que haja passagem de corrente elétrica. Chamamos de corrente elétrica, o movimento ordenado dos elétrons, com determinada direção e sentido, gerado por uma diferença de potencial. Matematicamente, a corrente elétrica é a quantidade de carga que atravessa uma seção transversal em um dado intervalo de tempo (I = Q / t), sendo medida em Ampères (C/s). Existem dois tipos de sentido para a corrente. O primeiro deles é o eletrônico, que é o sentido real da corrente, saindo do polo negativo da fonte e indo para o positivo. Já o segundo, é o convencional, que é o sentido que usamos em nossas análises, saindo do polo positivo da fonte e indo para o negativo. A diferença de potencial entre dois condutores é a razão entre o trabalho para transportar uma carga elétrica positiva de um ponto A até outro B e o valor da carga transportada, ou seja, Va - Vb = Vab = T / q, sendo medida em volt (J/C). Como cada elemento do circuito possui dois terminais, a voltagem é representada com um deles recebendo o sinal de + e o outro o de -, representando que um terminal é v volts positivo em relação ao outro. Quando a corrente passa do terminal + para o -, temos uma queda de tensão (V) e quando o contrário ocorre, temos uma elevação de tensão (E). Se considerarmos o fio um condutor ideal (não têm resistência), a d.d.p. V entre os terminais do resistor será igual à tensão aplicada pela bateria: V (volts) = E (volts). Entretanto, como, para a maioria dos condutores, essas grandezas são diretamente proporcionais, temos que a razão entre a tensão e a corrente é constante. À essa constante, que representa a dificuldade que os elétrons encontram para se movimentarem num determinado condutor, nós damos o nome de resistência, sendo medida por ohms. Ela é responsável por dar forma a lei de Ohm (V = R.I). Condutores são ôhmicos sempre que obedecem essa proporcionalidade de forma que seu diagrama V-I representa sempre uma função afim cuja tangente do ângulo criado pela inclinação tem o mesmo valor de R. 
AULA 2: Como dito anteriormente, elétrons se chocam com os átomos dos condutores, perdendo, na forma de calor, a energia cinética ganhada da fonte (E). A essa energia fornecida pela fonte (E) e dissipada por um resistor (R), damos o nome de potência elétrica. Trata-se de uma grandeza, medida em Watts (J/s), que mede quanto trabalho (conversão de energia de uma forma pra outra) pode ser realizado num determinado período de tempo. No caso de circuitos, a potência fornecida pela fonte pode ser medida através da expressão P = EI e a dissipada por cada resistor, através de P = VI onde V é a queda de tensão ocorrida e I a corrente que passa pelo resistor em questão. Com uma rápida substituição da lei de ohm nessa expressão, encontramos duas novas: P = V² / R e P = I².R. Levando em conta que para uma potência produzir uma conversão de energia em outra, é preciso um intervalo de tempo, a energia consumida ou fornecida por um sistema é, portanto, determinada pelo produto entre a potência e o tempo, sendo medida em Joules (W.s). Em alguns casos, é mais conveniente usar múltiplos como o watt-hora (Wh) e o quilowatt-hora (kWh). Para convertermos energia em Joules para essas unidades é simples. Primeiro basta que multipliquemos a potência pelo tempo, obtendo a energia em watts-hora. Depois, basta dividirmos o valor encontrado por mil, obtendo a energia em kWh. Esses valores estão relacionados da seguinte forma: 1 Wh = 3600 J e 1 kWh = 3600000J. Existe ainda um outro conceito físico ligado a energia e potência: Toda vez que uma máquina realiza trabalho, parte de sua energia total é dissipada, seja por motivos de falha ou o simples atrito. Apesar dessa energia dissipada não ser perdida, mas sim transformada em outros tipos de energia, a melhor situação que se pode esperar é que os valores absolutos de Wout e Win sejam relativamente próximos um do outro. A partir disso, a eficiência (η) de um sistema pode ser determinada pela seguinte equação: n = Pout / Pin. 
AULA 4: Dois ou mais elementos estão em série sempre que apenas um terminal de um está conectado ao de outro e, além disso, o ponto em comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por corrente; O circuito a seguir possui três elementos conectados em três pontos (a, b, c), de modo a constituir um caminho fechado para a corrente I. 
Perceba que os resistores R1 e R2 estão em série, afinal possuem apenas o ponto B em comum, enquanto as outras extremidades dos mesmos estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela mesma razão, a bateria E o resistor R1 (terminal a em comum), e o resistor R2 e a bateria E (terminal c em comum) estão em série. 
Note que se o circuito acima for modificado de modo que um resistor R3 percorrido por corrente seja introduzido, conforme mostra a figura ao lado, R1 e R2 não estarão mais em série, pois a parte dois da definição não estará mais sendo obedecida. 
Nos elementos em série, a corrente é sempre a mesma de forma que a resistência total (equivalente) do circuito é dada pela soma dos resistores, ou seja, RT = R1 + R2 + R3 ... + RN. Note que quanto mais resistores em série forem associados, maior será a resistência total e o maior resistor sempre terá o maior impacto sobre a RT. Uma vez conhecida a RT de um circuito, a lei de ohm pode ser aplicada pra conhecer a corrente que o percorre, ou seja, Is = E / RT. Perceba que como o valor de E é fixo, resistências totais elevadas resultam em correntes drenadas relativamente pequenas e o contrário também é válido. Para calcularmos a queda de tensão ocorrida em cada resistor, basta que apliquemos os valores respectivos na fórmula, ou seja, Vn = IRn. O mesmo pode ser feito para a potência, ou seja, Pn = VnI = IRn = Vn² / Rn. A potência total fornecida por uma fonte a um circuito é sempre igual à potência total dissipada pelos resistores, ou seja, Pfornecida = Pdissipada1 + Pdissipada2 + ... + Pdissipadan. Várias fontes de tensão podem ser associadas em série de modo a aumentar ou diminuir a tensão aplicada a um circuito. A tensão resultante aplicada a um sistema é determinada somando as tensões de mesma polaridade e subtraindo as tensões de polaridades contrárias. A polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior:
Em (a), as fontes estão todas 'forçando' a corrente para direita, de modo que a tensão resultante é dada por: ET = E1 + E2 + E3 = 10 + 6 + 2 = 18. Já em (b), a maior força é para a esquerda, o que resulta em uma tensão dada por: ET = E2 + E3 – E1 = 9V + 3V – 4V = 8V. 
A Lei de Kirchoff para tensões diz que a soma algébrica das elevações e quedas de tensão numa malha fechada é nula, ou seja, toda a tensão que sai do polo positivo da fonte, é ''consumida'' pelos resistores no circuito, chegando nula ao polo negativo. Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de um ponto, retorna ao mesmo ponto, vindo do sentido contrário. Na figura 5.12, seguindo a corrente, podemos traçar um caminho contínuo que deixa o ponto A através de R1 e volta através de E sem deixar um circuito. Sendo assim, ABCDA é uma malha fechada.
Para podermos aplicar a lei de Kirchhoff para tensões, a soma das tensões, assim como das quedas, precisa ser feita percorrendo o circuito em um determinado sentido. Por convenção, usamos o sentido horário, mas com a aplicação correta da lei, o sentido anti-horário também pode ser adotado. Com isso, um sinal positivo indica uma elevação de potencial de (- para +), e um sinal negativo indica uma queda de potencial de (+ para -). 
Apesar de tudo isso, a aplicação da lei não precisa seguir um caminho que inclua elementos percorridos por corrente. Na imagem ao lado, por exemplo, há uma diferença de potencial entre os pontos a e b, embora os pontos não estejam conectados por um elementopercorrido por corrente. Aplicando a lei, teremos –Vx – 8V + 12V = 0 e portando, Vx = 4V.
É possível intercambiar elementos em série sem alterar sua resistência total, a corrente que percorre o circuito nem a potência consumida pelos elementos. Além disso, nos circuitos em série, a tensão entre os terminais dos resistores se divide na mesma proporção que os valores da resistência, ou seja, num circuito com um resistor de R1 = 6 Ω e outro de R2 = 2 Ω, como R1 = 3R2, a queda de tensão que ocorre em R1 é 3x maior que a ocorre em R2. É interessante notar que, se multiplicássemos os valores das duas resistências por um milhão, os valores da tensão permaneceriam os mesmos, indicando que é a relação (razão) entre os resistores que conta para a divisão de tensão e não seus valores absolutos. Com isso, a regra dos divisores de tensão nos permite determinar as tensões sem determinar primeiro a corrente através da expressão: Vx = RxE / RT.
AULA 6: A condutância elétrica (G), medida em Siemens (Ω-1), é a facilidade que os elétrons têm em passar por um condutor submetido a uma tensão, ou seja, o inverso da resistência (G = R-1). Dois elementos ou ramos estão em paralelo quando seus dois terminais estão conectados, possuindo dois pontos em comum. De forma inversa aos elementos em série, num circuito em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais, ou seja (GT = G1 + G2 + G3 + ... + GN). Note que, quanto maior for o número de termos G, maior será a corrente de entrada no circuito (maior condutância total). Como isso ocorre conforme o circuito apresenta cada vez mais resistores, concluímos que ao contrário dos circuitos em série, quando mais resistores houverem num circuito em paralelo, menor será a resistência total. Assim, a resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a resistência do menor resistor no circuito e, se os resistores tiverem o mesmo valor, a resistência total é dada por RT = R / N. Além disso, quanto maior for a diferença entre os valores das resistências de dois resistores, mais o valor de RT se aproximará do valor da menor resistência. Por exemplo, um circuito com resistores de 3 Ω e 6 Ω, tem RT = 2 Ω. Já um circuito com um resistor de 3 Ω e outro de 60 Ω, tem RT = 2,85 Ω. Como na maioria dos casos precisamos calcular a RT para apenas dois ou três resistores em paralelo, a equação a seguir pode ser utilizada para reduzir o tempo empregado no cálculo desses casos particulares: RT = R1R2 / R1 + R2. Assim, como nos circuitos em série, alterar elementos em paralelo também não modifica a resistência e corrente total do circuito. Além disso, as tensões entre os terminais de elementos em paralelo são sempre iguais de forma que o que se divide é a corrente. Com isso, para circuitos em paralelo com uma fonte de tensão, a corrente Is fornecida pela fonte é igual a soma das divisões de corrente ocorridas em cada ramo (Is = I1 + I2 + I3 + ... + IN). De forma análoga ao que foi dito anteriormente, as potências dissipadas pelos resistores de um circuito em paralelo podem ser calculadas das formas: Pn = VIn = In²Rn = V² / Rn. Nesse contexto, a Lei de Kirchoff para correntes nos diz que a soma algébrica das correntes que entram e saem de uma região, sistema ou nó é sempre nula, ou seja, toda a corrente que entra em algum lugar precisa sair daquele lugar, de forma que não há ganho ou perda de corrente. Podemos definir nó como o ponto em comum, entre terminais, responsável por dividir a corrente. Se a corrente entra no nó (vetor apontando para o nó), ela recebe um sinal positivo. Se ela sai do nó (vetor apontando para fora), ela recebe um sinal negativo. Teremos, então, para esse tipo de circuito uma regra do divisor de corrente, análoga a regra do divisor de tensões já vista nos circuitos em série, que poderá ser usada para encontrarmos a quantidade de corrente que entra em cada ramo, quando não conhecemos os valores de tensão num circuito através da expressão: Ix = RTI / Rx. Assim, sempre que uma corrente entrar num circuito em paralelo, ela se dividirá igualmente, se os resistores tiverem o mesmo valor, mas se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o que tiver menor, será percorrido pela maior parte da corrente, afinal R e I são inversamente proporcionais e a corrente sempre procura o caminho com menor resistência. Por exemplo, dada a resistência de um resistor (4 Ω) em paralelo com outro que tem metade do seu valor (2 Ω), a corrente que passa por ele será a metade da que passa pelo outro. Além disso, da mesma forma que podíamos associar fontes em série para aumentar ou diminuir a tensão aplicada a um circuito, podemos associá-las em paralelo também. A diferença é que elas precisam ter sempre o mesmo valor e isso é feito para dobrar a corrente que percorre o circuito, e consequentemente, a potência total. Se elas não tiverem o mesmo valor, a bateria de maior valor descarregará muito rapidamente e a de menor será danificada.
AULA 8: Um circuito aberto consiste em dois terminais isolados sem qualquer conexão entre si, onde por não haver caminho fechado, a corrente é nula, mas a d.d.p. pode existir. Já um curto circuito é uma conexão direta de resistência muito baixa entre dois terminais de um circuito. Como a resistência tende a zero, mas nunca é zero, a voltagem também tende a zero, fazendo com que a corrente que percorre um curto-circuito tenda ao infinito.
AULA 9: Quando falarmos sobre corrente alternada e contínua, estamos nos referindo ao sentido delas. As contínuas, surgem de d.d.ps constantes e, por consequência, circulam sempre no mesmo sentido, como ocorre em dispositivos com dois polos distintos (positivo e negativo), como pilhas e baterias. Já as alternadas são compostas por fases, passando a ter um movimento de vai e vem causado pela alternância da tensão que as gera. Geralmente, são geradas por alternadores em forma de onda senoidal que, em nosso país, tem frequência de 60 Hz, ou seja, a tensão empurra os elétrons 60 vezes num sentido e puxa outras 60 a cada segundo. Uma forma prática de entender como isso funciona é imaginar um ímã, próximo a um circuito, rodando em torno de um eixo. Quando um dos polos se aproxima do circuito, ele empurra os elétrons em movimento ordenado (corrente). Quando o outro polo se aproxima, ele puxa os elétrons novamente em movimento ordenado. A velocidade da rotação do ímã ditará a frequência das idas e vindas dos elétrons. Como as tensões contínuas não podiam ser transmitidas a distâncias maiores que poucas milhas do gerador, para não ter de construir uma usina em cada bairro, a distribuição da eletricidade das usinas até os consumidores é feita através da corrente alternada. Da usina até o bairro, a corrente é transportada em altas tensões até que chega aos transformadores e essa alta tensão é diminuída para chegar aos consumidores. Apesar do termo contínuo, correntes contínuas não precisam ter sempre a mesma intensidade. Se lembrarmos que a classificação é dada devido ao sentido, circuitos alimentados por correntes que variam de valor, mas não de sentido (corrente contínua pulsante), ainda são percorridos por corrente contínua. Além disso, apesar de focarmos na corrente alternada senoidal, existem outros tipos de corrente alternada como quadrada, triangular, dente de serra, etc. Nosso foco na senoidal é devido ao fato desse ser o tipo de tensão gerado nas usinas do mundo todo, de sua forma ter diversas características que resultam em uma resposta exclusiva quando aplicada aos componentes elétricos básicos (R, L, C), e ela ser é a única forma de onda alternada cuja forma não se altera ao ser aplicada num circuito com componentes elétricos básicos.
CAPÍTULO 13: As tensões alternadas senoidais podem ser geradas por diversas fontes, sendo a mais comum as tomadas de casa. Em cada usina um gerador CA (alternador) é o componente mais importante do processo de conversão de energia. Usando um inversor, a tensão contínua pode ser convertida em alternada. Além disso, tensões alternadas senoidaisestão disponíveis a partir do gerador de sinais que gera senoides de diferentes amplitudes e frequências. Os termos definidos a seguir para a senoide podem ser aplicados a qualquer forma de onda alternada. Nas análises, usaremos sempre o eixo vertical para representar tensões e correntes:
Valor Instantâneo: Amplitude de uma onda em um instante de tempo qualquer (e1 e e2);
Amplitude de pico: Valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor médio. É representado por letras maiúsculas como Em para fontes e Vm para quedas de tensão;
Valor de pico: Valor Am instantâneo máximo de uma função medido a partir do nível de zero volt. Quando o valor médio da onda é nulo, Em = Am;
Valor de pico a pico: Denotado por Ep-p ou Vp-p, é a diferença entre os valores dos picos positivo e negativo;
Ciclo: A menor parte inteira de uma onda (360°) contida em um intervalo de tempo;
Período: Tempo necessário para que um ciclo seja completado;
Frequência: Número de ciclos completados em 1s. Medido em hertz (Hz) no S.I.
Obs.: Como a frequência é inversamente proporcional ao período, as duas grandezas estão relacionadas pelas seguintes equações: f = T-1 (Hz = s-1) e T = f-1 (s = Hz-1). Além disso, como por um período de tempo, a tensão tem uma polaridade, enquanto para o outro período igual, ela é invertida, para resolver esse problema, adicionamos um sinal positivo quando a v ou I estão no eixo positivo das ordenadas e um negativo, se estiverem no negativo. 
O termo radiano representa a distância angular percorrida se, numa circunferência, saírmos de 0° e andarmos, em seu comprimento, o valor de seu raio. Essa distância angular, tem valor igual a 57,3° de forma que um círculo tem 6,2832 rad (2.pi.rad = 360°). É possível converter graus para radianos e vice-versa. Para isso, basta aplicar as seguintes fórmulas: Rad = pi x graus / 180° e Graus = 180° x radianos / pi.
Podemos obter uma senoide a partir da projeção do comprimento da projeção vertical de um vetor radial girando com movimento circular uniforme (velocidade constante) em torno de um ponto fixo. A velocidade com que esse vetor gira em torno do centro é chamada de velocidade angular e representa a razão entre a distância percorrida em graus ou rad e o tempo em que isso ocorre, ou seja, α = ωt, onde ω é a velocidade angular (rad/s), α é a distância percorrida (rad) e t é o tempo levado. Se consideramos que o tempo levado para completar uma rotação é igual a um período (T) e o número de radianos percorridos é igual a um ciclo (2.pi), temos ω = 2.pi.T-1 ou ω = 2.pi.f. 
Essas equações nos mostram que quanto menor o período ou intervalo de tempo até que seja gerado um ciclo, maior a velocidade angular do vetor radial girante. Já a frequência é diretamente proporcional a velocidade angular do vetor. A expressão geral para uma senoide é Amsenα onde Am é o valor de pico da onda e α é um ângulo na unidade do eixo horizontal. Como α = ωt, temos que a senoide também é expressa por Amsenωt. No caso das grandezas elétricas, como a tensão e corrente, as expressões gerais são: i = Imsenωt = Imsenα e e = Emsenωt = Emsenα, onde as letras maiúsculas com o índice m representam as amplitudes da onda e as minúsculas i e v, os valores instantâneos de corrente e tensão, respectivamente, num instante t qualquer. Apesar de só termos considerado senoides com máximos em 90° e 270°, e consequentemente, zeros em 0°, 180° e 360°, elas podem ser deslocadas para direita ou esquerda, fazendo com que suas expressões gerais passem a ser Amsen(ωt ± θ), com θ representado o deslocamento da onda (defasagem). Quando uma onda corta o eixo horizontal com inclinação positiva e adiantada de 90°, o gráfico é chamado de cossenoide: 
O ângulo de 90° nesses casos, é conhecido como diferença de fase e é medido entre dois pontos no eixo horizontal em que as curvas têm a mesma inclinação, como mostra a figura ao lado. Quando as duas formas de ondas estão sobrepostas, com a mesma inclinação, dizemos que elas estão em fase
Com a ajuda do esquema a seguir, podemos deduzir algumas relações trigonométricas importantes. Note que saindo de + sen(ωt), no sentido anti-horário, vemos que + cos(ωt) corresponde a uma rotação de 90°. Já – sen(ωt), a uma de 180° e – cos(ωt), a uma de 180° ou então, -90°. Assim, temos o seguinte:
cosωt = sen(ωt + 90°)
senωt = cos(ωt - 90°)
-senωt = sen(ωt ± 180°)
-cosωt = sen(ωt + 270°) = sen (ωt - 90°)
sen(-ωt) = -senωt 
cos(-ωt) = -cosωt 
Fazendo uma analogia com montes de areia, pense que você deseja conhecer a altura média de um monte de areia para determinar o volume de areia disponível. Para isso, basta manter a distância entre as extremidades do monte constantes e aterrar a areia até que a altura fique uniforme. No entanto, se a distância entre as extremidades for aumentada, a altura média do monte diminui. Se houver, ainda, uma depressão no terreno, a areia será usada para nivelá-lo e a altura média será ainda menor. No caso de uma onda senoidal, a depressão tem a mesma forma que o monte de areia (parte negativa da onda) e por isso, sua altura média é nula. O valor médio de uma onda, denotado por G, pode ser obtido através da seguinte expressão: G = soma algébrica das áreas / comprimento da curva. Na soma algébrica, as áreas acima do eixo ganham sinal positivo e as abaixo, negativo; e valores médios serão positivos quando estiveram acima do eixo x e negativos, se estiverem abaixo. Além disso, o valor médio de qualquer corrente ou tensão alternada é o valor indicado por um medidor de CC, ou seja, num ciclo completo, G é o valor CC equivalente. Em algumas curvas, esse cálculo é de dificuldade mínima, entretanto numa senoide por exemplo, é necessário que utilizemos integral para o cálculo da área. Sendo assim, temos que a área é dada pelo somatório em [0, pi] de Amsenωt que nos leva a 2Am. Tratando da diferença entre CC e CA não mais no sentido, mas sim na potência dissipada pela carga, podemos determinar a amplitude de uma CA necessária para fornecer a mesma potência que uma CC particular. Pense que não importa o sentido da corrente, mesmo durante a parte negativa, a carga dissipa potência ao passar por um resistor. Experimentalmente, podemos submeter uma bacia com água e um resistor dentro a uma CC e depois a uma CA, anotando as intensidades responsáveis por levar a água a 100° C, por exemplo. Em cada caso, conseguimos relacionar a equivalência entre os tipos da seguinte forma: Im = 1,4114 Irms | Em = 1,4114 Erms, onde rms é o nome dado a Icc equivalente e representa o valor eficaz da grandeza senoidal. Por exemplo, seria necessária uma CA de 14,4 A para fornecer a um resistor a mesma potência que uma CC de 10 A fornece. O valor eficaz de qualquer grandeza cuja variação com o passar do tempo é conhecida, pode ser calculado pela expressão conhecida como valor médio quadrático: I²rms = área (i²(t)) / T
CAPÍTULO 14: Para entendermos como cada dispostivo básico (R, L C) responde a um sinal senoidal, é necessário o uso da derivada. Numa senoide, a derivada é nula em 90° e 270° (picos positivo e negativo, onde não há variação de x) e máxima em 0°, 180° e 360° que é onde a curva tem maior inclinação. A derivada de um senoide é um cossenoide cujo valor de pico é diretamente proporcional à frequência da senoide que a origina: 
Note que mesmo que as duas ondas tenham valores de pico iguais, a com maior f, tem maior inclinação nos pontos citados e, então, derivada com valor de pico maior, mesmo com as cossenoides tendo o mesmo T e f das senoides.
Em termos práticos, um resistor não é influenciado por tensões ou correntes senoidais, ou seja, seu valor pode ser considerado constante quando percorrido por uma corrente i = Imsenωt que causa uma queda de tensão v = Vmsenωt em seus terminais. Assim, num dispositivo puramente resistivo, a tensão v e a corrente i que o atravessam estão em fase, com seus valores de pico relacionados pela lei de ohm.
Já num indutor, podemos imaginar uma configuração em que um dispositivo possuiuma tensão v que se opõe à uma fonte e associada a ele em série, reduzindo assim o valor da corrente i. No caso de um dispositivo resistivo, observamos que a oposição citada se deve à resistência, e que a tensão do dispositivo e i estão relacionados por vdispositivo = iR.
Como a tensão num indutor é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente que o atravessa (v α diL / dt), quanto maior for a frequência, maior será a taxa de variação da corrente e, consequentemente, maior o valor da tensão induzida. Além disso, a indutância de um enrolamento determina a taxa de variação do fluxo magnético no indutor para uma variação de corrente de forma que, quanto maior for a indutância, maior será a taxa de variação do fluxo e a tensão no indutor (vL α L). Com isso, concluímos que a tensão no indutor não é só diretamente proporcional à frequência angular da corrente alternada nele, mas também a indutância do enrolamento (vL α LdiL / dt). Assim, para um indutor percorrido por uma corrente iL = Imsen(ωt), há uma queda de tensão vL = LdiL / dt. Aplicando a derivação em iL, ficamos com vL = ωLImcosωt ou vL = Vmsen(ωt + 90°) onde Vm = ωLIm. Com isso, temos que, num indutor, vL está sempre adiantada 90° em relação a iL. Assim, se um ângulo de fase for incluído em iL, ou seja, Imsen(ωt + θ), então vL = ωLIm(ωt + θ + 90°), como pode ser observado na imagem ao lado. Além disso, a oposição causada por um indutor em um circuito CA pode ser calculada como a razão entre a causa (Vm) e o efeito (Im). Como Vm = ωLIm, a oposição é Vm / Im = ωL. A essa grandeza ωL, damos o nome de reatância indutiva (XL), sendo medida em Ω. A unidade dessa grandeza mostra que ela nada mais é que uma oposição à corrente que, ao contrário de um resistor, não dissipa energia, resultando numa troca contínua de energia entre a fonte e o campo magnético indutor. 
Por último, num capacitor, a tensão do capacitor é limitada pela taxa com que a carga é depositada nas placas do capacitor ou retiradas delas. Em outras palavras, uma variação instantânea da tensão num capacitor sofre uma oposição devido a necessidade de um tempo para carregar ou descarregar as placas. 
Como a capacitância é a medida da rapidez com que um capacitor armazena carga, a capacitância e a corrente capacitiva resultante são diretamente proporcionais. Além disso, para uma capacitância qualquer, a taxa de variação da tensão entre os terminais de um capacitor também é diretamente a correte capacitiva. Com isso, iC = C(dvC / dt). Mas se aplicarmos a diferenciação, encontramos dvC / dt = d(Vmsenωt) / dt = ωVmcosωt e, portanto iC = ωCVmcosωt onde Im = ωCVm. A partir disso, fica claro que a corrente em um capacitor também é diretamente proporcional à frequência angular. Com isso, temos que num capacitor, iC está sempre adiantada 90° em relação a vC de forma que se um ângulo de fase for incluído em vC, ou seja, vC = Vmsen(ωt + θ), então iC = ωCVmsen(ωt + θ + 90°), como pode ser observado na figura ao lado. Mas como nosso intuito é determinar uma expressão para a oposição exercida por um capacitor análoga a exercida por um L, precisamos lembrar que i é inversamente proporcional a reatância. Dessa forma, a reatância capacitiva exercida por um C é inversamente proporcional a ω e C, ou seja, XC = 1 / ωC. 
Resumidamente, teremos que circuitos serão predominantemente capacitivos quando a corrente estiver adiantada em relação a tensão e predominantemente indutivos se a tensão aplicada estiver adiantada em relação a corrente. Além disso, as expressões Im = EmXL e Im = EmXC são suficientes para as análises daqui pra frente. 
Mas o que ocorre se a frequência não for mais definida, passando a ter um aumento uniforme da frequência de um nível muito baixo para um bem elevado? Antes de analisarmos, é importante que se tenha em mente que apesar de consideramos como ideal cada dispositivo, em um determinado intervalo de frequência, eles não agem idealmente. 
Pois bem, para um resistor ideal, a frequência ideal, rigorosamente, não terá efeito sobre a impedância, como ilustra a figura ao lado. 
Já para um indutor ideal, a equação para reatância (XL = 2.pi.f.L) pode ser reescrita, a fim de isolar a frequência, como XL = kf, onde k = 2.pi.L. Note que com essa nova expressão equivalente temos uma função afim com inclinação k e b = 0. Como a indutância determina a inclinação da curva, quanto maior indutância, mais inclinada é a curva. Dessa forma, quando f = 0 Hz, a reatância da curva é zero e os indutores assumem as características de um curto-circuito e, em frequências muito altas, ocorre o aumento da reatância e o indutor se aproxima de um circuito aberto. 
Por último, para um capacitor ideal, a equação de reatância (XC = 2.pi.f-1), pode ser escrita como xCf = (2.pi.C)-1 com (2.pi.C)-1 sendo uma constante k. A nova expressão equivalente encontrada corresponde ao formato de uma hipérbole onde quanto maior o valor de XC, mais próxima dos eixos a curva fica. Perceba que se f = 0 Hz, a reatância tende a valores extremamente altos, fazendo com que o capacitor se aproxime de um circuito aberto. Já quando ela aumenta, a reatância tende a zero e o capacitor assume as características de um curto-circuito. 
Para demonstrar que a potência é fornecida mesmo quando a corrente está abaixo do eixo x, considere a configuração a seguir, onde uma tensão senoidal é aplicada a um resistor de 2 Ω. Note que quando a tensão está em seu pico positivo, a potência fornecida nesse instante é 32W, no ponto intermediário de 4 V, ela fornecida cai para 8 W, até atravessar o eixo, zerando. Entretanto, apesar do sentido contrário, como passam 2 A pelo resistor, a potência instantânea fornecida quando a tensão aplicada está em seu pico negativo, também é 32 W. 
Se desenharmos a potência fornecida por um ciclo completo, obteremos a curva ao lado. Note que a tensão aplicada e a corrente resultante estão em fase, possuindo o dobro da frequência da curva da frequência. Para um ciclo completo da tensão aplicada com determinado período T, o nível de potência terá um pico em cada pulso da onda.
Perceba que o valor médio da curva da potência ocorre em um nível de potência igual a (VmIm / 2). Esse nível recebe o nome de potência média ou real. Ele estabelece um nível de potência em particular para o ciclo completo, de modo que não temos que determinar o nível a se aplicar a uma quantidade que varia em uma natureza senoidal. Se substituirmos a equação para o valor de pico em termos do valor rms, ou seja, Pmédia = VmIm / 2 = (1,4114 Vrms) (1,4114 Irms) / 2 = 2VrmsIrms / 2, descobrimos que a potência média fornecida a um R assume a seguinte forma, muito conveniente: Pmédia = VrmsIrms, que se trata da mesma expressão usada nas redes CC, mas com valores rms. Entretanto, se a tensão for aplicada a uma rede com uma combinação de componentes, a expressão é diferente:
Na imagem ao lado, uma v com um ângulo de fase inicial é aplicada a um circuito com qualquer combinação de elementos, resultando em uma i com o ângulo de fase indicado. A p a cada instante de tempo é definida por: p = vi = (Vmsen(ωt + θ))(Imsen(ωt + θi)) = VmImsen(ωt + θv)sen(ωt + θi). Aplicando uma identidade trigonométrica, encontramos uma função equivalente, ou seja, P [0,5(VmIm)cos(θv - θi)] - [0,5(VmIm)cos(2ω + θv + θi)]. Como o segundo termo nessa equação representa uma cossenoide de amplitude 0,5(VmIm) e frequência duas vezes maior que a da tensão e da corrente, seu valor médio é zero e, portanto, ele não tem nenhuma influência no processo de dissipação de energia. Já o primeiro termo é constante (não varia tempo) e representa uma transferência líquida de energia (potência real ou média). Como cos(-α) = cosα, o valor da potência média não depende do fato de a tensão estar atrasada ou adiantada em relação à corrente. Se fizermos θ = |θv - θi|, temos Pmédia = 0,5(VmIm)cosθ ou então Pmédia = VrmsIrmscosθ. Aplicando essas equações nos dispositivos básicos, percebemos que num resistor, como v e i estão em fase, |θv - θi| = 0° e cos 0° = 1,Pmédia = 0,5(VmIm) = VrmsIrms = V²rms / R = I²rmsR. Já num circuito puramente indutivo, como v está adiantada 90° em relação a i, |θv - θi| = 90°. Como cos(90°) = 0, a potência média por um indutor ideal é nula. Por último, num circuito puramente capacitivo, i está adiantando 90° em relação a v, logo |θv - θi| = 90°. Como cos(90°) = 0, a potência média de um capacitor ideal é nula. Além disso, note que na equação P = 0,5(VmIm)cosθ, o fator que tem uma influência significativa no valor da potência fornecida é o cosθ, afinal, independente dos valores da tensão e da corrente, se cosθ = 0, a potência é nula, mas se for = 1, a potência é máxima. Por tal influência, a expressão recebeu o nome de fator de potência (Fp). Nas situações em que a carga é uma combinação é uma combinação de dispositivos resistivos e reativos, o Fp tem um valor entre 0 e 1 de forma que, quanto mais resistiva for a impedância total, mais próximo de 1 estará o Fp. Em termos de potência média, tensão e corrente no circuito, temos que Fp = cosθ = P(VrmsIrms)-1. Os termos adiantando e atrasado são frequentemente escritos juntamente com o Fp. O termo usado vem em função da corrente de forma que, quando a corrente está adiantada em relação à tensão aplicada, a carga tem um fator de potência adiantado (circuitos capacitivos). Já quando está atrasada, um fator de potência atrasado (circuitos indutivos). Da mesma forma que tivemos que determinar somas algébricas de tensões e corretes em circuitos CC, temos que determinar com os circuitos CA. Embora uma possível solução fosse calcular essa soma algébrica somando os valores das funções ponto a ponto, como veremos mais adiante, seria um processo longo e tedioso cuja precisão dependeria da escala escolhida. Para isso, usamos um sistema de números complexos que, resulta em uma técnica de aplicação rápida, direta e precisa que determina a soma algébrica de senoides. 
Um número complexo pode ser representado por um ponto em um plano bimensional, associado a um sistema de eixos cartesianos. Esse ponto também determina um vetor posição. O eixo horizontal é chamado de real e o vertical de imaginário. Qualquer número real de zero até o infinito positivo pode ser representado por um ponto em cima do eixo real. O símbolo j é usado para indicar a parte imaginária. Existem 2 formas para representar um complexo. A 1ª delas é a retangular, cuja a representação é dada por C = X + jY. A 2ª, é a polar cuja representação é C = Z < θ, onde Z indica o módulo e θ é medido no sentido anti-horário:
O sinal negativo em frente ao número complexo na forma polar é mostrado na figura ao lado. Observe que o resultado é um número complexo oposto ao número complexo com sinal positivo, ou seja, -C = -Z < θ = Z < θ ± 180°. Além disso, para convertermos da forma retangular para a forma polar, devemos usar Z = sqrt(X² + Y²) e θ = tg-1 (Y / X). Já para convertermos da forma polar para a forma retangular, devemos usar X = Zcos(θ) e Y = Zsen(θ)
É importante que se tenha em mente que o símbolo j (ou i) associado aos números negativos imaginários representam a raiz de menos um e, portanto, j² = -1. Com isso, (j³ = j²j = -1j = -j), (j4 = j²j² = (-1)(-1) = 1) e (j5 = j²j²j = (-1)(-1)j = j) e assim por diante. Além disso, [i / j = (1)(1 / j) = (j / j)(1 / j) = j / j² = j / -1] e, assim, (1 / j = -j). Outro conceito importante é o conjugado de um número complexo que é obtido simplesmente trocando o sinal da parte imaginária, na forma retangular, ou usando o negativo do ângulo, na forma polar. Por exemplo, o conjugado de C = 2 + j3 é 2 - j3 e o conjugado de C = 2 < 30° é 2 < -30°. E existe ainda, o recíproco de um complexo que é o número complexo elevado a menos um.
Partindo disso, a adição de dois ou mais números complexos é feita adicionando as partes reais e imaginárias separadamente. Por exemplo, se C1 = 2 + j4 e C2 = 3 + j1, C1 + C2 = 5 + j5. Já se C1 = 3 + j6 e C2 = -6 + j3, C1 + C2 = (-3 + j9). Num gráfico, uma vez que os números complexos podem ser representados por vetores posição, a soma deve ser feita pela regra do paralelogramo. Analogamente a adição, a subtração é feita. Assim, se C1 = 4 + j6 e C2 = 1 + j4, C1 - C2 = (3 + j2). Já se, C1 = 3 + j3 e C2 = -2 + j5, C1 - C2 = (5 - j2). A adição e substração não podem ser realizadas na forma polar, a menos que os números complexos tenham o mesmo ângulo θ ou sua diferença seja um múltiplo de 180°. Para realizarmos a multiplicação entre dois números complexos, os valores são multiplicados e os ângulos são somados algebricamente. Assim, para C1 = Z1 < θ1 e C2 = Z2 < θ2, temos que C1.C2 = Z1.Z2<θ1+θ2. Por exemplo, se C1 = 5 < 20° e C2 = 10 < 30°, C1.C2 = 50 < 50°. Já se C1 = 2 < -40° e C2 = 7 < 120°, C1.C2 = 14 < 80°. Se a intenção for a multiplicação de um complexo na forma retangular por um real, precisamos que tanto a parte real quanto a imaginária sejam multiplicadas pelo real. Por exemplo: [(10)(2 + j3) = 20 + j30] e [50 < 0°(0 + j6) = j300 = 300 < 90°]. Por último, para dividir dois complexos, devemos dividir o módulo do numerado pelo módulo do denominador e subtraindo os respectivos ângulos, ou seja, se C1 = Z1 < θ1 e C2 = Z2 < θ2, temos C1 / C2 = Z1 / Z2 < θ1 + θ2. 
Conforme dito anteriormente, a adição de tensões e correntes senoidais é muito necessária quanto lidamos com circuitos CA. Um método longo, porém válido, é traçar as duas senoides no mesmo gráfico e somar algebricamente as ordenadas em cada ponto ao logo do eixo horizontal, como mostra a figura a seguir em c = a + b.
Observe na figura a seguir que v2 corta o eixo horizontal em t = 0s, e sua amplitude vale 1 V, já v1 é gerada por um fasor que em t = 0s já descreveu um ângulo de 90° e sua amplitude vale 2 V; É possível representar os dois fasores como vetores, e então realizamos a soma dos mesmos, encontrando a senoide resultante, como mostra a figura da esquerda:
Usando a álgebra vetorial descrita anteriormente, pode-se mostrar com a figura (a) que 1 V < 0° + 2 V < 90° = 2,236 V < 63,43°. Em outras palavras, se convertermos v1 e v2 para a forma de fasores usando v = Vm < ± θ e efetuarmos a adição com o uso da álgebra dos números complexos, podemos obter vt = v1 + v2, também em forma de fasor, com facilidade. Podemos então converter vt para o domínio do tempo e desenhá-la no mesmo gráfico, como (b). A figura (a) é chamada de diagrama de fasores e representa, na realidade, um valor instantâneo dos vetores girantes quando t = 0s. Assim, sempre que necessário for adicionarmos duas senoides, devemos primeiro convertê-las na forma fasorial e calcular a soma usando a álgebra dos números complexos. Depois, então, poderemos transformar o resultado para obtermos uma função no domínio do tempo. 
O caso de duas funções senoidais que têm ângulos de fase diferentes de 0° e 90° é mostrado ao lado. Note que as ordenadas das funções vistas em t = 0s continuam sendo determinadas pelas posições angulares dos vetores. Além disso, o fasor será definido, por razões práticas e de uniformidade, como tendo um módulo igual ao valor rms da senoide que o representa; Em geral, em todas as análises, a forma será V = Vrms < θ e I = Irms <θ. Como essas grandezas variam sempre na forma senoidal, a frequência não é representada e a algebra só pode ser aplicada se as senoides tiverem a mesma frequência.
CAPÍTULO 15: Como vimos, num circuito puramente resistivo, v e i estão em fase e suas amplitudes são dadas pela lei de ohm (Vm = Im.R). Como, na forma fasorial, V = Vrms <0°, com Vrms = 0,707Vm, se aplicarmos a lei de ohm através da álgebra dos fasores, temos que [I = (Vrms < 0° / R < θR) = Vrms / R < 0 + θR]. Mas como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve ser zero também. Para que isso ocorra, o ângulo associado à resistência precisa ser 0°. Com isso, temos que = [I = Vrms / R < 0]. No domínio do tempo, como usamos o valor Im e não o Irms, basta lembrarmos que Im = 1,4114Irms e teremos: i = (1,414Vrms / R)senωt.
Já num circuito puramente indutivo, vimos que a tensão estáadiantada 90° em relação a corrente e a reatância indutiva era dada por XL = ωL. Repetindo o processo feito anteriormente para um circuito puramente resistivo, temos: [I = Vrms < 0° / XL < θL = Vrms / XL < 0° + θL], mas como v está adiantada 90° em relação a i e o ângulo associado a v na notação fasorial é 0°, a corrente deve ter um ângulo de -90° associado a ela. Para satisfazer essa condição, θL tem de ser igual a 90°. Assim, substituindo isso na expressão, temos [I = Vrms / XL < 90°], de maneira que, no domínio do tempo, temos i = (1,4114Vrms / XL)sen(ωt – 90°). 
Por último, num circuito puramente capacitivo, vimos que a corrente fica adiantada em 90° em relação à tensão, com a reatância capacitiva XC sendo dada por (ωC)-1. Aplicando a lei de ohm através da álgebra dos fasores, temos que [I = Vrms < 0° / XC < θC = V / XC < 0° - θC. Mas, levando em conta que i está adiantada 90° em relação a v, i precisa ter um ângulo de +90° associado a ela. Para que isso ocorra, θC precisa ser -90°. Assim, [I = V < 0° / XC < -90° = V / XC < 0° - (-90°) = V / XC < 90°], de forma que no, domínio do tempo, como Im = 1,4114 Irms, i = (1,4114 Vrms / XC)sen(ωt + 90°). 
Perceba que em todos os casos, a expressão, na álgebra dos fasores, equivalente a lei de ohm, teve R representado como a reatância associada a um ângulo. Essa representação recebe o nome de impedância e representa a oposição de um elemento à carga da mesma forma que um resistor faz, mas com notação fasorial. Assim, a impedândia resistiva é dada por ZR = R <0°, onde R representa o módulo da resistência; A impedância indutiva é dada por: ZL = XL < 90°. E a impedância capacitiva é dada por ZC = XC < -90°. Todas elas são medidas em ohms e as duas últimas sempre armazenam carga, nunca dissipam. É válido destacar que as impedâncias não são grandezas fasoriais, pois o termo fasor é reservado a grandezas que variam no tempo e o módulo das impedâncias, assim como seus ângulos associados, são grandezas fixas. 
Uma vez associados ângulos à resistência, à reatância indutiva e à reatância capacitiva, cada uma delas pode ser representada no plano complexo, como mostra a figura ao lado. Assim, em qualquer circuito, a resistência sempre estará na parte positiva do eixo dos reais, a reatância indutiva estará na parte positiva do eixo dos imaginários, e a capacitância estará na parte negativa do eixos dos imaginários. Esse esquema recebe o nome de diagrama de impedâncias e pode representar tanto os valores individuais quanto o total da impedância em qualquer circuito CA.
Todos os circuitos que analisaremos possuem diferentes tipos de elementos que sempre apresentam uma impedância total cujo ângulo associado está entre - 90° e + 90°. Assim, quando a impedância total tiver um ângulo associado de 0°, significa que o circuito é puramente resistivo por natureza. Já se ela estiver mais próxima de 90°, o circuito é indutivo por natureza. Por último, se ela estiver mais próxima de – 90°, o circuito é capacitivo por natureza. É importante lembrar também que para qualquer configuração (série, paralelo, série-paralelo, etc.), o ângulo associado à impedância total é sempre igual ao ângulo de fase da tensão aplicada. 
As propriedades de um circuito em série em CA são as mesmas que as de um circuito em série em CC: A impedância total (ZT) é dada pelas somas das impedâncias, a corrente é a mesma em todos os elementos, sendo determinada pela lei de ohm (I = E / ZT), a tensão em cada elemento pode é dada por Vn = IZn e a regra do divisor de tensão é dada por: VX = ZxE / ZT. Na lei de Kirchoff, é importante lembrar que agora lidamos com grandezas que possuem módulo e fase e, por último, a Pfornecida ao circuito passa ser obtida através de P = EIcos(θT), com θT = |θv – θi|. 
Lembrando do que ficou estabelecido anteriormente em relação a como cada elemento respondia a uma frequência que mudava, veremos como eles respondem quando estão associados em série. Juntando todos o conhecimento adquirido na análise feita anteriormente, temos que, em geral, se encontrarmos um circuito R-L-C em frequências muito baixas, o capacitor que terá impedância muito alta, será fator predominante. Já para circuitos R-L-C em frequências altas, a impedância total será determinada principalmente pelo elemento indutivo. Se o circuito for apenas R-L, a impedância será determinada principalmente pelo elemento resistivo, quando a frequência for baixa e pelo elemento indutivo quando a frequência for alta. Já num circuito R-C em frequências muito baixas, a impedância será determinada principalmente pelo elemento capacitivo enquanto se a frequência for alta, o resistor será predominante. É possível calcular a frequência responsável por fazer a reatância do capacitor cair para o valor da reatância do resistor. Para isso, basta igualarmos a expressão para a reatância dos dois elementos, ou seja, XC = 1 / 2.pi.f.C = R. Isolando a frequência, encontramos f = (2.pi.R.C)-1. Uma vez que no diagrama de impedâncias a resistência fica no eixo horizontal positivo e a reatância capacitiva no eixo imaginário vertical negativo, a impedância total é dada por ZT = R – jXC. Convertendo a expressão para a forma polar, temos ZT < θT = sqrt(R² + X²C) < -tg-1 (XC / R). O mesmo pode ser feito para um indutor. Teremos então que XL = 2.pi.f.L = R e, portanto f = R(2.pi.L)-1. Uma vez que no diagrama de impedâncias a resistência fica no eixo horizontal positivo e a reatância indutiva no eixo imaginário vertical positivo, a impedância total é dada por ZT = R + jXL. Convertendo a expressão para a forma polar, temos ZT < θT = sqrt(R² + XL²) < tg-1 (XL / R). Com isso, podemos estabelecer os seguintes fatos: num circuito CA em série, a impedância total depende da frequência e pode ser menor que a impedância de qualquer elemento. Além disso, o módulo da tensão em qualquer elemento pode ser maior que a tensão aplicada. Por último, quanto maior for a parte resistiva de um circuito, em comparação com sua parte reativa, mais próximo de 1 estará FP.
De forma análoga aos circuitos CA em série, os circuitos CA em paralelo também possuem as mesmas propriedades que os circuitos CC em paralelo. O inverso da reatância (X) é chamado susceptância (B). A susceptância indutiva é dada por BL = XL-1 e a susceptância capacitiva é dada por BC = XC-1. Já o inverso da impedância (Z = X < θ) é admitância (Y). A admitância indutiva, como YL = (ZL-1) e ZL = XL < 90°, é dada por YL = (XL < 90°)-1 = (XL < -90°) = BL < -90° e a admitância capacitiva, como YC = ZC-1 e ZC = XC < -90°, é dada por YC = (XC < -90°)-1 = XC-1 < 90° = BC < 90°. A admitância total é dada pela soma das admitâncias (YT = Y1 + Y2 + Y3 + ... + YN) e a impedância total pode ser encontrada por: ZT = Z1Z2 / Z1 + Z2. A corrente fornecida pode ser calculada pela lei de ohm (I = E / ZN = EYN) e na lei de Kirchoff, é importante lembrar que agora lidamos com grandezas que possuem módulo e fase. Por último, a potência fornecida continua sendo dada por P = EIcos θT e a regra do divisor de corrente, por (Ix = ZTI / Zx). 
Perceba que a impedância (Z) nada mais é que a reatância (X) associada a um ângulo e a admitância (Y) nada mais é que a susceptância (B) associada a um ângulo. Dessa forma, o diagrama de admitâncias é dado pela figura ao lado. Note que ele é inverso ao diagrama das impedâncias, de forma que apenas a condutância coincide com a resistência no eixo real positivo. A admitância capacitiva (YC) está no eixo positivo imaginário e a indutiva (YL), no negativo. Assim, qualquer que seja a configuração de um circuito, o ângulo de fase associado a admitância total (YT) coincide com o ângulo pelo qual a corrente está adiantada em relação a tensão aplicada. 
Com isso, podemos estabelecer certos fatos em relação aos circuitos CA em paralelo: A admitância total ou impedância total dependem da frequência. Além disso, o módulo da corrente em qualquer ramo pode ser maior que o da corrente da fonte. Em frequências baixas, elementos indutivos têm maior influência na impedância total enquanto em frequênciasaltas, isso ocorre com os capacitivos. A oposição (impedância nesse caso) pode ser menor que qualquer um dos elementos. A corrente num indutor está sempre em sentido oposto ao da corrente num capacitor no diagrama fasorial. Por último, quanto menor for a resistência em comparação com a susceptância reativa, mais próximo de 1 estará FP.
Lembrando que para elementos em paralelo, quanto menor o valor de R ou a reatância (X), maior o impacto sobre o componente real ou imaginário da impedância total (ZT). Num circuito R-L-C paralelo, em frequências muito baixas, a impedância do indutor (ZL) é menor que a do resistor (ZR) ou do capacitor (ZC), resultando em um circuito indutivo, com a reatância indutiva (XL) tendo maior impacto sobre a impedância total (ZT). À medida que a frequência aumenta, a impedância do indutor (ZL) aumenta e a do capacitor (ZC) diminui de forma que, dependendo dos componentes, XC pode ser igual a ZL, antes que uma delas atinja o nível da resistência. Com isso, é impossível afirmar muito sobre o efeito de cada elemento conforma f aumenta, mas em geral, o circuito será capacitivo, pois XC cairá para níveis muito baixos. 
No caso de um circuito R-L em paralelo, para uma faixa de frequência de 0 a 40 kHz, como o elemento com menor impedância, para uma dada frequência, tem maior influência sobre a impedância total, temos que, em baixas frequências, por XL ser pequena em comparação a R, XL é o fator predominante e o circuito é bastante indutivo. À medida que a frequência aumenta, XL aumenta até que seu valor se iguale ao de R. A frequência em que isso ocorre é dada por f2 = R(2.pi.L)-1 uma vez que XL = 2.pi.f2.L. A análise de circuitos R-C em paralelo é feita de forma semelhante, com XC sendo dominante em altas frequências. Note que tanto nos circuitos R-C em série quanto nos R-L em paralelo, as impedâncias (Z) tendem para o valor de R em altas frequências. Já os circuitos R-L em série e R-C em paralelo são reativos em alta frequência. Em baixas, Z é praticamente resistiva, tendo o valor de R.
No caso de circuitos (CA) em qualquer configuração, a impedância total (ZT) de dois ou mais elementos é, frequentemente, equivalente a uma impedância (Z) que pode ser obtida com menos elementos. Tenha em mente que essa equivalência só é válida para valores fixos de frequência, pois X depende da frequência. A corrente I que entra nos dois circuitos e a impedância (Z) será a mesma, desde que a tensão E aplicada seja a mesma, e os circuitos são chamados equivalentes. Assim, no caso de um circuito em paralelo com um componente resistivo e outro reativo, o circuito em série equivalente terá sempre um elemento resistivo e outro reativo, com valores diferentes. 
Além disso, se calcularmos a impedância de um circuito em paralelo, na forma retangular, obtemos ZT = ZLZR / ZL + ZR = (4 < 90°)(3 < 0°) / 4 < 90° + 3 < 0° = 2,4 < 36,87° = 1,92 Ω + j1,44 Ω que é a impedância de um circuito em série com um resistor de 1,92 e uma reatância indutiva de 1,44, como mostra a figura ao lado. Para formularmos a equivalência entre circuitos em série e paralelo basta calcularmos a impedância total (ZT) na forma retangular. Assim, teremos que Rsérie = (Rparalelo)(X²paralelo) / X²paralelo + R²paralelo e Xsérie = (R²paralelo)(Xparalelo) / X²paralelo + R²paralelo. Já para o contrário, temos: Rparalelo = R²série + X²série e Xparalelo = R²série + X²série / Xsérie.
CAPÍTULO 19: No esquema ao lado, a potência fornecida a uma carga em qualquer instante é definida por vi, ou seja p = [Vmsen(ωt + θ)][(Imsen(ωt)] = VmImsen(ωt)sen(ωt + θ). Com a aplicação de algumas identidades trigonométricas, p = VrmsIrmscos θ(1 – cos 2ωt) + VrmsIrmssen θ(sen 2ωt) = VrmsIrmscos θ – VrmsIrmscos(θ)cos(2ωt) + VrmsIrmssen θ(sen 2ωt). Note que o primeiro termo representa a potência média, independente do tempo, e os outros dois, variam com frequência 2x maior que as de v e i.
Em circuitos puramente resistivos, v e i estão em fase. Substituindo θ = 0° na expressão, temos pR = VrmsIrms - VrmsIrmscos(2ωt), onde VI é a potência média e o segundo termo é uma cossenoide negativa de amplitude VrmsIrms e frequência 2x maior que a de v e de i. Além disso, como os valores de pico ou médio da curva de potência são iguais, a curva está sempre acima do eixo horizontal, indicando que toda potência fornecida a um R é dissipada. A energia dissipada pelo resistor em um ciclo completo de tensão aplicada é a área sob a curva de potência, dada por (WR = VrmsIrmsT1 = VrmsIrmsf1-1)
Apesar da potência média ser dada por Pméd = VrmsIrmscos θ, de forma que Pméd = VrmsIrms é uma expressão particular para circuitos puramente resistivos, a expressão Pméd = VrmsIrms é um parâmetro útil para descrição e análise de circuitos em CA e para a especificação do número máximo de componentes e sistemas elétricos. Ela recebe o nome de potência aparente (S = VrmsIrms = Irms²Z = Vrms² / Z), sendo medida em volt-ampères. Assim, podemos aplicá-la na expressão para a potência média que poderá ser expressa como Pméd = Scos(θ) e o fator de potência vira a razão entre a potência media e a aparente, ou seja, FP = P(S-1).
Em circuitos puramente indutivos, v está adiantada 90° em relação a i. Substituindo θ = 90° na expressão, temos pL = VrmsIrms sen(2ωt), representando uma senoide com o dobro da frequência de entrada (v ou i) e valor de pico igual a VrmsIrms. É perceptível que não há um termo correspondente a um valor médio ou uma constante na equação. Isso pode ser explicado com a análise da figura ao lado. Note que em um ciclo completo de pL (T2), a área acima do eixo horizontal é exatamente igual à abaixo do eixo, indicando que toda a potência fornecida pela fonte ao indutor é devolvida a fonte por ele, não havendo perdas, como já havíamos afirmado. A potência absorvida ou devolvida pelo indutor em qualquer instante pode ser calculada substituindo t na expressão por tx. O valor de pico dessa senoide é chamado de potência reativa indutiva (QL = VrmsIrms = I²XL / V² / XL). Uma vez que a potência aparente associada a um indutor é S = VrmsIrms e a potência média é nula, FP = cos θ = P / S = 0. Já a energia armazenada ou devolvida pelo indutor pode ser calculada por (WL = VrmsIrmsT2 / pi = VrmsIrms (pi.f1)-1 = LI²)
Em circuitos puramente capacitivos, i está adiantada 90° em relação a v. Substituindo θ = - 90° na expressão, temos pC = -VIsen(2ωt) que representa uma senoide negativa com o dobro da frequência de entrada (v ou i) e valor de pico igual a VrmsIrms. Assim como no caso do indutor, há ausência de um termo associado a um valor médio ou constante de forma que, como já havíamos afirmado anteriormente, num capacitor puro (ideal), a potência fornecida pela fonte é exatamente igual à devolvida pelo capacitor, não havendo perdas. A potência absorvida ou devolvida em qualquer instante pode der calculada substituindo t pelo instante na expressão encontrada. A potência reativa capacitiva é igual ao valor de pico da curva pC, ou seja, QC = VrmsIrms = I²XC = V² / XC. Além disso, a potência aparente associada é S = VI e a potência média é nula, fazendo que o FP seja nulo. De maneira similar ao indutor, a potência fornecida ou recebida em um determinado instante pode ser dada por: WC = VIT2(pi-1) = VI / (pi.f2) = CV²
Em geral, a potência reativa associada a qualquer circuito é dada por Q = VrmsIrmssen(θ) e sua unidade é o volt-ampère reativo (VAR). Note que esse é o valor de pico do termo cuja média para um ciclo completo é nula (na primeira expressão apresentada).
As três grandezas, potência média, aparente e reativa estão relacionadas no domínio vetorial por S = P + Q com P = P < 0°, QL = QL < 90°, QC = QC < - 90°. Assim, para uma carga indutiva, a potência fasorial S é dada por S = P + jQL, enquanto para uma carga capacitiva, S é dada por S = P – JQC. Assim, se um circuito contém elementos capacitivos e indutivos, a componente reativa do triângulo (Q) será dada pela resultante da soma entre os vetores reativos (jQL + jQC), de forma que se QL > QC, o triângulo das potências se parecerá com oda esquerda na figura abaixo, mas se QC > QL, o triângulo se parecerá com o visto à direita:
O número total de watts, volts-ampères reativos, volts-ampère e o fator de potência de qualquer sistema podem ser determinados primeiramente encontrando a potência real e a potência reativa para cada ramo. A potência real total (PT) será dada pela soma das potências médias fornecidas a cada ramo, a potência reativa total (QT) será encontrada como citamos acima e a potência total aparente (ST) será encontrada pelo teorema de Pitágoras (ST = sqrt(PT² + QT²)). Por último, o fator de potência poderá ser determinado através de PT / ST.
Quando uma companhia transmite energia, um dos principais parâmetros é a intensidade da corrente nas linhas, que depende dos tipos de cargas ligadas ao sistema. Correntes mais altas resultam em maiores perdas de potência (P = I².R) nas linhas de transmissão. Além disso, altas correntes exigem o uso de condutores com maior diâmetro, aumentando a quantidade necessária de cobre, e implicando à exigência de maior capacidade de geração de energia por parte da concessionária. A partir disso, existe um empenho para manter os níveis de corrente a um mínimo necessário. Como a tensão nas linhas de um sistema de transmissão é constante, a potência aparente é diretamente proporcional à intensidade. Assim, a corrente será mínima quando a potência aparente (S) e a potência reativa total QT forem nulas. A figura a seguir mostra o efeito da diminuição de QT sobre o módulo de S, sem alterar o módulo da potência real (P). Perceba que, fazendo isso, o ângulo do FP se aproxima de 0° e, consequentemente, FP se aproxima de 1, com o circuito ficando cada vez mais resistivo nos terminais de entrada. 
A esse processo de introduzir elementos reativos (QT ou QC) para levar o fator de potência a um valor mais próximo de 1, damos o nome de correção do fator de potência. Como em geral as cargas das indústrias são indutivas (motores), o processo normalmente envolve a introdução de elementos capacitivos em paralelo com os elementos indutivos.