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Geometria Analítica
Aula 1
Prof. Nacib Mattar Jr.
Organização da Disciplina
Conteúdos
 Vetores: perspectiva geométrica
 Vetores: perspectiva algébrica
 Distâncias e ângulos
 Estudo vetorial da reta
 Estudo vetorial do plano
 Retas e planos: posições 
relativas
 Estudo das cônicas
 Estudo das quádricas
Vetores – Perspectiva 
Geométrica
Conceitos Iniciais e Módulo 
do Vetor
Grandezas Escalares
 Temperatura: 23ºC
 Tempo: 5 h
 Massa: 200 g
Grandezas Vetoriais
 Ex.: velocidade
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Vetores: módulo, direção e 
sentido
 Representação do vetor: 
segmento de reta orientado 
(setas na figura abaixo)
Vetores: módulo
 Módulo ou intensidade do vetor 
(|⃗ݒ|): comprimento da seta
 Módulo e Teorema de Pitágoras: 
exemplo
Operações – Direção, Sentido 
e Vetores Equipolentes 
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Vetores: direção
 Exemplos de cálculo da 
inclinação de um vetor (Θ):
Vetores: sentido
 Sentido: indicado pela 
orientação da seta
 Exemplos: vetores com mesmo 
módulo e direção, mas sentidos 
contrários:
.
Vetores Equipolentes
 Possuem mesmo módulo, 
direção e sentido:
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Operações – Produto por 
Escalar
Operações: produto por 
escalar
 Exemplo: vetores ⃗ݒ e 2⃗ݒ
 Se um vetor ⃗ݒ for multiplicado 
por um escalar negativo, o 
sentido do vetor resultante 
estará invertido.
 Exemplos: vetores ⃗ݒ e –⃗ݒ, ݓ e 
–ݓ:
 Dado um vetor ⃗ݒ, o vetor ݇.⃗ݒ, 
sendo ݇	 ⋲			ℝ , é sempre colinear 
(ou paralelo) ao vetor inicial.
 E também, vale a relação: 
|݇ . ݒ	| = |݇| . |⃗ݒ|
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Operações – Adição e 
Subtração
Operações: adição de vetores
Regra do Paralelogramo
 O vetor resultante da soma de 
outros dois vetores pode ser 
obtido pela Regra do 
Paralelogramo: estará sobre 
uma das diagonais
 Adição de vetores: exemplos
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Adição de vetores paralelos
 De mesmo sentido:
 De sentidos opostos:
 Subtração de vetores: ݒ1 - ݒ2  Adição do primeiro vetor com o oposto do segundo:
ݒ1	- ݒ2 = ݒ1 + (-ݒ2)
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Regra do Paralelogramo
 Exemplo: ⃗ݎ = ݑ	 - 2⃗ݒ • A partir de ⃗ݒ obtém-se 2⃗ݒ: 
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• Portanto, tem-se: 
 Exemplo: ⃗ݎ = ݑ	 - 2⃗ݒ
Digite	a	equação	aqui.
Operações – Combinação 
Linear de Vetores
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Combinação Linear de Vetores
 Exemplo 1: a partir de ݑ e ⃗ݒ, 
obter 2ݑ + 3⃗ݒ
Linear de Vetores
 O vetor 2ݑ + 3⃗ݒ é uma 
combinação linear de ݑ e ⃗ݒ
Combinação Linear de Vetores
 Exemplo 2: dados ݑ, ⃗ݒ e ݓ, 
calcular: 2ݑ – ⃗ݒ + 3ݓ
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 Vetores 2ݑ , ⃗ݒ e 3ݓ:
 Observe que: 2ݑ – ⃗ݒ + 3ݓ = 
3ݓ– ⃗ݒ	+ 2ݑ
 Vetor resultante: ⃗ݎ = 2ݑ – ⃗ݒ + 
3ݓ = 3ݓ + 2ݑ – ⃗ݒ
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