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Geometria Analítica
Aula 4
Prof. Nacib Mattar Jr
Organização da Aula
� Equação geral de um plano
� Planos no espaço tridimensional
� Equação vetorial de um plano
� Retas e planos
� Planos: ângulo, paralelismo 
e perpendicularismo
Equação Geral 
de um Plano
Equação geral de um plano
Equação geral de um plano Equação geral de um plano
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Exemplo: equação geral 
de um plano
� Plano que contém: A(1,2,3), 
B(2,–1,1) e C(0,1,5)
� Três pontos não colineares 
definem um único plano
� Verificar se os pontos 
são não colineares
Pontos A(1,2,3), B(2,–1,1) e 
C(0,1,5):
Verificação: C(0,1,5) é ponto da 
reta?
� Portanto, C não é ponto da reta: 
A, B e C não são colineares
Método rápido para verificar se 
os pontos A(1,2,3), B(2,–1,1) 
e C(0,1,5) são colineares:
Plano que contém: A(1,2,3), 
B(2,–1,1) e C(0,1,5)
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Determinar o valor do 
coeficiente d
� Substitua na equação do plano as 
coordenadas de um dos pontos. 
Por exemplo, do ponto A(1,2,3):
–8x + 0y – 4z + d = 0
–8.1 + 0.2 – 4.3 + d = 0
–8 + 0 – 12 + d = 0
– 20 + d = 0
d = 20
� Plano que contém: A(1,2,3), 
B(2,–1,1) e C(0,1,5)
–8x + 0y – 4z + 20 = 0
–8x – 4z + 20 = 0
–2x – z + 5 = 0
2x + z – 5 = 0
� Outro método para 
determinação da equação:
� Produto Misto de vetores coplanares:
Planos no Espaço 
Tridimensional
Equação z = 5: um eixo real
� Considerando-se somente o eixo 
z, a equação z = 5 representa 
o ponto P:
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Equação z = 5: dois eixos reais
� Considerando-se dois eixos, y e z, 
a equação z = 5 representa a 
reta r:
Equação z = 5: três eixos reais
� Considerando-se três eixos, x, y 
e z, a equação z = 5 representa 
o plano :
Equação z = 5: Planos coordenados 
Plano xy: z = 0
Plano xz: y = 0 Plano yz: x = 0
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Dois coeficientes nulos
� Planos cuja equação geral 
ax + by + c + d = 0 tenha 
dois dentre os coeficientes 
a, b e c nulos são paralelos 
a um dos planos coordenados: 
xy, xz ou yz
Exemplo 1
Exemplo 2 Exemplo 3
Um coeficiente nulo
� Planos cuja equação geral 
ax + by + c + d = 0 tenha um 
dentre os coeficientes a, b e c 
nulos não intersectam um dos 
eixos coordenados: x, y ou z
Exemplo 4
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� Intersecções com os eixos 
coordenados
� Determinadas anulando-se (duas 
a duas) as incógnitas na equação:
� Intersecções com os planos 
coordenados
� Determinadas anulando-se (uma 
a uma) as incógnitas na equação 
do plano:
Nenhum coeficiente nulo
� Planos cuja equação geral 
ax + by + c + d = 0 tenha 
coeficientes a, b e c não 
nulos intersectam os três 
eixos coordenados: x, y e z
Exemplo 5
� Intersecções de
com os eixos coordenados:
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� Intersecções de
com os planos coordenados:
Equação Vetorial 
de um Plano
� P pode ser escrito como 
combinação linear de : 
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Equação vetorial de um plano
� Cada combinação de valores para 
�� e ��	determina um único ponto 
do plano
� Pertencem ao plano todos os 
pontos determinados por uma 
combinação de valores de �� e ��
Exemplo: equação vetorial 
de um plano
� Plano que contém: A(1,2,3), 
B(2,–1,1) e C(0,1,5)
Determinar dois vetores 
paralelos ao plano:
� Como A, B e C não são colineares, 
não são paralelos 
entre si:
� Aplicar na equação os vetores 
e um dos pontos do plano
� Equação vetorial do plano que 
contém A(1,2,3), B(2,–1,1) 
e C(0,1,5):
ou
Equações paramétricas
� Apresentam as coordenadas 
dos pontos do plano em função 
dos parâmetro reais �� e ��
� Obtidas a partir da equação 
vetorial do plano:
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� Exemplo: plano que contém 
A(1,2,3), B(2,–1,1) e C(0,1,5)1
Retas e Planos
Reta perpendicular a um plano
� Vetor diretor (qualquer) da reta: 
paralelo aos vetores normais ao 
plano
Exemplo: reta perpendicular a 
um plano
� Os vetores � e � são paralelos 
entre si:
� Como os vetores � e � são 
paralelos entre si, a reta 
é perpendicular ao plano
Reta paralela a um plano
� Vetor diretor (qualquer) da reta: 
ortogonal aos vetores normais 
ao plano
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Exemplo: reta paralela a um 
plano
� Os vetores � e � são ortogonais 
entre si (90º):
� Como os vetores � e � são 
ortogonais entre si, a reta 
é paralela ao plano
Intersecção entre reta e plano
� A intersecção entre uma reta e 
um plano, se houver, é dada 
pelo conjunto de 
pontos pertencentes 
simultaneamente 
à reta e ao plano
� Determina-se a intersecção 
pelos pontos que solucionam 
o sistema de equações 
formado pelas equações 
da reta e do plano
Exemplo
� Equações da 
reta e do plano:
� Intersecção dada 
pela solução 
do sistema:
Solução do sistema:
� Da primeira 
equação:
� Substituindo na segunda equação:
� Substituindo na terceira equação:
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� Aplicando-se ��= –3 em t= 2�� –1 
e ��= ��: 
� Assim:
� A reta e o 
plano se 
intersectam no ponto 
Planos: Ângulos, 
Paralelismo e 
Perpendicularismo
Ângulo entre dois planos
� O ângulo � entre dois planos ∝ e 	
é dado pelo menor ângulo formado 
entre um vetor normal a ∝ e um 
vetor normal a 	
� Pode ser calculador por: � Caso particular: planos 
paralelos:
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� Caso particular: planos 
perpendiculares:
Exemplo
Intersecção entre dois planos
� A intersecção entre 
dois planos, se 
houver, é dada pelo 
conjunto de pontos 
pertencentes 
simultaneamente 
aos dois planos
� Determina-se a intersecção 
pelos pontos que solucionam 
o sistema de equações 
formado pelas equações 
de ambos os planos
Exemplo
� A intersecção será determinada 
pelo sistema de equações:
� Da segunda equação tem-se:
Substituindo na 
primeira equação:
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Substituindo na 
segunda equação:
A intersecção entre 
é dada por:
Fazendo-se x = t: