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Equações do Plano

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5. Planos 
 
5.1 Equações do plano 
 
Equação geral do plano: 0 dczbyax onde a, b e c são as componentes do 
vetor normal n

, 000 czbyaxd  e 0. APn

, PA, . 
 
 
 
Equação vetorial do plano: vtutAP

21  onde u

 e v

 são paralelos a  , 
PA, e Rtt 21, . 
 
 
 
Equações paramétricas do plano: 








22110
22110
22110
ctctzz
btbtyy
atatxx
 
 
Produto misto: 
123312231213132321
333
222
111
).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
wvu 

 
onde ) , ,( 111 zyxu 

, ) , ,( 222 zyxv 

 e ) , ,( 333 zyxw 

. 
 
Ângulo entre dois planos: 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn


 , com  900  . 
 
1. Determine uma equação geral cartesiana do plano  . Considere o vetor n

 
normal a  e o ponto A pertencente a  onde )2 ,5 ,3(n

 e )4 ,2 ,1(A . 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Para escrevermos uma equação geral do plano  vamos considerar a expressão 
0. APn

 
Sabemos que o vetor AP pode ser escrito como OAOP  . Sabemos também que 
)2 ,5 ,3(n

. Logo 
0)).(2 ,5 ,3( OAOP 
Como P é um ponto qualquer de  , ) , ,( zyxOP  e como )4 ,2 ,1(OA , 
)4 ,2 ,1(A . Substituindo OP por ) , ,( zyx e OA por )4 ,2 ,1( , temos 
0))4 ,2 ,1() , ,).((2 ,5 ,3( zyx 
Vamos agora subtrair as componentes x-1, y-2 e z-4 
0)4 ,2 ,1).(2 ,5 ,3(  zyx 
Agora precisamos multiplicar os vetores )2 ,5 ,3( e )4 ,2 ,1(  zyx 
0)4.(2)2.(5)1.(3  zyx 
Aplicando a propriedade distributiva, temos 
08210533  zyx 
Finalmente, vamos somar os termos semelhantes. Nesse caso, -3-10-8 
021253  zyx 
Portanto, uma equação geral do plano  é 021253  zyx . 
 
2. Considere o Exercício 1. Encontre uma equação geral para  substituindo a, b e 
c pelas componentes do vetor normal n

 e calculando o valor de d a partir da 
relação 000 czbyaxd  . 
Resolução: 
Como )2 ,5 ,3(n

, temos a=3, b=5 e c=2. Substituindo esses valores na expressão 
0 dczbyax , temos 
0253  dzyx 
Para que possamos encontrar o valor de d, vamos utilizar a relação 
 
 
000 czbyaxd  
Já sabemos quais são os valores de a, b e c. Quanto aos valores de x0, y0 e z0, 
vamos substituí-los pelas coordenadas do ponto )4 ,2 ,1(A , ou seja, x0=1, y0=2 e 
z0=4. Portanto 
4.22.51.3 d 
Efetuando as respectivas multiplicações, temos 
8103 d 
que resulta em 
21d 
Logo, a equação geral do plano  é dada por 
021253  zyx 
 
3. Considere os pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C . Determine uma 
equação geral do plano  que contém os pontos A, B e C. 
 
 
 
Resolução: 
Precisamos, inicialmente, de um vetor n

 normal ao plano  . Podemos fazer 
ABu 

 e ACv 

. Como u

 e v

 são paralelos ao plano  , o vetor vun

 é 
normal a  . Logo, vamos calcular o produto vetorial vu

 para que possamos 
encontrar o vetor n

. 
O vetor u

 é dado por 
ABu 

 
Logo 
ABu 

 
Substituindo B por )4 ,1 ,3( e A por )2 ,6 ,2( , temos 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( u

 
que resulta em 
)24 ,61 ,23( u

 
donde 
 
 
)2 ,5 ,1( u

 
Para encontrarmos o vetor v

, vamos fazer 
ACv 

 
ou, equivalentemente, 
ACv 

 
Como )3 ,2 ,5(C e )2 ,6 ,2(A , temos 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( v

 
Vamos subtrair as respectivas componentes 
)23 ,62 ,25( v

 
Logo 
)1 ,4 ,3( v

 
Já temos os vetores )2 ,5 ,1( u

 e )1 ,4 ,3( v

. O produto vetorial vu

 é dado 
por 
kvuvujvuvuivuvu
vvv
uuu
kji
vu )()()( 122131132332
321
321 

 
Substituindo as respectivas componentes de u

 e v

, temos 
kji
kji
vu ))3).(5()4).(1(())1).(1()3).(2(())4).(2()1).(5((
143
251 



Pre
cisamos efetuar as multiplicações indicadas acima 
kjivu )154()16()85( 

 
Vamos agora somar os termos que estão entre parênteses 
kjivu 1153 

 
Logo, o vetor n

 normal ao plano  é dado por 
)11 ,5 ,3(n

 
Podemos agora utilizar a expressão 
0. APn

 
para encontrarmos uma equação geral para o plano  , pois )11 ,5 ,3(n

, 
)2 ,6 ,2(A e ) , ,( zyxP  . 
Sabemos que 0. APn

 é equivalente a 
0).( OAOPn

 
Logo 
0))2 ,6 ,2() , ,).((11 ,5 ,3( zyx 
Subtraindo as respectivas componentes, temos 
0)2 ,6 ,2).(11 ,5 ,3(  zyx 
Multiplicando )11 ,5 ,3( por )2 ,6 ,2(  zyx , temos 
0)2.(11)6.(5)2.(3  zyx 
Que resulta em 
0221130563  zyx 
Somando os termos semelhantes, temos 
0581153  zyx 
que é a equação geral do plano  . 
 
 
 
4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal n

 
e calculando o valor de d a partir da relação 000 czbyaxd  . 
Resolução 
Sabemos que a=3, b=5 e c=11, pois )11 ,5 ,3(n

. Vamos substituindo esses valores 
na expressão 0 dczbyax 
01153  dzyx 
O próximo passo é encontrarmos o valor de d utilizando a relação 
000 czbyaxd  
Nese caso, a=3, b=5 e c=11 e x0=2, y0=6 e z0=2, pois )2 ,6 ,2(A . 
Logo 
2.116.52.3 d 
Efetuando as respectivas multiplicações, temos 
22306 d 
que resulta em 
58d 
Logo, a equação geral do plano  é dada por 
0581153  zyx 
 
5. Encontre uma equação vetorial do plano  que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , 
)4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dado no Exercício 3. 
Resolução: 
Considere ABu 

. Como 
ABu 

 
temos 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( u

 
que resulta em 
)24 ,61 ,23( u

 
donde 
)2 ,5 ,1( u

 
Vamos considerar 
ACv 

 
Sabemos que 
ACv 

 
Logo 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( v

 
donde 
)23 ,62 ,25( v

 
Portanto 
)1 ,4 ,3( v

 
Como já temos os vetores u

 e v

 e o ponto )2 ,6 ,2(A , a equação vetorial do 
plano pode ser facilmente obtida. Vamos substituir A, u

 e v

 na expressão 
vtutAP

21  
o que resulta em 
)1 ,4 ,3()2 ,5 ,1()2 ,6 ,2() , ,( 21  ttzyx 
Multiplicando t1 por )2 ,5 ,1(  e t2 por )1 ,4 ,3(  , temos 
)1 ,4 ,3()2 ,5 ,1()2 ,6 ,2() , ,( 222111 ttttttzyx  
Vamos agora somar as respectivas componentes 
)22 ,456 ,32() , ,( 212121 ttttttzyx  
 
 
que é a equação vetorial de  . 
 
6. Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano  que passa 
pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C apresentados no Exercício 3. 
Resolução: 
Sabemos que o produto misto ).( wvu

 é calculado a partir do determinante da 
matriz formada pelas componentes dos vetores u

, v

 e w

: 
123312231213132321
333
222
111
).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
wvu 

 
Precisamos, então, definir a partir dos pontos A, B, C e P, os vetores u

, v

 e w

. É 
importante ressaltar que P é um ponto pertencente a  tal que ) , ,( zyxP  . 
Vamos fazer APu 

, ABv 

 e ACw 

. 
O vetor APu 

 é obtido como segue: 
APu 

 
)2 ,6 ,2() , ,(  zyxu

 
)2 ,6 ,2(  zyxu

 
Para encontrarmos o vetor ABv 

, basta fazer: 
ABv 

 
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( v

 
)24 ,61 ,23( v

 
)2 ,5 ,1( v

 
O vetor ACw 

 também pode ser facilmente obtido 
ACw 

 
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( w

 
)23 ,62 ,25( w

 
)1 ,4 ,3( w

 
Como já temos os vetores u

, v

 e w

, podemos calcular o produto misto ).( wvu

 
e, para obtermos a equação geral do plano, igualar esse produto misto a zero. 
0
143
251
262
).( 




zyx
wvu

 
Que corresponde a 
0)3)(5)(2()1)(1)(6()4)(2)(2( 
)4)(1)(2()3)(2)(6()1)(5)(2().(


zyx
zyxwvu

 
Vamos agora efetuar as multiplicações indicadas 
03015616884366105  zyxzyx 
Somando os termos semelhantes, temos 
0581153  zyx 
que é a equação geral do plano  . 
 
7. Considere o plano  definido por 020254  zyx . Determine os pontos A, 
B e C de intersecção do plano  com os eixos coordenados x, y e z, 
respectivamente. 
Resolução: 
 
 
O ponto de intersecçãodo plano  com o eixo x ocorre quando y=0 e z=0. Logo, 
vamos substituir esses valores na equação 
020254  zyx 
o que resulta em 
020)0(2)0(54 x 
Multiplicando 5 por 0 e 2 por 0, temos 
020004 x 
Logo 
0204 x 
Somando 20 nos dois membros da equação 
20020204 x 
Donde 
204 x 
Dividindo ambos os membros por 4, temos 
4
20
4
4

x
 
Portanto 
5x 
Logo, o ponto A de intersecção do plano  com o eixo x é igual a )0 ,0 ,5(A . 
Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano  com o eixo y vamos 
considerar agora x=0 e z=0. Substituindo esses valores na equação 
020254  zyx 
temos 
020)0(25)0(4  y 
Os cálculos para encontrarmos o valor de y são análogos aos realizados 
anteriormente 
020050  y 
0205 y 
205 y 
5
20
y 
4y 
Portanto, o ponto B de intersecção do plano  com o eixo y é igual a )0 ,4 ,0(B . 
O ponto de intersecção do plano  com o eixo z ocorre quando x=0 e y=0. Logo 
0202)0(5)0(4  z 
020200  z 
0202 z 
202 z 
2
20
z 
10z 
Assim, o ponto C de intersecção do plano  com o eixo z é igual a )01 ,0 ,0(C . 
A figura a seguir apresenta os pontos A, B e C onde o plano  intercepta os eixos 
coordenados x, y e z, respectivamente. 
 
 
 
 
 
8. Seja o plano  definido por 020254  zyx conforme o Exercício 7. 
Determine as intersecções do plano  com os planos xy, yz e xz. 
Resolução: 
O plano  intercepta o plano xy quando z=0. 
020254  zyx 
Logo 
020)0(254  yx 
020054  yx 
02054  yx 
2054  yx 
O plano  intercepta o plano yz quando x=0. 
020254  zyx 
Logo 
02025)0(4  zy 
020250  zy 
02025  zy 
2025  zy 
O plano  intercepta o plano xz quando y=0. 
020254  zyx 
Logo 
0202)0(54  zx 
020204  zx 
02024  zx 
2024  zx 
 
 
 
 
 
 
9. Encontre um sistema de equações paramétricas do plano  que passa pelos 
pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dados no Exercício 3. 
Resolução: 
A partir dos pontos A, B e C, precisamos definir os vetores diretores do plano  : 
O primeiro vetor pode ser ABu 

: 
ABAB  
)2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( AB 
)2 ,5 ,1( AB 
O segundo vetor diretor pode ser ACv 

: 
ACAC  
)2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( AC 
)1 ,4 ,3( AC 
Como as equações paramétricas são dadas por 








22110
22110
22110
ctctzz
btbtyy
atatxx
 
basta substituirmos x0, y0 e z0 pelas respectivas coordenadas do ponto A, a1, b1 e c1 
pelas respectivas coordenadas do vetor u

 e a2, b2 e c2 pelas respectivas 
coordenadas do vetor v

: 








)1()2()2(
)4()5()6(
)3()1()2(
21
21
21
ttz
tty
ttx
 
Logo, as equações paramétricas de  são 
 
 








21
21
21
22
456
32
ttz
tty
ttx
 
 
10. Seja r a reta dada pelas equações 








tz
ty
tx
21
5
32
. Verifique se r é paralela ao plano 
 dado por )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
Resolução: 
 
)21 ,5 ,32() , ,(: tttzyxr  
Vetor diretor: )2 ,1 ,3(b

 
 
Plano: )2 ,1 ,2()3 ,1 ,1()3 ,3 ,1() , ,(: 21 ttzyx  
 
Donde 
)3 ,1 ,1(u

 
)2 ,1 ,2(v

 
 
212
311
kji
vun


 
 
12212
11311
jikji
vun


 
 
kijkji
jikji
vun



23262
12212
11311  
 
kji
jikji
vun



 4
12212
11311 
 
)1 ,4 ,1( n

 
 
Ortogonalidade: 
 
)2 ,1 ,3(b

 
)1 ,4 ,1( n

 
 
 
 
)1 ,4 ,1).(2 ,1 ,3( nb

 
)1).(2()4).(1()1).(3( nb

 
243  nb

 
1 nb

 
 
não são ortogonais 
 
11. Considerando o Exercício 10, verifique se r está contida no plano  . 
Resolução: 
Para que uma reta esteja contida no plano, essa reta deve ser paralela ao plano e é 
preciso ainda mostrar que dois pontos quaisquer da reta pertencem ao plano. Como 
r e  não são paralelos, a reta r não está contida no plano . 
 
12. Verifique se o ponto )3 ,2 ,4(A pertence ao plano 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  definido no Exercício 10. 
Resolução: 
Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano, basta substituirmos as 
coordenadas x, y e z desse ponto na equação do plano e verificarmos se os 
parâmetros t1 e t2 satisfazem a equação do plano. Nesse caso, temos 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
Sendo assim, 
)233 ,3 ,21()3 ,2 ,4( 212121 tttttt  
donde 








3233
23
421
21
21
21
tt
tt
tt
 
Agrupando os termos semelhantes, temos 








3323
32
142
21
21
21
tt
tt
tt
 
Ou, equivalentemente, 








023
1
32
21
21
21
tt
tt
tt
 
Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas incógnitas para 
encontrarmos, caso existam, os parâmetros t1 e t2 que satisfazem o sistema de 
equações. Podemos resolver, inicialmente, o sistema formado pelas duas primeiras 
equações. Caso exista solução, devemos substituir t1 e t2 na terceira equação para, 
enfim, sabermos se o sistema possui solução e, consequentemente, se o ponto 
)3 ,2 ,4(A pertence ao plano . Logo 





1
32
21
21
tt
tt
 
Multiplicado a segunda equação por -1 temos 





1
32
21
21
tt
tt
 
 
 
Vamos agora somar os termos semelhantes 
40 
1
32
2
21
21






t
tt
tt
 
Logo, 42 t . Podemos substituir esse valor na equação 121  tt , o que resulta 
em 
121  tt 
141 t 
411 t 
51 t 
Finalmente, para sabermos se o ponto A pertence ao plano , vamos substituir 
51 t e 42 t na equação 023 21  tt . 
023 21  tt 
0)4(2)5(3  
0815  
07  
Como 07  , podemos concluir que o ponto )3 ,2 ,4(A não pertence ao plano 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
 
13. Encontre o ângulo formado entre os planos 05:  zyx e 
01232:  zyx . 
Resolução: 
O ângulo entre dois planos é dado pelo menor ângulo entre os vetores normais 
desses dois planos. A fórmula a ser utilizada é a seguinte 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn


 . 
O vetor normal ao plano  é )1 ,1 ,1(1 n

 e o vetor normal ao plano  é )1 ,3 ,2(2 n

. 
Substituindo esses vetores na expressão 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn


 
temos 
)1 ,3 ,2(.)1 ,1 ,1(
)1 ,3 ,2).(1 ,1 ,1(
)cos(  
222222 132.111
)1).(1()3).(1()2).(1(
)cos(


 
194.111
132
)cos(


 
14.3
6
)cos(  
4807,6
6
)cos(  
9258,0)cos(  
 
 
)9258,0arccos( 
21,22 
Nesse caso, o ângulo entre os planos 05:  zyx e 01232:  zyx é 
igual a 22,21°.

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