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5. Planos 5.1 Equações do plano Equação geral do plano: 0 dczbyax onde a, b e c são as componentes do vetor normal n , 000 czbyaxd e 0. APn , PA, . Equação vetorial do plano: vtutAP 21 onde u e v são paralelos a , PA, e Rtt 21, . Equações paramétricas do plano: 22110 22110 22110 ctctzz btbtyy atatxx Produto misto: 123312231213132321 333 222 111 ).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx zyx zyx zyx wvu onde ) , ,( 111 zyxu , ) , ,( 222 zyxv e ) , ,( 333 zyxw . Ângulo entre dois planos: 21 21 . . )cos( nn nn , com 900 . 1. Determine uma equação geral cartesiana do plano . Considere o vetor n normal a e o ponto A pertencente a onde )2 ,5 ,3(n e )4 ,2 ,1(A . Resolução: Para escrevermos uma equação geral do plano vamos considerar a expressão 0. APn Sabemos que o vetor AP pode ser escrito como OAOP . Sabemos também que )2 ,5 ,3(n . Logo 0)).(2 ,5 ,3( OAOP Como P é um ponto qualquer de , ) , ,( zyxOP e como )4 ,2 ,1(OA , )4 ,2 ,1(A . Substituindo OP por ) , ,( zyx e OA por )4 ,2 ,1( , temos 0))4 ,2 ,1() , ,).((2 ,5 ,3( zyx Vamos agora subtrair as componentes x-1, y-2 e z-4 0)4 ,2 ,1).(2 ,5 ,3( zyx Agora precisamos multiplicar os vetores )2 ,5 ,3( e )4 ,2 ,1( zyx 0)4.(2)2.(5)1.(3 zyx Aplicando a propriedade distributiva, temos 08210533 zyx Finalmente, vamos somar os termos semelhantes. Nesse caso, -3-10-8 021253 zyx Portanto, uma equação geral do plano é 021253 zyx . 2. Considere o Exercício 1. Encontre uma equação geral para substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal n e calculando o valor de d a partir da relação 000 czbyaxd . Resolução: Como )2 ,5 ,3(n , temos a=3, b=5 e c=2. Substituindo esses valores na expressão 0 dczbyax , temos 0253 dzyx Para que possamos encontrar o valor de d, vamos utilizar a relação 000 czbyaxd Já sabemos quais são os valores de a, b e c. Quanto aos valores de x0, y0 e z0, vamos substituí-los pelas coordenadas do ponto )4 ,2 ,1(A , ou seja, x0=1, y0=2 e z0=4. Portanto 4.22.51.3 d Efetuando as respectivas multiplicações, temos 8103 d que resulta em 21d Logo, a equação geral do plano é dada por 021253 zyx 3. Considere os pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C . Determine uma equação geral do plano que contém os pontos A, B e C. Resolução: Precisamos, inicialmente, de um vetor n normal ao plano . Podemos fazer ABu e ACv . Como u e v são paralelos ao plano , o vetor vun é normal a . Logo, vamos calcular o produto vetorial vu para que possamos encontrar o vetor n . O vetor u é dado por ABu Logo ABu Substituindo B por )4 ,1 ,3( e A por )2 ,6 ,2( , temos )2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( u que resulta em )24 ,61 ,23( u donde )2 ,5 ,1( u Para encontrarmos o vetor v , vamos fazer ACv ou, equivalentemente, ACv Como )3 ,2 ,5(C e )2 ,6 ,2(A , temos )2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( v Vamos subtrair as respectivas componentes )23 ,62 ,25( v Logo )1 ,4 ,3( v Já temos os vetores )2 ,5 ,1( u e )1 ,4 ,3( v . O produto vetorial vu é dado por kvuvujvuvuivuvu vvv uuu kji vu )()()( 122131132332 321 321 Substituindo as respectivas componentes de u e v , temos kji kji vu ))3).(5()4).(1(())1).(1()3).(2(())4).(2()1).(5(( 143 251 Pre cisamos efetuar as multiplicações indicadas acima kjivu )154()16()85( Vamos agora somar os termos que estão entre parênteses kjivu 1153 Logo, o vetor n normal ao plano é dado por )11 ,5 ,3(n Podemos agora utilizar a expressão 0. APn para encontrarmos uma equação geral para o plano , pois )11 ,5 ,3(n , )2 ,6 ,2(A e ) , ,( zyxP . Sabemos que 0. APn é equivalente a 0).( OAOPn Logo 0))2 ,6 ,2() , ,).((11 ,5 ,3( zyx Subtraindo as respectivas componentes, temos 0)2 ,6 ,2).(11 ,5 ,3( zyx Multiplicando )11 ,5 ,3( por )2 ,6 ,2( zyx , temos 0)2.(11)6.(5)2.(3 zyx Que resulta em 0221130563 zyx Somando os termos semelhantes, temos 0581153 zyx que é a equação geral do plano . 4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal n e calculando o valor de d a partir da relação 000 czbyaxd . Resolução Sabemos que a=3, b=5 e c=11, pois )11 ,5 ,3(n . Vamos substituindo esses valores na expressão 0 dczbyax 01153 dzyx O próximo passo é encontrarmos o valor de d utilizando a relação 000 czbyaxd Nese caso, a=3, b=5 e c=11 e x0=2, y0=6 e z0=2, pois )2 ,6 ,2(A . Logo 2.116.52.3 d Efetuando as respectivas multiplicações, temos 22306 d que resulta em 58d Logo, a equação geral do plano é dada por 0581153 zyx 5. Encontre uma equação vetorial do plano que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dado no Exercício 3. Resolução: Considere ABu . Como ABu temos )2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( u que resulta em )24 ,61 ,23( u donde )2 ,5 ,1( u Vamos considerar ACv Sabemos que ACv Logo )2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( v donde )23 ,62 ,25( v Portanto )1 ,4 ,3( v Como já temos os vetores u e v e o ponto )2 ,6 ,2(A , a equação vetorial do plano pode ser facilmente obtida. Vamos substituir A, u e v na expressão vtutAP 21 o que resulta em )1 ,4 ,3()2 ,5 ,1()2 ,6 ,2() , ,( 21 ttzyx Multiplicando t1 por )2 ,5 ,1( e t2 por )1 ,4 ,3( , temos )1 ,4 ,3()2 ,5 ,1()2 ,6 ,2() , ,( 222111 ttttttzyx Vamos agora somar as respectivas componentes )22 ,456 ,32() , ,( 212121 ttttttzyx que é a equação vetorial de . 6. Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C apresentados no Exercício 3. Resolução: Sabemos que o produto misto ).( wvu é calculado a partir do determinante da matriz formada pelas componentes dos vetores u , v e w : 123312231213132321 333 222 111 ).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx zyx zyx zyx wvu Precisamos, então, definir a partir dos pontos A, B, C e P, os vetores u , v e w . É importante ressaltar que P é um ponto pertencente a tal que ) , ,( zyxP . Vamos fazer APu , ABv e ACw . O vetor APu é obtido como segue: APu )2 ,6 ,2() , ,( zyxu )2 ,6 ,2( zyxu Para encontrarmos o vetor ABv , basta fazer: ABv )2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( v )24 ,61 ,23( v )2 ,5 ,1( v O vetor ACw também pode ser facilmente obtido ACw )2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( w )23 ,62 ,25( w )1 ,4 ,3( w Como já temos os vetores u , v e w , podemos calcular o produto misto ).( wvu e, para obtermos a equação geral do plano, igualar esse produto misto a zero. 0 143 251 262 ).( zyx wvu Que corresponde a 0)3)(5)(2()1)(1)(6()4)(2)(2( )4)(1)(2()3)(2)(6()1)(5)(2().( zyx zyxwvu Vamos agora efetuar as multiplicações indicadas 03015616884366105 zyxzyx Somando os termos semelhantes, temos 0581153 zyx que é a equação geral do plano . 7. Considere o plano definido por 020254 zyx . Determine os pontos A, B e C de intersecção do plano com os eixos coordenados x, y e z, respectivamente. Resolução: O ponto de intersecçãodo plano com o eixo x ocorre quando y=0 e z=0. Logo, vamos substituir esses valores na equação 020254 zyx o que resulta em 020)0(2)0(54 x Multiplicando 5 por 0 e 2 por 0, temos 020004 x Logo 0204 x Somando 20 nos dois membros da equação 20020204 x Donde 204 x Dividindo ambos os membros por 4, temos 4 20 4 4 x Portanto 5x Logo, o ponto A de intersecção do plano com o eixo x é igual a )0 ,0 ,5(A . Para encontrarmos o ponto de intersecção do plano com o eixo y vamos considerar agora x=0 e z=0. Substituindo esses valores na equação 020254 zyx temos 020)0(25)0(4 y Os cálculos para encontrarmos o valor de y são análogos aos realizados anteriormente 020050 y 0205 y 205 y 5 20 y 4y Portanto, o ponto B de intersecção do plano com o eixo y é igual a )0 ,4 ,0(B . O ponto de intersecção do plano com o eixo z ocorre quando x=0 e y=0. Logo 0202)0(5)0(4 z 020200 z 0202 z 202 z 2 20 z 10z Assim, o ponto C de intersecção do plano com o eixo z é igual a )01 ,0 ,0(C . A figura a seguir apresenta os pontos A, B e C onde o plano intercepta os eixos coordenados x, y e z, respectivamente. 8. Seja o plano definido por 020254 zyx conforme o Exercício 7. Determine as intersecções do plano com os planos xy, yz e xz. Resolução: O plano intercepta o plano xy quando z=0. 020254 zyx Logo 020)0(254 yx 020054 yx 02054 yx 2054 yx O plano intercepta o plano yz quando x=0. 020254 zyx Logo 02025)0(4 zy 020250 zy 02025 zy 2025 zy O plano intercepta o plano xz quando y=0. 020254 zyx Logo 0202)0(54 zx 020204 zx 02024 zx 2024 zx 9. Encontre um sistema de equações paramétricas do plano que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dados no Exercício 3. Resolução: A partir dos pontos A, B e C, precisamos definir os vetores diretores do plano : O primeiro vetor pode ser ABu : ABAB )2 ,6 ,2()4 ,1 ,3( AB )2 ,5 ,1( AB O segundo vetor diretor pode ser ACv : ACAC )2 ,6 ,2()3 ,2 ,5( AC )1 ,4 ,3( AC Como as equações paramétricas são dadas por 22110 22110 22110 ctctzz btbtyy atatxx basta substituirmos x0, y0 e z0 pelas respectivas coordenadas do ponto A, a1, b1 e c1 pelas respectivas coordenadas do vetor u e a2, b2 e c2 pelas respectivas coordenadas do vetor v : )1()2()2( )4()5()6( )3()1()2( 21 21 21 ttz tty ttx Logo, as equações paramétricas de são 21 21 21 22 456 32 ttz tty ttx 10. Seja r a reta dada pelas equações tz ty tx 21 5 32 . Verifique se r é paralela ao plano dado por )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx . Resolução: )21 ,5 ,32() , ,(: tttzyxr Vetor diretor: )2 ,1 ,3(b Plano: )2 ,1 ,2()3 ,1 ,1()3 ,3 ,1() , ,(: 21 ttzyx Donde )3 ,1 ,1(u )2 ,1 ,2(v 212 311 kji vun 12212 11311 jikji vun kijkji jikji vun 23262 12212 11311 kji jikji vun 4 12212 11311 )1 ,4 ,1( n Ortogonalidade: )2 ,1 ,3(b )1 ,4 ,1( n )1 ,4 ,1).(2 ,1 ,3( nb )1).(2()4).(1()1).(3( nb 243 nb 1 nb não são ortogonais 11. Considerando o Exercício 10, verifique se r está contida no plano . Resolução: Para que uma reta esteja contida no plano, essa reta deve ser paralela ao plano e é preciso ainda mostrar que dois pontos quaisquer da reta pertencem ao plano. Como r e não são paralelos, a reta r não está contida no plano . 12. Verifique se o ponto )3 ,2 ,4(A pertence ao plano )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx definido no Exercício 10. Resolução: Para sabermos se um ponto pertence ou não a um plano, basta substituirmos as coordenadas x, y e z desse ponto na equação do plano e verificarmos se os parâmetros t1 e t2 satisfazem a equação do plano. Nesse caso, temos )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx . Sendo assim, )233 ,3 ,21()3 ,2 ,4( 212121 tttttt donde 3233 23 421 21 21 21 tt tt tt Agrupando os termos semelhantes, temos 3323 32 142 21 21 21 tt tt tt Ou, equivalentemente, 023 1 32 21 21 21 tt tt tt Precisamos agora resolver o sistema de três equações e duas incógnitas para encontrarmos, caso existam, os parâmetros t1 e t2 que satisfazem o sistema de equações. Podemos resolver, inicialmente, o sistema formado pelas duas primeiras equações. Caso exista solução, devemos substituir t1 e t2 na terceira equação para, enfim, sabermos se o sistema possui solução e, consequentemente, se o ponto )3 ,2 ,4(A pertence ao plano . Logo 1 32 21 21 tt tt Multiplicado a segunda equação por -1 temos 1 32 21 21 tt tt Vamos agora somar os termos semelhantes 40 1 32 2 21 21 t tt tt Logo, 42 t . Podemos substituir esse valor na equação 121 tt , o que resulta em 121 tt 141 t 411 t 51 t Finalmente, para sabermos se o ponto A pertence ao plano , vamos substituir 51 t e 42 t na equação 023 21 tt . 023 21 tt 0)4(2)5(3 0815 07 Como 07 , podemos concluir que o ponto )3 ,2 ,4(A não pertence ao plano )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx . 13. Encontre o ângulo formado entre os planos 05: zyx e 01232: zyx . Resolução: O ângulo entre dois planos é dado pelo menor ângulo entre os vetores normais desses dois planos. A fórmula a ser utilizada é a seguinte 21 21 . . )cos( nn nn . O vetor normal ao plano é )1 ,1 ,1(1 n e o vetor normal ao plano é )1 ,3 ,2(2 n . Substituindo esses vetores na expressão 21 21 . . )cos( nn nn temos )1 ,3 ,2(.)1 ,1 ,1( )1 ,3 ,2).(1 ,1 ,1( )cos( 222222 132.111 )1).(1()3).(1()2).(1( )cos( 194.111 132 )cos( 14.3 6 )cos( 4807,6 6 )cos( 9258,0)cos( )9258,0arccos( 21,22 Nesse caso, o ângulo entre os planos 05: zyx e 01232: zyx é igual a 22,21°.
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