Relatório: Estudo do momento de inércia de sistemas discretos pelo método científico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL A – TURMA A
PRÁTICA 6: ESTUDO DO MOMENTO DE INÉRCIA DE SISTEMAS DISCRETOS PELO MÉTODO CIENTÍFICO
FELIPE TETSUO OHASHI RA: 595942
FRANCO NUNES DOS SANTOS RA: 727723
RENAN BARTHUS RA: 510408
SÃO CARLOS,
2017
RESUMO
O principal objetivo deste relatório foi verificar experimentalmente a segunda lei de Newton, ou Princípio Fundamental da Dinâmica, relacionado ao momento de inércia de sistemas discretos. Por sua vez, o momento de inércia de sistemas discretos está relacionado com a diferença entre o sistema total (com peças) e o sistema vazio (sem peças). Os sistemas total e vazio pode ser verificado experimentalmente pelo tempo de queda de uma massa suspensa, variando-se os conjuntos de peças presentes no sistema girante. A partir disso construiu-se gráficos com as variáveis mais importantes, pelo método visual, para determinar os coeficientes presentes na equação empírica (k = 1 e n = 2). Por fim, pôde-se descrever a equação empírica que envolve o momento de inércia e chegar a uma concordância de 95% com a constante adimensional obtida.
 
OBJETIVO
Os objetivos para esta prática experimental baseiam-se em medir o momento de inércia de sistemas discretos, calcular quais variáveis envolvidas nas medições são mais relevantes para a determinação da incerteza de medições do momento de inércia de sistemas discretos e determinar empiricamente a relação entre o momento de inércia, a massa e a distribuição de massa de sistemas discretos pelo método científico.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Observam-se vários tipos de movimento cotidianamente. São veículos motorizados acelerando, objetos e pessoas se deslocando constantemente. Basicamente, todas essas alterações no movimento são determinadas pela força resultante e pela massa dos corpos. A segunda lei de Isaac Newton (1643 – 1727), ou Princípio Fundamental da Dinâmica, é o que relaciona as grandezas que podem alterar um movimento. [1: A Dinâmica é uma das grandes áreas da Física que se preocupa em estudar as causas dos movimentos e seus possíveis efeitos. ]
De acordo com ela, define-se o momento linear de um corpo como sendo o produto de sua massa total (a somatória das massas de todas as partículas envolvidas) pela sua velocidade, ou, no caso em que a massa seja constante, a força aplicada a um objeto é igual à massa desse multiplicado por sua aceleração. Matematicamente temos:
Desse modo, pode-se considerar que a massa m está associada à dificuldade para alterar a quantidade de movimento do corpo. Por exemplo, há dois veículos em uma mesma rua plana; o primeiro é um fusca e o segundo um caminhão. A grande diferença entre eles está na massa, já que o caminhão é muito mais “pesado” do que o fusca. Para fazer o caminhão se movimentar, ou seja, para aumentar sua velocidade, é necessária uma força muito maior do que a necessária para o fusca se movimentar com a mesma aceleração. É possível empurrar o fusca com as próprias mãos e até mesmo movê-lo com certa facilidade. Contudo, dificilmente conseguir-se-á mover o caminhão dessa forma. Logo, conclui-se que quanto maior a inércia de um corpo, maior deverá ser a força para acelerá-lo.
Na área da Dinâmica, existe uma grandeza física associada à inércia de rotação. Essa grandeza é denominada por momento de inércia. Assim, como um corpo massivo apresenta sua tendência de permanecer em seu estado inicial de movimento com uma velocidade constante, que inclusive pode ser zero (como no caso acima), também existe uma resistência à mudança no movimento rotacional. Essa resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como momento de inércia do corpo. [2: Velocidade angular é a grandeza que representa a rapidez do giro. Ela pode ser definida como a razão entre a variação angular em um intervalo de tempo.]
O momento de inércia (I) depende do corpo e do eixo em torno do qual está sendo executada a rotação. Matematicamente temos:
Segundo a equação anterior, tem-se que o momento de inércia é a somatória do produto das massas das partículas envolvidas pelas distâncias ao eixo de rotação. Entretanto, o momento de inércia de uma única partícula pode ser escrito pela equação da seguinte forma:
em que M corresponde a sua massa, r à distância até o eixo de rotação, C é uma constante adimensional e os expoentes k e n são números inteiros – são coeficientes angularess de uma dependência linear que o momento de inércia possui com a massa e com a distância até o eixo de rotação. Assim, para uma generalização de n partículas através do princípio de superposição, o momento de inércia total é dado por:[3: Segundo o princípio de superposição, o efeito global de um conjunto de ações é igual à soma dos efeitos individuais de cada ação.]
Num sistema experimental, para obtenção de momentos de inércia de sistemas discretos (isolados), supondo que o momento de inércia é proveniente apenas do sistema girante, aplicando-se a segunda lei de Newton para a massa suspensa m, para quando a mesma estiver a uma altura h do solo, tem-se a equação para o movimento de queda vertical:
em que m . g é a força peso que a massa suspensa estará submetida e T é a tensão no fio que é responsável pelo movimento do sistema girante.
A rotação do sistema girante tem origem, justamente, na tensão que o fio produz no carretel, originando um torque nesse sistema. Essas grandezas podem ser relacionadas da seguinte forma:
 
em que Ftangencial é a força tangencial responsável pelo torque, D/2 é o raio do carretel, que é o braço de alavanca do sistema girante, e α = é a aceleração angular.
Considerando, ainda, que a massa suspensa m descreve um movimento uniformemente acelerado, partindo do repouso, a aceleração da massa é:
Logo, tendo como base as equações anteriores, é possível afirmar que o momento de inércia total (IT) do sistema girante é dado por:
Isso significa dizer que, medindo-se uma altura h de queda e o tempo t de queda de uma massa suspensa m, pode-se determinar o momento de inércia do sistema. 
Como é possível obter-se o momento de inércia “com” e “sem” corpos a serem estudados, pela validade do princípio de superposição, pode-se chegar à seguinte relação:
Em que IT é o momento de inércia total do sistema, Ic é o momento de inércia do sistema discreto de corpos e Is é o momento de inércia do sistema girante vazio.
MATERIAL UTILIZADO
Sistema de medição do momento de inércia;
5 conjuntos com corpos de diferentes massas; 
Trena (marca Worker 5M) com resolução de 0,1 m;
Cronômetro manual (Kenko KK – 613D);
Balança mecânica (marca JB) com resolução de 0,2 g;
Massa para suspensão;
Paquímetro (marca Kingtools) com resolução de 0,02 mm;
Papéis de gráfico di-log e milimetrado.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O procedimento experimental consistiu, primeiramente, em medir o tempo t, por três vezes, da altura (de 2,11 m) da queda da massa suspensa (de 70,6 g) para o sistema vazio. A partir da média do tempo de queda da massa suspensa e da medição do diâmetro D do carretel do sistema, calculou-se o momento de inércia (Is) do sistema vazio e sua incerteza associada u(Is) através da equação (1)[5: As incertezas do momento de inércia IT e Is foram calculadas a partir da equação da incerteza padrão combinada: ]
Após isso, mediu-se as massas de cada uma das peças dos cinco conjuntos disponíveis, representando-as na Tabela 1 da seção “Apresentação de Resultados”. Em seguida, fixou-as nas extremidades das cruzetas do sistema a fim de se efetuar a medição do tempo de queda da mesma massa em suspensão, partindo do mesmo ponto de altura. Vale ressaltar que a distância r entre o parafuso de fixação, ou o centro de massa do corpo, e o eixo de rotação do sistema (constada na Tabela 2 da seção “Apresentação de Resultados”) foi idêntica para cada uma das peças num mesmo conjunto. Posteriormente, selecionou-se oconjunto de peças de maior massa, fixou-o nas extremidades das cruzetas novamente e mediu-se o tempo de queda da massa suspensa usada anteriormente, na mesma posição de altura, variando quatro vezes a distância entre o centro de massa das peças e o eixo de rotação do sistema. Anotou-se os valores obtidos na Tabela 3 da seção “Apresentação de Resultados”. Com os valores obtidos anteriormente, determinou-se o momento de inércia total do sistema (IT), através da equação (1), e de sua respectiva incerteza u(IT), para que pudesse calcular justamente o momento de inércia de cada sistema discreto das peças (Ic), e de sua incerteza relacionada, a partir da equação (2)[6: O centro de massa de um corpo é um ponto que se comporta como se toda a massa do corpo estivesse concentrada sobre ele exatamente nesse ponto. Quando um objeto é homogêneo, o centro de massa coincide com o centro geométrico desse corpo.][7: A incerteza do momento de inércia de cada sistema discreto das peças Ic foi calculada a partir da equação:]
Por fim, construiu-se dois gráficos (Gráfico 1 e 2) em papel di-log e, a partir da inclinação (coeficiente angular) da reta mais provável pelo método visual de ambos os gráficos, obteve-se os valores das potências k e n da equação (3)[8: Por serem potências de uma equação, os valores obtidos foram arredondados para o número inteiro mais próximo.]
Para se obter o valor da constante adimensional C da equação anterior, construiu-se um gráfico em papel milimetrado (Gráfico 3) e, a partir do critério de ajuste da reta mais provável, pelo método de mínimos quadrados (MMQ), ainda pôde-se determinar os coeficientes angular e linear da função que o momento de inércia das peças (Ic) depende linearmente, comprovando os valores obtidos anteriormente, e das incertezas desses coeficientes.
 
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Tabela 1: Massas de cada peça dos conjuntos em estudo
	
	Madeira
	Alumínio
	Latão I
	Latão II
	Ferro
	M1 ± u(M1) [g]
	23,8 ± 0,1 
	51,8 ± 0,1 
	79,8 ± 0,1
	126,2 ± 0,1 
	150,8 ± 0,1 
	M2 ± u(M2) [g]
	23,8 ± 0,1 
	50,0 ± 0,1 
	77,8 ± 0,1 
	126,6 ± 0,1 
	149,8 ± 0,1 
	M3 ± u(M3) [g]
	23,4 ± 0,1 
	49,4 ± 0,1
	79,6 ± 0,1 
	126,6 ± 0,1 
	150,2 ± 0,1 
	M4 ± u(M4) [g]
	23,2 ± 0,1
	49,6 ± 0,1 
	78,6 ± 0,1 
	125,6 ± 0,1 
	150,0 ± 0,1 
	ƩMi ± u(ƩMi)
 [g]
	94,2 ± 0,2 
	200,8 ± 0,6 
	315,8 ± 0,5 
	505,0 ± 0,3
	600,8 ± 0,2 
Tabela 2: Dados para a determinação do momento de inércia do sistema (Is) e das peças (Ic) em função da massa ƩMi do conjunto, onde r é a distância fixa ao eixo de rotação, m a massa suspensa em queda e t o tempo de queda
	
	Sistema
	Madeira
	Alumínio
	Latão I
	Latão II
	Ferro
	r ± u(r) [cm]
	
	13,60 ± 0,05 
	13,80 ± 0,05 
	14,00 ± 0,05 
	13,80 ± 0,05 
	13,80 ± 0,05
	m ± u(m) [g]
	70,6 ± 0,1
	70,6 ± 0,1
	70,6 ± 0,1
	70,6 ± 0,1
	70,6 ± 0,1
	70,6 ± 0,1
	t ± u(t) 
[s]
	5,2 ± 0,2
	7,5 ± 0,2
	9,0 ± 0,2
	11,2 ± 0,2
	13,2 ± 0,2
	14,5 ± 0,2
	IT ± u(IT) [gm²]
	1,63 ± 0,02
	3,4 ± 0,2
	4,9 ± 0,2
	7,6 ± 0,3
	10,5 ± 0,3
	12,8 ± 0,4
	Ic ± u(Ic) [gm²]
	
	1,7 ± 0,2
	3,3 ± 0,2
	6,0 ± 0,3
	8,9 ± 0,3
	11,1 ± 0,4
Tabela 3: Dados para a determinação do momento de inércia do sistema (Is) e das peças (Ic) em função da distância ao eixo de rotação r, mantendo fixa a massa ƩMi do conjunto, onde m é a massa suspensa em queda e t o tempo de queda 
	r ± u(r) [cm]
	13,80 ± 0,05 
	12,30 ± 0,05
	10,80 ± 0,05
	9,30 ± 0,05
	7,80 ± 0,05
	m ± u(m) [g]
	70,6 ± 0,1 
	70,6 ± 0,1 
	70,6 ± 0,1 
	70,6 ± 0,1 
	70,6 ± 0,1 
	t ± u(t) [s]
	14,2 ± 0,2
	13,2 ± 0,2
	12,1 ± 0,2
	10,3 ± 0,2
	9,4 ± 0,2
	IT ± u(IT) [gm²]
	12,2 ± 0,4
	10,5 ± 0,3
	8,9 ± 0,3
	6,4 ± 0,3
	5,3 ± 0,3
	Ic ± u(Ic) [gm²]
	10,6 ± 0,4
	8,9 ± 0,3
	7,2 ± 0,3
	4,8 ± 0,3
	3,7 ± 0,2
Legenda:
M1,2,3,4 = massa medida de cada peça do conjunto
u(M1,2,3,4) = incerteza da massa medida de cada peça do conjunto
ƩMi = somatória das massas medidas das peças de um mesmo conjunto
u(ƩMi) = incerteza da somatória das massas medidas das peças de um mesmo conjunto
r = distância entre o parafuso de fixação de cada peça até o eixo de rotação
u(r) = incerteza da distância entre o parafuso de fixação de cada peça até o eixo de rotação
m = massa suspensa
u(m) = incerteza da massa suspensa
t = tempo de queda da massa suspensa
u(t) = incerteza do tempo de queda da massa suspensa
IT = momento de inércia total do sistema girante
u(IT) = incerteza do momento de inércia total do sistema girante
Ic = momento de inércia das peças
u(Ic) = incerteza do momento de inércia das peças
DISCUSSÃO
O primeiro passo para medir o momento de inércia de sistemas discretos (Ic) é entender o funcionamento do sistema analisando-o de forma vazia, ou seja, sem a utilização de peças no sistema girante num primeiro momento. Tal análise permitirá estimar o momento de inércia do sistema girante vazio (Is). A medida encontrada foi de 1,63 ± 0,02gm². A partir disso, calculando o momento de inércia total do sistema (IT), pode-se chegar ao momento de inércia dos corpos isoladamente pela seguinte equação: 
Isolando o Ic:
Contudo, como é possível calcular o IT? E o Is?
Como visto na seção “Fundamentos teóricos”, a partir de certas equações é possível mostrar que o momento de inércia total ou vazio do sistema girante pode ser calculado pela relação:
Ou seja, experimentalmente é possível calculá-lo medindo-se a altura h e o tempo t de queda de uma determinada massa suspensa m, a aceleração gravitacional g e o diâmetro D do carretel presente no sistema girante.
Neste experimento, utilizou-se cinco conjuntos de peças, de materiais diferentes, para serem estudadas a fim de se determinar, basicamente, a relação das variáveis envolvidas, bem como a relação empírica entre o momento de inércia, as massas dos conjuntos das peças, a distância para o eixo de rotação e uma constante adimensional através do método científico.
Na Tabela 1, consta-se os valores das massas isoladas de cada peça que compõe os cinco conjuntos (Madeira, Alumínio, Latão I, Latão II e Ferro) e as somatórias das que compõem um mesmo conjunto. A incerteza associada a cada uma das peças foi proveniente da avaliação tipo B, ou seja, a incerteza proveniente do equipamento (balança). As incertezas das somatórias são formadas pela combinação da incerteza tipo A e tipo B. A importância da pesagem das peças consiste no fato de que, posteriormente, selecionou-se o conjunto de peças com a maior massa para se estudá-lo no sistema girante, variando a distância entre os centros de massa de cada peça e o eixo de rotação do sistema. [9: A equação que demonstra a incerteza combinada entre o tipo A e tipo B é:]
Na Tabela 2, observa-se os valores para o momento de inércia do sistema vazio (1,63 ± 0,02gm²) e dos sistemas com os cinco conjuntos de peças. A principal estranheza que a tabela evidencia é a diferença do tempo de queda para a massa em suspensão – uma vez que não houve necessidade de se utilizar massas suspensas diferentes. O tempo varia entre 5,2 ± 0,2s para o sistema vazio até 14,5 ± 0,2s para o conjunto formado pelas peças de ferro, que é o conjunto com maior massa, de acordo com a Tabela 1. O conjunto formado pelas peças de ferro, devido a sua massa, foi o que justamente colaborou na construção da Tabela 3.
Na Tabela 3, apenas o conjunto Ferro foi utilizado para o cálculo da inércia, variando o centro de massa de cada peça e o eixo de rotação do sistema girante. A variação foi de 13,80 ± 0,05cm até 7,80 ± 0,05cm. Teve-se o cuidado para fazer com que cada variação da distância fosse de 1,50 ± 0,05cm para cada uma das quatro variações feitas no experimento. A variação dessa distância resultou num tempo de queda de 14,2 ± 0,2s até 9,4 ± 0,2s para a última queda. Alterando-se o tempo, evidentemente, modificou-se também o momento de inércia de sistemas discretos (Ic), de 10,6 ± 0,4gm²para a maior distância até 3,7 ± 0,2gm² para a menor distância. 
As Tabelas 2 e 3 proporcionaram, ainda, a construção de gráficos di-log (Gráfico 1 e 2) como forma de comprovar a relação do momento de inércia das peças (Ic) em função da somatória das massas das peças de um mesmo conjunto – no caso, o Ferro – e da distância ao eixo de rotação (r), comentados anteriormente. Tal relação permitiu encontrar os valores dos expoentes k = 0,96 e n = 1,99 (vide Apêndice) da equação:
Aproximando o valor numérico do expoente k igual a 1, permitiu-se a construção de um terceiro gráfico (Gráfico 3), com o intuito de calcular e comprovar os valores para os coeficientes angular (a) e linear (b), e suas respectivas incertezas, a partir do método dos mínimos quadrados (MMQ) (vide Conclusões). [10: Como k é o coeficiente da variável linear que o momento de inércia Ic depende, o coeficiente angular a também tem que ser comprovado pelo MMQ como sendo 1.][11: O MMQ é uma técnica de otimização estatística/ matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados experimentais]
Por fim, arredondando os valores obtidos de k e n para o número inteiro mais próximo – no caso, k = 1 e n = 2 –, foi possível encontrar o valor numérico da constante adimensional C e a incerteza associada a ela. A título de curiosidade, o valor de C pode ser comparado em qualquer livro básico de Física (vide Conclusões). 
CONCLUSÕES
A partir da Tabela 1 pode-se verificar que quanto maior a massa do conjunto de peças presente no sistema girante do sistema de medição, mais tempo leva para a massa em suspensão cair e, consequentemente, maior é o valor numérico do momento de inércia total (IT) e das peças (Ic).
Na Tabela 2, a ideia não era de se alterar as massas dos conjuntos de peças presentes no sistema girante como foi na Tabela 1, mas sim de se verificar experimentalmente o que acontece com o momento de inércia das peças a partir de modificações da distância entre o centro de massa das peças e o eixo de rotação do sistema girante (r). Observa-se que quanto menor for essa distância mais rápido será o tempo de queda da massa suspensa e menor também será o momento de inércia do sistema total e das peças.
Para se entender melhor o cálculo das incertezas associadas aos momentos de inércia (vide Apêndice), levou-se em consideração a combinação das incertezas do valor da massa em suspensão, pesado em balança mecânica, do diâmetro do carretel do sistema girante, medido com paquímetro, da altura da massa suspensa, medida com trena, e do tempo de reação ao se disparar o cronômetro no momento em que a massa suspensa caiu em queda.
As tabelas proporcionaram a construção de dois gráficos em papel di-log (Gráficos 1 e 2) em que a partir deles foi obtido os valores dos coeficientes k e n (k = 0,95 e n = 1,99). Esses valores foram aproximados para os seus números inteiros mais próximos, 1 e 2 respectivamente, com o intuito de se calcular o valor da constante adimensional C.
O Gráfico 3, construído em papel milimetrado, permitiu calcular os coeficientes angular (a) e linear (b). O coeficiente linear calculado foi próximo do valor zero (b = -0,664) – fato que pode ser observado graficamente –, o que o torna pouco relevante de um ponto de vista físico e do cálculo da incerteza associado a ele. O cálculo do coeficiente angular foi de se estranhar um pouco visto que o seu valor era para ser próximo ao valor do coeficiente k (algo em torno de 1) e resultou em a = 0,020 ± 0,002 (vide Apêndice).
Contudo, ainda assim foi possível calcular o valor da constante C (C = 1,05 ± 0,01), obtendo-se 95% de concordância com o valor teórico tido como referência (C = 1).
APÊNDICE
Para a construção da Tabela 1:
 
Para a construção da Tabela 2:
 
 
 
Para a construção da Tabela 3:
 
Conjunto de peças de maior tamanho (Ferro)
 
 
Para obtenção do coeficiente angular (k) pelo método visual:
Para obtenção do coeficiente angular (n) pelo método visual:
Para obtenção do coeficiente angular (a) pelo método de mínimos quadrados: 
Para obtenção da incerteza do coeficiente angular (a) pelo método de mínimos quadrados:
Para obtenção do coeficiente linear (b) pelo método de mínimos quadrados:
Para obtenção da incerteza do coeficiente linear (b) pelo método de mínimos quadrados:
Para obtenção do valor da constante adimensional C pelo método de mínimos quadrados:
Para obtenção do valor da incerteza da constante adimensional C pelo método de mínimos quadrados:
Para obtenção da concordância entre as constantes () encontradas pelo método visual ( e pelo método de mínimos quadrados (:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 1, volume 1, 4. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 326 p.
Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), Departamento de Física. Apostila de Física Experimental A. São Carlos: EDUFSCar, 2013.