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UNISUAM – ENGENHARIA – PROFº RAED DISCIPLINA - ELETRICIDADE CAPÍTULO II – CAPACITOR 1. Introdução O capacitor é bem diferente do resistor no que diz respeito à sua função, princípio de funcionamento e estrutura interna. Ao contrário do resistor, o capacitor apenas exibe seu comportamento característico quando ocorrem variações de tensão no circuito em que se encontra. Além disso, se considerar a situação ideal, não dissipa energia, como o resistor, mas armazena e pode devolvê-la mais tarde ao circuito. 2. Capacitor O capacitor é um elemento constituído por dois condutores separados por um material isolante (dielétrico). Estes dois elementos podem assumir diversas formas. Um exemplo simples é o capacitor de placas paralelas constituído por dois condutores planos separados por um dielétrico. Na figura 1a, uma bateria B, uma chave S, um capacitor descarregado C e fios de interligação formam um circuito elétrico. O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da figura 1b, no qual os símbolos para uma bateria, uma chave e um capacitor representam esses dispositivos. A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os seus terminais. O terminal de potencial mais alto é indicado pelo sinal + e freqüentemente é chamado de potencial positivo; o terminal de potencial mais baixo é indicado pelo sinal – e freqüentemente é chamado de terminal negativo. Fig. 1 2 3. Carregando um Capacitor Inicialmente, com a chave S aberta, na figura 1b, o capacitor está descarregado e a ddp entre as suas placas é nula. Quando S é fechada, o campo elétrico criado pela bateria empurra os elétrons da placa “a” do capacitor até o terminal positivo da bateria; assim a placa “a”, perdendo elétrons, torna-se positivamente carregada. O campo empurra a mesma quantidade de elétrons do terminal negativo da bateria para a placa “b” do capacitor, assim, a placa “b”, ganhando elétrons, torna- se negativamente carregada. Quando a ddp entre as placas do capacitor igualar a ddp da bateria, diz-se que o capacitor está completamente carregado, e a partir desse instante, o campo fica nulo e deixa de empurrar os elétrons no circuito. 4. Capacitância A capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas placas, em outras palavras, é a sua capacidade de armazenamento de carga elétrica. O valor da capacitância depende apenas da geometria das placas e não da sua carga ou da diferença de potencial. Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for depositada em suas placas por uma diferença de potencia de 1 volt entre elas. O farad recebeu este nome em homenagem a Michael Faraday, um químico e físico inglês do século XIX. Na prática ele se mostra, entretanto, uma unidade de medida muito grande para a maioria das aplicações; assim, é mais comum usar o microfarad (µF), nanofarad (nF) ou o picofarad (pF). V qC = Onde: →C é a capacitância, em farads (F). →q é a carga elétrica, em coulombs (C). →V é a tensão elétrica entre os terminais do capacitor, em volts (V). 3 5. Cálculo da Capacitância 5.1 – Capacitor de Placas Paralelas A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras, da separação entre as placas e do dielétrico. Para um capacitor com duas placas paralelas, conforme mostra a figura 2, a sua capacitância é: d AC ⋅= ε Onde: C → é a capacitância, em farads (F). ε → permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). A → é a área da placa, em metros quadrados (m2). d → é a distância entre as placas, em metros (m). Fig. 2 5.2 – Capacitor Cilíndrico A figura 3 mostra, em corte transversal, um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por dois cilindros coaxias de raios a e b. O cálculo da capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de placas paralelas, depende apenas de fatores geométricos, neste caso L, b e a. Considerando, L » b. Fig. 3 4 )/(ln 2 ab LC επ= Onde: C → é a capacitância, em farads (F) ε → permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). L → é o comprimento do capacitor, em metros (m). a → é o raio do cilindro menor, em metros (m). b → é o raio do cilindro maior, em metros (m). 5.3 – Capacitor Esférico A figura 3 também serve para ilustrar um capacitor esférico em um corte transversal passando pelo seu centro. O capacitor esférico é formado por duas cascas esféricas concêntricas, de raios a e b. O cálculo da capacitância de um capacitor esférico é igual a: ab baC −= επ4 Onde: C → é a capacitância, em farads (F) ε → permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). a → é o raio da esfera menor, em metros (m). b → é o raio da esfera maior, em metros (m). 5.4 – Uma Esfera Isolada A capacitância atribuída a um único condutor esférico isolado de raio R supondo que “a placa que está faltando” é uma esfera condutora de raio infinito. Para encontrar a capacitância do condutor isolado, em primeiro reescreve-se a equação do cálculo do capacitor formado por duas cascas esféricas. ab baC −= επ4 5 Se considerar ∞→b e substituir “a” por R, encontra-se a equação para o cálculo da capacitância da esfera isolada: RC επ4= Onde: C → é a capacitância, em farads (F) ε → permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). R → é o raio da esfera, em metros (m). 6. Rigidez Dielétrica Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao dielétrico, quebrará ligações moleculares internas, permitindo a passagem de corrente. A tensão por unidade de comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para que haja uma condução em um dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é denominada tensão de ruptura. Quando a ruptura ocorre, o capacitor passa a ter características muito semelhantes às de um condutor. Um exemplo típico de ruptura de dielétrico é o raio, que ocorre quando a diferença de potencial entre a nuvem e a terra se torna tão grande que pode haver escoamento de carga de uma para outra pela atmosfera, que se comporta como o dielétrico. A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico “permite” o estabelecimento de linhas de campo no seu interior. Quanto maior o valor da permissividade, maior a quantidade de cargas depositadas nas placas. Para o vácuo, o valor de ε (representada ε0) é de 8,85 x 10-12 F/m. A razão entre a permissividade de qualquer dielétrico e a do vácuo é chamada de permissividade relativa (εr). 0ε εε =r O valor de ε para qualquer material é, assim, dado por: 0.εεε r= O valor de εr é uma grandeza adimensional. A Tabela 1 mostra os valores da permissividade relativa para vários materiais isolantes. 6 Tabela 1 – Permissividade relativa (εr) de várias substâncias. Dielétrico εr Vácuo 1,0 Ar 1,0006 Teflon 2,0 Papel parafinado 2,5 Borracha 3,0 Ascarel 4,0 Mica 5,0 Porcelana 6,0 Baquelite 7,0 Vidro 7,5 Água destilada 80,0 Cerâmica 7500,0 7. Corrente de Fuga O caso ideal é quando o fluxo de elétrons ocorre em um dielétrico apenas quando a tensão de ruptura é alcançada. Na realidade, existem elétrons livres em todos os dielétricos devido a elementos de impureza do material. Quando é aplicada uma tensão entre as placas de um capacitor, uma corrente de fuga, devido aos elétrons livres, flui de umaplaca para outra. Entretanto, normalmente esta corrente é tão pequena que pode ser ignorada para a maioria das aplicações práticas. Este efeito é representado por um resistor em paralelo com o capacitor, como mostra a figura 4 (a), cujo valor é, tipicamente, maior que 100 MΩ. No entanto, alguns capacitores, como os do tipo eletrolítico, têm correntes de fuga relativamente altas. Quando carregados e depois desconectados do circuito, esses capacitores perdem a carga num tempo na ordem de segundos devido ao fluxo de cargas (corrente de fuga) de uma placa para a outra, conforme figura 4 (b). 7 Fig. 4 – Demonstração do efeito da corrente de fuga. 8. Simbologia dos Capacitores Assim como os resistores, todos os capacitores podem ser classificados em duas categorias: fixos e variáveis. A linha curva representa a placa que é normalmente conectada no ponto de potencial mais baixo. Fig. 5 – Simbologia de capacitores. 9. Capacitores em Série e em Paralelo Os capacitores, como os resistores, podem ser conectados em série e em paralelo. Um aumento nos valores de capacitância pode ser conseguido conectando os capacitores em paralelo, enquanto uma diminuição é obtida conectando-os em série. No caso de capacitores em série, a carga é a mesma em todos os capacitores. Figura 6 – Capacitores em série NT QQQQQ ==== 321 Capacitor Fixo Capacitor Variável 8 Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao longo da malha, tem-se: NVVVVE ++++= ...321 C QV = N N T T C Q C Q C Q C Q C Q ++++= ... 3 3 2 2 1 1 NT CCCCC 1...1111 321 ++++= A capacitância total ( )TC de dois capacitores em série é: 21 21 . CC CC CT += No caso de capacitores em paralelo, a tensão é a mesma entre os terminais de todos os capacitores e a carga total é a soma das cargas dos capacitores. NT QQQQQ ++++= ...321 VCQ .= Figura 7 – Capacitores em paralelo NNT VCVCVCVCEC ........ 332211 ++++= NVVVVE ===== ...321 NT CCCCC ++++= ...321 9 Exemplos: 1 – Para o circuito abaixo, determine: (a) A capacitância total. (b) A carga elétrica em cada capacitor. (c) A tensão entre os terminais de cada capacitor. a) 321 QQQQT === FC CCCC TT µ8 8 1 200 2041 10 1 50 1 200 11111 321 ==++=++=++= 321 6 48060108. QQQCECQ TT ====××== − µ b) V C Q V 4,2 10200 10480 6 6 1 1 1 =× ×== − − V C Q V 6,9 1050 10480 6 6 2 2 2 =× ×== − − V C Q V 48 1010 10480 6 6 3 3 3 =× ×== − − 2 - Para o circuito abaixo, determine: (a) A capacitância total. (b) A carga elétrica em cada capacitor. (c) A carga total. 10 a) FCCCCT µ2060120060800321 =++=++= b) CmECQ 4,384810800. 611 =××== − CmECQ 88,2481060. 622 =××== − CmECQ 6,5748101200. 633 =××== − c) mCECQ TT 88,9848102060. 6 =××== − EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. A capacitância C de um capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma quando (a) a carga q sobre ele é dobrada e (b) a diferença de potencial V entre suas placas é triplicada? 2. Para capacitores carregados pela mesma bateria, a carga armazenada pelo capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma em cada uma das seguintes situações? (a) A separação entre as placas de um capacitor de placas paralelas é aumentada. (b) O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico é aumentado. (c) O raio da casca esférica externa de um capacitor esférico é aumentado. 3. Uma bateria de potencial V armazena uma carga q sobre uma combinação de dois capacitores idênticos. Qual a diferença de potencial entre as placas e a carga sobre qualquer um dos capacitores se os capacitores estiverem (a) em paralelo e (b) em série? 4. O capacitor 1, com C1 = 3,55µF, é carregado para uma diferença de potencial V0 = 6,30V, usando uma bateria de 6,30V. A bateria então é retirada e o capacitor é ligado, como na figura abaixo, a um capacitor 2 descarregado, com C2 = 8,95µF. Quando a chave S é fechada, a carga flui entre os capacitores até que eles tenham a mesma diferença de potencial V. Determine V. 11 5. O capacitor da figura abaixo possui uma capacitância de 25µF e está inicialmente descarregado. A bateria fornece uma diferença de potencial de 120V. Depois de a chave S ser fechada, quanta carga passará por ela? 6. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 6µF, C2 = 3µF; C3 = 4µF. Determine: (a) A capacitância equivalente da associação. (b) A carga total armazenada. (c) A tensão em cada capacitor. (d) A carga em cada capacitor. 7. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 7µF; C2 = 8µF; C3 = 10µF. Determine: (a) A capacitância equivalente da associação. (b) A carga total armazenada. (c) A tensão em cada capacitor. (d) A carga em cada capacitor. 12 8. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 4µF; C2 = 8µF; C3 = 6µF. Determine: (a) A capacitância equivalente da associação. (b) A carga total armazenada. (c) A tensão em cada capacitor. (d) A carga em cada capacitor. 9. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de 8,2cm de raio e 1,3mm de separação. (a) Calcule a capacitância. Dado: ε0 = 8,85 x 10-12F / m (b) Que carga aparecerá sobre as placas se for aplicada uma diferença de potencial de 120V? 10. Um capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas condutoras concêntricas separadas pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio igual a 12,5cm e a superfície esférica externa possui raio de 14,8cm. Uma diferença de potencial de 120V é aplicada ao capacitor. Determine a capacitância do capacitor. Dado: ε0 = 8,85 x 10-12F/m 11. Um capacitor cilíndrico possui um condutor interno com raio 1,5mm e um condutor externo com raio igual a 3,5mm. Os dois condutores estão separados pelo vácuo e o comprimento total do capacitor é de 2,8m. Determine a capacitância por unidade de comprimento. Dado: ε0 = 8,85 x 10-12F / m 12. Uma esfera isolada, cujo raio R é de 6,85cm, possui uma carga q = 1,25nC. Dado: ε0 = 8,85 x 10-12F/m (a) Qual a energia potencial armazenada no campo elétrico deste condutor carregado? (b) Qual a densidade de energia na superfície da esfera? 13 13. Duas esferas metálicas ocas são concêntricas. A esfera de dentro tem um raio de 0,15m e um potencial de 85V. O raio da esfera de fora é igual a 0,152m e o seu potencial é igual a 82V. Se a região entre as esferas for preenchida com teflon, determine a energia elétrica contida neste espaço. Dado: Constante dielétrica (k) = 2,1 e Dado: ε0 = 8,85 x 10-12F/m 14. Na figura baixo, cada capacitor possui C = 4µF e Vab = 28V. Calcule: (a) A capacitância equivalente. (b) A carga de cada capacitor. (c) A diferença de potencial através de cada capacitor. (d) A diferença de potencial entre os pontos a e d. Respostas: (1) (a) permanece a mesma; (b) permanece a mesma; (2) (a) diminui; (b) aumenta; (c) diminui; (3) (a) V, q/2; (b) V/2, q; (4) 1,7892V; (5) 3mC; (6) (a) 6µF; (b) 720µC; (c) U1 = 40V; U2 = 80V; U3 = 120V; (d) Q1 = Q2 = 240µC; Q3 = 480µC; (7) (a) 6µF; (b) 720µC; (c) U1 = U2 = 48V; U3 = 72V; (d) Q1 = 336µC; Q2 = 384µC; Q3 = 720µC; (8) (a) 4µF; (b) 480µC; (c) U1 = U2 = 40V; U3 = 80V; (d) Q1 = 160µC; Q2 = 320µC; Q3 = 480µC; (9) (a) 143,81pF; (b) 17,257nC; (10) 89,45pF; (11) 65,628pF/m;(12) (a) 102,5nJ; (b) 25,476µJ/m3; (13) J8102,1 −× ; (14) (a) 2,4µF; (b) Q1 = Q2 = 22,4µC, Q3 = 44,8µC, Q4 = 67,2µC; (c) U1 = U2 =5,6V, U3 = 11,2V, U4 = 16,8V; (d) Uad = 11,2V
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