04 Aula Movimento em Duas e Tres Dimensoes 20170913 0950

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PROF. JHONE RAMSAY ANDREZ
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figuras e tabelas
foram obtidas
destes livros.
BIBLIOGRAFIA
Posição em 2D:
Ԧ𝑟 = 𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑧෠𝑘
Ԧ𝑟 = 𝑥(𝑡) Ƹ𝑖 + 𝑦(𝑡) Ƹ𝑗 + 𝑧(𝑡)෠𝑘
Ԧ𝑟 = 𝑥(𝑡) Ƹ𝑖 + 𝑦(𝑡) Ƹ𝑗
Posição em 3D:
∆Ԧ𝑟 = Ԧ𝑟2 − Ԧ𝑟1
Ԧ𝑟1 = 𝑥1 Ƹ𝑖 + 𝑦1 Ƹ𝑗 + 𝑧1 ෠𝑘 ;
Ԧ𝑟2 = 𝑥2 Ƹ𝑖 + 𝑦2 Ƹ𝑗 + 𝑧2 ෠𝑘
∆Ԧ𝑟 = (𝑥2 Ƹ𝑖 + 𝑦2 Ƹ𝑗 + 𝑧2 ෠𝑘) − (𝑥1 Ƹ𝑖 + 𝑦1 Ƹ𝑗 + 𝑧1 ෠𝑘)
Como o deslocamento é definido pela variação da posição:
∆Ԧ𝑟 = (𝑥2−𝑥1) Ƹ𝑖 + (𝑦2 − 𝑦1) Ƹ𝑗 + (𝑧2 − 𝑧1)෠𝑘
∆Ԧ𝑟 = ∆𝑥 Ƹ𝑖 + ∆𝑦 Ƹ𝑗 + ∆𝑧෠𝑘
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑 =
∆Ԧ𝑟
∆𝑡
∆Ԧ𝑟 = ∆𝑥 Ƹ𝑖 + ∆𝑦 Ƹ𝑗 + ∆𝑧෠𝑘
Assim: 
Ԧ𝑣𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑥
∆𝑡
Ƹ𝑖 +
∆𝑦
∆𝑡
Ƹ𝑗+
∆𝑧
∆𝑡
෠𝑘
Usando as definições de velocidade média e instantânea, escreveremos
agora na forma vetorial:
Ԧ𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆Ԧ𝑟
∆𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑡
Ԧ𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Ƹ𝑖+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Ƹ𝑗+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
෠𝑘
Ԧ𝑣 = 𝑣𝑥 Ƹ𝑖+𝑣𝑦 Ƹ𝑗+𝑣𝑧 ෠𝑘
Já a instantânea:
Ԧ𝑎𝑚𝑒𝑑 =
∆ Ԧ𝑣
∆𝑡
Ԧ𝑎𝑚𝑒𝑑 =
Ԧ𝑣2 − Ԧ𝑣1
𝑡2 − 𝑡1
Usando as definições de velocidade média e instantânea, escreveremos agora
na forma vetorial:
Ԧ𝑎 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑 Ԧ𝑣
𝑑𝑡
Ԧ𝑎 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
Ƹ𝑖+
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
Ƹ𝑗+
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
෠𝑘
Ԧ𝑎 =
𝑑 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑣𝑧 ෠𝑘
𝑑𝑡
Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧 ෠𝑘
𝜃0
y
x
𝑣0𝑥
𝑣0𝑦
Ԧ𝑣0
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0
𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃0
𝑥0
𝑦0
Em 𝑥 : O movimento é com
velocidade constante (𝑎𝑥 = 0).
Em 𝑦 : Tratamos o movimento
como na queda livre (𝑎𝑦 = −𝑔).
Ԧ𝑣0 = 𝑣0𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑣0𝑦 Ƹ𝑗
Movimento em x é com velocidade constante:
𝑣0𝑥 → 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡
Movimento em 𝑦 é com aceleração constante:
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑣𝑦
2 = 𝑣0𝑦
2 − 2. 𝑔. ∆𝑦
∆y = 𝑣𝑦𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2
∆y =
1
2
𝑣0𝑦 + 𝑣𝑦 𝑡
ℎ𝑚𝑎𝑥
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
Vamos obter a equação da trajetória a partir das equações:
Fazendo 𝑥0 = 0 e 𝑦0 = 0, isolando 𝑡 na primeira equação e substituindo na
segunda, ficamos:
𝑦 𝑥 = 𝑣0𝑦
𝑥
𝑣0𝑥
−
1
2
𝑔
𝑥
𝑣0𝑥
2
𝑦 𝑥 =
𝑣0𝑦
𝑣0𝑥
𝑥 −
𝑔
2𝑣0𝑥2
𝑥2
Como:
𝑦 𝑥 = tan𝜃0 𝑥 −
𝑔
2𝑣02 𝑐𝑜𝑠2 𝜃0
𝑥2
ቐ
tan 𝜃0 =
𝑣0𝑦
𝑣0𝑥
𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃0
Se as elevações finais e inicias são as mesmas, podemos escrever uma equação
para o alcance que dependa apenas da velocidade inicial e do ângulo de
lançamento. Sendo:
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
Podemos encontrar o tempo de voo 𝑇 fazendo 𝑦 − 𝑦0 = 0:
𝑣0𝑦𝑇 −
1
2
𝑔𝑇2 = 0
𝑇 =
2𝑣0𝑦
𝑔
𝑇 =
2𝑣0 sin 𝜃0
𝑔
𝑅 = 𝑣0𝑥𝑇
𝑅 = 𝑣0 cos 𝜃0 ×
2𝑣0 sin 𝜃0
𝑔
𝑅 =
𝑣0
2
𝑔
𝑠𝑒𝑛(2𝜃0)
Da equação 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡, sendo 𝑥0 = 0, e seja 𝑇 o tempo total para o
projétil iniciar e terminar o movimento, nesse caso chamaremos 𝑥 𝑡 = 𝑅
(alcance). Assim:
Ângulos complementares
produzem o mesmo alcance:
𝛼 + 𝛽 = 90