03 Aula Vetores 20170814 1152

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PROF. JHONE RAMSAY ANDREZ
• Exemplo: Massa, comprimento, temperatura, tempo, etc;
Grandezas Escalares: Necessitam
apenas do módulo para expressar sua
grandeza.
• Exemplo: Força, Velocidade, deslocamento, etc.
Grandezas Vetoriais: Necessitam de
módulo, direção e sentido para expressar
sua grandeza.
Podem ser representados geometricamente como segmentos de retas
orientados ou como flechas.
Simbolicamente podemos denotar o vetor por letras em negrito ou com
letra e uma seta em cima (𝒗 ou Ԧ𝑣).
𝑩
Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵
𝑨
Para obter Ԧ𝐴 + 𝐵: posicione o vetor 𝐵 de tal maneira que seu ponto
inicial coincida com o ponto final do vetor Ԧ𝐴 . O vetor Ԧ𝐴 + 𝐵 é
representado pela flecha do ponto inicial de Ԧ𝐴 ao ponto final de 𝐵.
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴 + 𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴 + 𝐵
Seja Ԧ𝐴 e 𝐵 dois vetores quaisquer, então Ԧ𝐴 - 𝐵 é definido como:
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴 + 𝐵
Ԧ𝐴 − 𝐵 = Ԧ𝐴 + (−𝐵)
-𝐵
Ԧ𝐴 − 𝐵
Outra forma de construir Ԧ𝐴 - 𝐵: Posicione Ԧ𝐴 e 𝐵 de modo que os
pontos iniciais coincidam. O ponto que une o ponto final de 𝐵
ao ponto final de Ԧ𝐴 é o vetor Ԧ𝐴 - 𝐵.
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴 − 𝐵
Comutatividade: Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ𝐴
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴 + 𝐵
Associatividade: Ԧ𝐴 + 𝐵 + Ԧ𝐶 = റ𝐴 + (𝐵 + റ𝐶)
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐴
𝐵
Ԧ𝐶
Ԧ𝐶
A componentes de um vetor é a projeção desse vetor em um eixo.
𝜃
𝒚
𝒙
Ԧ𝑎
𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃
𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥𝑎
O módulo de um vetor (ou norma) representa o comprimento de um
vetor no espaço.
Em duas dimensões: 
𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2
𝜃
𝒚
𝒙
Ԧ𝑎
𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑎
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥
Como muitas grandezas na Física são vetoriais, os vetores unitários
muito úteis para indicar uma direção no espaço. O vetor unitário possui
módulo 1, e não possui dimensão.
𝒚
𝒙
Ԧ𝑎
𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑎
𝑏
𝑏𝑥
𝑏𝑦
Ԧ𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 Ƹ𝑗
Ao multiplicar o vetor por um escalar, a direção permanece a mesma,
mas o modulo é alterado e eventualmente o sentido.
𝑘 Ԧ𝑎 = 𝑘 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 = 𝑘𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑘𝑎𝑦 Ƹ𝑗
Existem duas formas: o produto escalar e o vetorial. 
No produto escalar, o resultado é uma grandeza escalar. É definido como:
Ԧ𝑎. 𝑏 = 𝑎. 𝑏 cos𝜙
Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧 ෠𝑘 𝑏 = 𝑏𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑏𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑏𝑧 ෠𝑘
Ԧ𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦+𝑎𝑦𝑏𝑦
Considere os vetores:
O produto escalar ente eles fica:
Ԧ𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧 ෠𝑘 . 𝑏𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑏𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑏𝑧 ෠𝑘
O produto vetorial entre dois vetores produz um terceiro vetor que é
perpendicular aos outros dois. A direção e o sentido pode ser dada pela
regra da mão direita. Módulo pode ser calculado com a equação:
Ԧ𝑎 × 𝑏 = 𝑐 = 𝑎. 𝑏 sin𝜙
Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧 ෠𝑘 𝑏 = 𝑏𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑏𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑏𝑧 ෠𝑘
Considere os vetores:
Ԧ𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑧 ෠𝑘 × 𝑏𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑏𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑏𝑧 ෠𝑘
O produto escalar ente eles fica:
Ԧ𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦 Ƹ𝑖 + 𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧 Ƹ𝑗 + 𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥 ෠𝑘
Para determinar a direção e sentido, utilizamos a regra da mão direita:
NÃO DEIXE DE LER O LIVRO!
A maioria das
figuras e tabelas
foram obtidas
destes livros.
BIBLIOGRAFIA