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Primeira Lista de Exercı´cios Ca´lculo Integral Prof. Flausino Lucas Questa˜o 1. Encontre f(x) nas seguintes condic¸o˜es: a) f ′(x) = 2x e f(0) = 3 b) f ′(x) = x2 e f(1) = 1 c) f ′(x) = − sin(x) e f(pi) = −1 d) f ′(x) = ex e f(0) = −1 e) f ′(x) = −e−x e f(0) = 2 f) f ′(x) = x3 − 2x2 + 1 e f(2) = 10 g) f ′(x) = 3x2 + cos(x) e f(2pi) = 0 Questa˜o 2. Verifique que: a ∫ sin axdx = − 1a cos(ax) + k, a 6= 0 b ∫ cos axdx = 1a sin(ax) + k, a 6= 0 c ∫ 1 1+x2 dx = arctan(x) + k d ∫ 1√ 1−x2 dx = arcsin(x) + k,−1 < x < 1 Questa˜o 3. Calcule a integral indefinida nos se- guintes casos: a) ∫ x3dx b) ∫ 1 x2 dx c) ∫ 2√ x3 dx d) ∫ 4 3√ x2 dx e) ∫ 1 xdx, x > 0 f) ∫ 2 x + √ xdx, x > 0 g) ∫ eaxdx, a 6= 0 h) ∫ 3x+ 1dx i) ∫ 1 x + 1 x2 dx j) ∫ x2+1 x dx k) ∫ sin(5x)dx l) ∫ ex+e−x 2 dx m) ∫ cos(x/2)dx n) ∫ 5e7xdx o) ∫ x5 + 3x3 + x+ 4dx Questa˜o 4. Uma part´ıcula se descola sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t− 3, t ≥ 0. Sabe-se que no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 5. Determine o instante em que a part´ıcula estara´ mais pro´xima da origem. Questa˜o 5. Uma part´ıcula se descola sobre o eixo x com velocidade v(t) = t + 3, t ≥ 0. Sabe-se que no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 2. a) Qual a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t? b) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t = 2. c) Determine a acelerac¸a˜o. Questa˜o 6. Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, calcule as seguintes integrais definidas: a) ∫ 1 0 x2dx b) ∫ 1 −1 x 3 + xdx c) ∫ 2 1 1 x2 dx d) ∫ 5 0 x+ 3dx e) ∫ 1 −2 x 2 − 1dx f) ∫ 1 0 5x3 − 12dx g) ∫ 0 1 2x+ 3dx h) ∫ 4 1 1√ x dx i) ∫ 2 1 x3 + x+ 1x3 dx j) ∫ 1 −1 x 7 + x3 + xdx 1 k) ∫ 4 1 5x+ √ xdx l) ∫ 1 0 (x− 3)2dx m) ∫ 0 −pi sin(3x)dx n) ∫ pi 3 0 sin(x) + sin(2x)dx o) ∫ pi 2 0 cos2(x)dx. Verifique que cos2(x) = 1 2 + 1 2 cos(2x) p) ∫ pi 2 0 sin2(x)dx. Questa˜o 7. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas retas x = 0, x = 2, pelo eixo Ox e pelo gra´fico da func¸a˜o constante 3. Questa˜o 8. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo Ox e pelo gra´fico y = 3x, 0 ≤ x ≤ 1. Questa˜o 9. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelo eixo Ox e pelo gra´fico y = 2x2, 1 ≤ x ≤ 2. Questa˜o 10. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico de f(x) = x, pelo eixo Ox e pelas retas x = −1 e x = 1. Compare o valor da a´rea com∫ 1 −1 xdx. Justifique. Questa˜o 11. Determine a a´rea da regia˜o no plano que e´ limitada e esta´ entre as curvas y − x2 = 0 e y2 − x = 0. Questa˜o 12. Calcule a a´rea da regia˜o limitada no primeiro quadrante compreendida entre os gra´ficos de y = x e y = x3. Questa˜o 13. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = sin(2t), t ≥ 0. Cal- cule o espac¸o percorrido entre os instantes t = 0 e t = pi. Questa˜o 14. Em cada caso, determine a a´rea da regia˜o A: a) A = {(x, y) : x2 + 1 ≤ y ≤ x+ 1} b) A = {(x, y) : x ≥ 0, x3 − x ≤ y ≤ −x2 + 5x} c) A = {(x, y) : x > 0, 1x2 ≤ y ≤ 5− 4x2} d) A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,√x ≤ y ≤ 3} Questa˜o 15. Suponha que a demanda mensal de carne de um determinado consumidor seja dada por p = −0, 5q + 30, 0 ≤ q ≤ 60, sendo o prec¸o p em reais e a quantidade q em quilogramas. Suponha que o prec¸o de mercado seja R$14, 00 o quilo. a) Qual a quantidade q¯ consumida ao prec¸o de mer- cado? b) Qual o excedente do consumidor? c) Interprete graficamente o excedente do consu- midor. Questa˜o 16. Um produtor de insumos agr´ıcolas oferece ao mercado um determinado fertilizante cuja func¸a˜o oferta segue a lei: p = 4q 2 10002 + 5, q ≥ 0, onde p e´ o prec¸o em reais e q e´ a quantidade em quilogramas. O prec¸o de mercado e´ de R$9, 00 o quilo. a) Qual a quantidade ofertada mensalmente ao prec¸o de mercado? b) Qual o excedente do produtor? Questa˜o 17. Se a demanda por determinada be- bida segue a lei p = 12− 2√q, 0 ≤ q ≤ 36 e o prec¸o de mercado e´ de R$4, 00 o litro, qual o excedente do consumidor nesta relac¸a˜o de compra? Interprete graficamente. Questa˜o 18. A oferta de determinado shampoo para cabelos segue a lei : p = 0, 3 √ q+3. Se o prec¸o de mercado e´ R$12, 00 o litro, qual o excedente do produtor? Interprete graficamente. Questa˜o 19. Calcule: a) ∫ 1 1 2 √ 2x− 1dx b) ∫ 1 0 e3xdx c) ∫ 1 0 x x2+1dx d) ∫ 4 1 2x √ x2 + 1dx e) ∫ 1 0 xex 2 dx f) ∫ 0 −1 x √ x+ 1dx g) ∫ 1 0 x2 1+x3 dx h) ∫ 0 −1 x 2 √ 1 + x3dx 2 Questa˜o 20. Um aluno (precipitado), ao calcu- lar a integral ∫ 1 −1 √ 1 + x2dx raciocinou da seguinte maneira: fazendo a mudanc¸a de varia´vel u = 1+x2, os novos extremos de integrac¸a˜o seriam iguais a 2,e enta˜o o resultado da integral sera´ zero. Identifique o erro neste racioc´ınio. Questa˜o 21. Calcule: a) ∫ 1 0 x √ x2 + 3dx b) ∫ 1 0 x √ 1 + 2x2dx c) ∫√3 0 x3 √ x2 + 1dx d) ∫ 2 1 x(x2 − 1)5dx e) ∫ 0 −1 x 2ex 3 dx f) ∫ 2 1 3s 1+s2 ds g) ∫ 1 0 1 1+4sds h) ∫ 3 0 x√ x+1 dx i) ∫ 3 0 x2√ x+1 dx j) ∫ 1 0 s√ s2+1 ds k) ∫ 1 0 x2 (x+1)2 dx l) ∫ pi 3 0 sinx cos2 xdx m) ∫ pi 6 0 cosx sin5 xdx n) ∫ pi 6 0 cos3 xdx Questa˜o 22. Calcule:∫ pi −pi sinx x4 + x2 + 1 dx Questa˜o 23. Seja f uma func¸a˜o par e cont´ınua em [−r, r], r > 0 (lembre que f e´ par⇔ f(−x) = f(x)) a) Mostre que∫ 0 −r f(x)dx = ∫ r 0 f(x)dx b) Conclua de (a) que ∫ r −r f(x)dx = 2 ∫ r 0 f(x)dx. Interprete geometricamente. Questa˜o 24. Calcule a integral indefinida nos se- guintes casos: a) ∫ x cos(x2)dx b) ∫ e3xdx c) ∫ x 1+x2 dx d) ∫ x 1+x4 dx e) ∫ x3 √ 1 + x2dx f) ∫ sin x cos3 xdx g) ∫ sin4 xcos3xdx h) ∫ x3 cos(x4)dx i) ∫ cos3 x sinxdx j) ∫ ex √ 1 + exdx k) ∫ sin x cos2 xdx l) ∫ xe−x 2 dx Questa˜o 25. Calcule as integrais definidas: a) ∫ 1 0 xe−x 2 dx b) ∫ pi 3 0 sinx cosxdx c) ∫ 1 0 3 2x+1dx d) ∫ 1 0 √ 1 + x2dx e) ∫ 2 1 1 x2 √ 1+x2 dx f) ∫ pi 4 0 cos2(2x)dx g) ∫ 1 0 x3√ 1+x2 dx h) ∫ 3 2 1 (x−1)3 dx Questa˜o 26. Calcule a a´rea do c´ırculo de raio r. Questa˜o 27. Calcule a a´rea do conjunto de todos os (x, y) tais que x2 + 2y2 ≤ 3 e y ≥ x2. 3 Respostas e Sugest~oes As respostas sa˜o para os exerc´ıcios objetivos. Exerc´ıcios teo´ricos de demonstrac¸a˜o na˜o apresen- tam resoluc¸a˜o. Questa˜o 1. a) f(x) = x2 + 3. b) f(x) = x 3+2 3 . c) f(x) = cos(x). d) f(x) = ex − 2. e) f(x) = e−x + 1. f) f(x) = x 4 4 − 2x 3 3 + x+ 28 3 .. g) f(x) = x3 + sin(x)− 8pi3. Questa˜o 2. Verificac¸a˜o. Como sugesta˜o, derive o lado esquerdo a fim de obter a func¸a˜o que foi integrada. Questa˜o 3. a) x 2 2 +K. b) − 1x +K. c) − 4√ x +K. d) 12 3 √ x+K. e) ln(x) +K. f) 2 lnx− 1x +K. g) e ax a +K. h) 32x 2 + x+K. i) lnx− 1x +K. j) lnx+ x 2 2 +K. k) − cos(5x)5 +K. l) e x−e−x 2 +K. m) 2 sin(x2 ) +K. n) 57e 7x +K. o) x 6 6 + 3x4 4 + x2 2 + 4x+K. Questa˜o 4. t = 32 . Questa˜o 5. a) x = t 2 2 + 3t+ 2. b) x(2) = 10. c) a(t) = 1. Questa˜o 6. a) 13 . b) 0. c) 12 . d) 552 . e) 0. f) 34 . g) −4. h) 2. i) 458 . j) 0. k) 2566 . l) 193 . m) − 23 . n) 54 . o) pi4 . p) pi4 . Questa˜o 7. 6. Questa˜o 8. 32 . Questa˜o 9. 143 . Questa˜o 10. A a´rea vale 1, e ∫ 1 −1 xdx = 0. A func¸a˜o e´ ı´mpar. Questa˜o 11. 13 . Questa˜o 12. 14 . Questa˜o 13. O espac¸o percorrido e´ 2, apesarde que ∆S = 0. Questa˜o 14. a) 16 . b) 163 . 4 c) 13 . d) 73 . Questa˜o 15. a) 32. b) EC = 256. c) Consiste na a´rea da regia˜o delimitada pelo gra´fico da demanda e a reta horizontal p = 14. Questa˜o 16. a) 1000. b) EP = 80003 . Questa˜o 17. 1283 . Questa˜o 18. 2700. Questa˜o 19. a) 13 . b) e 3−1 3 . c) ln 22 . d) − 43 √ 2 + 343 √ 17. e) e−12 . f) − 415 . g) ln 23 . h) 29 . Questa˜o . Como sugesta˜o, veja se a mudanc¸a efetuada cumpre as hipo´teses do teorema de mu- danc¸a de varia´vel. Questa˜o 21. a) 8− √ 27 3 . b) 3 √ 3−1 6 . c) 5815 . d) 2434 . e) 13 − 13e . f) 32 · ln 52 . g) 14 ln 5. h) 83 . i) 7615 . j) √ 2− 1. k) 3−4 ln 22 . l) 724 . m) 1384 . n) 1124 . Questa˜o 22. 0. Questa˜o 23. Exerc´ıcio de demonstrac¸a˜o. Questa˜o 24. a) 12 sin ( x2 ) +K. b) 1/3 e3 x +K. c) 1/2 ln ( x2 + 1 ) +K. d) 1/2 arctan ( x2 ) +K. e) 1/15 ( x2 + 1 )3/2 ( 3x2 − 2)+K. f) 12 cos2(x) +K. g) 1/35 (sin (x)) 5 ( 5 (cos (x)) 2 + 2 ) +K. h) 1/4 sin ( x4 ) +K. i) −1/4 (cos (x))4 +K. j) 2/3 (1 + ex) 3/2 +K. k) sec(x) +K. l) −1/2 e−x2 +K. Questa˜o 25. a) 1/2− 1/2 e−1. b) 3/8. c) −3/2 ln (3) + 3/2 ln (2pi + 3). d) 1/2 √ 2− 1/2 ln (√2− 1). e) √ 2− 1/2√5. f) pi/8. g) 2− √ 2 3 . 5 h) 3/8. Questa˜o 26. A = pir2. Encontre esta expressa˜o utilizando ca´lculo integral. Questa˜o 27. A = 13 + 3 √ 2 2 · arcsin (√ 3 3 ) . 6
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