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Flambagem de Colunas na Engenharia Civil

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CIV 151 – Resistência dos Materiais II
Capítulo
Flambagem de Colunas
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Professores: Flávio Antônio Ferreira
Diôgo Silva de Oliveira
Versão OUT/16
Flambagem de Colunas
Sumário
10.1 - Introdução
10.2 - Estabilidade de Estruturas
10.3 - Fórmula de Euler para Colunas Biarticuladas
10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoio
10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 2
10.1 - Introdução
Sempre que se projeta um elemento estrutural é necessário que ele satisfaça os seguintes requisitos:
 Resistência
 Deformações
 Estabilidade
Elementos estruturais esbeltos, submetidos a cargas de compressão, poderão sofrer uma deflexão
lateral denominada flambagem.
A flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha abrupta da estrutura.
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10.2 - Estabilidade de Estruturas
Condição de Equilíbrio:
0 xF
FtgP  )(2 

raRestaurado ForçaaPertubador Força
)(2  ktgP  
2
2 LkP  
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2
4
LkP 
10.2 - Estabilidade de Estruturas
Condições de Equilíbrio
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CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
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10.2 - Estabilidade de Estruturas
Exercício: Beer
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CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 6
10.2 - Estabilidade de Estruturas
Exercício: Beer
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CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 7
10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas
Considerando o equilíbrio de
corpo livre entre AQ, temos: yPM 
Da equação 10.4 do
capítulo anterior, temos:
Premissas: Coluna Ideal
 Coluna perfeitamente reta;
 Material homogêneo;
 Carga aplicada no centróide
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Fazendo: , temos:
Essa equação diferencial linear homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes tem
como solução geral:
10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas
Aplicando as condições de contorno do problema, temos:
 Em x = 0 y = 0
100 )0cos()0(sen0  BABA
0B
)(sen0 LpA 
 Em x = L y = 0
Essa equação é satisfeita se: 
  0A
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Essa equação é satisfeita se:



 0)(sen
 0
Lp
A
 nLpLp se 0)(sen
L
np 
Portanto: EI
P
L
n 



  2
Carga Crítica 
de Flambagem
O menor valor de P
ocorre quando n = 1.
Pcr = carga crítica de flambagem
E = módulo de elasticidade do material
I = menor momento de inércia para a
área da seção transversal
L = comprimento da coluna sem apoio
10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas
O valor da tensão correspondente a força critica é chamado de tensão crítica:
2
2
LA
EI
A
Pcr
cr 
  mas sabemos que: 2 r
A
I
A
Ir 
Tensão Crítica 
de Flambagem
σcr = tensão crítica de flambagem
E = módulo de elasticidade do material
L = comprimento da coluna sem apoio
r = menor raio de giração da coluna
L/r = índice de esbeltez
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Nota-se que a tensão crítica é proporcional ao módulo
de elasticidade do material e inversamente proporcional
ao quadrado do índice de esbeltez.
O gráfico ao lado mostra as tensões em função do
índice de esbeltez de um aço A-36.
10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas
IMPORTANTE:
 A coluna irá flambar em torno do eixo principal da seção de menor
momento de inércia (eixo menos resistente), desde que esteja livre para
flambar;
 Em termos geométricos, os tubos são excelentes colunas pois tem o
mesmo momento de inércia em todas as direções;
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mesmo momento de inércia em todas as direções;
10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas
Exercício: Hibbeler
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10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas
Exercício: Hibbeler
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10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Considerando o equilíbrio de
corpo livre entre AQ, temos:
Da equação 10.4 do
capítulo anterior, temos:
Fazendo: , temos:
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Fazendo: , temos:
Essa equação diferencial linear não homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes. A
solução geral dessa equação pode ser dada
adicionando na solução anterior o termo:
10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Aplicando as condições de contorno do problema, temos:
 Em x = 0 y = 0
0100 0)0cos()0(sen0  BA
P
VBA
0B
L
P
VpLAL
P
VpLA  )(sen )(sen0
 Em x = L y = 0
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 Em x = L dy/dx = 0
P
VpLosAp
P
VpLospA  )(c )(c0
49,4 tg 
)cos(
)(sen 

 pLpL(pL)L
PV
PV
pLAp
pLA
Dividindo 10.17 por 10.18:
Lembrando que:
Carga Crítica 
de Flambagem
10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Comparação das Cargas de Flambagem:
Igualando-se as duas cargas críticas, temos:
EI
LEIL fl 19,29
22  
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Comprimento de Flambagem
daColuna
Engastada-Articulada
LL fl 70,0
10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Comprimento de Flambagem
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10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Exercício: Hibbeler
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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
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10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Exercício: Hibbeler
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10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios
Exercício: Hibbeler
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10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Nesta seção será abordado o problema da flambagem de uma coluna quando a carga não é aplicada de
forma perfeitamente centrada (carga excêntrica).
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10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Considerando o equilíbrio de
corpo livre entre AQ, temos:
Da equação 10.4 do
capítulo anterior, temos:
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Fazendo: , temos:
Essa equação diferencial linear não homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes. A
solução geral dessa equação pode ser dada como:
10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Aplicando as condições de contorno do problema, temos:
 Em x = 0 y = 0
eBAeBA  100 )0cos()0(sen0
eB 
 )cos(1)(sen )cos()(sen0 pLepLAepLepLA 
 Em x = L y = 0

pLtgeA
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Substituindo as constantes A e B na linha elástica, temos:





2
pLtgeA
Sabemos que a deflexão máxima ocorre em:
Lembrando que:
10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Notamos que ocorre ymax, quando:
Isolando P, temos:
Substituindo na linha elástica, temos:
Determinação da Tensão Máxima Atuante:
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Determinação da Tensão Máxima Atuante:
mas
Lembrando que:
10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Exercício: Beer
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10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Exercício: Beer
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10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Exercício: Hibbeler
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10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Exercício: Hibbeler
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10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante 
Exercício: Beer
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