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CIV 151 – Resistência dos Materiais II Capítulo Flambagem de Colunas UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Professores: Flávio Antônio Ferreira Diôgo Silva de Oliveira Versão OUT/16 Flambagem de Colunas Sumário 10.1 - Introdução 10.2 - Estabilidade de Estruturas 10.3 - Fórmula de Euler para Colunas Biarticuladas 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoio 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 2 10.1 - Introdução Sempre que se projeta um elemento estrutural é necessário que ele satisfaça os seguintes requisitos: Resistência Deformações Estabilidade Elementos estruturais esbeltos, submetidos a cargas de compressão, poderão sofrer uma deflexão lateral denominada flambagem. A flambagem de uma coluna pode resultar em uma falha abrupta da estrutura. UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 3 10.2 - Estabilidade de Estruturas Condição de Equilíbrio: 0 xF FtgP )(2 raRestaurado ForçaaPertubador Força )(2 ktgP 2 2 LkP UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 4 2 4 LkP 10.2 - Estabilidade de Estruturas Condições de Equilíbrio UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 5 10.2 - Estabilidade de Estruturas Exercício: Beer UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 6 10.2 - Estabilidade de Estruturas Exercício: Beer UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 7 10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas Considerando o equilíbrio de corpo livre entre AQ, temos: yPM Da equação 10.4 do capítulo anterior, temos: Premissas: Coluna Ideal Coluna perfeitamente reta; Material homogêneo; Carga aplicada no centróide UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 8 Fazendo: , temos: Essa equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem como solução geral: 10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas Aplicando as condições de contorno do problema, temos: Em x = 0 y = 0 100 )0cos()0(sen0 BABA 0B )(sen0 LpA Em x = L y = 0 Essa equação é satisfeita se: 0A UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 9 Essa equação é satisfeita se: 0)(sen 0 Lp A nLpLp se 0)(sen L np Portanto: EI P L n 2 Carga Crítica de Flambagem O menor valor de P ocorre quando n = 1. Pcr = carga crítica de flambagem E = módulo de elasticidade do material I = menor momento de inércia para a área da seção transversal L = comprimento da coluna sem apoio 10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas O valor da tensão correspondente a força critica é chamado de tensão crítica: 2 2 LA EI A Pcr cr mas sabemos que: 2 r A I A Ir Tensão Crítica de Flambagem σcr = tensão crítica de flambagem E = módulo de elasticidade do material L = comprimento da coluna sem apoio r = menor raio de giração da coluna L/r = índice de esbeltez UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 10 Nota-se que a tensão crítica é proporcional ao módulo de elasticidade do material e inversamente proporcional ao quadrado do índice de esbeltez. O gráfico ao lado mostra as tensões em função do índice de esbeltez de um aço A-36. 10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas IMPORTANTE: A coluna irá flambar em torno do eixo principal da seção de menor momento de inércia (eixo menos resistente), desde que esteja livre para flambar; Em termos geométricos, os tubos são excelentes colunas pois tem o mesmo momento de inércia em todas as direções; UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 11 mesmo momento de inércia em todas as direções; 10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 12 10.3 - Formula de Euler para Colunas Biarticuladas Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 13 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Considerando o equilíbrio de corpo livre entre AQ, temos: Da equação 10.4 do capítulo anterior, temos: Fazendo: , temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 14 Fazendo: , temos: Essa equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser dada adicionando na solução anterior o termo: 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Aplicando as condições de contorno do problema, temos: Em x = 0 y = 0 0100 0)0cos()0(sen0 BA P VBA 0B L P VpLAL P VpLA )(sen )(sen0 Em x = L y = 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 15 Em x = L dy/dx = 0 P VpLosAp P VpLospA )(c )(c0 49,4 tg )cos( )(sen pLpL(pL)L PV PV pLAp pLA Dividindo 10.17 por 10.18: Lembrando que: Carga Crítica de Flambagem 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Comparação das Cargas de Flambagem: Igualando-se as duas cargas críticas, temos: EI LEIL fl 19,29 22 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 16 Comprimento de Flambagem daColuna Engastada-Articulada LL fl 70,0 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Comprimento de Flambagem UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 17 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 18 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 19 10.4 - Colunas com Vários Tipos de Apoios Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 20 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Nesta seção será abordado o problema da flambagem de uma coluna quando a carga não é aplicada de forma perfeitamente centrada (carga excêntrica). UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 21 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Considerando o equilíbrio de corpo livre entre AQ, temos: Da equação 10.4 do capítulo anterior, temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 22 Fazendo: , temos: Essa equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser dada como: 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Aplicando as condições de contorno do problema, temos: Em x = 0 y = 0 eBAeBA 100 )0cos()0(sen0 eB )cos(1)(sen )cos()(sen0 pLepLAepLepLA Em x = L y = 0 pLtgeA UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 23 Substituindo as constantes A e B na linha elástica, temos: 2 pLtgeA Sabemos que a deflexão máxima ocorre em: Lembrando que: 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Notamos que ocorre ymax, quando: Isolando P, temos: Substituindo na linha elástica, temos: Determinação da Tensão Máxima Atuante: UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 24 Determinação da Tensão Máxima Atuante: mas Lembrando que: 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Exercício: Beer UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 25 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Exercício: Beer UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 26 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 27 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Exercício: Hibbeler UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 28 10.5 - Carregamento Excêntrico e Fórmula da Secante Exercício: Beer UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL CIV 151- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Professores: Flávio Antônio Ferreira e Diôgo Silva de Oliveira 29
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