Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Cálculo integral Tercera edición S am u el Fu en lab rad a de la V e g a T ru c ío s Instituto Politécnico Nacional Revisora técnica Irma Fuenlabrada Velázquez Departamento de Investigaciones Educativas Centro de investigación y de estudios avanzados Instituto Politécnico Nacional México • Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Nueva York • San Juan • Santiago • Auckland • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • San Francisco • Singapur • St, Louts • Sydney • Toronto Publisher de la división escolar: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial: Ricardo Martín Del Campo Editora de desarrollo: Talia Delgadillo Santoyo Supervisól a de producción: Jacqueline Brieño Alvarez Diseño de portada e interiores: Código X, S.C. Formación tipográfica: Overprint, S.A. de C.V. DERECHOS RESERVADOS © 2007, respecto a la primera edición por: McGRAW-HILL / INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015 Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Alvaro Obregón C.P. 01376, México D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN-13: 978-970-10-6195-4 ISBN-10: 970-10-6195-0 (ISBN 970-10-4706-0 Segunda edición) 1234567890 09875432106 Impreso en Korea Printed in Corea Doosan Printing 475-1, Mongnae-dong, Danwon-gu Ansan-si, Gyeonggi-do, 425-100, Korea Cálculo integral Tercera edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. The First Printing : Februray, 2007 Conoce tu CD t Uno de los valores agregados de esta nueva edición es el CD que acompaña a tu libro de texto. En este disco podrás encontrar evaluaciones, ejercicios adicionales, formularios y glosarios. Te recomendamos revisar el apartado de Extras, en donde podrás leer artículos de interés relacionados con tu futuro profesional y la práctica de las matemáticas sc 0 Dü 1 U Cál inte Todos estos recursos harán que la práctica de las matemáticas sea más dinámica y atractiva. No necesitas tener instalado ningún programa en particular porque el software es autoejecutable y eres tú el que decide qué capítulos revisar y sobre todo, qué actividades realizar. Toda la información está catalogada por capítulos y tienes la opción de imprimir tus evaluaciones para que puedas consultar con tu profesor cualquier duda. Conoce tu libro Organización Para esta nueva edición, hemos mejorado la presentación de los temas para mejor referencia de profesores y alumnos. Este nuevo formato te permitirá ubicar con mayor facilidad las partes y secciones en las que se divide tu libro. C a p itu lo 1 D iferencia les Introducción Consideraciones generales 3 Conceptos clave En cada entrada de capítulo podrás ubicar los términos más importantes que se analizarán y que es importante memorices para continuar con tu progreso de aprendizaje. Estos términos representan la base que te permitirá adquirir conocimientos más complejos y que además se mencionarán en cursos más avanzados. Secciones de apoyo A lo largo de cada capítulo, identificarás notas y comentarios que te ayudarán a comprender mejor el desarrollo de los temas. En la sección ¡Anótalo! podrás encontrar fórmulas que te facilitarán la resolución de ejercicios y problemas. La sección ¡Recuerda! es una referencia a conceptos expuestos previamente y que es importante vuelvas a aplicar para entender un nuevo tema. Su fanam iliHt *0* 1% I' ■ ¡Aplícate! Nueva sección de ejercicios que aparece después de haber estudiado un tema de extensión y complejidad considerable. Si tienes la capacidad de resolver los ejercicios ahí sugeridos, significa que tienes la capacidad para continuar con el resto de los temas del capítulo. **¡¡£5 Ejercicios de repaso Con esta sección de ejercicios concluyes el estudio de un capítulo. Los problemas que se incluyen en este apartado incluyen aplicaciones de todos los temas analizados. Sirve como una herramienta de autoevaluación y guía de estudio. F o r m u l a r i o Formulario Al final de tu libro encontrarás un formulario que te ayudará a identificar las operaciones básicas de cálculo integral. Consúltalo cada vez que tengas que resolver los ejercicios de las secciones ¡Aplícate! y Ejercicios de repaso. Contenido Cap ítu lo 1 Diferenciales 1 Consideraciones g enerales 1 Diferenciales 2 Interpretación geom étrica de la d iferencial 3 Fórm ulas de diferenciación 6 Diferenciación im plícita 7 Diferenciales sucesivas de una función 8 Ejercicios de repaso 8 Capítu lo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 11 Antiderivada 11 Integral indefinida 12 Fórm ulas de derivación. Fórm ulas de integración 12 Conceptos básicos de la integración 14 Ejercicios de repaso 19 Capítu lo 3 Integración de una función com puesta 21 Sustitución por cam bio de variable 21 Deducción de fórm ulas para derivar integrales de la forma J tan* dx, | cotx dx, J secx dx, J cscx dx 25 Ejercicios de repaso 29 Capítu lo 4 Constante de integración 33 Cálculo del valor num érico de la constante C 33 Significado geom étrico de la constante de integración 36 Capítu lo 5 Integrales inm ediatas. Funciones trigonom étricas directas 39 Recordatorio de trigonom etría 39 Fórm ulas de integración de las funciones trigonom étricas d irectas 40 Algunos procedim ientos de integración de las funciones trigonom étricas d irectas 40 Ejercicios de repaso 56 Capítu lo 6 Integrales inm ediatas. Funciones trigonom étricas inversas 61 Fórm ulas de integración de funciones trigonom étricas inversas 61 Algunos procedim ientos de integración de las funciones trigonom étricas inversas 61 El integrando se expresa com o la sum a de dos cocientes 63 Ejercicios de repaso 76 Cap ítu lo 7 Integrales inm ediatas. Funciones exponenciales y logarítm icas 79 Fórm ulas de integración exponencial 79 Fórm ulas de integración logarítm ica 87 Ejercicios de repaso 98 Resum en de las integrales inm ediatas 101 Capítu lo 8 M étodos de integración. Integración de funciones trigonom étricas 103 Algunos procedim ientos de solución * 103 Integración de la forma J serTw cos”« du 104 Integración de la form a J tan"’u sec"u du 108 Integración de la form a J cof'w esc"u du 110 Integración de la forma J sen mu eos nu du 112 Ejercicios de repaso 113 Capítu lo 9 M étodos de integración. Integración por partes 119 Fórm ula de integración por partes 119 Procedim iento de integración por partes 119 Ejercicios de repaso 132 Capítu lo 10 M étodos de integración. Integración por sustitución trigonom étrica 135 D esarrollo de la expresión yja2- x 2= acos 0 136 D esarrollo de la expresión >la 2+ x2 = a sec 6 136 Desarrollo de la expresión V * 2- a = a tan 0 137 Procedim iento para reso lver una integral por sustitución trigonom étrica 138 El integrando incluye una expresión de la form a \la 2- x 2 139 El integrando incluye una expresión de la form a yja2+ x 2 142 El integrando incluye una expresión de la form a yjx2 — a2 145 Ejercicios de repaso 147 Capítu lo 11 M étodos de integración. Integración por fracciones parciales 149 Definición 149 El resultado de la integración de una función racional im propia se puede expresar com o la sum a de un polinom io y de una función racional propia 149 C aso 1. Todos los factores lineales del denom inador son d istintos 151 C aso 2. A lgunos de los factores lineales de denom inador se repiten 154 C aso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denom inador son d istintos 156 C aso 4 . A lgunos factores cuadráticos(irreducibles) del denom inador se repiten 158 Ejerciciosde repaso 175 Capítu lo 12 M étodos de integración. Integración por racionalización 177 Racionalización de expresiones que incluyen potencias fraccionarias p i_ d ea + bx, com o (a+bx)q, (a+bx)' 177 Racionalización de expresiones que únicam ente incluyen una potencia fraccionaria de x 179 Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias a c d e x, com o x h, x d 181 Racionalización de expresiones que incluyen una potencia fraccionaria m t del tipo (a+bx)" 185 Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de eos u en el denom inador 188 Cap ítu lo 13 Integral definida 195 A ntecedentes históricos 195 Sum a de Riem ann 197 Propiedades de la sum a de Riem ann 198 Fórm ulas de la sum a de Riem ann 198 Sum as de Riem ann con notación sigm a 199 Áreas (interpretación intuitiva) 201 Integración definida com o el lím ite de una sum a (interpretación intuitiva) 202 Sum a de Riem ann (continuación) 203 La integral definida com o lím ite de sum as de Riem ann 206 Procedim iento para calcular una integral definida 207 Propiedades de la integral defin ida 209 Integrales definidas por cam bio de variable (cálculo de nuevos extrem os) 211 Ejercicios de repaso 214 Capítu lo 14 La integral definida en el cálculo de áreas 217 Teorem a fundam ental del cálculo 217 Áreas 217 Áreas de dos curvas en un intervalo 224 Ejercicios de repaso 232 Cap ítu lo 15 La integración definida en el cálculo de volúm enes 233 Sólido de revolución 233 M étodo del d isco para calcular el volum en 233 El sólido de revolución con un agujero . El m étodo de las arandelas 238 Volum en de un sólido cuando el e je de revolución es paralelo al eje de las x o al de las y . 240 Longitud de un arco (curva) 241 Ejercicios de repaso 243 Form ulario 245 Capítulo 1 Diferenciales Introducción En este capítulo analizaremos la diferencial de una función. Para resolver integrales es necesario aplicar un procedimiento llamado cambio de variable o método de sustitución, en el cual se requiere calcular la diferencial de la expresión seleccionada para así realizar el cambio de variable. La integral J eos 2xdx se resuelve por cambio de variable. Consideraciones generales En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como regla de los cuatro pasos. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar todo tipo de funciones. En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda aplicar para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial. La integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentaremos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio. Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con frecuencia las tab las de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que aparecen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas desarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además, te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar tu conocimiento. Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en uno de sus libros señala: "Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (...) ”. En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los temas más difíciles y dejan hasta el último los temas más sencillos. "Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción ”. Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiempo que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver otros problemas semejantes e incluso de mayor complejidad. Conceptos clave Regla de los cuatro pasos Integración Tablas de integrales Diferencial de una función 2 ¡A n ó ta lo ! i — x n = nx"-' dx Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición causa entorpecimiento. El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la solución de los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para el examen. En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un volumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es decir, hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el contrario, la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se desea: una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro. El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil y compleja en su aplicación. En el libro Cálculo diferencial, el autor establece: “La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se expresa: , A derivada = — = lím — dx a*-»0 Ax Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada”. Diferenciales Definición La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente. Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función. Ejem plos: ■ 1. Sea la función y = x 4 Su primera derivada es y ' = 4x4-1 = 4x' Su diferencial se expresa dy = 4xJAx ■ 2. Calcula la diferencial de !a función y = 3x2 para x = 4 y el Ax = 0.2 y ' = 3(2x) = 6x dy = 6xAx Sustituyendo: d{ 3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8 Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes: Capítulo 1 Diferenciales 3 D f(x) Cauchy f (x) Lagrange y ' Lagrange — Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”) dx Por lo tanto: derivada: — = lím — = D f(x ) = f \ x ) = y ' dx Ax Sea la función y = f(x) La primera derivada se expresa así: £ = / - wdx Si multiplicamos ambos miembros por í /x , tenemos: dy = f'{x)dx la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la ¡A n ó ta lo , diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente. _ x = j d x ' Ejem p los: ^ — c — 0■ 1. Calcula la diferencial de y = 5x3 - x + 2 dx Solución: y = 5x3 - x + 2 / = 15x2 - 1 d{ 5x3 - x + 2) = (15x2 - 1 )dx ■ 2. Calcula la diferencial de y = V l-3 x Solución: y = -s /l-3 x 0 ¡A n ó ta lo ! y 2 V l-3 x d ,( r,—T ~ \_ 3¿/x d r . = d x U ' 2 V l-3 x ^ 2Vw Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos calcular su primera derivada. Interpretación geométrica de la diferencial En la gráfica de la función y = /(x ) observamos: AD = Ax CD = Ay A a B C dy Ay Ax D a X E Ax _ £ _____> x+Ax En el triángulo rectángulo ADB BD ta n a = =AD BD = ^ D ta n a = A x f \ x ) Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos: dy = f '{ x )A x de donde en (1) dy = ~BD La diferencial de una función y = f(x) en un punto es el incremento de la tangente a la curva en ese punto. Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: Ay = CD\ dy = BD serán aproximada mente iguales cuando Ax = AD sea muy pequeño. Ejem plo : ■ 1. Calcula la diferencial de la función y = 5x2 para x = 4 y el Ax = 0.2 Solución: y = 5x2 y '= lOx Sustituyendo: dy = /'(*)A x d(5x2)= 10(4)(0.2) = 8.0 Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función E jem plos: ■ 1. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado mide 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m. Capítulo 1 Diferenciales 5 So lución: Fórmula del área de un cuadrado: A = l2 /= 5 m A/ = 0.002 m El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos que el área es función del lado A = / ( / ) = l2 A '= f \ l ) = 2l dA = / '( / ) = di dA = 2l- di dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2 Incremento = 0.020 m2 ■ 2. Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m. So lución: Fórmula del volumen de un cubo v = P d v = f \ l ) d l 1 = 2 m dv = 3/2 • di Al = 0.003 m dv = 3(2)2 (0.003) = 0.036 m3 v '= / ( / ) = 3 /2 Incremento = 0.036 m3 ■ 3. Si V36 = 6 , calcula el valor aproximado de y¡3S Solución: Función: y = Vx yÍ36=6 Ax = 3 8 -3 6 = 2 y = 4 x / = / '< * ) = 1 2 Vx dy = f \ x ) d x f y * = 2 = i = 0 .166 2Vx 2V36 6 V38 = 6 + 0.166 = 6.166 6 Cálculo integral Fórmulas de diferenciación Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fónnula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferenciación, la cual citamos a continuación: En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un número natural. 12. d(sec u) = tan u sec u du 13. d(esc u) =cot u esc u du 14. £/(arcsenw) = 15. d i are eos w 16. ¿/(are tan « 17. ¿/(arccotw 18. d ( are sec u 19. ¿/(arccscw du Vi - u2 du V l-w 2 du 1 + u2 du 1 + u2 du 1. d(C) = 0 (dx) = 0 2. d(x) = 1 (dx) = dx 3. d(u + v — w) = du + dv - dw 4. d(Cu) = C du 5. d(uv) = udv + vdu 6. d(un) = nu"~x du , u \ vdu - udv 7. 8. ¿/(sen u) = eos « ¿/w 9. ¿/(eos u) = - sen w du 10. ¿/(tan m) = sec2 u du 11. d(cot w) = - esc2 u du Ejem plo : ■ 1. Calcula d(5x2 - 2x + 4) Solución : Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos apli camos las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1. d(5x2- 2x + 4) = d(5x2) - d(2x) + d(4) = lOx dx - 2dx uyju2 -1 du uyju2 -1 20. d ( ln u ) = — v ’ u 2 1 . ¿ /(lo g a)— - du v ’ u 22. ¿/(ew j = e"du Factorizando dx: = (1 0 x -2 )dx Ejem plo : ■ 1. Calcula d xx + sen — 2 Solución : Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la fórmula 2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8. x x + sen— 2 = d(x) + d = 1 dx + x sen — 2 x eos— 2 = dx + d_ dx v L factorizando dx: 1 x^\ 1 + — eos— dx 2 2 , x eos— 2 v 2 , dx dx Diferenciación implícita Hecha la derivación se despeja dy. Ejem plo : ■ 1. Diferenciar So lución : x — 5 y 2 = 2 y x - 5y 2 - 2 y = 0 d (x) d (5y2) d (2y) dx dx dx - = 0 l - \ O y — —2 — = 0 dx dx dy dx - S ( ' 0 ^ 2)=-> ( lOjv 2 ) = 1 Multiplicando por -1 f ( ‘o , + 2 H d y ( \0 y + 2} = l(c/x) Capítulo 1 Diferenciales 8 Cálculo integral Como \(dx) = dx * * dy = ---------- 10j> + 2 Diferenciales sucesivas de una función La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando para dx un valor fijo. dy = f \x ) d x d 2y = f" (x )d 2x La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante) y así sucesivamente. Ejem plo : ■ 1. Calcula la tercera diferencial de y = 4x5 - 5x2 -1 d(4x5 - 5 x 2- \ ) = (20x4 - 10x)dx So lución: d 2(4x5 - 5 x 2- \ ) = í / [ ( 2 0 x 4 - \0x)dx] = (80x3- 10) d \ 4 x s - 5x2 - 1) = ¿/[(80x3 - 10)d2x] =240x2d ix Ejercicios de repaso I. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones: 1. y = 5x2 2. y = 3x4 - 5x3 + 4x -1 3 . y = J l - 5 x 4. y = ¡ j ( x - 4) 5. y = \¡sen* 6. y = tan 2x Sol. lOx dx Sol. ^12xJ — 15x2 + 4 j dx 5 dx Sol. - Sol. Sol. 2V 3-5x 2 dx 3yfx^-4 cosx dx 2 (sen x )2 Sol. ^2 sec2 2xjc/x Capítulo 1 Diferenciales 7. >> = cos: 8. / ( * ) = - 3x yjl — X 9. y = tan x - 2 x 10. y = are sen tí 11. y = arccotx 12. y = are eos— 3 13.y = (3xi -1 ) 14. y = 2 sen— 2 15. y = \n x 2 16. y = are eos 2x 17. Calcula el valor aproximado de \¡39 si y¡36=6 18.Determina el valor aproximado de t]\29 si yl125 = 5 So/. So/. , 33 sen — dx 3^2 — xjt/x 2 f - * r Sol. ^sec2 x — 2 \dx dx Sol. Sol. Sol. — y/a2 - x 2 2 xdx \ + x 4 dx y¡9 — X2 Sol. 9x2 dx Sol. eos — dx 2 Sol. — dx x Sol. -2 dx Vi —4jc2 Sol. 6.25 So/. 5.053 19. Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm Sol. 0.042 m 2 20. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado 0.007 m. Sol. 0.589 m3 21. Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio cuando el radio aumenta 3 cm. Sol. 6.02 cm2 10 Cálculo integral II. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. dy 1. La expresión — = f \ x ) representa la diferencial de la función f ( x ) dx 2. dy = f (x)dx es igual a d y = f (x)Aj 3. Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función. 4. Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas. Sol. 1. Falsa 2. Verdadera 3. Falsa 4. Falsa III. Resuelve aplicando diferenciales 1. Calcula el valor aproximado de V27 Sol. 5.2 2. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste recibe un aumento de 0.5 cm. Sol. 30 cm2 Conceptos clave Integral indefinida Función primitiva Antiderivada Método de integración Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida Introducción Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los expertos utilizan la fórmula dy — - k y . Si la población (y) crece cuando aumenta el tiempo (f), se aplica la ley dt de crecimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre el tiempo, se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se utiliza para estos cálculos es una derivada y para encontrar la función que pueda aplicarse a un determinado problema, necesitamos expresarla primero como una ecuación dy diferencial — = kdt y después integrar cada miembro de la igualdad, quedando de la siguiente manera: J— = J kdt- Antiderivada La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la derivada / '(x ) de una función /(x ). Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f '(x ) trataremos de obtener la función /(x). Definición A una función F se le llama antiderivada de una función f en un intervalo /, siF '(x) = / ( x ) para todo valor de x en el intervalo. Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “-F(x) es una antiderivada de /(* )” Las expresiones integral indefinida y función prim itiva son sinónimos de la palabra antiderivada. Ejemplos: a) Integra las siguientes expresiones: 1. 3x2 dx es la diferencial de x3 x3 es la antidiferencial de 3x2 dx 2. -sen x dx es la diferencial de eos x eos x es la antidiferencial de -sen x dx b) Deriva las siguientes expresiones: Cálculo integral ! • /(* ) = * 4 F'(x) = 4X3 2 ./ ( x ) = x 4- 6 F (x ) = 4x3 3. / ( x ) = x4+ - í F'(x) = 4X3 Las funciones (1 ,2 y 3) representadas por f ( x ) = jc4 + C, donde C es una constante (un número real no especificado) tienen por derivada F'(x) = Ax3. Integral indefinida A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama integración y se denota con el símbolo J , que es la inicial de la palabra suma. Si F(x) es una función primitiva def(x ) se expresa: y = J f ( x ) dx = F (x) + C si y sólo si F'(x) + C = f(x ) La expresión J f ( x ) dx es la antiderivada de f(x ) | es el signo de integración y se lee “integral de” f (x ) Integrando dx Diferencial de la variable x Variable de integración F(x) Función primitiva C Constante de integración si en la expresión y = j f ( x ) d x = F (x ) + C ( 1 ) y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x) = /(*), sustituimos en la expresión anterior: ]>(*)£/* = F (x ) + C queda: f ( x ) = F \x ) Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación. Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración ^ = 0 dx Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida • La derivada de una constante respecto a x es cero. — -kx = kd x dx J k dx = kx + C • La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. -^-(x) = l dx • La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. De suma o diferencia • La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas. De potencia A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x. • La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminuida en uno, por la derivada de la función u. con n j t —l Si n = —1 L \u + C Trigonom étricas d_ dx dx • La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplicado por la derivada de la función u respecto a x. 14 Cálculo integral d du e— cosw = -sen w — senw¿/w = -cosw + C dx dx J • La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x. d 2 du r 2 , ^— tanzz = s e c z/— s e c u du = tan u + C dx dx J • La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x. d 2 du f 2 » ^— cotzz — esc" u — esc” u du = — cot u + C dx dx J • La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respecto a x. d du r— seczz = secz/tanz/— secz/tanw du = secw + C dx dx J • La derivada de la secante de una función u es igual a la secante de la función u por la tangente de la función u , multiplicada por la derivada de la función u respecto a x. J tan u du = l \sec z/| + C | co tu du = L | sen z/j + C | SQCudu = Z-|secz/ + tanw| + C J esc u du = L | esc u - cot u | + C Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por una constante. d / x dv du — (uv) = u — + v— dx dx dx • Las derivadas de un producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Se usará para deducir el m étodo de integración por partes. Conceptos básicos de la integración La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones /[/(*) + g(*)~h(x)~\dx = j f(x)dx + J g(x)dx- Jh(x)dx Ejemplos: ■ 1. \[ 5 x 2+ l x - 2 ^ d x Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida Solución: En este ejemplo f ( x ) = 5x2, g (x ) = l x , h(x) = 2 , por lo tanto: J^5x2 + 1 x - 2 ^ d x = 5\ x 2dx + l \ x d x - i j d x = - x 3 + - x 2 - 2 x + C 3 2 ■ 2 • J x - 3x + 4 xV Solución: c/x Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos la fórmula. x4 - 3x2 + 4 X X + X dxdx = j V = r * l <fc_ j 2 í d <fc+j f * J x J x J x = J xV x - 3 J x¿/x + 4 J — = — x4 - — x2 + 4 L I x| + C 4 2 11 A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante. A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resolver cada integral presentada en los ejemplos anteriores. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner como factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores. ¡ k f( x )d x = k j f ( x )d x Ejem plos: ■ 1 . \ lx * d x = l \x * d x So lución : „ = — x 5+ C 5 ■ 2. \ - x 3dx = - \ x 3dx J 5 5 Solución: 4 + C La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno. , [ « « r [ un (x) du(x) = ------------ J n + 1 Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma siguiente: f n , 11u du = ------ J n + 1 con n & -1 S in = - \ í u ]du = f—du J J u _ ^ d u u du u = lnlwl + C = L\u\ + C Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la función es igual al logaritmo natural de la función”. f 2 . * 2 + 1 * 31. J x dx= ------- hc = — + c E jem plos: dx = 2 + 1 3 En este ejemplo n = 2 • dx■ 2 . f ax . ¡ i _I — = ln x + C x = Z,(x) + C Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos, por eso se escribe l n |x | . También puede expresarse con la notación L |x | , la cual usaremos con mayor frecuencia. En algunos casos, por comodidad, en lugar de poner el símbolo de valor absoluto | | se escribe, por ejemplo, L (x). Se debe usar como lo sugiera el profesor. Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final. Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 1 7 En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando la siguiente ley de los radicales: / — yjam = a " , en este caso m = 1 y n = 2 Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción aplicando la siguiente ley de los exponentes: — = a m am Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando. E jem plo : | x(x2 - 1)3£¿c = J (x2 - 1)3 x dx Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de integración. Ejem plo : J x 2dx * x jxc /x Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera del signo de integral. En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan lasoperaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios). Ejem plos: ■ 1 . J ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) í /x = So lución : Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que resulte será el integrando. (2x + l)(x - 3) = 2x(x - 3) + l(x - 3) = 2x2 - 6x + x - 3 = 2x2 — 5x —3 J (2x + l)(x - 3 )dx = J (2x2 — 5x — 3 )dx - J 2x 2dx - 1 5xdx - J 3 dx = 2 J x 2dx — 5 J xdx - 3 J dx = 2 v 3 . - 5 x^ 2 - 3 x + C = —x3 - — x2 - 3x + C 3 2 r * - 1 j ■ 2. dx = J x - 2 18 Cálculo integral So lución : Primero realizamos la división. El cociente que se obtenga será el inte grando. x 2+ 2x+4 x — 2 | x 3 — 1 - x 3+ 2 x 2 2 x 2 — 1 -2 x 2 + 4x 4x — \ ~4jc + 8 7 x3 -1 . A 7 = x + 2x + 4 + ------ x - 2 x - 2 x 2 + 2x + 4 + - x - 2 dx = J x2dx + J 2xt¿c + J 4c/x +1 = | x 2 dx + 2 J xé/x + 4 j ¿/x + 7 J Id x x - 2 dx x - 2 En la última integral u = x - 2; du = dx •'2 • dw u = — + 2 3 / o \x 4x + 7 — 1 / = - x3 + x2 + 4x + 7 LI m| + C 3 1 1 - = - x 3 + x 2 + 4 x + 7 Z , | x - 2 | + C 3 1 1 Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad. Ejem plo : • xdx x + 5 So lución: Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x + 5. Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte se descompone en dos integrales, xdx r x + 5 - 5r xdx _ r x + 5 x + 5 dx = f í ± 5 & + p L x + 5 x + 5 dx = J d x - 5J dx x + 5 Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que la integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u. u = x + 5 du = 1 (dx) = dx Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales: = [ d x —5 \ — J J U = x — 51n|w| + C Sustituimos el valor de u : f — = x -5 1 n |x + 5| + C x + 5 1 1 Recuerda que la diferencial de una función es dy = f'(x)dx, donde/'(x) es la derivada de la función. La derivada de x + 5 es 1 porque — x = 1 y — 5 = 0 . dx dx Ejercicios de repaso I. Calcula las siguientes integrales 1 10. 11. 1 Sol. x + C J3 dy Sol. 3y + C r dx J X Sol. L |x | + C 3 J x~A dx 4 1 Sol. — x 4 + C 7 J5 x 3dx Sol. —x 4 + C 4 J 2 bx3dx Sol. —x 4+ C 2 f —x* dx J 4 Sol. — x-n/x + C 2 f dy y 3 S o l .---- ]- + C 2 y 1* dx Sol. - x i + C 3 CÍ 4 2 1 V x x ) x5 x3 1 * T _ T _ 2 7 J yfxdx 4 i— Sol. - xVx + C Cálculo integral 12. | Vx7 dx dx x 1 2 5 r ax 13- 177=5 1 4. J 15. j* 5\¡5xdx (x - 3 )dx16. J 17. 1 • 1 • 1 x + 3 — — dx x + 1 x2 - 3x + 5 ~ i r x 'd x x - \ dx 20. j ( y + 2 ) ( y - \ ) d y 21. J-(4 - ^ r x -dx II. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. 1. íx 2dx = —— l-C J -3 2. [ ^ - d x = — y 7 + C J 2 14 3 . j5 x _l¿/x = Z,|x| + C Sol. - x V x 2" + C 5 So/. 3vx Sol. — j= - 5 y x + C Vx S o / . - ( 5 x ) - + C So/. x -6 Z - |x + 3| + C So/. x + l | x + i| + c 2 2 .! So/. — x : - 2x2 + 10x2 + C 5 X' X - I I So/. —- + — + x + L x - l + C 3 2 1 1 So/. 32Vx — - xVx + — x 2 Vx + C 3 5 2 , III. Calcula las siguientes integrales. 1. J Vx (2x2 + x - 3)dx x 2 + 3x + 2 x + 2 3 r (x -l)¿ /x J x + 1 dx Sol. 1. Falsa 2. Verdadera 3. Falsa Sol. — V 7 + — V 7 - 2 Vx7 + C 7 5 So/. — x 2+ x + C ? So/. x - 2 ¿ | x + l| + C Capítulo 3 Integración de una función compuesta Introducción La probabilidad y la estadística son herramientas que se utilizan en diversas disciplinas. En probabilidad m anejamos el concepto de valor esperado o esperanza matemática, que en el caso de una variable aleatoria continua se calcula con laoo siguiente integral: J x f(x )d x . Observa que en el integrando se tiene el producto — o o de x por una función tam bién en términos de x. Debido a que en cálculo integral no tenem os una fórmula directa para resolver esta integral, debem os realizar la multiplicación y después hacer la integración, proceso que puede resultar com plicado. Otra alternativa es aplicar el método conocido como sustitución o cambio de variable, el cual resulta más sencillo. Sustitución por cambio de variable A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito de todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la diferencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración. En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro caso, se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando. Ejem p los: Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial. ■ 1 . | sen I x ('l)dx du(x) Solución: Señalamos: u = Ix u(x) — I x Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy = f \x )d x . En este caso como tenemos u(x) = Ix , la fónnula será du(x) = f'(x)dx, con f \ x ) = ~ l x = l . dx du(x) = Idx Ix es la función y Idx su diferencial. Conceptos clave Método de sustitución Cambio de variable 22 Cálculo integral ■ 2. | eos 5 y dx u ( y ) J u 0 0 Solución: Señalamos: u = 5y u (y) = 5y Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso como la variable es y , u(y) = 5 y y du(y) = f(y )d y con f '{ y ) = — 5y dy du(y) = 5 dy 5y es la función y dy la diferencial (incompleta). Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando está incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que calculamos. En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos w(x) indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial. Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la siguiente forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a continuación: J sen I x {l)dx " du u = lx du = 1 dx Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la variable u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración te será de gran ayuda en cursos superiores. Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analizaremos varios ejemplos. Ejemplo: B l - J (x2 + 3): (2* )dx = Solución: Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir de la sustitución por cambio de variable y la otra es desarrollando la operación que se indicó en la página 27, del capítulo 2. Primero lo resolveremos por cambio de variable: J (x2 +3)2 (2x)dx-- u ( x ) d u ( x ) u = x2 + 3 u(x) = x2 + 3 dit(x) = 2x dx Capítulo 3 Integración de una fundón compuesta En este ejemplo du = f(x )d x , donde f \ x ) =— (x2 +3)2x. dx El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia de una función. Sustituyendo: = J u2 du Integrando: 3 Con el valor de w, queda: (x2 + 3)3+ C ¡ u " d u = " Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando: J ( x 2+3)2(2 x)dx = El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto ¡A n ó ta lo ! e integrar término a término. J (x2+3)2(2 x)dx= J (x4 + 6x2 +9)(2 x)dx = J (2x5 +12.x3 +18 x)dx = 2 J x 5d x+ 12 j x 3dx + \S J xdx 2 6 12 4 18 2 r -= - x b+— x + — x + C 6 4 2 = - x 6+3x 4+9 x 2 + C 3 Los dos resultados son correctos porque si desarrollamos el primerode ellos tenemos: n+\ - + c (x2+3)3 „ x6 + 9 x 4 + 27x2 +27 ^ - + C = ----------------------------+ C = - x 6 +3x4 + 9x2 +9+ C ¡Anótalo! J k f (x )dx = k \ f ( x ) d x La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son equivalentes. k es una constante E jem plo : ■ 1 • J eos 5x dx Para poder aplicar la fórmula J eos u du es necesario determinar si el integrando está completo o no; es decir si cuenta con su función y su diferencial. 24 Cálculo integral ¡A n ó ta lo ! cosudu = senu+C u = 5x u(x) = 5x é/«(x) = 5dx Para completar la diferencial en este ejemplo se tiene que multiplicar y dividir entre 5; lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está multiplicando por uno. = - J cos5x (5)dx ^ "(*) d u ( x ) Sustituyendo: Integrando: Con el valor de u, queda: = — í eos udu 5 = - senw + C 5 = -se n 5 x + C 5 E jem plo : ■1* J y j3 x - \d x = J(3x —1 y d x Solución: Para poder aplicar la fórmula J u"du es necesario identificar u(x) y calcular su diferencial du(x). J (3 x -1 )~2dx u = 3x — 1 u(x) = 3x - 1 du{x) = 3 dx Aquí observamos que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa multiplicando y dividiendo por 3. f 1 ~ J - i 3* "1)2 (3)<fr u { x ) du (X ) Se sustituye: = - J u2 du Se integra: 1 2 1 u2+1 3 3 2 + C Con el valor de u, queda: Capítulo 3 Integración de una función compuesta =-(3x-\ y + c 9 =-J(3x-iy+c 9 Los dos resultados son correctos. ¡Anótalo! 2 Como puedes observar del desarrollo de los dos ejemplos anteriores, para completar 1 = — el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad. Justificado el desarrollo, y por comodidad, se acostumbra proceder como se indica a continuación: E jem plos: ■ 1. Jsen7x£/x = — J sen7x (J)dx = — cos7x+C u = lx u(x) = Ix du(x) = Idx ■ 2. J*3cos3x£/x = sen3x + C Como pudiste notar en este ejemplo, la selección de la fórmula correcta se hizo mentalmente y no tuvimos que desarrollar el proceso señalado para la integración por sustitución. Para poder aplicar una fórmula de integración es necesario que en el integrando esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u{x) y su diferencial du(x). Es común que se cometan errores en el desarrollo de la integración por no saber identificar en forma correcta la función y su diferencial. En ocasiones, sucede que a la diferencial de la función le falta algún factor numérico y tenemos que hacer las operaciones necesarias para completarla. Al igual que en este apartado, en el resto del texto se incluyen conceptos y ejemplos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma J tan xdx, J cot xdx, j se cxdx, J esc xdx Como ya estudiamos el método de sustitución por cambio de variable, podemos aplicarlo para deducir las fórmulas de derivación de la J tan xdx, j* cot xdx, J* sec xdx, J esc x d x . Para J tan xdx Por trigonometría demostramos que: senxtanx = ------ cosx i 2 26 Cálculo integral de donde: J tanxcbc= J senxc/x co sx u = eos x u(x)= cosx du(pc) = -sen x dx Si multiplicamos dos veces por (—1) en el integrando y además sustituimos, tenemos: - í -(senxí/x) _ j du u cosx du Por integración: Con el valor de u, tenemos: =-L(u) + C = -L(cos x) + C además: -L (cosx ) = ln 1 secxV / = - ( l n l - l n secx) = - l n l + lnsecx como -L ( 1) = 0 se tiene que - L (eos x) = L sec x Por lo tanto: J tanx£/x = Z,|secx| + C Para J c o t x d x Demostramos en trigonometría que: cosx cotx = ------ senx de donde: J cotx d x - j eos xd x senx u = sen x m(x) = sen x du(x) = eos x dx Si sustituimos: du u _ j du Capítulo 3 Integración de una función compuesta 2 7 y luego integramos: = L (u ) + C con el valor de «, queda: = L (sen x) + C por lo tanto: J cotx£/x = Z-|senx| + C Para Jsec xdx Multiplicamos y dividimos el integrando por (sen x + tan x) secx-i-ianx _ j (sec2 x+secxtanx)¿/x secx + tanx u = sec x + tan x w(x) = sec x + tan x du{x) = (sec x tan x + sec2 x) dx Si sustituimos: _ f du u y luego integramos: = L (u ) + C Con el valor de u, tenemos: = L (sec x + tan x) + C por lo tanto: J secx£/x = Z-|secx+tanx| + C Se calcula en forma semejante a la J sec x dx. Multiplicamos y dividimos el integrando por (esc x - cot x) _ J (esc2 x-cscxcotx)¿/x esex —cotx U = CSC X — cot X w (x ) = CSC x — cot X du{x) = esc2 x - csc x cot x dx sec xdx = csc x(csc x - cot x)dx CSC x - c o tx 28 Cálculo integral Si sustituimos tenemos: _ j du u luego integramos: = L (u ) + C =L (esc x - cot x) + C por lo tanto: J cscx£/x = Z ,|cscx-co tx | + C ¡Aplícate! I. Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Qué elementos debe tener el integrando de cualquier integral para poder aplicar una fórmula de integración? 2. ¿Cuál es el objetivo de aplicar el método de sustitución o cambio de variable? 3. ¿Qué debes hacer si al calcular la diferencial de una función ésta no se encuentra completa en el integrando de una determinada integral? II. Calcula las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4. 5. 6 . 7. (x2- 6 )4 xd x 2 xdx \¡4+ 3x2 2 (x3 + 3x2)3 (x2 + 2x) dx -sen{ay+ \)dy 2sen(6x)t/x cos(3x+2)¿& f \ - ta n — dy 2 / SoI . - ( x2- 6 ) 5 + C 10 Sol.~ ^ 4 + 3 x 2 +C 3 Sol. — (xJ + 3x2 y + c Sol. — c o s ( étf + 1 ) + C a Sol. - —cos(6x) + C Sol. - cos(3x+ 2 )+ C S o l . - 2 L sec- + C Capítulo 3 Integración de una función compuesta 8. | - sen ( \ X dx Sol. a eos i V + c aV <a J 9. J ( 2 x - 5 x 2)(2 -1 0 x)dx 10. J 5V5x d x 11 - J (4jc3 — 2jc)(jc4 — jc2 —5f d x 12. J 4x 3dx 1 + x 13 r l+ 2 x ' x + 2 15 .1 - -dx 16. 17.. J (x+2)(x-1)í/x Sol. — (2x - 5x )2 + C 2 Sol. — (5x)2 +C i Sol. I ~ 5 ^ + c Sol.L 1 + x4 + C So/. L 1 + 2x + C So/. x + / J x + l + C S o / . - x 2- 2 2 + 10.x2 + C 5 r x3 dx J x — 1 So/. — + — + x + ¿ | x - l | 3 2 1 1 S0I. — + - — 2 x + C 3 2 Ejercicios de repaso I. Calcula las siguientes integrales: 1. j * dx So l.x + C 2. | dx Sol.L \x\ + C X I 1 r 3 4 \ _ 3. x 4 dx S o / . — x 4 + CJ 7 4. í 5 x 3dx S o / . — x4 + Cj 4 5. | 2 bx'dx S o / . - x 4 + C 0 30 Cálculo integral I 4 2 1 1x - x + --------- X3 X2 dx 7. J 5(5jc — l)3 3 . J yfx dx i. J - dx ( x - i y 10. J yjx2dx 11. J X3 v x 2 12 13 í —x 2dx ' J 4 f dx x3 f c/x • j - 2 14 15. J 16. J (x+1)2 dx 17 • J (x -2 )4 18 J (x-3)c/x (x + 3) 19. J (x3 - 5x)5 (3x2 - 5) dx 2 0 . J >/x — 2 d x 21. J 3 ¿ x 22. J 2x(x2 - 3 ) 2dx _ , x5 x3 1 1 _ S o /.-----------------+ - + C 5 3 2x2 x Sol. — (5x - 1)4 + C 4 So/. - y f 7 + C Sol. — - + c 4 (x - l)4 Sol. - x 3+C 5 So/. 7=r -1 5 V x + C So/. — x V x + C 2 So/. — +C 2x2 So/. - x 3 + C So/. 1 (x+1) So/. 3lfx + C -+C Sol. 1 3(x -2 )3 - + C Sol. x —6 ¿ x + 3 + C Sol. — (x3 -5 x )6 + C 6 So/, - ( x - 2 ) 2 + C 3 Sol. 3x + C Sol. - ( x 2- 3 )3+ C 3 Capítulo 3 Integración de una función compuesta 31 2 3 . 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 3x2(x3- l ) 3cft (3x + 4)2 dx W x 2 + 4 dx x 2 dx x3 - 2 $ydy V V + 3 (5x - 1)3 dx 6 x 2 dx x3- l xd x (x + 2)2 X y ] ( 5 — X 2) dx 3x2 V 3 -4 x (x+2) c/x x2 +4x(x3 + l)2x 2¿/x 5x3 - dx ,dx 2 x \¡3 -2 x 2dx x ^ 3 —x 2dx Sol. — (x3 - l ) 4 + C 4 Sol. ^ (3x + 4)3 + C Sol. - ( x 2+ 4 )2+ C 3 Sol. - - / J x 3 - 2 I + C Sol. - J 2 / + 3 + C 2 Sol. — (5x-1)4 + C 20 Sol. 2L x3- l \+C Sol. L x + 2 ---------+ C (x+2) Sol. — (5- x 2y + C 3 Sol. — V 3 -4 x3+ C So/. — L x" +4x + C 2 1 So/. ~ (x 3 + 1)2 + C Sol. — - + C 8(x4 - 1)2 Sol. — (x3 - l ) 4 + C 9 So/. — (3 -2 x 2)2 + C 3 Sol. — (3 - x 2)3 + C Capítulo 4 Constante de integración Introducción En tu curso de geometría analítica aprendiste a identificar las curvas que representan a ciertas ecuaciones. Por ejem plo, recordarás que y = x2 + 3 es la ecuación de una parábola vertical que abre hacia arriba y cuyo vértice está en el punto (0,3). Si calculam os la diferencial de esta misma ecuación obtenemos dy = 2xdx. En este ejem plo realizamos la operación inversa, es decir, integramos y obtenem os y = x2 + C, que no es exactam ente la expresión que derivamos. En este capítulo aprenderás a calcular el valor de C para así obtener la ecuación exacta de la parábola. Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y: donde C es la constante de integración. Por cada valor de C,, C2, C3,... de C, se obtiene una función primitiva x2 + C,, x2 + C2, x2 + C3,... De hecho, la expresión y = x2 + C representa una familia de parábolas paralelas con el mismo valor de la pendiente para cada punto. Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se va a integrar y algunos otros datos, procedimiento que ilustraremos en los siguientes ejemplos. Ejemplos: ■ 1. Determina la función y = f(x ) , tal que f ( x ) = 9x1 - 6 x + 1 cuando / ( l ) = 5. y = 1 2x dx = x 2 + C Cálculo del valor numérico de la constante C So lución: Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1 ,5 ) Como y = /(x ) dx dx pero dx dy 2 entonces ~7~ = ^ x “ +1dx 34 Cálculo integral dy = (9x2 - 6x + 1 )dx Integrando: J dy = (9x2 - 6x + 1) dx = 9 J x 2dx - 6 J x dx + 1 dx 9x' 6x2 _ = + x + C 3 2 y = 3x3 — 3x2 + x + C Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 p a ra /( l) / ( l ) = 3(1)3 - 3(1)2 + 1 + C = 3 - 3 + 1 + C condición que señala el problema: /(1 ) = 5 5 = 1 + C 5 - 1 = C C = 4 al sustituir el valor de C: y = / ( x ) = 3x3 - 3 x 2 + x + C y = 3x3 - 3x2 + x + 4 2. Calcula el valor de la constante de integración cuya f { x ) = x2 + x - 2 cuando/(1 ) = 6. Determina también la función. So lución: Es una función que se cumple en el punto (1 ,6) como y = /(x ) . dy d f(x ) se tiene que: — = - pero, dx dx df(x) dx = x ' + x - 2 dy 2 entonces: — = x + x - 2 dx dy = (x2 + x - 2) dx Integrando: J dy = J (x2 + x — 2) dx = j* x2 dx + J x dx — 2 J dx x2 * 2y = ---- 1-------2x + C 3 2 Capítulo 4 Constante de integración 35 Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 6 p a ra /( l) /(1 ) = ~ + Íy 1-2 (1 ) + C = - + —- 2 + C 3 2 2 + 3 -1 2 ^ = -------------+ C6 = - —+ C 6 condición que señala el problema: / ( 1) = 6 6 = + C 6 6 + — = C 6 6 sustituyendo el valor de C: v 3 V 2 y = / (* ) = _ + 2X + C 3 2 x3 x2 „ 43y = — l-------- 2x H----- 3 2 6 Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación. ■ 3. Determina la función cuya f '{ x ) = x2 - 2x + 4 tenga el valor de 6 cuando x = 2 Solución: Es una función que se cumple en el punto (2, 6) como y = f (x ) . dy d f{x)se tiene que: — = J dx dx df{x) 2 o „ pero, J v = x - 2 x + 4 dx entonces: - ^ = x2 - 2 x + 4 dx dy = (x2 - 2x + 4)dx Integrando: \ d y = ¡ ( x 2-2 x + 4 )d x = J x 2d x - 2 J x dx+4 J dx X 2 X ~ A ry = + 4 x + C 3 2 x3Calculamos el valor de C cuando y = - x2+ 4x + C tenga el valor de 6 cuando x = 2 2 / ( 2 ) = ^ - ( 2 ) 2+4(2) + C = — 4 + 8 + C 3 8 -1 2 + 2 4 ^ = + C 3 Condición que señala el problema: / ( 2 ) = 6 ~ 6 = — + C .j i J 3 c = - " 3 Comprobación: Sustituyendo el valor de C: y = / ( x ) = — — x2 + 4 x + C ? 3 ?6 = ------22 + 4 (2 ) - — 3 3 6 = - - 4 + 8 - — 3 3 , 8 -1 2 + 2 4 - 2 6 = ------------------- 6 = 6 Significado geométrico de la constante de integración x2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la constante de integración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = /(x ). Capítulo 4 Constante de integración Si de / '(x ) = 2x se quiere obtener la familia de las funciones f(pc) que tienen como derivada a 2x, se tiene entonces: dy = f \ x ) d x Integrando: J dy = J 2x dx (1) y = x2+ C donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo 3, 0, -2 se tiene de la ecuación (1) las siguientes expresiones: y = x2 + 3 cuyos lugares geométricos son parábolas que intersecan al eje de las y a distancias del origen de 3, 0, -2 , respectivamente. dy Todas estas parábolas tienen el mismo valor — , es decir, tienen la misma pendiente dx 2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas permanece igual para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de ninguna de estas parábolas. Si establecemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo pase por el punto (1 ,3 ), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la expresión y = x2 + C, de donde: y = x2 + C 3 = ( i y + c C = 3 - 1 C - 2 Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide es y = x2 + 2 Tabulando y = x2 + 2 X 0 1 2 y 2 3 6 / (x ) = x2 + 2 /(O ) = 0 + 2 = 2 /( l ) = O)2 + 2 = 3 /(2 ) = (2)2 + 2 = 6 ,y i y = x r y = x y y = x2- y = x2 + 2 / (1* 3) Conceptos clave Integrales inm ediatas Identidad pitagórica Identidad trigonom étrica recíproca Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas Introducción En el capítulo 3 analizamos el método de sustitución para resolver una integral. En una gran cantidad de integrales no es tan obvio el cambio por realizar, ya que en otras es necesario realizar algún procedimiento previo a la sustitución. En este capítulo aprenderás algunos de los procedimientos más comunes para resolver una integral donde intervienen las funciones trigonométricas directas por el método de sustitución o método de cambio de variable. Recordatorio de trigonometría En tu curso de geometría y trigonometría comprobaste las funciones e identidades siguientes: 1 n ;— eos*sen x = ------ = -v/l — eos x = tan x eos x = ------- cot x cot x 1 r o— sen*cosx = ------= V I-sen x = cot xsenx = ------- sec x tan x 1 i 2 7 senxtanx = ------ = Vsec x - l = -------- cot x eos x 1 i 2 7 cosxcotx = ------ = V esc x —1 = ------- tanx senx sec x - —!— = -y/l+tan2 x cosx cscx = —!— = -y/l+cot2 x secx Funciones trigonom étricas recíprocas senx esc = 1 1sen x = ------ esex cosx secx = 1 1co sx = ------ secx 40 Cálculo integral secx = ------- cosx tan x cot x = 1 1tan x = ------ CO tX 1cot X = ------ tanx Identidades trigonom étricas del teorem a de Pitágoras sen2 x + eos2 x = 1 sen2 x = 1 - eos2 x eos2 x = 1 - sen2 x sec2 x - tan2 x = 1 tan2 x = sec2 x - 1 sec2 x = 1 + tan2 x esc2 x - cot2 x = 1 esc2 x = 1 + cot2 x cot2 x = esc2 x - 1 Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas Algunos procedimientosde integración de las funciones trigonométricas directas El integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial Ejemplo: Solución: Capítulo 5 Ir :egrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas En el integrando tenemos dos funciones: una elevada a un exponente dife rente de uno y la otra elevada a la potencia uno. Como primera opción elegi mos u = senx porque es la función que está al cuadrado y podríamos usar la f un+lfórmula J u"du = l-C, siempre y cuando en el integrando esté la du. n + 1 u = sen x u(x) = sen x du(x) = eos x dx Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene: = 3 J u2 du Integrando: = 3— + C 3 Con el valor de u queda: = sen3 x + C Sustitución del integrando por una identidad pitagórica Ejem plo : ■ 1 . J ta n 27x£/x So lución: Dado que en las fórmulas de integración de funciones trigonométricas directas sólo las funciones secante y cosecante están al cuadrado, aplicamos una identidad trigonométrica para expresar la tan2 Ix en términos de una de estas funciones. Como tan2 x = sec2 x - 1 Sustituyendo en el integrado: = J (sec27x-l)£&; u = l x w(x) = 7x du(x) = 1 dx Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7: = - f (sec2 7 x - 1)7 dx 1 = ~ \ (sec2 7x(7) dx — \ j \ l d x Integrando: = — tan7x —x + C 7 42 Cálculo integral ¡Anótalo! Sustitución del integrando por una identidad trigonométrica recíproca E jem plos: -3 dx■ 1• I sen2 x Solución: Como en el caso anterior, tenemos que expresar sen2x en función de la secante o la cosecante, que son las funciones que están al cuadrado en las fórmulas de integración. Como esc x — —-— sen x Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos: 1 CSC" X = - sen x Si sustituimos en el integrando: = -3 J csc2x dx Integrando: = — 3(-cot x) + C = 3 co tx+ C ■ 2 • J dx eos2 xV tan x + 2 Solución: Como secx = — — cosx Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos: (+)(+) = + ^ , <+ )(-)= - sec2* = — — <-)<+)— Si sustituimos en el integrando: _ j* sec2 x dx v tan x +2 _ j* sec2 x dx ( ta n x + 2 )2 Si la función es: u = tan x + 2 u(x) = tan x + 2 du (x) = sec2 x dx Se sustituye en el integrando: = J u 2 du Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 43 Integrando: 1 = 2 u 2+C Con el valor de u, queda: = 2 (tanx+2 )2 +C = 2>/tanx+2 + C ¡Anótalo! ¡a = a- =a ■ 3• i sen3x -dx = ( l-co s3 x ) = J(1 - eos 3x) "3 sen 3x dx Solución: Si la función es: u = 1 - eos 3x w(x) = 1 - eos 3x du{x) = sen 3x(3) dx Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 3: = i J (1 - eos 3x)~3 sen 3x(3) dx Si sustituimos en el integrando: = — í u~3du 3 J Integrando: -2 + C -6 -+ C 1 ■+c 6u2 Con el valor de u, queda: 1 -+C 6(1 —eos 3x)2 Multiplicación del integrando por su conjugado Ejemplo: ■ 1. J dx 2 + 2cosx 44 Cálculo integral J f 1 f \ 2 -2 c o s x 2 + 2 co sx 2 -2 c o s x ^ / Solución: Como el conjugado de (2 + 2cosx) es (2 - 2cosx), multiplicamos el numerador y el denominador del integrando por dicho conjugado. dx El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados. f 2 -2 c o s x = I -------------------------------dx (2+2 eos x)(2 — 2 eos x) Factorizando: f 2 -2 c o s x , = J -----------— dx 4 -4 c o s x = J 2(1~ C0S,X) ¿V 4 (l-c o s “ x) 2 1 Reduciendo — = — y extrayéndola del símbolo de integración, tenemos: ¡A n ó ta lo ! = I f l ~ cosx dx 2 1 — eos2 x (a + b) {a - b) = a2 - b2 Como sen2 x = 1 - eos2 x Sustituyendo: 1 f 1 -co sx = 1 f 1- cf x dx = I J — ^ L d xO * 2 O 22 sen x 2 sen x 1Como esex = senx cosxcot x = ------- ; esc x : senx secx Al sustituir en los integrandos tenemos: = — í csc2x ¿ A -— ícotxcscx¿/x 2 J 2 J Integrando: 1 1= — c o tx + —cscx+ C 2 2 Multiplicación y división del integrando por una misma cantidad Ejemplo: ■ 1. J tan2xVsec2x dx Si multiplicamos y dividimos el integrando por Vsec2x, tenernos: Capítulo 5 integrales inmediatas. Fundones trigonométricas directas Solución: = | tan 2x V sec 2x V sec 2x vsec 2x dx = í tan 2x sec 2x Vsec2x dx = | (sec2x) 2 tan2xsec2x¿/x Si la función es: u = sec 2x w(x) = sec 2x du(x) = tan 2x sec 2x(2) dx Sustituyendo el integrando y multiplicando y dividiendo por 2 para completar la diferencial: 1 r - = — J (sec 2x)2 2 tan 2x sec 2x dx 1 f - 1= — u 2du 2 J Integrando: = I ^ + C 2 1 2 = w2 + C Si sustituimos el valor de u, queda: = Vsec2x + C Descomposición de una parte del integrando en sus factores Ejemplo: f sen xd x B l - J —eos X Solución: 46 Cálculo integral sen xComo tan x = ------- ; sec x = ------- , tenem os: cosx cosx = J tan x sec x dx Integrando: = sec x + C Desarrollo de algunas operaciones algebraicas en el integrando E jem plo : ■ 1 . J (secx+ tanx)2 = So lución : Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto, tenemos: = J (sec2x + 2 sec x ta n x + ta n 2 x)dx = J sec2x dx + 2 j sec x tan xd x+ J tan2xd x Como tan2 x = sec2 x - 1 Integrando la primera y la segunda integral, y sustituyendo la identidad en la última: = tanx + 2secx+ J (sec2x - l)¿ /x = tanx + 2secx + J* sec2x d x - J dx Integrando: = tan x + 2 sec x + tan x - x + C = 2 tan x + 2 sec x - x + C = 2 tan x + 2 sec x - x + C Ejem p los: Integrar las siguientes expresiones: ■ 1 . J 3cos (3x-l)c /x = Solución : u = 3x — 1 u(pc) = 3x - 1 dii(x) = 3 dx = ~ J eos (3x- 1)(3) dx Sustituyendo: = J eos u du Capítulo 5 Ir tegrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas = sen u + C Si sustituimos el valor de u, tenemos: = sen (3x - 1) + C f 22 . sen —x dx = J 3 S o l u c i ó n : 2 Integrando: u = —x du(x) = — dx Multiplicamos y dividimos el integrando por — : 1 f 2 f 2 3 fsen—x dx = — sen udu 2 3 ? ) 2 J 3 Integrando: 3 = — eos u+C 2 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 3 2= — eos—x+ C 2 3 3. J sen3x dx = S o l u c i ó n : u = 3x u(x) = 3x du{x) = 3 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = - í sen3x(3)dx 3 J = - í sen udu 3 J Integrando: = — cosw + C 3 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = - - c o s 3 x + C 3 48 Cálculo integral ■ 4. sen2xcosxt/x = So lución: u = sen x u(x) = sen x du(x) = —eos x dx Integrando: 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = - - s e n 3 x + C 3 u(x) = X2 du{x) = 2x dx Multiplicamos y dividimos el integrando por 2: = — sen u du 2 J Integrando: = — — eos u du 2 Si sustituimos el valor de u, queda: = - —cosx2 + C En el curso de cálculo diferencial se estableció que: sen2 x = (sen x)2 Estas expresiones son diferentes a sen x2, pero todas ellas tienen validez, como pudiste observar en los ejemplos anteriores. So lución: W = X n + 1 So lución: Como cot2 y = esc2 y - 1 Sustituyendo en el integrando: = J (esc2 y -1 ) dy - j* esc2 y dy - J dy Integrando: = -c o t y - y + C dx sec(3x -1 ) S o l u c i ó n : Como cosx = —-— secx Sustituyendo en el integrando: = J cos(3x -1 ) dx u = 3x — 1 u(x) = 3x — 1 du(x) = 3 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = i J cos(3x - 1)(3) dx = — í eos u du 3 J Integrando: = - sen u + C 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = i sen(3x -1 ) + C _ f eos 3x , f _2 - ,a 8. J — dx= J sen 3x eos 3x dx sen2 3x S o l u c i ó n : u = sen3x u(x) = sen 3x du(x) = eos 3x (3) dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = ~ I sen23xcos3x(3)dx = — í u~2du 3 J Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas Integrando: -1 + C -3 = +C 3 u Si sustituimos el valor de u, tenemos: 1 3sen3x f -3 dx J 2^sen 2x So lución: Como cscx = - -+ C 1 senx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 1 CSC" X = - sen x Sustituimos en el integrando: = J -3 esc2 2xd x u = 2x u(x) = 2x du(x) = 2 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2: = ~ ~ J csc2 2x(2)dx = - — í csc2 u du 2 J Integrando: = — (— cotw) + C 2 3 = —cot u+C 2 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 3 = —cot2x + C 2 Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 51 no,• i tan 5x dx _ eos2 5x Solución: Como sec x = — — cosx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 1 eos2 X Si sustituimos en el integrando, obtenemos: = | tan 5x sec2 5x dx u = tan 5x u(x) = tan 5x du(x) = sec2 5x (5) dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5: = i J tan 5x sec2 5x(5) dx = — í u du 5 J Integrando: = I ^ + C 5 2 Si sustituimos el valor de w, tenemos: 1 (tan5x)2 -+ C = — tan2 5x+C 10 ■ 11 • J dx 5+5cosx Solución: Multiplicamos el integrando por el conjugado del denominador: = 1 / \ 1 \ 5 -5 c o sx ^5+5cosx 5 -5 c o sx dx _ | 5 -5 c o sx ^ (5+5 eos x)(5 - 5 eos x) f 5 -5 c o sx . = J --------------— dx 2 5 -2 5 eos x 52 Cálculo integral Factorizando: f 5(1- eos x)= J — dx 25(1 - eos2 x) Como sen2 x = 1 - eos2 x Sustituimos en el integrando y reducimos — : , , 251 f 1 -co sx , = 7 J - - - — *5 sen x Separamos en dos integrales: = 1 J 1 5 sen' x 5 sen2 x - í — ■a J 2 5 sen x ( \ f cosx 1 senx senx y dx 12• 1 — 5 dx eos2 xVtanx+1 So lución: Como sec x = —— cosx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 1sec" x = - eos2 x Sustituimos en el integrando: = s | ,sec2* dx Vtanx + 1 = 5 j m i y (tanx+1)2 = 5 1 (tan x + 1) 2 sec2 x dx ^ ' -) 1 cosx 1 Como esc x = ---- — ; cot x = ------- ; esc x = ------ sen2 x senx senx Sustituimos en los integrandos: = — Í c s c 2 x é /x - - íco tx cscx í/x 5 J 5 J Integrando: = - ^ c o t x —^ ( -c s c x )+ C • 1= — c o tx + -c s c x + C 5 5 Capítulo 5 I ntegrales inmediatas. Fundones trigonométricas directas u = tan x + 1 u(x) = tan x + 1 du(x) = sec2 x dx = 5 J u '-du Integrando: = 5— +C 1 2 Sustituyendo el valor de u, queda: = 1 Os/tan x+1 + C 13. J sec4 x d x = Solución: Como sec4 x = sec2 x sec2 x = | sec2 xsec2 xd x Además, sec2 x = 1 + tan2 x Sustituimos en el integrando: = J (1 + tan2 x) sec2 x dx = J (sec2 x + tan2 x sec2 x) dx = J sec2 xd x+ J tan2 xsec2 xd x u - tan x w(x) = tan x du(x) = sec2 x dx Integramos la primera integral y realizamos el cambio de variable en la segunda: = tanx+ | u2du Integrando: w3= tan x H----- l-C 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = ta n x + - ta n 3x + C 3 14- J se n 3x d x = J se n x se n 2x d x So lución: Como sen2 x = 1 — eos2 x 54 Cálculo integral Sustituimos en el integrando: = | sen x(l - eos2 x) dx = J sen x - sen x eos2 x dx = J sen x d x — \ sen x eos2 x dx u = eos x u(x) = eos x du(x) = - sen x dx Integramos la primera integral y hacemos el cambio de variable en la segunda integral: = -c o s x = -COSX+ Integrando: “ (— J* u2 du^ | u2du — — COSXH— u + C 3 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 1 3 = - COSX + -COS X + C 3 ■ 15. Jcsc5xcot5x£/x = So lución: u = 5x u{x) — 5x du(x) = 5 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5 1 = - | esc 5x cot 5x(5) dx = - í esc u cot u du 5 J Integrando: = - - c s c u + C 5 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = - - c s c 5 x + C 5 16. J (tan2 3x - sec2 5x) dx = = J tan2 3 x d x - | sec2 5x d x Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 55 So lución: Como tan2 x = sec2x - \ , entonces tan2 3x = sec2 3x - 1 Sustituimos en el primer integrando: = J (sec2 3x - 1) dx - J sec2 5x dx u = 3x w = x u{x) = 3x w(x) = 5x du(x) = 3 dx dw(x) = 5 dx Multiplicamos y dividimos el primer integrando entre 3 y el último entre 5: = ^ J sec2 3x(3) dx - J dx - ^ J sec2 5x(5) dx Hacemos los cambios de variable: = — [sec2 u d u - [ d x—— [sec2 wdw 3 j j 5 j Integramos: 1 1= - tan u —x — tan w+C 3 5 Sustituimos el valor de u y el valor de w para obtener: = - tan 3x - x - - tan 5x+ C 3 5 f tan 6x ,■ 17. J dx — eos2 6x So lución: 1 1Como sec x = ------- , entonces sec 6x = - cosx cosóx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 2 a 1sec 6x = - cos2 6x Sustituimos en el integrando: = j* tan 6x sec2 6x dx u = tan 6x w(x) = tan 6x du(x) = sec2 6x (6) dx Multiplicamos y dividimos entre 6: = — | tan 6x sec2 6x(6)dx 6 = — \ udu 6 J Integrando: = I^ 1 + C 6 2 Cálculo integral Si sustituimos el valor de «, obtenemos: = — tan2 6 x + C 12 So lución: Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto: = J (sec2 x - 2 sec x tan x + tan2 x) dx Como tan2 x = sec2 x - 1 Sustituimos en el integrando: Integrando: = 2 tan x - 2 sec x - x + C Factorizamos el número 2 en el primer y segundo términos: = 2 (tan x - sec x) - x + C i ■+■ sen x So lución: Multiplicamos el integrando por su conjugando del denominador: / \\ í 1 X o v i l JV J ------------ dx 1 + s e n x ^ l-s e n x 1 1 - sen x (l+ sen x )(l-sen x ) i - sen- x Como 1 - sen2 x = eos2 x Sustituimos en el integrando: eos x Como sec x = ------- ; eos" x = cosxcosx cosx Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 57 Sustituimos en los integrandos: = J sec2 x d x - \ senx dx cosx cosx\ / senx 1LOino = tan x; sec x = ------ cosx cosx Sustituimos el segundo de los integrandos: = J sec2 xd x - ^ tan x secx dx Integrando: = tan x - sec x + C tan x - sec x + C f E je r c ic io s d e re p a s o I. Calcula las siguientes integrales. Se 1. J sen4 y eos y dy 2. f sec2 J yJ r- dy 2 J y 3. f 6 dx 4. J eos2 5ysen5ydy 5. J 3xsenx2¿/x 6. J 7 tan2 x dx 7. f dy (3 + ^ )5 8. J cos4x<7x 9. _ i J x 3dx 10. f dx J ~3 Sol. - sen3 y + C 5 Sol. tan J y + C So l. hC*> X Sol. — —eos3 5 v+ C 15 Sol. — cosx ' +C 2 Sol. 7 ta n x -7 x + C 1 Sol. 4(3+ y)4 - + C Sol. —sen 4x + C Sol. - V ? + C Sol. — + C 2x2 Cálculo integral 1 1 . | sec2 2x dx 1 2 . ¡3 y l¡2 y 2- * d y 13. J eos4 3y sen 3^ dy 14. J sen3y c o sy d y 15. J ( 2 - y 3f d y 16. J 5 tan2 y dy 17. J tan2 (3x -1 ) dx 18 . J (1 + y 3)2dy 19. J x 3 eos x 4dx 20. J sen2 3.x eos 3x d x 21. | tan5 2x sec2 2x dx Sol. — tan 2.x+ C 2 Sol. — ( 2 / - 8 ) 3+ C 16 So l. cos53 v + C 15 Sol. — sen4 y+ C 4 Sol. 4y - y 4 + — + C Sol. S ta n ^ -S y + C Sol. -tan(3x — 1) —x + C 3 4 7 Sol. v + ----+ —---hC 2 7 Sol. —senx4+ C 4 Sol. —sen 3x + C 9 Sol. — (tan2x)6 + C 12 (tan 2x)6 = tan6 2x 22 5 dx ^ eos2 x >]tan x - 2 23. J ta n 22y d y 24. | tan4 x dx 25. J ( i -x fy f^ c d x 26. j l ± l dx x 3 Sol. 1 0 (tan x -2 )2 + C Sol. — tan 2 y —y + C ? ' Sol. - t a n J x —ta n x + x + C 3 So/. ± x 4 ~ x - * x í 4~x + 3 5 Sol. — hC x~ x -J I ( O Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricasdirectas 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. sec 5xd x csc (3+5x)dx 2 dy sen 5y (sen3 2 yco s2 y )d y (tan2 3x - sec2 3x) dx 3 -c o sx sen2x -dx 1 sen2^ dy 3 *3 ^csc—x cot — x dx 4 4 Sol. - ta n 5 x + C 5 Sol. -~ co t(3 + 5 x )+ C Sol. — co t5v+ C 5 Sol. - ( s e n 2y f + C 8 Sol. - x + C Sol. -3 c o tx + c sc x + C Sol. -c o t v + C 4 3 Sol. — csc —x + C 3 4 II. Para cada una de las siguientes integrales indica cuál de los procedimientos vistos en el capítulo aplicarías para resolverla. 1. | tan2 axdx - í dysen y — 3 Sol. Sustituir el integrando por una identidad pitagórica.. Sol. Multiplicar el integrando por su conjugado. 3. j* - e o s 2 3x sen 3x dx J - dx eos- ax 5- j* sec2 yyJtany+5 dy Sol. El integrando es el producto de una potencia trigonométrica por su diferencial. Sol. El integrando se sustituye por una identidad trigonométrica recíproca. Sol. El integrando es el producto de una potencia trigonométrica por su diferencial. 60 1 : Cálculo Integral III. Calcula las siguientes integrales: 1. 4 J sen 5x eos3 5xd x Sol. 3 - — cos35 x+ C 35 2. j 2 tan2 5xd x Sol. 2 — tan 5 x -2 x + C 5 3. f dy sen2 by f tan x , J -------- / — “x eos xV s e c x - 1 Sol. —cot by+ C b 4. Sol. 2> /secx-l +C 5. f 2 dx Sol. 1 + cJ _____3 .. 1 V_'__2 ..secasen3 x sen2 x Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas Introducción En este capítulo analizaremos las últimas fórmulas básicas de integración. Con esto darem os por term inado el estudio de las integrales inmediatas. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas f du u „■■■ = are sen— hC a f du 1 uJ — - = — are tan — f- C a +u~ a a f du 1 u _ J — 7 = = = = = —are sec—+ C uyju2- a 2 a a Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas inversas E jem plos: ■ 1. Integrar: r dx s l9 - x 2 ~ Solución : r du u Para aplicar la fórmula J - y ^ = are sen — + C , es necesario identifi- Va2 - w2 a car los valores de a2, a , w2, u y calcular u{x) y du{x). Cálculo integral El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su diferencial. De este modo, podemos aplicar la fórmula de integración citada. r — —— = f 1 s ¡ 9 - x 2 J y¡a%- u 2 Integramos: u _ = are sen— + C a Al sustituir los valores de a y de u: du = are sen— + C 3 ¡A n ó ta lo ! d\ ac bd ■ 2 •1 dx 3+4x So lución: Para aplicar la fórmula í ——— = — are tan — + C se identifican los a2 +u2 a a valores de a2, a , u2, u y se calculan u(x) y du(x) a2= 3 u2 = 4x2 a = y] 3 u — 2x u(x) = 2x du(x) = 2 dx Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 2. Con este procedimiento no se altera el valor del integrando porque se está multiplicando por 1: . 2 dx 2 3+ 4x2 Sustituimos en el integrando: 1 f du41-2 J a2+u2 Integramos: are tan—+ C a Con los valores de a y de u, tenemos: Capítulo 6 ! itegrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas ■ 3. í dx = J x +2 Solución: Identificamos a2, a, u2, u y calculamos w(x), y du(x) a2 = 2 u2 = x2 a = y/2 u = x u(x) = x du(x) = dx Sustituimos en el integrando: = 3 f ——— ^ u2 -Va2 Integramos: 6 = 3 ' O are tan— + C a Con los valores de a y u, tenemos: = 3 are tan —¡= + C •J2 3 x ^= —¡= are tan—-¡= + C v 2 -v/2 Estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integración. En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan a continuación. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes Ejemplo: f x + 4 j ■ 1. , d x - J Solución: Separamos en dos integrales: ¡ n J = d x + \ J J T x 2 J u = 9 - x2 u{x) = 9 — x2 du(x) = — 2x dx -dx Multiplicamos y dividimos entre (-2 ) la primera integral: 1 ^ d = — í x ( 9 - x 2) 2{—2)dx + 4 f . 2 J 9 - x 2 Para el resultado de la segunda integral, tomamos el del primer ejemplo de este apartado: | u 2 du + 4 are sen — + C Integramos: 1 M2 . X ^= b 4 are sen — h C 2 1 3 Con el valor de u, tenemos: = - ( 9 - x 3)2 + 4 a rc s e n - + C 3 Este resultado se puede expresar en la forma siguiente: = - y ¡ 9 - x 2 + 4 arcsen —+ C 3 El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ax2 + bx + C, esté dentro o fuera de un radical de índice 2. Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes: yju2 + a2 • du a2 — u2 du r du u2 Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando el integrando incluye funciones cuadráticas. En el curso de aritmética y álgebra aprendiste que para completar un cuadrado debes sumar a la expresión el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. V 2 V , 2 j , 2 , x 2 + bx + c = x 2 + bx + Observa que para conservar la igualdad hemos sumado y restado f >L2 \ 2 / Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 65 E jem plo : il ■ h 6dx x - 4x + 8 So lución: Al completar el cuadrado del denominador, se tiene: x2 - 4x+ 8 = (x2 - 4x + 4) - 4 + 8 = (x - 2 f + 4 El tercer término del trinomio se obtuvo con la mitad de b al cuadrado ¡Anótalo! ' 4 ' 2 v 2 , = 22 = 4. Recuerda que la factorización del trinomio cuadrado perfecto es un binomio formado por la raíz del primer término, el signo del segundo y la raíz del tercero, elevado al cuadrado. = 6J : dx ( x - 2 ) 2 + 4 u2 = ( x - 2)2 u = x - 2 u(x) = x - 2 du(x) = dx Sustituimos en el integrando: u + ü~ Integramos: = 6 ' i ' are tan— + C a Con los valores de a y u, tenemos: x - 2 = 6 v 2 y are tan- - + C ¿^ = 4 a — 2 6 x - 2 _ = — are tan + C 2 2 x - 2 „ = 3 are tan h C Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo E jem plo : ■ 1• J dx yj3x~: 66 Cálculo integral Solución: Si se completa el cuadrado del denominador tenemos: 3 x - x 2 = - (x2 - 3x) x 2 - 3 x + f _ \ 2 f ~ 2 í-1 _ 3 , 2 , 3 x — 2 \ 2 Observa el signo menos que precede a los corchetes. 3 ^ 2 x — 2 2 2\ 2 í 3a = — 2\ 3 a = 2 3 x — 2 u = x — 2 \ 2 u(x) = x - ~ du(x) = dx Al sustituir en el integrando: _ j dx í 2 í 31 - x —l 2 du u Integramos: u , „= are sen—+C a Con los valores de a y u, tenemos: 3x —2 = are sen —+C 3 2 2 x -3 = are sen— - — + C 3 Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas = are sen 2(2 x -3 ) ( c 2(3) = are sen 3 Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad Ejem plo : So lución: Factorizamos la expresión 2x2 - Sx antes de completar el cuadrado. 2 x2 - 8 x + 9 = 2(x2 -4 x )+ 9 = 2(x2 - 4 x + 4 - 4 ) + 9 Observa que el factor 2 afecta toda la expresión que está entre paréntesis: = 2(x2 - 4 x + 4 ) -2 (4 ) + 9 Factorizamos el trinomio y sumamos: = 2 (* -2 )2 + l Sustituimos en el integrando: dx 2 (x -2 )2 + 1 u2 = 2 { x - 2 f a = \ u = y j2 (x—2) a = 1 u(x) = *J2(x-2) du{x) = y¡2dx Multiplicamos y dividimos en el integrando entre y¡2 Sustituimos: \ f du Integramos: 68 Cálculo integral Con el valor de u y con el de a, tenemos: 1 1 " T i \ ) t S ( x - 2 ) _ ^- | are tan + C O 1 are tan s [ 2 ( x - 2 ) + C E jem plos: Integra:
Compartir