Cálculo Integral, 3ra Edición Samuel Fuenlabrada

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Cálculo integral
Tercera edición
S am u el Fu en lab rad a de la V e g a T ru c ío s 
Instituto Politécnico Nacional
Revisora técnica
Irma Fuenlabrada Velázquez
Departamento de Investigaciones Educativas 
Centro de investigación y de estudios avanzados 
Instituto Politécnico Nacional
México • Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Nueva York • San Juan 
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Director editorial: Ricardo Martín Del Campo 
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DERECHOS RESERVADOS © 2007, respecto a la primera edición por:
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Punta Santa Fe
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Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN-13: 978-970-10-6195-4
ISBN-10: 970-10-6195-0
(ISBN 970-10-4706-0 Segunda edición)
1234567890 09875432106
Impreso en Korea Printed in Corea
Doosan Printing
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Ansan-si, Gyeonggi-do, 425-100, Korea
Cálculo integral
Tercera edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. 
The First Printing : Februray, 2007
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Extras, en donde podrás leer artículos 
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tus evaluaciones para que puedas 
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Organización
Para esta nueva edición, hemos mejorado la presentación de los temas para mejor 
referencia de profesores y alumnos. Este nuevo formato te permitirá ubicar con 
mayor facilidad las partes y secciones en las que se divide tu libro.
C a p itu lo 1 
D iferencia les
Introducción
Consideraciones generales
3 Conceptos clave
En cada entrada de capítulo podrás ubicar los 
términos más importantes que se analizarán y que 
es importante memorices para continuar con tu 
progreso de aprendizaje. Estos términos representan 
la base que te permitirá adquirir conocimientos más 
complejos y que además se mencionarán en cursos 
más avanzados.
Secciones de apoyo
A lo largo de cada capítulo, identificarás notas y 
comentarios que te ayudarán a comprender mejor el 
desarrollo de los temas. En la sección ¡Anótalo! podrás 
encontrar fórmulas que te facilitarán la resolución de 
ejercicios y problemas. La sección ¡Recuerda! es una 
referencia a conceptos expuestos previamente y que es 
importante vuelvas a aplicar para entender un nuevo tema.
Su fanam iliHt *0* 1% I' ■
¡Aplícate!
Nueva sección de ejercicios que aparece después de 
haber estudiado un tema de extensión y complejidad 
considerable. Si tienes la capacidad de resolver 
los ejercicios ahí sugeridos, significa que tienes la 
capacidad para continuar con el resto de los temas 
del capítulo.
**¡¡£5
Ejercicios de repaso
Con esta sección de ejercicios concluyes el estudio 
de un capítulo. Los problemas que se incluyen en 
este apartado incluyen aplicaciones de todos los 
temas analizados. Sirve como una herramienta de 
autoevaluación y guía de estudio.
F o r m u l a r i o
Formulario
Al final de tu libro encontrarás un formulario que 
te ayudará a identificar las operaciones básicas de 
cálculo integral. Consúltalo cada vez que tengas que 
resolver los ejercicios de las secciones ¡Aplícate! y 
Ejercicios de repaso.
Contenido
Cap ítu lo 1 Diferenciales 1
Consideraciones g enerales 1
Diferenciales 2
Interpretación geom étrica de la d iferencial 3
Fórm ulas de diferenciación 6
Diferenciación im plícita 7
Diferenciales sucesivas de una función 8
Ejercicios de repaso 8
Capítu lo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 11
Antiderivada 11
Integral indefinida 12
Fórm ulas de derivación. Fórm ulas de integración 12
Conceptos básicos de la integración 14
Ejercicios de repaso 19
Capítu lo 3 Integración de una función com puesta 21
Sustitución por cam bio de variable 21
Deducción de fórm ulas para derivar integrales de la forma
J tan* dx, | cotx dx, J secx dx, J cscx dx 25
Ejercicios de repaso 29
Capítu lo 4 Constante de integración 33
Cálculo del valor num érico de la constante C 33
Significado geom étrico de la constante de integración 36
Capítu lo 5 Integrales inm ediatas. Funciones trigonom étricas directas 39
Recordatorio de trigonom etría 39
Fórm ulas de integración de las funciones trigonom étricas d irectas 40
Algunos procedim ientos de integración de las funciones trigonom étricas d irectas 40
Ejercicios de repaso 56
Capítu lo 6 Integrales inm ediatas. Funciones trigonom étricas inversas 61
Fórm ulas de integración de funciones trigonom étricas inversas 61
Algunos procedim ientos de integración de las funciones trigonom étricas inversas 61
El integrando se expresa com o la sum a de dos cocientes 63
Ejercicios de repaso 76
Cap ítu lo 7 Integrales inm ediatas. Funciones exponenciales y logarítm icas 79
Fórm ulas de integración exponencial 79
Fórm ulas de integración logarítm ica 87
Ejercicios de repaso 98
Resum en de las integrales inm ediatas 101
Capítu lo 8 M étodos de integración. Integración de funciones trigonom étricas 103
Algunos procedim ientos de solución * 103
Integración de la forma J serTw cos”« du 104
Integración de la form a J tan"’u sec"u du 108
Integración de la form a J cof'w esc"u du 110
Integración de la forma J sen mu eos nu du 112
Ejercicios de repaso 113
Capítu lo 9 M étodos de integración. Integración por partes 119
Fórm ula de integración por partes 119
Procedim iento de integración por partes 119
Ejercicios de repaso 132
Capítu lo 10 M étodos de integración. Integración por sustitución trigonom étrica 135
D esarrollo de la expresión yja2- x 2= acos 0 136
D esarrollo de la expresión >la 2+ x2 = a sec 6 136
Desarrollo de la expresión V * 2- a = a tan 0 137
Procedim iento para reso lver una integral por sustitución trigonom étrica 138
El integrando incluye una expresión de la form a \la 2- x 2 139
El integrando incluye una expresión de la form a yja2+ x 2 142
El integrando incluye una expresión de la form a yjx2 — a2 145
Ejercicios de repaso 147
Capítu lo 11 M étodos de integración. Integración por fracciones parciales 149
Definición 149
El resultado de la integración de una función racional im propia se puede expresar 
com o la sum a de un polinom io y de una función racional propia 149
C aso 1. Todos los factores lineales del denom inador son d istintos 151
C aso 2. A lgunos de los factores lineales de denom inador se repiten 154
C aso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denom inador son d istintos 156
C aso 4 . A lgunos factores cuadráticos(irreducibles) del denom inador se repiten 158
Ejerciciosde repaso 175
Capítu lo 12 M étodos de integración. Integración por racionalización 177
Racionalización de expresiones que incluyen potencias fraccionarias
p i_
d ea + bx, com o (a+bx)q, (a+bx)' 177
Racionalización de expresiones que únicam ente incluyen una potencia fraccionaria de x 179
Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias
a c
d e x, com o x h, x d 181
Racionalización de expresiones que incluyen una potencia fraccionaria
m t
del tipo (a+bx)" 185
Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales 
de sen u y de eos u en el denom inador 188
Cap ítu lo 13 Integral definida 195
A ntecedentes históricos 195
Sum a de Riem ann 197
Propiedades de la sum a de Riem ann 198
Fórm ulas de la sum a de Riem ann 198
Sum as de Riem ann con notación sigm a 199
Áreas (interpretación intuitiva) 201
Integración definida com o el lím ite de una sum a (interpretación intuitiva) 202
Sum a de Riem ann (continuación) 203
La integral definida com o lím ite de sum as de Riem ann 206
Procedim iento para calcular una integral definida 207
Propiedades de la integral defin ida 209
Integrales definidas por cam bio de variable (cálculo de nuevos extrem os) 211
Ejercicios de repaso 214
Capítu lo 14 La integral definida en el cálculo de áreas 217
Teorem a fundam ental del cálculo 217
Áreas 217
Áreas de dos curvas en un intervalo 224
Ejercicios de repaso 232
Cap ítu lo 15 La integración definida en el cálculo de volúm enes 233
Sólido de revolución 233
M étodo del d isco para calcular el volum en 233
El sólido de revolución con un agujero . El m étodo de las arandelas 238
Volum en de un sólido cuando el e je de revolución es paralelo al eje de las x o al de las y . 240
Longitud de un arco (curva) 241
Ejercicios de repaso 243
Form ulario 245
Capítulo 1 
Diferenciales
Introducción
En este capítulo analizaremos la diferencial de una función. Para resolver 
integrales es necesario aplicar un procedimiento llamado cambio de variable o 
método de sustitución, en el cual se requiere calcular la diferencial de la expresión 
seleccionada para así realizar el cambio de variable. La integral J eos 2xdx se 
resuelve por cambio de variable.
Consideraciones generales
En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como 
regla de los cuatro pasos. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar 
todo tipo de funciones.
En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda aplicar 
para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial. La 
integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentaremos 
diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio.
Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con 
frecuencia las tab las de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que aparecen 
en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos en este 
texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas desarrollado 
suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además, te sugerimos 
no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de la estructura 
general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios propuestos y 
los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en obtener la 
solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar 
tu conocimiento.
Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en uno de 
sus libros señala:
"Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a la mayor cuando 
se aborda un tema nuevo (...) ”.
En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual 
de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los 
temas más difíciles y dejan hasta el último los temas más sencillos.
"Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de 
entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad 
con claridad y distinción ”.
Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos para 
resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiempo 
que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver otros 
problemas semejantes e incluso de mayor complejidad.
Conceptos clave
Regla de los cuatro pasos 
Integración 
Tablas de integrales 
Diferencial de una función
2
¡A n ó ta lo !
i — x n = nx"-' 
dx
Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una 
mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición 
causa entorpecimiento.
El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la solución de 
los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para el examen.
En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un volumen 
o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es decir, 
hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el contrario, la 
suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se desea: una 
distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro.
El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil y 
compleja en su aplicación.
En el libro Cálculo diferencial, el autor establece:
“La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento 
de la función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la variable 
tiende a cero.
Se expresa: , A
derivada = — = lím —
dx a*-»0 Ax
Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada”.
Diferenciales
Definición
La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el 
incremento de la variable independiente.
Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la 
función.
Ejem plos:
■ 1. Sea la función y = x 4
Su primera derivada es y ' = 4x4-1 = 4x'
Su diferencial se expresa dy = 4xJAx
■ 2. Calcula la diferencial de !a función
y = 3x2 para x = 4 y el Ax = 0.2
y ' = 3(2x) = 6x
dy = 6xAx
Sustituyendo:
d{ 3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8
Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas 
siguientes:
Capítulo 1 Diferenciales 3
D f(x) Cauchy 
f (x) Lagrange 
y ' Lagrange
— Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”)
dx
Por lo tanto:
derivada: — = lím — = D f(x ) = f \ x ) = y ' 
dx Ax
Sea la función y = f(x)
La primera derivada se expresa así:
£ = / - wdx
Si multiplicamos ambos miembros por í /x , tenemos:
dy = f'{x)dx
la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la ¡A n ó ta lo ,
diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de
la variable independiente. _ x = j
d x '
Ejem p los: ^
— c — 0■ 1. Calcula la diferencial de y = 5x3 - x + 2 dx
Solución: 
y = 5x3 - x + 2 
/ = 15x2 - 1
d{ 5x3 - x + 2) = (15x2 - 1 )dx
■ 2. Calcula la diferencial de y = V l-3 x
Solución:
y = -s /l-3 x
0 ¡A n ó ta lo !
y 2 V l-3 x d
,( r,—T ~ \_ 3¿/x d r . = d x U
' 2 V l-3 x ^ 2Vw
Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos 
calcular su primera derivada.
Interpretación geométrica de la diferencial
En la gráfica de la función y = /(x ) observamos:
AD = Ax 
CD = Ay
A a
B
C dy
Ay
Ax D
a
X
E Ax _ £ _____>
x+Ax
En el triángulo rectángulo ADB 
BD
ta n a = =AD
BD = ^ D ta n a = A x f \ x )
Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos: 
dy = f '{ x )A x de donde en (1) 
dy = ~BD
La diferencial de una función y = f(x) en un punto es el incremento de la tangente a 
la curva en ese punto.
Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: Ay = CD\ dy = BD serán aproximada­
mente iguales cuando Ax = AD sea muy pequeño.
Ejem plo :
■ 1. Calcula la diferencial de la función y = 5x2 para x = 4 y el Ax = 0.2
Solución:
y = 5x2 
y '= lOx 
Sustituyendo: 
dy = /'(*)A x 
d(5x2)= 10(4)(0.2) = 8.0
Problemas que se resuelven en forma aproximada, 
calculando el incremento de una función
E jem plos:
■ 1. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado
mide 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m.
Capítulo 1 Diferenciales 5
So lución:
Fórmula del área de un cuadrado:
A = l2 
/= 5 m 
A/ = 0.002 m
El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos 
que el área es función del lado
A = / ( / ) = l2 
A '= f \ l ) = 2l 
dA = / '( / ) = di 
dA = 2l- di
dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2 
Incremento = 0.020 m2
■ 2. Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo,
cuyo lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m.
So lución:
Fórmula del volumen de un cubo
v = P d v = f \ l ) d l
1 = 2 m dv = 3/2 • di
Al = 0.003 m dv = 3(2)2 (0.003) = 0.036 m3
v '= / ( / ) = 3 /2 Incremento = 0.036 m3
■ 3. Si V36 = 6 , calcula el valor aproximado de y¡3S
Solución:
Función: y = Vx
yÍ36=6 
Ax = 3 8 -3 6 = 2 
y = 4 x
/ = / '< * ) = 1
2 Vx 
dy = f \ x ) d x
f y * = 2 = i = 0 .166
2Vx 2V36 6
V38 = 6 + 0.166 = 6.166
6 Cálculo integral
Fórmulas de diferenciación
Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la 
diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fónnula de derivación 
desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferenciación, la 
cual citamos a continuación:
En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un 
número natural.
12. d(sec u) = tan u sec u du
13. d(esc u) =cot u esc u du
14. £/(arcsenw) =
15. d i are eos w
16. ¿/(are tan «
17. ¿/(arccotw
18. d ( are sec u
19. ¿/(arccscw
du
Vi - u2
du
V l-w 2
du
1 + u2 
du
1 + u2
du
1. d(C) = 0 (dx) = 0
2. d(x) = 1 (dx) = dx
3. d(u + v — w) = du + dv - dw
4. d(Cu) = C du
5. d(uv) = udv + vdu
6. d(un) = nu"~x du 
, u \ vdu - udv
7.
8. ¿/(sen u) = eos « ¿/w
9. ¿/(eos u) = - sen w du
10. ¿/(tan m) = sec2 u du
11. d(cot w) = - esc2 u du 
Ejem plo :
■ 1. Calcula d(5x2 - 2x + 4)
Solución :
Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos apli­
camos las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1.
d(5x2- 2x + 4) = d(5x2) - d(2x) + d(4)
= lOx dx - 2dx
uyju2 -1 
du
uyju2 -1
20. d ( ln u ) = —
v ’ u
2 1 . ¿ /(lo g a)— - du
v ’ u
22. ¿/(ew j = e"du
Factorizando dx:
= (1 0 x -2 )dx
Ejem plo :
■ 1. Calcula d xx + sen — 
2
Solución :
Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la 
fórmula 2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8.
x
x + sen— 
2
= d(x) + d 
= 1 dx +
x
sen — 
2
x
eos—
2
= dx +
d_
dx
v L
factorizando dx:
1 x^\
1 + — eos— dx
2 2 ,
x
eos—
2
v 2 ,
dx
dx
Diferenciación implícita
Hecha la derivación se despeja dy. 
Ejem plo :
■ 1. Diferenciar
So lución : x — 5 y 2 = 2 y
x - 5y 2 - 2 y = 0
d (x) d (5y2) d (2y)
dx dx dx
- = 0
l - \ O y — —2 — = 0 
dx dx
dy 
dx
- S ( ' 0 ^ 2)=->
( lOjv 2 ) = 1
Multiplicando por -1
f ( ‘o , + 2 H
d y ( \0 y + 2} = l(c/x)
Capítulo 1 Diferenciales
8 Cálculo integral
Como \(dx) = dx
* * dy = ----------
10j> + 2
Diferenciales sucesivas de una función
La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando 
para dx un valor fijo.
dy = f \x ) d x
d 2y = f" (x )d 2x
La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante) 
y así sucesivamente.
Ejem plo :
■ 1. Calcula la tercera diferencial de y = 4x5 - 5x2 -1 
d(4x5 - 5 x 2- \ ) = (20x4 - 10x)dx 
So lución:
d 2(4x5 - 5 x 2- \ ) = í / [ ( 2 0 x 4 - \0x)dx]
= (80x3- 10) 
d \ 4 x s - 5x2 - 1) = ¿/[(80x3 - 10)d2x]
=240x2d ix
Ejercicios de repaso
I. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones:
1. y = 5x2
2. y = 3x4 - 5x3 + 4x -1
3 . y = J l - 5 x
4. y = ¡ j ( x - 4)
5. y = \¡sen*
6. y = tan 2x
Sol. lOx dx
Sol. ^12xJ — 15x2 + 4 j dx 
5 dx
Sol. -
Sol.
Sol.
2V 3-5x 
2 dx
3yfx^-4 
cosx dx
2 (sen x )2 
Sol. ^2 sec2 2xjc/x
Capítulo 1 Diferenciales
7. >> = cos:
8. / ( * ) = -
3x
yjl — X
9. y = tan x - 2 x
10. y = are sen­
tí
11. y = arccotx
12. y = are eos— 
3
13.y = (3xi -1 )
14. y = 2 sen— 
2
15. y = \n x 2
16. y = are eos 2x
17. Calcula el valor aproximado de \¡39 si y¡36=6
18.Determina el valor aproximado de t]\29 si yl125 = 5
So/.
So/.
, 33 sen — dx
3^2 — xjt/x
2 f - * r
Sol. ^sec2 x — 2 \dx 
dx
Sol.
Sol.
Sol. —
y/a2 - x 2
2 xdx 
\ + x 4
dx
y¡9 — X2 
Sol. 9x2 dx
Sol. eos — dx 
2
Sol. — dx
x
Sol. -2 dx
Vi —4jc2
Sol. 6.25
So/. 5.053
19. Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm
Sol. 0.042 m 2
20. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado
0.007 m.
Sol. 0.589 m3
21. Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio 
cuando el radio aumenta 3 cm.
Sol. 6.02 cm2
10 Cálculo integral
II. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 
dy
1. La expresión — = f \ x ) representa la diferencial de la función f ( x ) 
dx
2. dy = f (x)dx es igual a d y = f (x)Aj
3. Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función.
4. Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas.
Sol. 1. Falsa
2. Verdadera
3. Falsa
4. Falsa
III. Resuelve aplicando diferenciales
1. Calcula el valor aproximado de V27 Sol. 5.2
2. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste recibe un 
aumento de 0.5 cm.
Sol. 30 cm2
Conceptos clave
Integral indefinida 
Función primitiva 
Antiderivada 
Método de integración
Capítulo 2
Antiderivadas. Integración 
indefinida
Introducción
Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los expertos utilizan la fórmula
dy
— - k y . Si la población (y) crece cuando aumenta el tiempo (f), se aplica la ley 
dt
de crecimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre el tiempo, 
se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se utiliza para estos 
cálculos es una derivada y para encontrar la función que pueda aplicarse a un 
determinado problema, necesitamos expresarla primero como una ecuación
dy
diferencial — = kdt y después integrar cada miembro de la igualdad, quedando 
de la siguiente manera: J— = J kdt-
Antiderivada
La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la 
multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz 
correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la 
derivada / '(x ) de una función /(x ).
Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f '(x ) 
trataremos de obtener la función /(x).
Definición
A una función F se le llama antiderivada de una función f en un intervalo /, siF '(x) = / ( x ) para todo valor de x en el intervalo.
Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “-F(x) es una antiderivada de 
/(* )”
Las expresiones integral indefinida y función prim itiva son sinónimos de la palabra 
antiderivada.
Ejemplos:
a) Integra las siguientes expresiones:
1. 3x2 dx es la diferencial de x3
x3 es la antidiferencial de 3x2 dx
2. -sen x dx es la diferencial de eos x 
eos x es la antidiferencial de -sen x dx
b) Deriva las siguientes expresiones:
Cálculo integral
! • /(* ) = * 4 
F'(x) = 4X3
2 ./ ( x ) = x 4- 6 
F (x ) = 4x3
3. / ( x ) = x4+ - í 
F'(x) = 4X3
Las funciones (1 ,2 y 3) representadas por f ( x ) = jc4 + C, donde C es una constante (un 
número real no especificado) tienen por derivada F'(x) = Ax3.
Integral indefinida
A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama 
integración y se denota con el símbolo J , que es la inicial de la palabra suma.
Si F(x) es una función primitiva def(x ) se expresa: 
y = J f ( x ) dx = F (x) + C si y sólo si F'(x) + C = f(x )
La expresión J f ( x ) dx es la antiderivada de f(x )
| es el signo de integración y se lee “integral de” 
f (x ) Integrando
dx Diferencial de la variable
x Variable de integración
F(x) Función primitiva
C Constante de integración
si en la expresión
y = j f ( x ) d x = F (x ) + C ( 1 )
y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x) = /(*), sustituimos en 
la expresión anterior:
]>(*)£/* = F (x ) + C
queda:
f ( x ) = F \x )
Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener 
las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación.
Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración
^ = 0 
dx
Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
• La derivada de una constante respecto a x es cero.
— -kx = kd x 
dx
J k dx = kx + C
• La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la 
derivada de la función.
-^-(x) = l 
dx
• La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad.
De suma o diferencia
• La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de 
funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas.
De potencia
A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x.
• La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual 
al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminuida en 
uno, por la derivada de la función u.
con n j t —l
Si n = —1
L \u + C
Trigonom étricas
d_
dx dx
• La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplicado 
por la derivada de la función u respecto a x.
14 Cálculo integral
d du e— cosw = -sen w — senw¿/w = -cosw + C
dx dx J
• La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función 
u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x.
d 2 du r 2 , ^— tanzz = s e c z/— s e c u du = tan u + C
dx dx J
• La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante 
de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x.
d 2 du f 2 » ^— cotzz — esc" u — esc” u du = — cot u + C
dx dx J
• La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante 
cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respecto a x.
d du r— seczz = secz/tanz/— secz/tanw du = secw + C
dx dx J
• La derivada de la secante de una función u es igual a la secante de la función 
u por la tangente de la función u , multiplicada por la derivada de la función u 
respecto a x.
J tan u du = l \sec z/| + C 
| co tu du = L | sen z/j + C 
| SQCudu = Z-|secz/ + tanw| + C
J esc u du = L | esc u - cot u | + C
Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por una 
constante.
d / x dv du 
— (uv) = u — + v— 
dx dx dx
• Las derivadas de un producto de dos funciones es igual a la primera función por 
la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera.
Se usará para deducir el m étodo de integración por partes.
Conceptos básicos de la integración
La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica 
de las integrales de las funciones
/[/(*) + g(*)~h(x)~\dx = j f(x)dx + J g(x)dx- Jh(x)dx
Ejemplos:
■ 1. \[ 5 x 2+ l x - 2 ^ d x
Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
Solución:
En este ejemplo f ( x ) = 5x2, g (x ) = l x , h(x) = 2 , por lo tanto: 
J^5x2 + 1 x - 2 ^ d x = 5\ x 2dx + l \ x d x - i j d x
= - x 3 + - x 2 - 2 x + C 
3 2
■ 2 • J
x - 3x + 4
xV
Solución:
c/x
Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos 
la fórmula.
x4 - 3x2 + 4
X X + X
dxdx = j
V
= r * l <fc_ j 2 í d <fc+j f *
J x J x J x
= J xV x - 3 J x¿/x + 4 J —
= — x4 - — x2 + 4 L I x| + C 
4 2 11
A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del 
final porque la suma de varias constantes es otra constante.
A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resolver 
cada integral presentada en los ejemplos anteriores.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por 
la integral de la función.
Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner como 
factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores.
¡ k f( x )d x = k j f ( x )d x
Ejem plos:
■ 1 . \ lx * d x = l \x * d x
So lución : „
= — x 5+ C 
5
■ 2. \ - x 3dx = - \ x 3dx
J 5 5
Solución:
4
+ C
La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la 
función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente 
original más uno.
, [ « « r
[ un (x) du(x) = ------------
J n + 1
Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma 
siguiente:
f n , 11u du = ------
J n + 1
con n & -1
S in = - \
í u ]du = f—du 
J J u
_ ^ d u
u
du 
u
= lnlwl + C
= L\u\ + C
Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la 
función es igual al logaritmo natural de la función”.
f 2 . * 2 + 1 * 31. J x dx= ------- hc = — + c
E jem plos:
dx =
2 + 1 3
En este ejemplo n = 2 
• dx■ 2 . f ax . ¡ i _I — = ln x + C
x
= Z,(x) + C
Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos, 
por eso se escribe l n |x | . También puede expresarse con la notación L |x | , la 
cual usaremos con mayor frecuencia. En algunos casos, por comodidad, en 
lugar de poner el símbolo de valor absoluto | | se escribe, por ejemplo, L (x). 
Se debe usar como lo sugiera el profesor.
Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de 
agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final.
Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 1 7
En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando 
la siguiente ley de los radicales:
/ —
yjam = a " , en este caso m = 1 y n = 2
Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción 
aplicando la siguiente ley de los exponentes:
— = a m 
am
Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando. 
E jem plo :
| x(x2 - 1)3£¿c = J (x2 - 1)3 x dx
Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de 
integración.
Ejem plo :
J x 2dx * x jxc /x
Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera del 
signo de integral.
En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan lasoperaciones 
indicadas (productos o cocientes de polinomios).
Ejem plos:
■ 1 . J ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) í /x =
So lución :
Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que 
resulte será el integrando.
(2x + l)(x - 3) = 2x(x - 3) + l(x - 3)
= 2x2 - 6x + x - 3 
= 2x2 — 5x —3
J (2x + l)(x - 3 )dx = J (2x2 — 5x — 3 )dx
- J 2x 2dx - 1 5xdx - J 3 dx 
= 2 J x 2dx — 5 J xdx - 3 J dx
= 2
v 3 .
- 5
x^
2
- 3 x + C
= —x3 - — x2 - 3x + C 
3 2
r * - 1 j ■ 2. dx =
J x - 2
18 Cálculo integral
So lución :
Primero realizamos la división. El cociente que se obtenga será el inte­
grando.
x 2+ 2x+4 
x — 2 | x 3 — 1
- x 3+ 2 x 2
2 x 2 — 1 
-2 x 2 + 4x
4x — \
~4jc + 8 
7
x3 -1 . A 7
 = x + 2x + 4 + ------
x - 2 x - 2
x 2 + 2x + 4 + -
x - 2
dx
= J x2dx + J 2xt¿c + J 4c/x +1 
= | x 2 dx + 2 J xé/x + 4 j ¿/x + 7 J
Id x
x - 2
dx
x - 2
En la última integral u = x - 2; du = dx
•'2 • dw
u
= — + 2 
3
/ o \x
4x + 7 — 
1 /
= - x3 + x2 + 4x + 7 LI m| + C 
3 1 1 -
= - x 3 + x 2 + 4 x + 7 Z , | x - 2 | + C 
3 1 1
Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma 
cantidad.
Ejem plo : • xdx 
x + 5
So lución:
Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x 
+ 5. Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte 
se descompone en dos integrales, 
xdx r x + 5 - 5r xdx _ r 
x + 5 x + 5
dx
= f í ± 5 & + p L
x + 5 x + 5
dx
= J d x - 5J dx 
x + 5
Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida
Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que la 
integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u.
u = x + 5 du = 1 (dx) = dx
Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales:
= [ d x —5 \ —
J J U
= x — 51n|w| + C 
Sustituimos el valor de u :
f — = x -5 1 n |x + 5| + C 
x + 5 1 1
Recuerda que la diferencial de una función es dy = f'(x)dx, donde/'(x) es la derivada 
de la función. La derivada de x + 5 es 1 porque — x = 1 y — 5 = 0 .
dx dx
Ejercicios de repaso
I. Calcula las siguientes integrales 
1
10.
11.
1 Sol. x + C
J3 dy Sol. 3y + C
r dx
J X
Sol. L |x | + C
3
J x~A dx
4 1
Sol. — x 4 + C 
7
J5 x 3dx Sol. —x 4 + C 
4
J 2 bx3dx Sol. —x 4+ C 
2
f —x* dx 
J 4
Sol. — x-n/x + C 2
f dy
y 3
S o l .---- ]- + C
2 y
1* dx Sol. - x i + C 
3
CÍ 4 2 1 
V x x )
x5 x3 1
* T _ T _ 2 7
J yfxdx
4 i— 
Sol. - xVx + C
Cálculo integral
12. | Vx7 dx
dx
x 1
2 5
r ax
13- 177=5 
1 4. J
15. j* 5\¡5xdx 
(x - 3 )dx16. J
17. 1
• 1 
• 1
x + 3
— — dx 
x + 1
x2 - 3x + 5
~ i r
x 'd x
x - \
dx
20. j ( y + 2 ) ( y - \ ) d y
21. J-(4 - ^
r x
-dx
II. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.
1. íx 2dx = —— l-C 
J -3
2. [ ^ - d x = — y 7 + C 
J 2 14
3 . j5 x _l¿/x = Z,|x| + C
Sol. - x V x 2" + C 
5
So/. 3vx
Sol. — j= - 5 y x + C 
Vx
S o / . - ( 5 x ) - + C
So/. x -6 Z - |x + 3| + C 
So/. x + l | x + i| + c
2 2 .!
So/. — x : - 2x2 + 10x2 + C 
5
X' X - I I
So/. —- + — + x + L x - l + C 
3 2 1 1
So/. 32Vx — - xVx + — x 2 Vx + C 
3 5
2 ,
III. Calcula las siguientes integrales. 
1. J Vx (2x2 + x - 3)dx
x 2 + 3x + 2
x + 2 
3 r (x -l)¿ /x
J x + 1
dx
Sol. 1. Falsa 2. Verdadera 3. Falsa
Sol. — V 7 + — V 7 - 2 Vx7 + C 
7 5
So/. — x 2+ x + C ?
So/. x - 2 ¿ | x + l| + C
Capítulo 3
Integración de una función 
compuesta
Introducción
La probabilidad y la estadística son herramientas que se utilizan en diversas 
disciplinas. En probabilidad m anejamos el concepto de valor esperado o esperanza 
matemática, que en el caso de una variable aleatoria continua se calcula con laoo
siguiente integral: J x f(x )d x . Observa que en el integrando se tiene el producto
— o o
de x por una función tam bién en términos de x.
Debido a que en cálculo integral no tenem os una fórmula directa para resolver 
esta integral, debem os realizar la multiplicación y después hacer la integración, 
proceso que puede resultar com plicado. Otra alternativa es aplicar el método 
conocido como sustitución o cambio de variable, el cual resulta más sencillo.
Sustitución por cambio de variable
A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito 
de todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la 
diferencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración.
En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una 
literal. En nuestro caso, se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el 
integrando.
Ejem p los:
Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial.
■ 1 . | sen I x ('l)dx
du(x)
Solución:
Señalamos: 
u = Ix 
u(x) — I x
Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy = f \x )d x . En
este caso como tenemos u(x) = Ix , la fónnula será du(x) = f'(x)dx, con
f \ x ) = ~ l x = l . 
dx
du(x) = Idx
Ix es la función y Idx su diferencial.
Conceptos clave
Método de sustitución 
Cambio de variable
22 Cálculo integral
■ 2. | eos 5 y dx
u ( y ) J u 0 0
Solución:
Señalamos: 
u = 5y 
u (y) = 5y
Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso
como la variable es y , u(y) = 5 y y du(y) = f(y )d y con f '{ y ) = — 5y
dy
du(y) = 5 dy
5y es la función y dy la diferencial (incompleta).
Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando 
está incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que 
calculamos.
En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos w(x) 
indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su 
diferencial.
Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la siguiente 
forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a continuación:
J sen I x {l)dx
" du
u = lx 
du = 1 dx
Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la variable 
u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración te 
será de gran ayuda en cursos superiores.
Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analizaremos 
varios ejemplos.
Ejemplo:
B l - J (x2 + 3): (2* )dx =
Solución:
Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir de la 
sustitución por cambio de variable y la otra es desarrollando la operación 
que se indicó en la página 27, del capítulo 2.
Primero lo resolveremos por cambio de variable:
J (x2 +3)2 (2x)dx--
u ( x ) d u ( x )
u = x2 + 3 
u(x) = x2 + 3 
dit(x) = 2x dx
Capítulo 3 Integración de una fundón compuesta
En este ejemplo du = f(x )d x , donde f \ x ) =— (x2 +3)2x.
dx
El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por 
su diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de 
la potencia de una función.
Sustituyendo:
= J u2 du
Integrando:
3
Con el valor de w, queda: 
(x2 + 3)3+ C
¡ u " d u = "
Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando:
J ( x 2+3)2(2 x)dx =
El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto ¡A n ó ta lo ! 
e integrar término a término.
J (x2+3)2(2 x)dx= J (x4 + 6x2 +9)(2 x)dx 
= J (2x5 +12.x3 +18 x)dx 
= 2 J x 5d x+ 12 j x 3dx + \S J xdx
2 6 12 4 18 2 r -= - x b+— x + — x + C 
6 4 2
= - x 6+3x 4+9 x 2 + C
3
Los dos resultados son correctos porque si desarrollamos el primerode 
ellos tenemos:
n+\
- + c
(x2+3)3 „ x6 + 9 x 4 + 27x2 +27 ^ - + C = ----------------------------+ C
= - x 6 +3x4 + 9x2 +9+ C
¡Anótalo!
J k f (x )dx = k \ f ( x ) d x
La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que
son equivalentes. k es una constante
E jem plo :
■ 1 • J eos 5x dx
Para poder aplicar la fórmula J eos u du es necesario determinar si el 
integrando está completo o no; es decir si cuenta con su función y su 
diferencial.
24 Cálculo integral
¡A n ó ta lo !
cosudu = senu+C
u = 5x 
u(x) = 5x 
é/«(x) = 5dx
Para completar la diferencial en este ejemplo se tiene que multiplicar y 
dividir entre 5; lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, 
se está multiplicando por uno.
= - J cos5x (5)dx
^ "(*) d u ( x )
Sustituyendo:
Integrando:
Con el valor de u, queda:
= — í eos udu 
5
= - senw + C 
5
= -se n 5 x + C 
5
E jem plo :
■1* J y j3 x - \d x = J(3x —1 y d x 
Solución:
Para poder aplicar la fórmula J u"du es necesario identificar u(x) y 
calcular su diferencial du(x).
J (3 x -1 )~2dx 
u = 3x — 1
u(x) = 3x - 1
du{x) = 3 dx
Aquí observamos que falta un 3 en el diferencial de la función. Se 
completa multiplicando y dividiendo por 3.
f 1 ~
J - i 3* "1)2 (3)<fr
u { x ) du (X )
Se sustituye:
= - J u2 du
Se integra:
1 2 
1 u2+1
3 3
2
+ C
Con el valor de u, queda:
Capítulo 3 Integración de una función compuesta
=-(3x-\ y + c 
9 
=-J(3x-iy+c
9
Los dos resultados son correctos.
¡Anótalo!
2
Como puedes observar del desarrollo de los dos ejemplos anteriores, para completar 1 = —
el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad.
Justificado el desarrollo, y por comodidad, se acostumbra proceder como se indica 
a continuación:
E jem plos:
■ 1. Jsen7x£/x = — J sen7x (J)dx = — cos7x+C
u = lx 
u(x) = Ix 
du(x) = Idx
■ 2. J*3cos3x£/x = sen3x + C
Como pudiste notar en este ejemplo, la selección de la fórmula correcta se hizo 
mentalmente y no tuvimos que desarrollar el proceso señalado para la integración 
por sustitución.
Para poder aplicar una fórmula de integración es necesario que en el integrando esté 
la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u{x) y su 
diferencial du(x).
Es común que se cometan errores en el desarrollo de la integración por no saber 
identificar en forma correcta la función y su diferencial. En ocasiones, sucede que 
a la diferencial de la función le falta algún factor numérico y tenemos que hacer las 
operaciones necesarias para completarla.
Al igual que en este apartado, en el resto del texto se incluyen conceptos y ejemplos 
que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema.
Deducción de fórmulas para derivar integrales de la 
forma J tan xdx, J cot xdx, j se cxdx, J esc xdx
Como ya estudiamos el método de sustitución por cambio de variable, podemos 
aplicarlo para deducir las fórmulas de derivación de la J tan xdx, j* cot xdx, J* sec xdx,
J esc x d x .
Para J tan xdx
Por trigonometría demostramos que:
senxtanx = ------
cosx
i
2
26 Cálculo integral
de donde:
J tanxcbc= J senxc/x
co sx
u = eos x 
u(x)= cosx 
du(pc) = -sen x dx
Si multiplicamos dos veces por (—1) en el integrando y además sustituimos, 
tenemos:
- í
-(senxí/x)
_ j du 
u
cosx
du
Por integración:
Con el valor de u, tenemos:
=-L(u) + C 
= -L(cos x) + C
además: 
-L (cosx ) = ln 1
secxV /
= - ( l n l - l n secx)
= - l n l + lnsecx 
como -L ( 1) = 0 se tiene que - L (eos x) = L sec x 
Por lo tanto:
J tanx£/x = Z,|secx| + C
Para J c o t x d x
Demostramos en trigonometría que:
cosx cotx = ------
senx 
de donde:
J cotx d x - j eos xd x
senx
u = sen x 
m(x) = sen x 
du(x) = eos x dx 
Si sustituimos: 
du 
u
_ j du
Capítulo 3 Integración de una función compuesta 2 7
y luego integramos:
= L (u ) + C
con el valor de «, queda:
= L (sen x) + C 
por lo tanto:
J cotx£/x = Z-|senx| + C 
Para Jsec xdx
Multiplicamos y dividimos el integrando por (sen x + tan x)
secx-i-ianx 
_ j (sec2 x+secxtanx)¿/x 
secx + tanx 
u = sec x + tan x
w(x) = sec x + tan x
du{x) = (sec x tan x + sec2 x) dx
Si sustituimos:
_ f du
u
y luego integramos:
= L (u ) + C
Con el valor de u, tenemos:
= L (sec x + tan x) + C 
por lo tanto:
J secx£/x = Z-|secx+tanx| + C
Se calcula en forma semejante a la J sec x dx. Multiplicamos y dividimos el integrando 
por (esc x - cot x)
_ J (esc2 x-cscxcotx)¿/x 
esex —cotx
U = CSC X — cot X
w (x ) = CSC x — cot X
du{x) = esc2 x - csc x cot x dx
sec xdx =
csc x(csc x - cot x)dx 
CSC x - c o tx
28 Cálculo integral
Si sustituimos tenemos:
_ j du 
u
luego integramos:
= L (u ) + C
=L (esc x - cot x) + C
por lo tanto:
J cscx£/x = Z ,|cscx-co tx | + C
¡Aplícate!
I. Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Qué elementos debe tener el integrando de cualquier integral para poder aplicar una fórmula de 
integración?
2. ¿Cuál es el objetivo de aplicar el método de sustitución o cambio de variable?
3. ¿Qué debes hacer si al calcular la diferencial de una función ésta no se encuentra completa en el 
integrando de una determinada integral?
II. Calcula las siguientes integrales:
1.
2.
3.
4.
5.
6 .
7.
(x2- 6 )4 xd x
2 xdx
\¡4+ 3x2
2
(x3 + 3x2)3 (x2 + 2x) dx
-sen{ay+ \)dy
2sen(6x)t/x
cos(3x+2)¿&
f \
- ta n — dy 
2 /
SoI . - ( x2- 6 ) 5 + C 
10
Sol.~ ^ 4 + 3 x 2 +C 
3
Sol. — (xJ + 3x2 y + c
Sol. — c o s ( étf + 1 ) + C 
a
Sol. - —cos(6x) + C
Sol. - cos(3x+ 2 )+ C
S o l . - 2 L sec- + C
Capítulo 3 Integración de una función compuesta
8. | - sen
( \ 
X dx Sol. a eos i V + c
aV <a J
9. J ( 2 x - 5 x 2)(2 -1 0 x)dx
10. J 5V5x d x
11 - J (4jc3 — 2jc)(jc4 — jc2 —5f d x
12. J 4x 3dx
1 + x 
13 r
l+ 2 x 
' x + 2
15 .1 - -dx
16.
17.. J (x+2)(x-1)í/x
Sol. — (2x - 5x )2 + C 
2
Sol. — (5x)2 +C 
i
Sol. I ~ 5 ^ + c
Sol.L 1 + x4 + C
So/. L 1 + 2x + C
So/. x + / J x + l + C
S o / . - x 2- 2 2 + 10.x2 + C 
5
r x3 dx 
J x — 1
So/. — + — + x + ¿ | x - l |
3 2 1 1
S0I. — + - — 2 x + C 
3 2
Ejercicios de repaso
I. Calcula las siguientes integrales:
1. j * dx So l.x + C
2. | dx Sol.L \x\ + C
X I 1
r 3 4 \ _
3. x 4 dx S o / . — x 4 + CJ 7
4. í 5 x 3dx S o / . — x4 + Cj 4
5. | 2 bx'dx S o / . - x 4 + C 
0
30 Cálculo integral
I
4 2 1 1x - x + ---------
X3 X2
dx
7. J 5(5jc — l)3 
3 . J yfx dx
i. J -
dx
( x - i y
10. J yjx2dx
11. J
X3 v x 2
12
13
í —x 2dx 
' J 4
f dx
x3
f c/x
• j - 2
14
15. J
16. J
(x+1)2
dx
17 • J (x -2 )4
18
J (x-3)c/x
(x + 3)
19. J (x3 - 5x)5 (3x2 - 5) dx
2 0 . J >/x — 2 d x
21. J 3 ¿ x
22. J 2x(x2 - 3 ) 2dx
_ , x5 x3 1 1 _
S o /.-----------------+ - + C
5 3 2x2 x
Sol. — (5x - 1)4 + C 
4
So/. - y f 7 + C
Sol. — - + c
4 (x - l)4
Sol. - x 3+C 
5
So/. 7=r -1 5 V x + C
So/. — x V x + C 
2
So/. — +C
2x2
So/. - x 3 + C
So/. 1
(x+1) 
So/. 3lfx + C
-+C
Sol. 1
3(x -2 )3
- + C
Sol. x —6 ¿ x + 3 + C
Sol. — (x3 -5 x )6 + C 
6
So/, - ( x - 2 ) 2 + C 
3
Sol. 3x + C
Sol. - ( x 2- 3 )3+ C 
3
Capítulo 3 Integración de una función compuesta 31
2 3 .
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
3x2(x3- l ) 3cft 
(3x + 4)2 dx
W x 2 + 4 dx
x 2 dx
x3 - 2
$ydy
V V + 3
(5x - 1)3 dx 
6 x 2 dx
x3- l
xd x
(x + 2)2 
X y ] ( 5 — X 2) dx 
3x2
V 3 -4 x
(x+2)
c/x
x2 +4x(x3 + l)2x 2¿/x 
5x3 - dx
,dx
2 x \¡3 -2 x 2dx 
x ^ 3 —x 2dx
Sol. — (x3 - l ) 4 + C 
4
Sol. ^ (3x + 4)3 + C
Sol. - ( x 2+ 4 )2+ C 
3
Sol. - - / J x 3 - 2 I + C
Sol. - J 2 / + 3 + C 
2
Sol. — (5x-1)4 + C 
20
Sol. 2L x3- l \+C
Sol. L x + 2 ---------+ C
(x+2)
Sol. — (5- x 2y + C 
3
Sol. — V 3 -4 x3+ C
So/. — L x" +4x + C 
2 1
So/. ~ (x 3 + 1)2 + C
Sol. — - + C
8(x4 - 1)2
Sol. — (x3 - l ) 4 + C 
9
So/. — (3 -2 x 2)2 + C 
3
Sol. — (3 - x 2)3 + C
Capítulo 4
Constante de integración
Introducción
En tu curso de geometría analítica aprendiste a identificar las curvas que 
representan a ciertas ecuaciones. Por ejem plo, recordarás que y = x2 + 3 es la 
ecuación de una parábola vertical que abre hacia arriba y cuyo vértice está en el 
punto (0,3). Si calculam os la diferencial de esta misma ecuación obtenemos 
dy = 2xdx. En este ejem plo realizamos la operación inversa, es decir, integramos y 
obtenem os y = x2 + C, que no es exactam ente la expresión que derivamos. En este 
capítulo aprenderás a calcular el valor de C para así obtener la ecuación exacta de 
la parábola.
Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y:
donde C es la constante de integración. Por cada valor de C,, C2, C3,... de C, se 
obtiene una función primitiva x2 + C,, x2 + C2, x2 + C3,...
De hecho, la expresión y = x2 + C representa una familia de parábolas paralelas con 
el mismo valor de la pendiente para cada punto.
Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la expresión 
diferencial que se va a integrar y algunos otros datos, procedimiento que ilustraremos 
en los siguientes ejemplos.
Ejemplos:
■ 1. Determina la función y = f(x ) , tal que f ( x ) = 9x1 - 6 x + 1 cuando / ( l ) = 5.
y = 1 2x dx = x 2 + C
Cálculo del valor numérico de la constante C
So lución:
Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1 ,5 ) 
Como y = /(x )
dx dx
pero dx
dy 2 
entonces ~7~ = ^ x “ +1dx
34 Cálculo integral
dy = (9x2 - 6x + 1 )dx 
Integrando:
J dy = (9x2 - 6x + 1) dx
= 9 J x 2dx - 6 J x dx + 1 dx
9x' 6x2 _
= + x + C
3 2
y = 3x3 — 3x2 + x + C
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones 
del problema, este resultado debe ser igual a 5 p a ra /( l)
/ ( l ) = 3(1)3 - 3(1)2 + 1 + C
= 3 - 3 + 1 + C
condición que señala el problema:
/(1 ) = 5
5 = 1 + C
5 - 1 = C
C = 4
al sustituir el valor de C:
y = / ( x ) = 3x3 - 3 x 2 + x + C 
y = 3x3 - 3x2 + x + 4
2. Calcula el valor de la constante de integración cuya f { x ) = x2 + x - 2 
cuando/(1 ) = 6. Determina también la función.
So lución:
Es una función que se cumple en el punto (1 ,6)
como y = /(x )
. dy d f(x )
se tiene que: — = -
pero,
dx dx 
df(x)
dx
= x ' + x - 2
dy 2
entonces: — = x + x - 2
dx
dy = (x2 + x - 2) dx
Integrando:
J dy = J (x2 + x — 2) dx
= j* x2 dx + J x dx — 2 J dx
x2 * 2y = ---- 1-------2x + C
3 2
Capítulo 4 Constante de integración 35
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones 
del problema, este resultado debe ser igual a 6 p a ra /( l)
/(1 ) = ~ + Íy 1-2 (1 ) + C
= - + —- 2 + C 
3 2
2 + 3 -1 2 ^
= -------------+ C6
= - —+ C 
6
condición que señala el problema:
/ ( 1) = 6
6 = + C
6
6 + — = C 
6
6
sustituyendo el valor de C:
v 3 V 2
y = / (* ) = _ + 2X + C
3 2
x3 x2 „ 43y = — l-------- 2x H-----
3 2 6
Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una 
ecuación.
■ 3. Determina la función cuya f '{ x ) = x2 - 2x + 4 tenga el valor de 6 cuando 
x = 2
Solución:
Es una función que se cumple en el punto (2, 6)
como y = f (x )
. dy d f{x)se tiene que: — = J
dx dx
df{x) 2 o „ pero, J v = x - 2 x + 4
dx
entonces: - ^ = x2 - 2 x + 4
dx
dy = (x2 - 2x + 4)dx
Integrando:
\ d y = ¡ ( x 2-2 x + 4 )d x
= J x 2d x - 2 J x dx+4 J dx
X 2 X ~ A ry = + 4 x + C
3 2
x3Calculamos el valor de C cuando y = - x2+ 4x + C tenga el valor de
6 cuando x = 2 2
/ ( 2 ) = ^ - ( 2 ) 2+4(2) + C
= — 4 + 8 + C 
3
8 -1 2 + 2 4 ^ = + C
3
Condición que señala el problema: 
/ ( 2 ) = 6 ~
6 = — + C
.j i J
3
c = - "
3
Comprobación:
Sustituyendo el valor de C:
y = / ( x ) = — — x2 + 4 x + C
? 3 ?6 = ------22 + 4 (2 ) - —
3 3
6 = - - 4 + 8 - —
3 3
, 8 -1 2 + 2 4 - 2 
6 = -------------------
6 = 6
Significado geométrico de la constante de integración
x2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la constante de 
integración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = /(x ).
Capítulo 4 Constante de integración
Si de / '(x ) = 2x se quiere obtener la familia de las funciones f(pc) que tienen como 
derivada a 2x, se tiene entonces:
dy = f \ x ) d x
Integrando:
J dy = J 2x dx
(1)
y = x2+ C
donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo 
3, 0, -2 se tiene de la ecuación (1) las siguientes expresiones:
y = x2 + 3
cuyos lugares geométricos son parábolas que intersecan al eje de las y a distancias 
del origen de 3, 0, -2 , respectivamente.
dy
Todas estas parábolas tienen el mismo valor — , es decir, tienen la misma pendiente
dx
2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas permanece igual 
para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de ninguna de estas 
parábolas.
Si establecemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo 
pase por el punto (1 ,3 ), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la 
expresión y = x2 + C, de donde:
y = x2 + C
3 = ( i y + c 
C = 3 - 1 
C - 2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide es y = x2 + 2 
Tabulando y = x2 + 2
X 0 1 2
y 2 3 6
/ (x ) = x2 + 2 
/(O ) = 0 + 2 = 2 
/( l ) = O)2 + 2 = 3 
/(2 ) = (2)2 + 2 = 6
,y
i y = x
r
y = x
y y = x2-
y = x2 + 2
/ (1* 3)
Conceptos clave
Integrales inm ediatas 
Identidad pitagórica 
Identidad trigonom étrica 
recíproca
Capítulo 5
Integrales inmediatas. Funciones 
trigonométricas directas
Introducción
En el capítulo 3 analizamos el método de sustitución para resolver una integral. En 
una gran cantidad de integrales no es tan obvio el cambio por realizar, ya que en 
otras es necesario realizar algún procedimiento previo a la sustitución. En este 
capítulo aprenderás algunos de los procedimientos más comunes para resolver 
una integral donde intervienen las funciones trigonométricas directas por el 
método de sustitución o método de cambio de variable.
Recordatorio de trigonometría
En tu curso de geometría y trigonometría comprobaste las funciones e identidades 
siguientes:
1 n ;— eos*sen x = ------ = -v/l — eos x = tan x eos x = -------
cot x cot x
1 r o— sen*cosx = ------= V I-sen x = cot xsenx = -------
sec x tan x
1 i 2 7 senxtanx = ------ = Vsec x - l = --------
cot x eos x
1 i 2 7 cosxcotx = ------ = V esc x —1 = -------
tanx senx
sec x - —!— = -y/l+tan2 x 
cosx
cscx = —!— = -y/l+cot2 x 
secx
Funciones trigonom étricas recíprocas
senx esc = 1 
1sen x = ------
esex
cosx secx = 1 
1co sx = ------
secx
40 Cálculo integral
secx = -------
cosx
tan x cot x = 1 
1tan x = ------
CO tX
1cot X = ------
tanx
Identidades trigonom étricas del teorem a de Pitágoras
sen2 x + eos2 x = 1 
sen2 x = 1 - eos2 x 
eos2 x = 1 - sen2 x 
sec2 x - tan2 x = 1 
tan2 x = sec2 x - 1 
sec2 x = 1 + tan2 x 
esc2 x - cot2 x = 1 
esc2 x = 1 + cot2 x 
cot2 x = esc2 x - 1
Fórmulas de integración de las funciones 
trigonométricas directas
Algunos procedimientosde integración de las 
funciones trigonométricas directas
El integrando es el producto de la potencia de una función 
trigonométrica por su diferencial
Ejemplo:
Solución:
Capítulo 5 Ir :egrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
En el integrando tenemos dos funciones: una elevada a un exponente dife­
rente de uno y la otra elevada a la potencia uno. Como primera opción elegi­
mos u = senx porque es la función que está al cuadrado y podríamos usar la
f un+lfórmula J u"du = l-C, siempre y cuando en el integrando esté la du.
n + 1
u = sen x 
u(x) = sen x 
du(x) = eos x dx
Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene:
= 3 J u2 du 
Integrando:
= 3— + C 
3
Con el valor de u queda:
= sen3 x + C
Sustitución del integrando por una identidad pitagórica
Ejem plo :
■ 1 . J ta n 27x£/x 
So lución:
Dado que en las fórmulas de integración de funciones trigonométricas 
directas sólo las funciones secante y cosecante están al cuadrado, 
aplicamos una identidad trigonométrica para expresar la tan2 Ix en 
términos de una de estas funciones.
Como tan2 x = sec2 x - 1
Sustituyendo en el integrado:
= J (sec27x-l)£&;
u = l x 
w(x) = 7x 
du(x) = 1 dx
Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7:
= - f (sec2 7 x - 1)7 dx 
1
= ~ \ (sec2 7x(7) dx — \ j \ l d x 
Integrando:
= — tan7x —x + C 
7
42 Cálculo integral
¡Anótalo!
Sustitución del integrando por una identidad trigonométrica 
recíproca
E jem plos:
-3 dx■ 1• I sen2 x
Solución:
Como en el caso anterior, tenemos que expresar sen2x en función de la 
secante o la cosecante, que son las funciones que están al cuadrado en las 
fórmulas de integración.
Como esc x — —-— 
sen x
Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:
1
CSC" X = -
sen x
Si sustituimos en el integrando: 
= -3 J csc2x dx 
Integrando:
= — 3(-cot x) + C 
= 3 co tx+ C
■ 2 • J
dx
eos2 xV tan x + 2 
Solución:
Como secx = — —
cosx
Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos: 
(+)(+) = + ^ ,
<+ )(-)= - sec2* = — —
<-)<+)— Si sustituimos en el integrando: 
_ j* sec2 x dx 
v tan x +2 
_ j* sec2 x dx
( ta n x + 2 )2 
Si la función es: 
u = tan x + 2 
u(x) = tan x + 2 
du (x) = sec2 x dx 
Se sustituye en el integrando:
= J u 2 du
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 43
Integrando:
1
= 2 u 2+C 
Con el valor de u, queda:
= 2 (tanx+2 )2 +C 
= 2>/tanx+2 + C
¡Anótalo!
¡a = a-
=a
■ 3• i
sen3x -dx =
( l-co s3 x )
= J(1 - eos 3x) "3 sen 3x dx 
Solución:
Si la función es: 
u = 1 - eos 3x 
w(x) = 1 - eos 3x 
du{x) = sen 3x(3) dx
Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 3:
= i J (1 - eos 3x)~3 sen 3x(3) dx
Si sustituimos en el integrando:
= — í u~3du
3 J
Integrando:
-2
+ C
-6
-+ C
1 ■+c
6u2
Con el valor de u, queda: 
1 -+C
6(1 —eos 3x)2
Multiplicación del integrando por su conjugado
Ejemplo:
■ 1. J dx
2 + 2cosx
44 Cálculo integral
J
f 1
f \
2 -2 c o s x
2 + 2 co sx 2 -2 c o s x ^ /
Solución:
Como el conjugado de (2 + 2cosx) es (2 - 2cosx), multiplicamos el 
numerador y el denominador del integrando por dicho conjugado.
dx
El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus 
cuadrados.
f 2 -2 c o s x
= I -------------------------------dx
(2+2 eos x)(2 — 2 eos x)
Factorizando:
f 2 -2 c o s x ,
= J -----------— dx
4 -4 c o s x
= J 2(1~ C0S,X) ¿V
4 (l-c o s “ x)
2 1
Reduciendo — = — y extrayéndola del símbolo de integración, tenemos:
¡A n ó ta lo ! = I f l ~ cosx dx
2 1 — eos2 x
(a + b) {a - b) = a2 - b2 Como sen2 x = 1 - eos2 x
Sustituyendo:
1 f 1 -co sx
= 1 f 1- cf x dx
= I J — ^ L d xO * 2 O 22 sen x 2 sen x 
1Como esex =
senx
cosxcot x = ------- ; esc x :
senx secx
Al sustituir en los integrandos tenemos:
= — í csc2x ¿ A -— ícotxcscx¿/x 
2 J 2 J 
Integrando:
1 1= — c o tx + —cscx+ C 
2 2
Multiplicación y división del integrando por una misma 
cantidad
Ejemplo:
■ 1. J tan2xVsec2x dx
Si multiplicamos y dividimos el integrando por Vsec2x, tenernos:
Capítulo 5 integrales inmediatas. Fundones trigonométricas directas
Solución:
= | tan 2x V sec 2x V sec 2x 
vsec 2x
dx
= í
tan 2x sec 2x 
Vsec2x
dx
= | (sec2x) 2 tan2xsec2x¿/x 
Si la función es: 
u = sec 2x 
w(x) = sec 2x 
du(x) = tan 2x sec 2x(2) dx
Sustituyendo el integrando y multiplicando y dividiendo por 2 para 
completar la diferencial:
1 r -
= — J (sec 2x)2 2 tan 2x sec 2x dx
1 f - 1= — u 2du
2 J
Integrando:
= I ^ + C 
2 1
2
= w2 + C
Si sustituimos el valor de u, queda:
= Vsec2x + C
Descomposición de una parte del integrando en sus factores
Ejemplo:
f sen xd x
B l - J —eos X 
Solución:
46 Cálculo integral
sen xComo tan x = ------- ; sec x = ------- , tenem os:
cosx cosx
= J tan x sec x dx 
Integrando:
= sec x + C
Desarrollo de algunas operaciones algebraicas en el integrando
E jem plo :
■ 1 . J (secx+ tanx)2 =
So lución :
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto, tenemos:
= J (sec2x + 2 sec x ta n x + ta n 2 x)dx
= J sec2x dx + 2 j sec x tan xd x+ J tan2xd x 
Como tan2 x = sec2 x - 1
Integrando la primera y la segunda integral, y sustituyendo la identidad 
en la última:
= tanx + 2secx+ J (sec2x - l)¿ /x
= tanx + 2secx + J* sec2x d x - J dx 
Integrando:
= tan x + 2 sec x + tan x - x + C 
= 2 tan x + 2 sec x - x + C 
= 2 tan x + 2 sec x - x + C
Ejem p los:
Integrar las siguientes expresiones:
■ 1 . J 3cos (3x-l)c /x =
Solución : 
u = 3x — 1 
u(pc) = 3x - 1 
dii(x) = 3 dx
= ~ J eos (3x- 1)(3) dx 
Sustituyendo:
= J eos u du
Capítulo 5 Ir tegrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
= sen u + C 
Si sustituimos el valor de u, tenemos: 
= sen (3x - 1) + C
f 22 . sen —x dx =
J 3
S o l u c i ó n :
2
Integrando:
u = —x
du(x) = — dx
Multiplicamos y dividimos el integrando por — :
1 f 2
f
2 3 fsen—x dx = — sen udu
2 3 ? ) 2 J
3
Integrando:
3
= — eos u+C 
2
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
3 2= — eos—x+ C
2 3
3. J sen3x dx =
S o l u c i ó n :
u = 3x 
u(x) = 3x 
du{x) = 3 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
= - í sen3x(3)dx 
3 J
= - í sen udu 
3 J
Integrando:
= — cosw + C
3
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
= - - c o s 3 x + C 
3
48 Cálculo integral
■ 4. sen2xcosxt/x =
So lución:
u = sen x 
u(x) = sen x 
du(x) = —eos x dx
Integrando:
3
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
= - - s e n 3 x + C 
3
u(x) = X2 
du{x) = 2x dx
Multiplicamos y dividimos el integrando por 2:
= — sen u du 
2 J
Integrando:
= — — eos u du 
2
Si sustituimos el valor de u, queda: 
= - —cosx2 + C
En el curso de cálculo diferencial se estableció que: 
sen2 x = (sen x)2
Estas expresiones son diferentes a sen x2, pero todas ellas tienen validez, como 
pudiste observar en los ejemplos anteriores.
So lución:
W = X
n + 1
So lución:
Como cot2 y = esc2 y - 1
Sustituyendo en el integrando:
= J (esc2 y -1 ) dy 
- j* esc2 y dy - J dy 
Integrando:
= -c o t y - y + C
dx
sec(3x -1 )
S o l u c i ó n :
Como cosx = —-— 
secx
Sustituyendo en el integrando:
= J cos(3x -1 ) dx 
u = 3x — 1 
u(x) = 3x — 1 
du(x) = 3 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
= i J cos(3x - 1)(3) dx
= — í eos u du 
3 J
Integrando:
= - sen u + C 
3
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
= i sen(3x -1 ) + C
_ f eos 3x , f _2 - ,a 8. J — dx= J sen 3x eos 3x dx
sen2 3x
S o l u c i ó n :
u = sen3x 
u(x) = sen 3x 
du(x) = eos 3x (3) dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3:
= ~ I sen23xcos3x(3)dx
= — í u~2du 
3 J
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
Integrando:
-1
+ C
-3
= +C
3 u
Si sustituimos el valor de u, tenemos: 
1
3sen3x
f -3 dx 
J 2^sen 2x 
So lución:
Como cscx = -
-+ C
1
senx
Elevamos al cuadrado ambos miembros: 
1
CSC" X = -
sen x
Sustituimos en el integrando:
= J -3 esc2 2xd x 
u = 2x 
u(x) = 2x 
du(x) = 2 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:
= ~ ~ J csc2 2x(2)dx
= - — í csc2 u du 
2 J
Integrando:
= — (— cotw) + C 2
3
= —cot u+C 
2
Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 
3
= —cot2x + C 
2
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 51
no,• i
tan 5x dx _ 
eos2 5x 
Solución:
Como sec x = — —
cosx
Elevamos al cuadrado ambos miembros: 
1
eos2 X
Si sustituimos en el integrando, obtenemos:
= | tan 5x sec2 5x dx 
u = tan 5x 
u(x) = tan 5x 
du(x) = sec2 5x (5) dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5: 
= i J tan 5x sec2 5x(5) dx
= — í u du 
5 J
Integrando:
= I ^ + C
5 2
Si sustituimos el valor de w, tenemos:
1 (tan5x)2
-+ C
= — tan2 5x+C 
10
■ 11 • J
dx
5+5cosx 
Solución:
Multiplicamos el integrando por el conjugado del denominador:
= 1
/ \ 
1
\
5 -5 c o sx
^5+5cosx 5 -5 c o sx
dx
_ | 5 -5 c o sx ^
(5+5 eos x)(5 - 5 eos x)
f 5 -5 c o sx .
= J --------------— dx
2 5 -2 5 eos x
52 Cálculo integral
Factorizando:
f 5(1- eos x)= J — dx
25(1 - eos2 x)
Como sen2 x = 1 - eos2 x
Sustituimos en el integrando y reducimos — :
, , 251 f 1 -co sx ,
= 7 J - - - — *5 sen x 
Separamos en dos integrales:
= 1 J 1
5 sen' x 5 sen2 x
- í — ■a J 2 5 sen x
( \
f cosx 1
senx senx y
dx
12• 1 —
5 dx
eos2 xVtanx+1 
So lución:
Como sec x = ——
cosx
Elevamos al cuadrado ambos miembros: 
1sec" x = -
eos2 x
Sustituimos en el integrando:
= s | ,sec2* dx 
Vtanx + 1
= 5 j m i y
(tanx+1)2 
= 5 1 (tan x + 1) 2 sec2 x dx
^ ' -) 1 cosx 1
Como esc x = ---- — ; cot x = ------- ; esc x = ------
sen2 x senx senx
Sustituimos en los integrandos:
= — Í c s c 2 x é /x - - íco tx cscx í/x 
5 J 5 J
Integrando:
= - ^ c o t x —^ ( -c s c x )+ C
• 1= — c o tx + -c s c x + C 
5 5
Capítulo 5 I ntegrales inmediatas. Fundones trigonométricas directas
u = tan x + 1 
u(x) = tan x + 1 
du(x) = sec2 x dx
= 5 J u '-du 
Integrando:
= 5— +C 
1
2
Sustituyendo el valor de u, queda:
= 1 Os/tan x+1 + C
13. J sec4 x d x =
Solución:
Como sec4 x = sec2 x sec2 x 
= | sec2 xsec2 xd x 
Además, sec2 x = 1 + tan2 x 
Sustituimos en el integrando:
= J (1 + tan2 x) sec2 x dx 
= J (sec2 x + tan2 x sec2 x) dx 
= J sec2 xd x+ J tan2 xsec2 xd x 
u - tan x 
w(x) = tan x 
du(x) = sec2 x dx
Integramos la primera integral y realizamos el cambio de variable en la 
segunda:
= tanx+ | u2du
Integrando:
w3= tan x H----- l-C
3
Si sustituimos el valor de u, tenemos:
= ta n x + - ta n 3x + C 
3
14- J se n 3x d x = J se n x se n 2x d x 
So lución:
Como sen2 x = 1 — eos2 x
54 Cálculo integral
Sustituimos en el integrando:
= | sen x(l - eos2 x) dx 
= J sen x - sen x eos2 x dx 
= J sen x d x — \ sen x eos2 x dx
u = eos x 
u(x) = eos x 
du(x) = - sen x dx
Integramos la primera integral y hacemos el cambio de variable en la 
segunda integral:
= -c o s x
= -COSX+
Integrando:
“ (— J* u2 du^
| u2du
— — COSXH— u + C 
3
Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 
1 3
= - COSX + -COS X + C
3
■ 15. Jcsc5xcot5x£/x =
So lución: 
u = 5x 
u{x) — 5x 
du(x) = 5 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5 
1
= - | esc 5x cot 5x(5) dx
= - í esc u cot u du 
5 J
Integrando:
= - - c s c u + C 
5
Si sustituimos el valor de u, obtenemos:
= - - c s c 5 x + C 
5
16. J (tan2 3x - sec2 5x) dx =
= J tan2 3 x d x - | sec2 5x d x
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 55
So lución:
Como tan2 x = sec2x - \ , entonces tan2 3x = sec2 3x - 1
Sustituimos en el primer integrando:
= J (sec2 3x - 1) dx - J sec2 5x dx
u = 3x w = x
u{x) = 3x w(x) = 5x
du(x) = 3 dx dw(x) = 5 dx
Multiplicamos y dividimos el primer integrando entre 3 y el último entre 5:
= ^ J sec2 3x(3) dx - J dx - ^ J sec2 5x(5) dx
Hacemos los cambios de variable:
= — [sec2 u d u - [ d x—— [sec2 wdw 3 j j 5 j
Integramos:
1 1= - tan u —x — tan w+C 
3 5
Sustituimos el valor de u y el valor de w para obtener:
= - tan 3x - x - - tan 5x+ C 
3 5
f tan 6x ,■ 17. J dx —
eos2 6x
So lución:
1 1Como sec x = ------- , entonces sec 6x = -
cosx cosóx
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
2 a 1sec 6x = -
cos2 6x
Sustituimos en el integrando:
= j* tan 6x sec2 6x dx 
u = tan 6x 
w(x) = tan 6x 
du(x) = sec2 6x (6) dx 
Multiplicamos y dividimos entre 6:
= — | tan 6x sec2 6x(6)dx 
6
= — \ udu 
6 J
Integrando:
= I^ 1 + C 
6 2
Cálculo integral
Si sustituimos el valor de «, obtenemos:
= — tan2 6 x + C 
12
So lución:
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto: 
= J (sec2 x - 2 sec x tan x + tan2 x) dx 
Como tan2 x = sec2 x - 1 
Sustituimos en el integrando:
Integrando:
= 2 tan x - 2 sec x - x + C 
Factorizamos el número 2 en el primer y segundo términos: 
= 2 (tan x - sec x) - x + C
i ■+■ sen x 
So lución:
Multiplicamos el integrando por su conjugando del denominador:
/ \\
í
1 X o v i l JV J
------------ dx
1 + s e n x ^ l-s e n x
1 1 - sen x
(l+ sen x )(l-sen x )
i - sen- x 
Como 1 - sen2 x = eos2 x 
Sustituimos en el integrando:
eos x
Como sec x = ------- ; eos" x = cosxcosx
cosx
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 57
Sustituimos en los integrandos:
= J sec2 x d x - \ senx dx
cosx cosx\ /
senx 1LOino = tan x; sec x = ------
cosx cosx
Sustituimos el segundo de los integrandos: 
= J sec2 xd x - ^ tan x secx dx 
Integrando:
= tan x - sec x + C
tan x - sec x + C
f E je r c ic io s d e re p a s o
I. Calcula las siguientes integrales. Se
1. J sen4 y eos y dy
2. f sec2 J yJ r- dy 2 J y
3. f 6 dx
4. J eos2 5ysen5ydy
5. J 3xsenx2¿/x
6. J 7 tan2 x dx
7. f dy 
(3 + ^ )5
8. J cos4x<7x
9.
_ i
J x 3dx
10.
f dx
J ~3
Sol. - sen3 y + C 
5
Sol. tan J y + C
So l. hC*>
X
Sol. — —eos3 5 v+ C 
15
Sol. — cosx ' +C 
2
Sol. 7 ta n x -7 x + C 
1
Sol.
4(3+ y)4
- + C
Sol. —sen 4x + C
Sol. - V ? + C
Sol. — + C
2x2
Cálculo integral
1 1 . | sec2 2x dx
1 2 . ¡3 y l¡2 y 2- * d y
13. J eos4 3y sen 3^ dy
14. J sen3y c o sy d y
15. J ( 2 - y 3f d y
16. J 5 tan2 y dy
17. J tan2 (3x -1 ) dx
18 . J (1 + y 3)2dy
19. J x 3 eos x 4dx
20. J sen2 3.x eos 3x d x
21. | tan5 2x sec2 2x dx
Sol. — tan 2.x+ C 
2
Sol. — ( 2 / - 8 ) 3+ C 
16
So l. cos53 v + C
15
Sol. — sen4 y+ C 
4
Sol. 4y - y 4 + — + C 
Sol. S ta n ^ -S y + C
Sol. -tan(3x — 1) —x + C 
3
4 7
Sol. v + ----+ —---hC
2 7
Sol. —senx4+ C 
4
Sol. —sen 3x + C 
9
Sol. — (tan2x)6 + C 
12
(tan 2x)6 = tan6 2x
22 5 dx
^ eos2 x >]tan x - 2
23. J ta n 22y d y
24. | tan4 x dx
25. J ( i -x fy f^ c d x
26. j l ± l dx
x 3
Sol. 1 0 (tan x -2 )2 + C
Sol. — tan 2 y —y + C
? '
Sol. - t a n J x —ta n x + x + C 
3
So/. ± x 4 ~ x - * x í 4~x + 
3 5
Sol. — hC
x~ x
-J 
I ( O
Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricasdirectas
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
sec 5xd x
csc (3+5x)dx
2 dy
sen 5y
(sen3 2 yco s2 y )d y
(tan2 3x - sec2 3x) dx 
3 -c o sx
sen2x
-dx
1
sen2^
dy
3 *3 ^csc—x cot — x dx
4 4
Sol. - ta n 5 x + C 
5
Sol. -~ co t(3 + 5 x )+ C
Sol. — co t5v+ C 
5
Sol. - ( s e n 2y f + C 
8
Sol. - x + C
Sol. -3 c o tx + c sc x + C
Sol. -c o t v + C
4 3
Sol. — csc —x + C 
3 4
II. Para cada una de las siguientes integrales indica cuál de los procedimientos vistos en el capítulo 
aplicarías para resolverla.
1. | tan2 axdx
- í dysen y — 3
Sol. Sustituir el integrando por una identidad 
pitagórica..
Sol. Multiplicar el integrando por su conjugado.
3. j* - e o s 2 3x sen 3x dx
J -
dx
eos- ax
5- j* sec2 yyJtany+5 dy
Sol. El integrando es el producto de una potencia 
trigonométrica por su diferencial.
Sol. El integrando se sustituye por una identidad 
trigonométrica recíproca.
Sol. El integrando es el producto de una potencia 
trigonométrica por su diferencial.
60 1 : Cálculo Integral
III. Calcula las siguientes integrales:
1.
4
J sen 5x eos3 5xd x Sol.
3 -
— cos35 x+ C 
35
2. j 2 tan2 5xd x Sol.
2
— tan 5 x -2 x + C 
5
3. f dy
sen2 by 
f tan x ,
J -------- / — “x
eos xV s e c x - 1
Sol. —cot by+ C 
b
4. Sol. 2> /secx-l +C
5. f 2 dx Sol. 1 + cJ _____3 .. 1 V_'__2 ..secasen3 x sen2 x
Capítulo 6
Integrales inmediatas. Funciones 
trigonométricas inversas
Introducción
En este capítulo analizaremos las últimas fórmulas básicas de integración. Con esto 
darem os por term inado el estudio de las integrales inmediatas.
Fórmulas de integración de funciones 
trigonométricas inversas
f du u „■■■ = are sen— hC
a
f du 1 uJ — - = — are tan — f- C
a +u~ a a
f du 1 u _
J — 7 = = = = = —are sec—+ C
uyju2- a 2 a a
Algunos procedimientos de integración de las 
funciones trigonométricas inversas
E jem plos:
■ 1. Integrar: 
r dx 
s l9 - x 2 ~
Solución :
r du u
Para aplicar la fórmula J - y ^ = are sen — + C , es necesario identifi-
Va2 - w2 a
car los valores de a2, a , w2, u y calcular u{x) y du{x).
Cálculo integral
El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por 
su diferencial. De este modo, podemos aplicar la fórmula de integración 
citada.
r — —— = f
1 s ¡ 9 - x 2 J y¡a%- u 2
Integramos:
u _
= are sen— + C 
a
Al sustituir los valores de a y de u:
du
= are sen— + C 
3
¡A n ó ta lo !
d\
ac
bd
■ 2 •1
dx
3+4x 
So lución:
Para aplicar la fórmula í ——— = — are tan — + C se identifican los
a2 +u2 a a
valores de a2, a , u2, u y se calculan u(x) y du(x) 
a2= 3 u2 = 4x2
a = y] 3 u — 2x
u(x) = 2x 
du(x) = 2 dx
Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 2. 
Con este procedimiento no se altera el valor del integrando porque se 
está multiplicando por 1: .
2 dx
2 3+ 4x2
Sustituimos en el integrando: 
1 f du41-2 J a2+u2 
Integramos:
are tan—+ C 
a
Con los valores de a y de u, tenemos:
Capítulo 6 ! itegrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
■ 3. í dx =
J x +2
Solución:
Identificamos a2, a, u2, u y calculamos w(x), y du(x) 
a2 = 2 u2 = x2
a = y/2 u = x
u(x) = x 
du(x) = dx 
Sustituimos en el integrando:
= 3 f ———
^ u2 -Va2
Integramos: 6
= 3 ' O are tan— + C 
a
Con los valores de a y u, tenemos:
= 3 are tan —¡= + C
•J2
3 x ^= —¡= are tan—-¡= + C 
v 2 -v/2
Estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integración. 
En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En 
otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan a 
continuación.
El integrando se expresa como la suma de dos 
cocientes
Ejemplo:
f x + 4 j ■ 1. , d x -
J
Solución:
Separamos en dos integrales:
¡ n J = d x + \ 
J J T x 2 J
u = 9 - x2 
u{x) = 9 — x2 
du(x) = — 2x dx
-dx
Multiplicamos y dividimos entre (-2 ) la primera integral:
1 ^ d
= — í x ( 9 - x 2) 2{—2)dx + 4 f .
2 J 9 - x 2
Para el resultado de la segunda integral, tomamos el del primer ejemplo 
de este apartado:
| u 2 du + 4 are sen — + C
Integramos:
1 M2 . X ^= b 4 are sen — h C
2 1 3
Con el valor de u, tenemos:
= - ( 9 - x 3)2 + 4 a rc s e n - + C 
3
Este resultado se puede expresar en la forma siguiente:
= - y ¡ 9 - x 2 + 4 arcsen —+ C 
3
El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de la 
forma ax2 + bx + C, esté dentro o fuera de un radical de índice 2.
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La 
integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:
yju2 + a2
• du 
a2 — u2
du
r du 
u2
Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando 
el integrando incluye funciones cuadráticas. En el curso de aritmética y álgebra 
aprendiste que para completar un cuadrado debes sumar a la expresión el cuadrado 
de la mitad del coeficiente de x.
V
2
V
, 2 j , 2 ,
x 2 + bx + c = x 2 + bx +
Observa que para conservar la igualdad hemos sumado y restado f >L2 
\ 2 /
Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 65
E jem plo :
il ■ h
6dx
x - 4x + 8
So lución:
Al completar el cuadrado del denominador, se tiene: 
x2 - 4x+ 8 = (x2 - 4x + 4) - 4 + 8 
= (x - 2 f + 4
El tercer término del trinomio se obtuvo con la mitad de b al cuadrado
¡Anótalo!
' 4 ' 2
v 2 ,
= 22 = 4.
Recuerda que la factorización del trinomio cuadrado perfecto es un binomio formado 
por la raíz del primer término, el signo del segundo y la raíz del tercero, elevado al 
cuadrado.
= 6J :
dx
( x - 2 ) 2 + 4
u2 = ( x - 2)2 
u = x - 2 
u(x) = x - 2 
du(x) = dx
Sustituimos en el integrando: 
u + ü~
Integramos: 
= 6 ' i ' are tan— + C 
a
Con los valores de a y u, tenemos: 
x - 2
= 6
v 2 y
are tan- - + C
¿^ = 4 
a — 2
6 x - 2 _
= — are tan + C
2 2
x - 2 „
= 3 are tan h C
Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es 
negativo
E jem plo :
■ 1• J
dx
yj3x~:
66 Cálculo integral
Solución:
Si se completa el cuadrado del denominador tenemos:
3 x - x 2 = - (x2 - 3x)
x 2 - 3 x +
f _ \ 2 f ~ 2
í-1 _ 3
, 2 ,
3
x — 
2
\ 2
Observa el signo menos que precede a los corchetes.
3 ^ 2 
x —
2
2
2\
2 í 3a = —
2\
3
a =
2
3
x — 
2
u = x — 
2
\ 2
u(x) = x - ~ 
du(x) = dx
Al sustituir en el integrando: 
_ j dx
í
2
í 31
- x —l 2
du
u
Integramos:
u , „= are sen—+C
a
Con los valores de a y u, tenemos: 
3x —2
= are sen —+C
3
2
2 x -3
= are sen— - — + C 
3
Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
= are sen 2(2 x -3 ) ( c 
2(3)
= are sen
3
Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no 
es la unidad
Ejem plo :
So lución:
Factorizamos la expresión 2x2 - Sx antes de completar el cuadrado.
2 x2 - 8 x + 9 = 2(x2 -4 x )+ 9
= 2(x2 - 4 x + 4 - 4 ) + 9
Observa que el factor 2 afecta toda la expresión que está entre paréntesis: 
= 2(x2 - 4 x + 4 ) -2 (4 ) + 9 
Factorizamos el trinomio y sumamos:
= 2 (* -2 )2 + l 
Sustituimos en el integrando:
dx
2 (x -2 )2 + 1
u2 = 2 { x - 2 f a = \ 
u = y j2 (x—2) a = 1
u(x) = *J2(x-2)
du{x) = y¡2dx
Multiplicamos y dividimos en el integrando entre y¡2
Sustituimos:
\ f du
Integramos:
68 Cálculo integral
Con el valor de u y con el de a, tenemos:
1
1
" T i
\ ) t S ( x - 2 ) _ ^- | are tan + C
O 1
are tan s [ 2 ( x - 2 ) + C
E jem plos:
Integra: