Medidas de Posição e Tendência Central

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Prof. Paula Marinho
Aula 4
APRESENTAÇÃO
Continuamos na Estatística Descritiva. Já aprendemos a representar dados brutos em forma de tabelas e gráficos. Nesta aula aprenderemos calcular medidas de posição e tendência central. São elas a média, a moda e a mediana. Também estudaremos as medidas separatrizes: quartil, decil e percentil.
 
Imagine que o conjunto numérico a seguir representa o salário anual, em R$, de 20 funcionários do departamento de Controle de Qualidade de uma indústria do setor automobilístico.
2
APRESENTAÇÃO
10.000,00
15.000,00
40.000,00
100.000,00
10.000,00
20.000,00
48.000,00
120.000,00
12.000,00
20.000,00
60.000,00
150.000,00
12.000,00
30.000,00
70.000,00
180.000,00
12.000,00
30.000,00
70.000,00
250.000,00
3
Os valores de média, moda e mediana para este conjunto numérico são:
MÉDIA
62.950,00
MEDIANA
35.000,00
MODA
12.000,00
Como interpretar estes valores tão diferentes? Qual dos três é o melhor indicador para representar este conjunto de dados?
OBJETIVOS 
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
Calcular a média, a moda e a mediana para dados brutos e tabela com e sem classes;
Selecionar a melhor medida de posição e tendência central para um conjunto numérico;
Comparar as características de cada medida estudada;
Calcular as medidas separatrizes: quartil, decil e percentil.
Construir o gráfico Boxplot e identificar valores outliers em um conjunto numérico.
Efetuar os cálculos usando o Excel.
4
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
5
4.1 MÉDIA OU MÉDIA ARITMÉTICA
Pode ser de dois tipos: simples ou ponderada. A média é um valor representativo de um conjunto de dados. 
A média é única para um dado conjunto de valores.
Qualquer variação nos valores do conjunto observado implica em um novo valor de média. Não é uma medida resistente, pois mudanças nos valores da variável mudam o valor da média. 
Seu resultado é afetado pelos valores extremos, isto é, tende para os valores extremos.
Das três medidas estudadas é a que tem o maior significado matemático.
É representada pelo símbolo Lê-se: X barra.
6
4.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
7
4.1.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
TABELA SEM CLASSES 
i
NotasXi
Frequênciafi
Xifi
1
4
1
4x1=4
2
5
5
5x5=25
3
6
6
6x6=36
4
7
5
7x5=35
5
8
3
8x3=24
 
Total
20= n
124
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
8
4.1.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
TABELA COM CLASSES
classes
fi
xi - ponto médio de cada classe
xifi
10
|-
20
5
(10+20)/2=15
15x5=75
20
|-
30
10
(20+30)/2=25
25x10=250
30
|-
40
15
(30+40)/2=35
35x15=525
40
|-
50
10
(40+50)/2=45
45x10=450
50
|-
60
5
(50+60)/2=55
55x5=275
Total
45
  -----
1575
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
9
4.2 MODA 
É o valor da variável que mais se repete, que se destaca em relação aos outros valores. A moda é o valor da variável que ocorre com a maior frequência simples em um conjunto de números. 
A moda pode não existir (AMODAL - caso em que todos os valores da variável em estudo ocorrem com a mesma intensidade) e, mesmo que exista, pode não ser única (quando houver mais de um valor predominante). Pode ser UNIMODAL, BIMODAL, ...
A mudança de um valor no conjunto observado pode não mudar a moda: é uma medida resistente.
Não é afetada pelos valores extremos.
É a única medida que pode ser determinada para uma variável qualitativa..
Seu símbolo e ou Mo. Lê-se: X chapéu
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
10
4.2.1 MODA PARA DADOS BRUTOS, NÃO TABELADOS:
X = {4,5,5,6,6,6,7,7,8,8}
Moda = 6 pois é o valor quer aparece mais vezes
Y = {4,4,5,5,6,6}
Não tem moda, amodal, pois todos os valores aparecem com a mesma frequência
Z ={1,2,2,2,3,3,4,5,5,5,6,6}
Bimodal, pois o 2 e o 5 aparecem em igual intensidade. Moda ={2;5}
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4.2.2 MODA PARA DADOS TABELADOS SEM CLASSES:
Qual a temperatura mínima diária mais comum medida no mês abaixo?
Moda =2°C
Temperatura
fi
0oC
3
1oC
9
2oC
12
3oC
6
Total
30
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12
4.2.2 MODA PARA DADOS TABELADOS COM CLASSES:
4.2.3.1 MODA BRUTA:
É o método mais rudimentar. É representada pelo ponto médio da classe modal. Classe modal é a classe que apresenta a maior frequência simples.
4.2.3.2 MODA CZUBER:
É o método que retorna um valor mais preciso, por levar em consideração a influência dos valores ao redor da moda. Calcula-se da seguinte forma: 
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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A Classe Modal é 30 |--- 40
A Moda Bruta é 35
A Moda Czuber é:
classes
fi
10
|-
20
2
20
|-
30
3
30
|-
40
10
40
|-
50
9
50
|-
60
4
Total
28
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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4.3 MEDIANA 
 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor central. Sua característica principal é dividir esse conjunto de números em duas partes iguais, com a mesma quantidade de valores. Dessa forma 50% dos valores observados são menores que a mediana e 50% desses valores são maiores que a mediana. É única, sempre pode ser calculada. Sempre existirá um valor de mediana para um conjunto numérico.
 
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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4.3 MEDIANA 
 
Por exemplo, se o maior valor da variável for duplicado a mediana não se altera: é uma medida resistente. Seu resultado não é afetado pelos valores extremos. Certas pesquisas de preço e salários preferem usar a Mediana em vez da Média pelo fato dela não ser influenciada por valores pequenos ou grandes demais, por valores ditos fora do padrão. 
A Mediana é uma das medidas Separatrizes que são a mediana, o quartil, o decil e o percentil.
 Seu símbolo pode ser Md ou Lê-se: X til.
 
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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4.3.1 MEDIANA PARA DADOS DADOS BRUTOS:
 
Para dados brutos o cálculo é feito da seguinte forma:
 
1º - Ordenar os valores do conjunto observado;
2º - Verificar se n (o tamanho da amostra) é impar ou par;
3º - Para n ímpar, a mediana é o valor do meio; é o elemento que ocupa a posição EMd = (n+1)/2.
 Para n par, a mediana é a média dos dois valores do centrais, do elemento que ocupa a posição EMd = (n)/2 e com o seguinte. 
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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EXEMPLO 8: 
Calcule a mediana para os valores abaixo:
 
A = {2,3,6,12,15,23,30)
n=7  ímpar  Md = 12 ;
é o elemento que ocupa a quarta posição ou seja EMd = (n+1)/2=(7+1)/2=4ª
 
B = {3,6,9,12,14,15,17,20}
N=8  par  Md = (12+14)/2 = 13, 
A mediana é a média entre o elemento do meio, de ordem EMd =(n/2)=4º, com o elemento seguinte, o 5º. 
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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4.3.2 MEDIANA PARA DADOS TABULADOS SEM CLASSES:
 
Para uma tabela sem classes o cálculo é feito da seguinte forma:
 
1º - Verificar se a coluna de Xi está ordenada;
2º - Verificar se n é impar ou par;
3º - Localizar na coluna das frequências acumuladas abaixo (Fa), o meio da distribuição. A mediana será o valor da variável correspondente ao ponto central.
Para n ímpar, a mediana é o valor do meio e está na posição EMd = (n+1)/2
Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais, do valor que ocupa a posição (EMd=n/2) com o valor seguinte.
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
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valores xi
frequencia fi
Frequencia acumulada abaixo Fai
valores xi
frequencia fi
Frequencia acumulada abaixo Fai
2
5
5
3
3
3
3
10
15
4
6
9
4
15
30
5
9
18
5
12
42
6
8
26
6
5
47
7
6
32
7
3
50
8
3
35
Total =n =
50
 
Total =n =
35
 
50 é par =>
n/2 =
25
35 é ímpar =>
(n+1)/2 =
18
a mediana será décimo oitavo valor
a mediana será a média do vigésimo quinto valor com o vigésimo sextoMd= ( 4 + 4 ) / 2 =
4
Md=
5
a mediana será a média do vigésimo quinto valor com o vigésimo sexto.
a mediana será décimo oitavo valor
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
20
4.3.3 MEDIANA PARA DADOS TABULADOS AGRUPADOS EM CLASSES: 
Para uma tabela com classes o cálculo da mediana é feito usando a fórmula abaixo:
1º - Verificar se a coluna das classes está ordenada;
2º - Calcular a posição da mediana dada por,
não se fazendo distinção entre número par ou ímpar de observações (TOLEDO, pág. 160):
3º - Identificar o intervalo que contém a mediana localizando o EMd na coluna das Frequências Simples Acumuladas Abaixo Fa ;
4º - Aplicar a fórmula da interpolação para o cálculo da mediana:
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
21
classes
fi
Frequencia acumulada Fai
10
|-
20
10
10
20
|-
30
20
30
30
|-
40
35
65
40
|-
50
40
105
50
|-
60
25
130
60
|-
70
15
145
70
|-
80
5
150
Total
150
 
Emd = n/2 =
75
Oelemento mediano ocupa a septuagésima quinta posição
li =
40
h =
10
Faa=
65
fi =
40
Md =
= 40+((75-65)/40)*10 =
 
42,5
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
22
Mo < Md < Média
Mo < Md < Média
Mo = Md = Média
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
23
xxxxxxxx
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
24
xxxxxxxx
4 - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE TENDÊNCIA CENTRAL
25
xxxxxxxx
PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Profa. Paula Marinho
ATIVIDADE
ATIVIDADE
27
 
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcular a quantidade média de meninos por família.
Número de Meninos xi
Número de Famílias fi
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
total
 
RESPOSTA
28
Número de Meninos xi
Número de Famíliasfi
xi.fi
MÉDIA =
2,3
0
2
0
1
6
6
2
10
20
3
12
36
4
4
16
total
34
78
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS
BIBLIOTECA DO CAMPUS
BIBLIOTECA VIRTUAL
MATERIAL DIDÁTICO
CONTEÚDO ONLINE
USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA.
29
REFERÊNCIAS 
 BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005.
30
REFERÊNCIAS 
MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002.
TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985.
TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
31
Atividade Estruturada e Avaliação
 Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados.
Desenvolvida ao longo de todo o semestre.
Compondo 2 pontos na AV1 e AV2
Provas online. Agendar com antecedência e não faltar.
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SÍNTESE DA AULA
Nesta aula:
Aprendemos a calcular medidas de posição e tendência central como a média, a moda e a mediana. 
Aprendemos também a calcularmos as medidas separatrizes quartil, decil e percentil. 
Aprendemos a diferenciar as características e aplicações de cada uma dessas medidas.
Aprendemos a construir o gráfico boxplot e a identificar elementos outliers.
Aprendemos a fazer todos estes cálculos usando o Excel.
33
PRÓXIMA AULA
  PRÓXIMA AULA
 
Na próxima aula, você estudará os seguintes assuntos:
Medidas de dispersão como desvio padrão, variância e coeficiente de variação.
Regra empírica do desvio padrão.
Aplicações das medidas de dispersão em controle de processos.
Cálculo dessas medidas no EXCEL.
34