geometria analitica

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
EQUAÇÕES DA RETA 
- Equação vetorial da reta. 
- Equações paramétricas da reta. 
- Equações simétricas da reta. 
- Equações reduzidas da reta 
ESTUDO DA RETA 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Considerando um ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e um vetor 
não nulo 𝑣 =(a, b, c). 
 
Só existe uma reta “r” que passa 
Por A e tem a direção de 𝑣 . 
 
Um ponto P(x, y, z )pertence a r 
Se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 for 
Paralelo a 𝑣. (figura 5.1). 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
𝐴𝑃 = t 𝑣 com t real (1) 
 
𝑃 − 𝐴 = t 𝑣 
 
𝑃 = A + t 𝑣 (2) 
ou em coordenadas: 
 𝑃 = A + t 𝑣 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
As equações acima ou (1) ou (2) 
São consideradas equações vetoriais da reta “r”. 
 
- O vetor 𝒗 é chamado vetor diretor da reta r 
- E “t” é denominado parâmetro. 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
Exemplo 1: 
Qual a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto 
A(1, -1, 4) e tem a direção do vetor 𝒗 = (𝟐, 𝟑, 𝟐) ? 
 
 𝑃 = A + t 𝑣 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) 
 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−1, 4 + 𝑡(2, 3, 2) ⇒ ⇒ equação vetorial 
 
Onde (x, y, z) representa um ponto qualquer da reta r. 
 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
OBS 1: 𝑃 = A + t .𝑣 
 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−1, 4 + 𝑡(2, 3, 2) 
 
Para obtermos pontos de r, basta atribuir valores a t. 
 
Para t=1 temos: 
𝒙, 𝒚, 𝒛 = 1,−1, 4 + 1 2, 3, 2 = 𝑃1(3, 2, 6) 
Para t=2 temos: 
𝒙, 𝒚, 𝒛 = 1,−1, 4 + 2 2, 3, 2 = 𝑃2 5, 5, 8 
Para t=3 temos: 
𝒙, 𝒚, 𝒛 = 1,−1, 4 + 3 2, 3, 2 = 𝑃3 7,8, 10 
Para t=0 temos: 
𝒙, 𝒚, 𝒛 = 1,−1, 4 + 0 2, 3, 2 = 𝐴(1,−1, 4) 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
OBS 2: 
--Para cada real t corresponde um ponto P Є r. 
A reciproca é verdadeira, isto é, a cada ponto P Є r correspon- 
de um número real t . 
Por exemplo: O ponto (5, 5, 8) pertence à reta logo 
 5, 5, 8 = 1,−1, 4 + 𝑡(2, 3, 2) 
 5, 5, 8 − 1,−1, 4 = 𝑡(2, 3, 2) 
 4, 6, 4 = 𝑡(2, 3, 2) portanto t = 2 
OBS 3: 
A equação 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−1, 4 + 𝑡(2, 3, 2) não é a única 
equação vetorial de r. Existem infinitas equações, pois basta 
tomar outro ponto de r (em vez de A) ou outro vetor não nulo 
que seja múltiplo de 𝑣 . 
 Por exemplo: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,−1, 4 + 𝑡(4, 6, 4) 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Da equação vetorial da reta abaixo: 
 𝑃 = A + t 𝑣 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑡(𝑎, 𝑏, 𝑐) 
 
Temos: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1 + 𝑎𝑡, 𝑦1+𝑏𝑡, 𝑧1 + 𝑐𝑡 
 
Pela condição de igualdade temos: 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎 . 𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏 . 𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐 . 𝑡
 ⇒⇒ Equações paramétricas da reta r 
 
 
Exemplo 1: 
Quais as equações paramétricas da reta r que passa pelo 
ponto A(3, -4, 2) e é paralela ao vetor v = (2, 1, −3) ? 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 ou 
𝑥 = 3 + 2𝑡
𝑦 = −4 + 𝑡
𝑧 = 2 − 3𝑡
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 2: 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1,−2, 3), pede-se: 
a)Escrever as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem 
a direção de v. 
 
 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 ou 
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 2𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
 
b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4, 
respectivamente: 
Para t=1 temos 
𝑥 = 2 + (1)
𝑦 = 3 − 2(1)
𝑧 = −4 + 3(1)
 assim B(3, 1, -1) Є r. 
 
Para t=4 temos 
𝑥 = 2 + (4)
𝑦 = 3 − 2(4)
𝑧 = −4 + 3(4)
 assim C(6,-5, 8) Є r. 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 2: 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1,−2, 3), pede-se: 
c)Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. 
 Para x = 4 temos: 4 = 2 + 𝑡 então t = 2. 
Assim: r: 
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 2𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
 logo 
𝑦 = 3 − 2 2 = −1
𝑧 = −4 + 3 2 = 2
 
Portanto o ponto cuja abscissa é 4 é: (4, -1, 2) 
 
d) Verificar se os pontos D(4, -1, 2) e E(5, -4, 3) pertencem a reta r. 
r: 
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 2𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
 -- para o ponto D temos 
4 = 2 + 𝑡
−1 = 3 − 2𝑡
2 = −4 + 3𝑡
 assim t=2 em 
todas as equações portanto D Є r. 
 -- para o ponto E temos 
5 = 2 + 𝑡
−4 = 3 − 2𝑡
3 = −4 + 3𝑡
 não achamos 
um mesmo valor de t, logo E não pertence a reta r. 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 2: 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1,−2, 3), pede-se: 
e)Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r 
 
Assim: r: 
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 2𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
 logo 
𝑚 = 2 + 𝑡
5 = 3 − 2𝑡
𝑛 = −4 + 3𝑡
 
 
Da equação 5 = 3 − 2𝑡 temos t = -1 portanto : 
 
--- 𝑚 = 2 + (-1) logo m=1 
 
--- 𝑛 = −4 + 3(-1) logo n = -7 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 2: 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1,−2, 3), pede-se: 
f) Escrever outros dois tipos de equações paramétricas de r: 
 
-- para B(3, 1, -1) Є r item b) e o vetor diretor 2v = 2(1, -2, 3)=(2, -4, 6) 
 
 temos r: 
𝑥 = 3 + 2𝑡
𝑦 = 1 − 4𝑡
𝑧 = −1 + 6𝑡
 
 
-- para C(6, -5, 8) Є r item b) e o vetor diretor −v = -(1, -2, 3)=(-1, 2,-3) 
 
 temos r: 
𝑥 = 6 − 𝑡
𝑦 = −5 + 2𝑡
𝑧 = 8 − 3𝑡
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
Exemplo 2: 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1,−2, 3), pede-se: 
g) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5, 2, -4) 
 e é paralela a reta r. 
 sabemos que r: 
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 3 − 2𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
 , assim temos s: 
𝑥 = 5 + 𝑡
𝑦 = 2 − 2𝑡
𝑧 = −4 + 3𝑡
 
 
h) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é 
paralela ao eixo dos y. 
 
--como a reta t é paralela ao eixo dos y um dos seus vetores diretores é 
 𝑗 = 0, 1, 0 . 
-- então temos: 
𝑥 = 2 + 0. 𝑡
𝑦 = 3 + 1. 𝑡
𝑧 = −4 + 0. 𝑡
 ou seja 
𝑥 = 2
𝑦 = 3 + 𝑡
𝑧 = −4
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA 
RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS 
A reta definida por dois pontos A e B é a reta que passa 
por A (ou B) e tem a direção do vetor v = AB . 
EXEMPLO: 
Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3, -1, -2) 
e B(1, 2, 4). 
 
SOLUÇÃO: 
Escolhendo o ponto A e o vetor v = AB = 𝐵 − 𝐴 = −2, 3, 6 
 
 temos r: 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = −2 + 6𝑡
 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM SEGMENTO 
DE RETA 
Consideremos a reta r do exemplo anterior e nela o 
segmento AB (origem em A e extremidade em B) figura 5.3 
 r: 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = −2 + 6𝑡
 
As equações paramétricas do segmento AB são as 
mesmas da reta r, porém, com 0 ≤ t ≤ 1, isto é, 
AB: 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = −2 + 6𝑡
 com t Є [ 0, 1] 
Observemos que: 
-- para t=0, obtém-se o ponto A 
-- para t=1, obtém-se o ponto B 
-- para t entre 0 e 1, obtém-se os pontos entre A e B. 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM SEGMENTO 
DE RETA 
Se considerássemos o segmento BA, A(3, -1, -2)e B(1, 2, 4). 
a fim de manter o mesmo intervalo de variação de t, para 
ponto tomaríamos o B, e para vetor diretor: 
 
 B𝐴 = 𝐴 − 𝐵 = 2,−3,−6 então: BA: 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = 2 − 3𝑡
𝑧 = 4 − 6𝑡
 com t Є [ 0, 1] 
 
Notemos que as equações vetoriais dos segmentos AB e BA 
com 0 ≤ t ≤ 1 , são: 
 
P = A + t.(B - A) e P = B + t.(A - B) 
 
Respectivamente, onde P(x, y, z) representa um ponto 
qualquer do segmento. 
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA 
Das equações paramétricas abaixo:r: 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡
 --- 𝑥 = 𝑥1 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦1 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧1 + 𝑐𝑡 
Supondo a, b, c ≠ 0, vem: 
𝑡 =
𝑥−𝑥1
𝑎
 𝑡 =
𝑦−𝑦1
𝑏
 𝑡 =
𝑧−𝑧1
𝑐
 
Como para cada ponto valor do t é o mesmo, temos: 
 
 
𝑥−𝑥1 
𝑎
 = 
𝑦−𝑦1
𝑏
 = 
𝑧−𝑧1
𝑐
 equações simétricas 
 
estas equações são as equações simétricas da reta que 
passa pelo ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e tem a direção do vetor não 
nulo 𝑣 =(a, b, c). 
 
⇒⇒ 
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA 
EXEMPLO: 
Escrever as equações simétricas da reta r que passa por A(3, 0, -5) 
e tem direção do vetor v = 2, 2, −1 
 
𝑥−𝑥1 
𝑎
 = 
𝑦−𝑦1
𝑏
 = 
𝑧−𝑧1
𝑐
 isto é : 
𝑥−3
2
 = 
𝑦
2
 = 
𝑧+5
−1
 
 
Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuir 
um valor qualquer a uma das variáveis. 
Por exemplo, para x = 5, temos: 
 
 
5−3
2
 = 1 =
𝑦
2
 = 
𝑧+5
−1
 logo temos: y = 2 e z = -6. 
 
Assim o ponto (5, 2, -6) pertence a reta. 
 
 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
Seja a reta r definida pelo ponto A(2, -4, -3) e pelo vetor 
diretor v = 1, 2, −3 e expressa pelas equações simétricas 
abaixo: 
𝑥−𝑥1 
𝑎
 = 
𝑦−𝑦1
𝑏
 = 
𝑧−𝑧1
𝑐
 isto é r: 
𝑥−2
1
 = 
𝑦+4
2
 = 
𝑧+3
−3
 
 
A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis 
em função da terceira. Isolando, principalmente, as variáveis 
y e z e expressando-as em função de x, obtendo assim: 
 
𝑥−2
1
 = 
𝑦+4
2
 
𝑥−2
1
 = 
𝑧+3
−3
 
2(x - 2) = 1(y + 4) -3(x – 2) = 1(z +3) 
 
2x – 4 = y + 4 -3x + 6 = z + 3 
 
y = 2x – 8 z = -3x +3 
 
 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
 y = 2x – 8 z = -3x +3 
 
Ou seja : y = 2x – 8
z = −3x +3 
⇒⇒ equações reduzidas 
 
Estas duas equações são as equações reduzidas da 
reta r, na variável x. 
 
OBS: 
a) E fácil perceber que todo ponto P Є r é do tipo 
P(x, 2x – 8, -3x + 3) onde x pode assumir um valor 
qualquer . 
Por exemplo se x = 3 tem-se P(3, -2, -6) Є r . 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
 r: 
𝑥−2
1
 = 
𝑦+4
2
 = 
𝑧+3
−3
 
 
OBS: 
b) Com procedimento idêntico ao anterior a partir da 
equação acima, pode-se obter as equações: 
 
 
x = 1/2 y + 4
 z = −3/2 y − 9 
 ⇒⇒(equações reduzidas na variável y) 
 
 
x = −1/3 z + 1
y = −2/3 z − 6 
 ⇒⇒(equações reduzidas na variável z) 
 
 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
A partir das equações paramétricas abaixo: 
r: 
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = −4 + 2𝑡
𝑧 = −3 − 3𝑡
 
 
OBS: 
c) Para obtermos as equações reduzidas basta isolar o 
parâmetro t conforme a necessidade da equação 
procurada, ou seja, para equações reduzidas em função 
da variável x temos: 
 
x − 2 = t 
y = 2x – 8
z = −3x +3 
 
 
(equações reduzidas na variável x) 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
A partir das equações reduzidas abaixo: 
 
 
y = 2x – 8
z = −3x +3 
 
 
OBS: 
d) Para obtermos um vetor diretor podemos determinar 
dois pontos A e B da reta e posteriormente encontrar o 
vetor diretor AB = 𝐵 − 𝐴. 
Exemplo: 
-Para x = 0, obtém-se o ponto A(0, -8, 3). 
-Para x = 1, obtém-se o ponto B(1, -6, 0). 
 
Logo, AB = 𝐵 − 𝐴 = (1, 2, −3) é um vetor diretor de r. 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
A partir das equações simétricas abaixo: 
 
 
𝑥
1
 = 
𝑦 + 8
2
 = 
𝑧 − 3
−3
 
 
OBS: 
e) Para obtermos um vetor diretor podemos determinar 
diretamente fazendo a leitura dos denominadores, isto é, 
o vetor diretor é (1, 2, -3). 
RETAS PARALELAS AOS PLANOS 
COORDENADOS 
Uma reta é paralela a um dos planos xoy, xoz ou yoz se 
seus vetores diretores forem paralelos ao correspondente 
plano. 
Neste caso, uma das componentes do vetor diretor é nula. 
 
A figura mostra r (r // xoy) que 
passa pelo ponto A(-1, 2, 4) 
e tem vetor diretor v = 2, 3, 0 . 
 
Um sistema de equações 
paramétricas de r é: 
 
r: 
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 2 + 3𝑡
𝑧 = 4
 
RETAS PARALELAS AOS PLANOS 
COORDENADOS 
OBS: 
Como todos os pontos de r são do tipo (x, y, 4), isto é, são 
pontos de cota 4, todos eles distam 4 unidades do plano 
xoy e por isso r // xoy. Por outro lado, sendo A(𝑥1, 𝑦1, 4) e 
B(𝑥2, 𝑦2, 4) pontos distintos de r 
O vetor diretor: 
AB (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 0) sempre 
terá a terceira componente nula. 
 
Do mesmo modo fariamos para 
Uma reta paralela aos outros 
Dois planos. 
RETAS PARALELAS AOS PLANOS 
COORDENADOS 
OUTRO EXEMPLO: 
A figura mostra a reta r que passa pelo ponto A(1, 5, 3) 
E é paralela ao vetor 𝑣 = (−1, 0, 2) e portanto temos: 
 
 
r: 
𝑥 = 1 − 𝑡
𝑦 = 5
𝑧 = 3 + 2𝑡
 
 
RETAS PARALELAS AOS EIXOS 
COORDENADOS 
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus 
vetores diretores forem paralelos a 𝑖 = (1, 0, 0) a 𝑗 = (0, 1, 0) 
ou a 𝐾 = (0, 0, 1). Neste caso, duas das componentes do 
vetor são nulas. 
 
EXEMPLO: 
Seja a reta que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor 
𝑣 = (0, 0, 3). 
 
r: 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
𝑧 = 4 + 3𝑡
 
 
RETAS PARALELAS AOS EIXOS 
COORDENADOS 
OBS: 
Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo 
coordenado, costuma-se fazer uma simplificação, 
expressando as equações só pelas constantes, isto é, para o 
caso anterior temos: 
EXEMPLO: 
Seja a reta que passa por A(2, 3, 4) e tem a direção do vetor 
𝑣 = (0, 0, 3). 
 
r: 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
𝑧 = 4 + 3𝑡
 r: 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
 
 
 
Entende-se que Z é uma variável livre assume valores reais 
 Os pontos de r são do tipo (2, 3, z) 
RETAS PARALELAS AOS EIXOS 
COORDENADOS 
EXEMPLOS: 
As figuras abaixo mostram dois casos de retas paralelas aos 
eixos Oy e Ox respectivamente, cujas equações de forma 
simplificadas são: 
 
r: 
𝑥 = 𝑥1
𝑧 = 𝑧1
 r: 
𝑦 = 𝑦1
𝑧 = 𝑧1
 
 
 
RETAS PARALELAS AOS EIXOS 
COORDENADOS 
OBS: 
Os eixos Ox, Oy e Oz são retas particulares. 
Todas passam pela origem O(0, 0, 0) e têm a direção 
de 𝑖 , 𝑗 e 𝑘, respectivamente. 
Logo suas equações são: 
 
 
Ox: 
𝑦 = 0
𝑧 = 0
 Oy: 
𝑥 = 0
𝑧 = 0
 Oz: 
𝑥 = 0
𝑦 = 0
 
 
 
ÂNGULO DE DUAS RETAS 
Sejam as retas 𝑟1 e 𝑟2 com as direções 𝑣 1e 𝑣 2, 
respectivamente figura abaixo. 
Chama-se ângulo de duas retas 𝑟1 e 𝑟2 o menor ângulo de 
um vetor diretor de 𝑟1e de um vetor diretor de 𝑟2. 
Logo sendo θ este ângulo, tem-se: 
 
 cos θ =
|𝑣1 . 𝑣2|
𝑣1 . |𝑣2|
 , com 0 ≤ θ ≤ 
𝜋
2
 
 
ÂNGULO DE DUAS RETAS 
EXEMPLO 1: 
Calcular o ângulo entre as retas 𝑟1 e 𝑟2 abaixo: 
 
 e 
 
SOLUÇÃO: 
Os vetores que definem as direções das retas 𝑟1 e 𝑟2 são 
respectivamente 𝑣 1 = (1, 1, −2) e 𝑣 2 = (−2, 1, 1). 
Pela fórmula abaixo temos: 
cos θ =
|𝑣1 . 𝑣2|
𝑣1 . |𝑣2|
 = 
| 1,1,2 . −2,1,1 |
12+12+(−2)2 . (−2)2+12+12 
 
 
cos θ = 
|−2+1−2|
1+1+4 . 4+1+1 
=
|−3|
6 . 6
=
3
6
=
1
2
 logo: 
 
θ = arc cos (
1
2
) =
𝜋
3
= 60° 
𝑟1: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = −1 − 2𝑡
 𝑟2: 
𝑥+2
−2
 =𝑦−3
1
 = 
𝑧
1
 
RETAS ORTOGONAIS 
Sejam as retas 𝑟1, 𝑟2 e r com as direções de 𝑣 1, 𝑣 2 e 𝑣 3 
respectivamente conforme a figura abaixo. 
 
Então: 
 
𝑟1 ⊥ r ⟺ 𝑣 1. 𝑣 3 = 0 
 
𝑟2 ⊥ r ⟺ 𝑣 2 . 𝑣 3 = 0 
 
OBS: 
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não . 
Na figura acima, as retas 𝑟1 e 𝑟2 são ortogonais a r. 
Porém, 𝑟2 e r são concorrentes, logo: perpendiculares. 
RETAS ORTOGONAIS 
EXEMPLO: 
As retas dadas abaixo: 
𝑟1: 
𝑦 = −2𝑥 + 1
𝑧 = 4𝑥
 𝑒 𝑟2 : 
𝑥 = 3 − 2𝑡
𝑦 = 4 + 𝑡
𝑧 = 𝑡
 
São ortogonais pois: 
 
Para x=0 temos (0, 1, 0) 
Para x=1 temos (1, -1, 4) 
Então: 
𝑣 1 = (1,−2, 4) e 𝑣 2 = (−2, 1, 1) 
 
 
Assim 𝑣 1 . 𝑣 2 = 1. −2 + −2 . 1 + 4 . 1 = 0 
 
RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS 
Sejam as retas 𝑟1 e 𝑟2 não paralelas, com as direções de 
𝑣 1 e 𝑣 2, respectivamente. 
Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a 𝑟1 e 𝑟2 terá a 
direção de um vetor 𝑣 tal que: 
 
 
𝑣 . 𝑣 1 = 0
𝑣 . 𝑣 2 = 0
 
 
Em vez de tomarmos um vetor 𝑣 ≠ 0 como uma solução 
do sistema acima poderíamos utilizar o produto vetorial, 
isto é: 
𝑣 = 𝑣 1 𝑥 𝑣 2 
 
Definindo um vetor diretor, a reta r estará determinada 
quando for conhecido um de seus pontos. 
 
RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS 
EXEMPLO: 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa 
pelo ponto A(3, 4, -1) e é ortogonal às retas: 
𝑟1: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0, 0, 1 + 𝑡(2, 3,−4) e 𝑟2: 
𝑥 = 5
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 1 − 𝑡
 
SOLUÇÃO: 
As direções de 𝑟1 e 𝑟2 são definidas pelos vetores 
𝑣 1 = (2, 3, −4) e 𝑣 2 = (0, 1,−1). Então a reta r tem a 
direção do vetor resultante do produto vetorial abaixo. 
 
𝑣 1 𝑥 𝑣 2 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 3 −4
0 1 −1
= 1, 2, 2 assim r: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 4 + 2𝑡
𝑧 = −1 + 2𝑡
 
 
INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 
EXEMPLO 1: 
Verificar se as retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 são concorrentes e, em caso 
afirmativo, determinar o ponto de intersecção. 
 𝑟1: 
𝑥 = 3 + ℎ
𝑦 = 1 + 2ℎ
𝑧 = 2 − ℎ
 e 𝑟2: 
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = −3 − 2𝑡
𝑧 = 4 + 𝑡
 
SOLUÇÃO: 
Se as equações são concorrentes têm um ponto em 
comum, assim: 
 
3 + ℎ = 5 + 3𝑡
1 + 2ℎ = −3 − 2𝑡
2 − ℎ = 4 + 𝑡
 ou 
ℎ − 3𝑡 = 2
2ℎ + 2𝑡 = −4
−ℎ − 𝑡 = 2
 
 
Sistema cuja solução é h = -1 e t = -1, assim substituindo 
h = -1 nas equações de 𝑟1, obtém-se o ponto 
 I(2, -1, 3) (ponto de intersecção de 𝑟1 𝑒 𝑟2). 
INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 
EXEMPLO 2: 
Verificar se as retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 são concorrentes e, em caso 
afirmativo, determinar o ponto de intersecção. 
 𝑟1: 
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥
 e 𝑟2: 
𝑥 = −𝑡
𝑦 = 4 − 𝑡
𝑧 = 2 + 2𝑡
 
SOLUÇÃO: 
Substituindo x, y e z das equações de 𝑟2 nas equações de 
𝑟1 , resulta no sistema : 
 
 
4 − 𝑡 = −2𝑡 − 3
2 + 2𝑡 = 𝑡
 
 
Da primeira equação obtemos t = -7 e da segunda t = -2 
Logo o sistema não tem solução . 
As retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 não são concorrentes. 
INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 
EXEMPLO 3: 
Verificar se as retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 são concorrentes e, em caso 
afirmativo, determinar o ponto de intersecção. 
 𝑟1: 
𝑦 = −3𝑥 + 2
𝑧 = 2𝑥 − 5
 e 𝑟2: 
𝑥+2
2
 = 
𝑦−1
−6
 = 
𝑧
4
 
 
SOLUÇÃO: 
Observando que 𝑣 1 = (1,−3, 2) e 𝑣 2 = (2,−6, 4) são 
vetores diretores de 𝑟1 𝑒 𝑟2 , respectivamente, e que 
𝑣 2 = 2. 𝑣 1. 
Conclui-se que as retas são paralelas e não coincidentes 
(basta ver que o ponto A(0, 2, -5) ∈ 𝑟1 e ∉ 𝑟2. 
Logo as equações não possuem ponto de intersecção. 
INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS 
OBS: 
--Se duas retas, como no exemplo 1, se interceptam, elas 
são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano 
 
 
 
--Também são coplanares as retas paralelas do exemplo 
3. 
 
 
--Se duas retas não são coplanares elas são ditas 
reversas. 
 
 
ESTUDO DA RETA 
PROBLEMAS PROPOSTOS: 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
ESTUDO DA RETA 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
ESTUDO DA RETA 
⇒ 
⇒ ⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
ESTUDO DA RETA 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
ESTUDO DA RETA 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
ESTUDO DA RETA 
⇒ 
⇒ 
⇒ ⇒ 
⇒ 
ESTUDO DA RETA 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS: 
ESTUDO DA RETA 
EQUAÇÕES DO PLANO 
- Equação geral do plano. 
- Equação segmentária do plano. 
- Equação vetorial do plano. 
- Equações paramétricas do plano. 
ESTUDO DO PLANO 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 Seja 𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 um ponto pertencente a um plano 𝜋 
 e 𝑛 = (a, b, c), 𝑛 ≠ 0, um vetor normal (ortogonal) 
 ao plano (figura 6.1). 
 
 Como 𝑛 ⊥ 𝜋, 𝑛 é ortogonal a todo 
 vetor representado em 𝜋. 
 
 Então um ponto P(x, y, z) pertence 
 a 𝜋 se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é 
 ortogonal a 𝑛, isto é: 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 𝑛 . 𝐴𝑃 = 0 ou 
 
 𝑛 . (P-A) = 0 ou 
 
(a, b, c).(x-𝑥1, y-𝑦1,z-𝑧1) = 0 ou 
 
a(x-𝑥1) + b(y-𝑦1) + c(z-𝑧1) = 0 ou 
 
ax + by + cz - a𝑥1- b𝑦1- c𝑧1 = 0 fazendo 
 
- a𝑥1- b𝑦1- c𝑧1 = 𝑑, obtemos: 
 
ax + by + cz + d = 0 ⇒⇒ Equação geral do plano 𝜋 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Seja 𝐴 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , 𝑛 = (a, b, c) e P(x, y, z) temos: 
 
ax + by + cz + d = 0 ⇒⇒ Equação geral do plano 𝜋. 
 
OBS: 
a) Assim como 𝑛 = (a, b, c) é um vetor normal a 𝜋, qualquer 
vetor K𝑛, K≠ 0, é também vetor normal ao plano. 
 
b)É importante notar que os três coeficientes a, b, c da 
equação acima representam as componentes de um vetor 
normal ao plano. 
 
Exemplo: Se um plano 𝜋 é dado por 𝜋: 3x + 2y – z +1=0 
Um de seus vetores normais é 𝑛 = (3, 2, −1) 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
OBS: 
c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação 
geral, basta atribuir valores arbitrários a duas das 
variáveis e calcular o valor da outra na equação dada. 
 
Assim a partir da equação 𝜋: 3x + 2y – z +1=0 
Fazendo x = 4 e y = -2, teremos: 
 
3(4) + 2(-2) – z + 1 = 0 ⇒⇒ z = 9 portanto o ponto 
 
encontrado será (4, -2, 9) que é pertencente ao plano 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
EXEMPLO 1: 
Obter uma equação geral do plano 𝜋 que passa pelo 
ponto 𝐴 2, −1, 3 e tem 𝑛 = (3, 2,−4) como um vetor 
normal. 
Solução: 
Considerando ax + by + cz + d = 0 ⇒⇒ Equação geral do 
plano 𝜋. 
Temos: 3x + 2y – 4z + d = 0 
 
Como o ponto 𝐴 2,−1, 3 pertence ao plano suas 
coordenadas devem verificar a equação, assim: 
 
 3(2) + 2(-1) – 4(3) + d = 0 logo d = 8 
 
Então a equação geral do plano 𝜋: 3x + 2y – 4z + 8 = 0 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
EXEMPLO 2: 
Obter uma equação geral do plano 𝜋 que passa pelo ponto 
𝐴 2, 1, 3 e é paralelo ao plano 𝜋1: 3x - 4y – 2z + 5 = 0. 
Solução: 
“Um vetor normal a um plano é normal também a qualquer 
plano paralelo a este”. 
Então, como 𝜋// 𝜋1 , o vetor 𝑛1 = (3,−4,−2) normal a 𝜋1 é 
também normal a 𝜋. 
Logo, uma equação de 𝜋 é da forma 3x - 4y – 2z + d = 0. 
 
Considerando que A ∈ 𝜋 , suas coordenadas devem 
verificar a equação: 
3(2) – 4(1) – 2(3) + d = 0 assim d = 4 logo a equação é: 
 
 𝜋 : 3x - 4y – 2z + 4 = 0 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
EXEMPLO 3: 
A reta r: 
𝑥 = 5 + 3𝑡
𝑦 = −4 + 2𝑡
𝑧 = 1 + 𝑡
 é ortogonal ao plano 𝜋 que passa 
pelo ponto 𝐴 2, 1, −2 . Determinar uma equação geral do 
plano 𝜋 e representa-lo graficamente. 
Solução: 
Como r ⊥ 𝜋 , qualquer vetor diretor de r é um vetor normal 
ao plano. Sendo 𝑛 = (3, 2, 1) um destes vetores, uma 
equaçãode 𝜋 é da forma: 
 
3x + 2y + z + d = 0 e como A ∈ 𝜋 , deve-se ter 
 
3(2) + 2(1) + (-2) + d = 0 assim d = -6; portanto uma 
 
equação de 𝜋 é 3x + 2y + z - 6 = 0 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Para representarmos graficamente o plano em questão 
obteremos 3 de seus pontos. 
Se na equação encontrada 𝜋: 3x + 2y + z - 6 = 0 fizermos: 
 
y = 0 e z = 0 encontramos x = 2 
x = 0 e z = 0 encontramos y = 3 
x = 0 e y = 0 encontramos z = 6 
 
Obtemos assim os pontos 
𝐴1 2, 0, 0 
𝐴2 0, 3, 0 
𝐴3 0, 0, 6 
Pontos estes em que o plano 
intercepta os eixos coordenados.- 6 = 0 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
OBS: 
Se um plano 𝜋 intercepta os eixos coordenados nos pontos 
𝐴 𝑝, 0, 0 
𝐵 0, 𝑞, 0 
𝐶 0, 0, 𝑟 
com p . q . r ≠ 0 , então 𝜋 admite 
A equação do tipo: 
 
x
p
+
y
q
+
z
r
= 1 ⇒⇒ equação 
 
Segmentaria do plano 𝜋 
 
 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO 
PLANO 
EXEMPLO: 
Se na equação encontrada anteriormente 𝜋: 3x + 2y + z - 6 = 0 
considerarmos 𝐴1 2, 0, 0 , 𝐴2 0, 3, 0 e 𝐴3 0, 0, 6 pontos em que 
o plano intercepta os eixos coordenados. 
A equação segmentária do plano é: 
 
x
p
+
y
q
+
z
r
= 1 ⇒⇒ 
x
2
+
y
3
+
z
6
= 1 
 
Que é equivalente à equação 3x + 2y + z - 6 = 0 ao eliminar- 
mos os denominadores e ordenarmos os termos. 
 
Reciprocamente, se partirmos da equação 3x + 2y + z - 6 = 0 
isolarmos o termo independente e dividirmos toda a equação 
por tal valor obteremos a forma segmentária. 
EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO 
Seja 𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 , um ponto pertencente a um plano 𝜋 e 
𝑢 = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) dois vetores paralelos a 
𝜋, porém, 𝑢 e 𝑣 não-paralelos. 
 
Para todo ponto P do plano, os 
vetores 𝐴𝑃, 𝑢 e 𝑣 são coplana- 
res. 
Um ponto P(x, y, z) pertence a 𝜋 se, e somente se, 
existem números reais h e t tais que: 
 
 𝐴𝑃 = h𝑢 + t 𝑣 ou P – A = h𝑢 + t 𝑣 ou P = A + h𝑢 + t 𝑣 
ou, em coordenadas: 
 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + h 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , h, t ∈ ℛ 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO 
 
P = A + h 𝑢 + t 𝑣 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + h 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , h, t ∈ ℛ 
 
Equação vetorial do plano 𝜋. 
 
Os vetores 𝑢 e 𝑣 são vetores 
diretores de 𝜋. 
 
EXEMPLO: 
Seja o plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝐴 2, 2, −1 e é 
paralelo aos vetores 𝑢 = (2,−3, 1) e 𝑣 = (−1, 5, −3). 
Obter a equação vetorial do plano 𝜋. 
Solução: 
 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2, 2,−1 + h 2,−3, 1 + 𝑡 −1, 5,−3 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO 
PLANO 
A partir da equação vetorial abaixo: 
 
P = A + h 𝑢 + t 𝑣 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + h 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , h, t ∈ ℛ 
 
Efetuando as operações no segundo membro temos: 
 
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0 + h𝑎1 + 𝑡𝑎2, 𝑦0+h𝑏1 + 𝑡𝑏2, 𝑧0+ℎ𝑐1 + 𝑡𝑐2 
 
Que pela condição de igualdade obteremos: 
 
 
𝑥 = 𝑥0 + h𝑎1 + 𝑡𝑎2
𝑦 = 𝑦0+h𝑏1 + 𝑡𝑏2
𝑧 = 𝑧0+ℎ𝑐1 + 𝑡𝑐2
 ⇒⇒Equações paramétricas do plano 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO 
PLANO 
 
𝑥 = 𝑥0 + h𝑎1 + 𝑡𝑎2
𝑦 = 𝑦0+h𝑏1 + 𝑡𝑏2
𝑧 = 𝑧0+ℎ𝑐1 + 𝑡𝑐2
 ⇒⇒Equações paramétricas do plano 
EXEMPLO: 
Seja o plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝐴 2, 2, −1 e é 
paralelo aos vetores 𝑢 = (2,−3, 1) e 𝑣 = (−1, 5, −3). 
Obter as equações paramétricas do plano 𝜋. 
Solução: 
 
𝑥 = 2 + 2h − 𝑡
𝑦 = 2 − 3h + 5𝑡
𝑧 = −1 + ℎ − 3𝑡
 ⇒⇒Equações paramétricas do plano 𝜋 
OBS: Se quisermos achar pontos do plano, basta atribuir 
valores reais para h e t. Por exemplo para h=0 e t=1, 
temos: x = 1, y = 7 e z = 4. 
 
Assim encontramos o ponto B(1, 7, 4) do plano 𝜋. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
 EXEMPLO: 
Seja o plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝐴 2, 2, −1 e é 
paralelo aos vetores 𝑢 = (2,−3, 1) e 𝑣 = (−1, 5, −3). 
Obter a equação geral do plano 𝜋. 
 
Solução: --Como o vetor 
𝑢𝑥𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 −3 1
−1 5 −3
= 4, 5, 7 
é simultaneamente ortogonal a 𝑢 e 𝑣 , ele é um vetor 
normal ao plano 𝜋. 
Então uma equação geral de 𝜋 é da forma: 
4x + 5y + 7z +d = 0, como A ∈ 𝜋 t tem-se: 
4(2) + 5(2) + 7(-1) +d = 0, assim d = -11 logo a 
equação geral é igual a: 
 4x + 5y + 7z -11 = 0 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
OBS: 
Existe outra maneira de se obter uma equação geral de 𝜋 : 
como P(x, y, z) representa um ponto qualquer do plano, os 
vetores 𝐴𝑃, 𝑢 e 𝑣 são coplanares e portanto, o produto 
misto deles é nulo, isto é: 
𝐴 2, 2,−1 , 𝑢 = (2,−3, 1) , 𝑣 = (−1, 5, −3) 
 
(𝐴𝑃, 𝑢 , 𝑣 ) = 0 
 
(𝐴𝑃, 𝑢 , 𝑣 ) = 
𝑥 − 2 𝑦 − 2 𝑧 + 1
2 −3 1
−1 5 −3
= 0 
 
Que é equivalente a equação 4x + 5y + 7z -11 = 0 
EQUAÇOES DO PLANO 
EXEMPLO 1: 
Dado o plano 𝜋 determinado pelos pontos 𝐴 1,−1,2 , 
B 2,1,−3 e C −1,−2,6 , obter um sistema de equações 
paramétricas e uma equação geral de 𝜋. 
 
Solução: 
a) Equações paramétricas: 
 
Com os pontos dados obtemos 𝑢 = 𝐴𝐵 = 1, 2,−5 e 
𝑣 = 𝐴𝐶 = (−2,−1, 4) que são os vetores diretores de 𝜋. 
Assim utilizando o ponto A, temos: 
 
 
𝑥 = 1 + h − 2𝑡
𝑦 = −1 + 2h − 𝑡
𝑧 = 2 − 5ℎ + 4𝑡
 ⇒⇒Equações paramétricas do plano 𝜋 
EQUAÇOES DO PLANO 
EXEMPLO 1: 
Dado o plano 𝜋 determinado pelos pontos 𝐴 1,−1,2 , 
B 2,1,−3 e C −1,−2,6 , obter um sistema de equações 
paramétricas e uma equação geral de 𝜋. 
Solução: 
b) Equação geral: 
 
Com os vetores diretores definidos no exemplo anterior 
𝑢 = 𝐴𝐵 = 1, 2,−5 e 𝑣 = 𝐴𝐶 = −2,−1, 4 . 
 
(𝐴𝑃, 𝑢 , 𝑣 ) = 
𝑥 − 1 𝑦 + 1 𝑧 − 2
1 2 −5
−2 −1 4
= 0 
 
Obtemos 3x + 6y + 3z - 3 = 0 ou x + 2y + z - 1 = 0 
EQUAÇOES DO PLANO 
EXEMPLO 2: 
Dado o plano 𝜋 de equação 2x - y - z + 4 = 0, determinar 
um sistema de equações paramétricas de 𝜋 . 
Solução: 
Basta tomarmos três pontos A, B, e C do plano não 
alinhados e procedermos como no exemplo anterior. 
Fazendo: 
x = y = 0, temos z = 4 --------- A(0, 0, 4) 
x = 1 e y = 0, temos z = 6 --- B(1, 0, 6) 
x = 0 e y = 1, temos z = 3 --- C(0, 1, 3) 
 
Como 𝐴𝐵 = 1, 0, 2 e 𝐴𝐶 = 0, 1, −1 são vetores 
diretores do plano, temos as equações: 
 
𝑥 = 0 + 1. h + 0. 𝑡
𝑦 = 0 + 0. h + 1. 𝑡
𝑧 = 4 + 2. ℎ − 1. 𝑡
 𝑜𝑢 
𝑥 = h
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 4 + 2ℎ − 𝑡
 
 
EQUAÇOES DO PLANO 
OBS: 
a) Como é possível encontrar infinitos ternos A, B e C de 
pontos não alinhados em 𝜋, existem infinitos sistemas de 
equações paramétricas que representam o mesmo plano. 
 
b) É importante observar que os vetores diretores sejam 
não paralelos, Se ocorrer 𝐴𝐵//𝐴𝐶, basta trocar um dos 
pontos de modo a garantir que 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 sejam não-
paralelos. 
 
c) Outra maneira de encontrar equações paramétricas a 
partir da equação geral , é substituindo duas das variáveis 
pelos parâmetros h e t e, posteriormente, isolar a terceira 
variável em função destes. 
 
EQUAÇOES DO PLANO 
EXEMPLO: 
Dada a equação geral 2x - y - z + 4 = 0, fazemos: 
 
y = h e z = t assim teremos 2x - h - t + 4 = 0. 
 
Isolando x resulta, x = h/2 + t/2 -2 então : 
 
𝑥 = h/2 + t/2 −2
𝑦 = ℎ
𝑧 = 𝑡
 
São equações paramétricas do plano. 
De modo análogo obteríamos outros sistemas: 
 
 
𝑥 = h
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 2h − t+ 4
 𝑒 
𝑥 = h
𝑦 = 2h − t +4
𝑧 = 𝑡
 
 
 
EQUAÇOES DO PLANO 
EXEMPLO 3: 
Determinar uma equação geral do plano 𝜋 que contenha 
as retas: 
𝑟1 = 
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑧 = −3𝑥 − 2
 e 𝑟2 = 
𝑥 = 2𝑡
𝑦 = 2𝑡 + 3
𝑧 = −6𝑡 +1
 
Solução: 
As direções de 𝑟1 e 𝑟2 são 𝑣 1 = 1, 1,−3 e 𝑣 2 = 2, 2,−6 
como 𝑣 2 = 2. 𝑣 1, as retas 𝑟1 e 𝑟2 são paralelas e os vetores 
𝑣 2 𝑒 𝑣 1 não são vetores diretores do plano. Tendo em vista 
os pontos 𝐴1 0, 1,−2 ∈ 𝑟1 e 𝐴2 0, 3,1 ∈ 𝑟2 também 
pertencem a 𝜋, o vetor 𝐴1𝐴2 = 0, 2, 3 está representado 
neste plano . Então 𝑣 1 e 𝐴1𝐴2 ( ou 𝑣 2 e 𝐴1𝐴2) são vetores 
diretores de 𝜋. 
EQUAÇOES DO PLANO 
EXEMPLO 3: 
Assim a partir do ponto 𝐴1 0, 1, −2 e dos vetores 
𝑣 1 = 1, 1,−3 e 𝐴1𝐴2 = 0, 2, 3 um dos seus vetores 
normais será: 
𝑛 = 𝑣 1𝑥 𝐴1𝐴2 =
𝑖 𝑗 𝑘
1 1 −3
0 2 3
= 9,−3, 2 
Portanto, uma equação geral de 𝜋 será: 
 
9x - 3y + 2z + d = 0 e como 𝐴1 ∈ 𝜋, 
tem-se d = 7 
Assim: 
 
𝜋: 9x - 3y + 2z + 7 = 0 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DE UM 
PARALELOGRAMO 
Dados os pontos A, B e C não colineares, os vetores 𝐴𝐵 
 e 𝐴𝐶 determinam um paralelogramo cuja equação 
vetorial é: 
 𝐴𝑃 = h.(𝐴𝐵)+ t .(𝐴𝐶) 
P – A = h.(𝐴𝐵)+ t .(𝐴𝐶) 
P = A + h.(𝐴𝐵)+ t .(𝐴𝐶) 
Ou 
P = A + h.(B - A)+ t .(C – A) com h e t ∈ 0,1 onde P 
Representa um ponto qualquer deste paralelogramo. 
Observemos que : 
Para h = t = 0, obtém-se o ponto A (P = A) 
Para h = 1 e t = 0, obtém-se o ponto B(P = B) 
Para h = 0 e t = 1, obtém-se o ponto C(P = C) 
Para t = ½ e h ∈ 0,1 , obtém-se o segmento MN onde M e 
N são os pontos médios de AC e BD e assim por diante. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
CASOS PARTICULARES 
No caso de um ou mais coeficientes da equação geral do 
plano ax + by + cz + d = 0 serem nulos, o plano ocupará 
uma posição particular em relação aos eixos ou planos 
coordenados. 
Faremos uma análise a partir de um caso particular: 
 
𝜋: 3x + 4y + 2z - 12 = 0 
 
onde a = 3, b = 4, c = 2 e d = -12 
O plano que esta equação representa, 
 intercepta os eixos coordenados em 
 (4, 0, 0), (0, 3, 0) e (0, 0, 6) 
 
𝑥
4
+
𝑦
3
+
𝑧
6
= 1 equação segmentaria 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
CASOS PARTICULARES 
 
𝜋: 3x + 4y + 2z - 12 = 0 equação geral do plano 
 
 
𝑥
4
+
𝑦
3
+
𝑧
6
= 1 equação segmentaria do plano 
 
a) Se tivéssemos d = 0 a equação 
Acima seria 3x + 4y + 2z = 0 que 
Representaria um plano paralelo ao 
da figura, pois passa pela origem 
 (0, 0, 0). 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
CASOS PARTICULARES 
b) Se tivéssemos a = 0, a equação 𝜋: 3x + 4y + 2z - 12 = 0 
seria 4y + 2z - 12 = 0 que representaria um plano paralelo 
ao eixo dos x, interceptando os outros dois eixos ainda em 
(0, 3, 0) e (0, 0, 6). 
 
Observemos ainda que nenhum ponto 
do tipo (x, 0, 0) satisfaz a equação. 
 
Assim o plano não tem ponto em 
Comum com este eixo e, portanto, 
Só pode ser paralelo a ele. 
 
Desta análise se conclui que o plano e paralelo ao eixo 
cuja variável é ausente na equação. 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
CASOS PARTICULARES 
Se tivéssemos além de a = 0 ainda d = 0, a equação 𝜋: 3x 
+ 4y + 2z - 12 = 0 seria 4y + 2z = 0 que representaria um 
plano que passaria pela origem, portanto contém o eixo x. 
 
Comentários idênticos faríamos para 
Os casos b = 0 e c = 0, com equações 
 
 3x + 2z - 12 = 0 ----- 3x + 4y - 12 = 0 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
CASOS PARTICULARES 
c) Se tivéssemos a = b = 0, a equação 𝜋: 3x + 4y + 2z - 12 
= 0 seria 2z - 12 = 0 ou simplesmente z = 6. 
 
Observemos que todos os pontos do tipo (x, y, 6) verificam 
a equação z = 6. 
 
Sendo assim trata-se de um plano 
 paralelo a XOY e que intercepta o eixo OZ 
perpendicularmente em (0, 0, 6) . 
 
Assim concluímos que toda a equação 
do tipo z = k representa um plano 
paralelo ao plano XOY e intercepta o 
eixo OZ em (0, 0, k). 
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
CASOS PARTICULARES 
Raciocínio análogo, leva-nos a concluir que: 
 
 Y = k representa um plano Y = k 
 paralelo a XOZ 
 
 
X = k representa um plano 
 paralelo a YOZ 
 
 X = k 
 
ÂNGULO DE DOIS PLANOS 
Sejam os planos 𝜋1 e 𝜋2 com vetores normais 𝑛1 e 𝑛2 , 
respectivamente. 
 
Chama-se ângulo de 
Dois planos 𝜋1 e 𝜋2 o 
Menor ângulo que um 
Vetor normal a 𝜋1 forma 
Com um vetor normal a 𝜋2. 
Sendo 𝜃 este ângulo, tem-se: 
 
 cos θ =
|𝑛1 . 𝑛2|
𝑛1 . |𝑛2|
 , com 0 ≤ θ ≤ 
𝜋
2
 
 
Como cos θ≥ 0 quando 0 ≤ θ ≤ 
𝜋
2
 , o numerador deve ser 
positivo, por isso o produto escalar está em módulo 
ÂNGULO DE DOIS PLANOS 
EXEMPLO: 
Determinar o ângulo entre os planos 
𝜋1: 2x + y – z + 3 = 0 e 𝜋2: x + y – 4 = 0. 
 
Solução: 
Sendo 𝑛1 = (2, 1,−1) e 𝑛2 = 1, 1, 0 vetores normais a 𝜋1 
e 𝜋2, assim temos: 
 
cos θ =
|(2,1,−1). 1,1,0 |
2²+1²+(−1)² 1²+1²
=
|2+1+0|
6 2
=
3
12
=
3
2 3
=
3
2
 
 
logo θ = arc cos (
3
2
) = 
𝜋
6
 = 30° 
 
 
 
PLANOS PERPENDICULARES 
Consideremos dois planos 𝜋1e 𝜋2, e sejam 𝑛1 e 𝑛2 vetores 
normais a 𝜋1e 𝜋2, respectivamente. Pela figura conclui-se 
imediatamente: 
 
 
𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⟺ 𝑛1 ⊥ 𝑛2 ⟺ 𝑛1 . 𝑛2 = 0 
 
EXEMPLO 1: 
Verificar se 𝜋1e 𝜋2 são planos perpendiculares. 
𝜋1: 3x + y –4z + 2 = 0 e 𝜋2: 2x + 6y + 3z = 0 
 
Solução: sendo 𝑛1 = (3, 1,−4) e 𝑛2 = 2, 6, 3 vetores 
normais a 𝜋1e 𝜋2, respectivamente, e como: 
𝑛1 . 𝑛2 = 3(2) +1(6) – 4(3) = 0 
 logo 𝜋1e 𝜋2 são perpendiculares 
PLANOS PERPENDICULARES 
EXEMPLO 2: 
Verificar se 𝜋1e 𝜋2 são planos perpendiculares. 
𝜋1: x + y – 4 = 0 e 𝜋2: 
𝑥 = 2 − h + 2t
𝑦 = h + t
𝑧 = 𝑡
 
Solução: 
O vetor 𝑛1 = (1, 1, 0) é um vetor normal a 𝜋1. Teremos que 
encontrar um vetor 𝑛2 normal a 𝜋2 . Como 𝑢 = (−1,1, 0) e 
𝑣 = (2, 1,1) são vetores diretores de 𝜋2, podemos 
considerar 
𝑛2 = 𝑢 𝑥 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
−1 1 0
2 1 1
= 1, 1, −3 tendo em vista que: 
𝑛1 . 𝑛2 = (1, 1, 0) . 1, 1, −3 = 1(1) +1(1) + 0(-3) = 2 ≠ 0 
Então os planos 𝜋1e 𝜋2 não são perpendiculares. 
PARALELISMO E 
PERPENDICULARIDADE ENTRE RETA 
E PLANO 
Sejam uma reta r com a direção do vetor 𝑣 e um plano 𝜋, 
sendo 𝑛 um vetor normal a 𝜋 . 
 
 
 
 
 
 
Pelas figuras conclui-se imediatamente: 
 
I) r // 𝜋 ⟺ 𝑣 ⊥ 𝑛 ⟺ 𝑣 . 𝑛 = 0 (figura a) 
 
II) r ⊥ 𝜋 ⟺ 𝑣 // 𝑛 ⟺ 𝑣 = 𝛼 𝑛 (figura b) 
 
PARALELISMO E 
PERPENDICULARIDADE ENTRE RETA 
E PLANO 
EXEMPLO: 
A reta r: 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = −3𝑡
𝑧 = 𝑡
 é paralela ao plano 𝜋: 5x + 2y - 4z – 1=0 
Pois o vetor diretor 𝑣 = (2,−3, 1) de r é ortogonal ao vetor 
normal 𝑛 = (5, 2,−4) de 𝜋 , isto é, 
 
𝑣 . 𝑛 = (2,−3, 1) . 5, 2, −4 = 2(5) – 3(2) + 1(4) = 0 
 
Esta mesma reta, por sua vez, é perpendicular ao plano 
𝜋1: 4x - 6y + 2z – 5 = 0, pois o vetor diretor 𝑣 = (2,−3, 1) de 
r é paralelo ao vetor normal 𝑛1 = (4,−6, 2) de 𝜋1, isto é, 
 
 𝑣 =
1
2
 . 𝑛1 ou de modo equivalente 
2
4
=
−3
−6
=
1
2
 
RETA CONTIDA EM PLANO 
Uma reta r está contida em um plano 𝜋 (figura) se: 
 
a) Dois pontos A e B de r forem também de 𝜋. 
 
b) 𝑣 . 𝑛 = 0 , onde 𝑣 é um vetor diretor de r e 𝑛 um vetor 
normal a 𝜋 , e A ∈ 𝜋, sendo A ∈ r. 
 
EXEMPLO: 
Determinar os valores de m e n para que a reta r: 
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = −1 − 𝑡
𝑧 = −2 − 𝑡
 
Esteja contida no plano 𝜋: 2x + my + nz – 5=0 . 
 
Solução: 
Utilizando o critério exposto anteriormente, sejam A(3, -1,-2) 
e B(4, -2, -3) os pontos de r. 
Como r ⊂ 𝜋, as coordenadas de A e B devem satisfazer a 
equação de 𝜋 , isto é: 
 
 
2 3 +𝑚 −1 + 𝑛 −2 − 5 = 0
2 4 +𝑚 −2 + 𝑛−3 − 5 = 0
 ou 
−𝑚 − 2𝑛 + 1 = 0
−2𝑚 − 3𝑛 + 3 = 0
 
 
Onde m = 3 e n = -1 
RETA CONTIDA EM PLANO 
Sejam os planos não-paralelos 
 𝜋1: 5x - y + z – 5 = 0 e 𝜋2: x + y + 2z – 7 = 0 
A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r 
cujas equações se deseja determinar. Para tanto, dentre 
os vários procedimentos, apresentamos dois: 
1)Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de 
qualquer ponto (x, y, z) ∈ r devem satisfazer 
simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os 
pontos de r constituem a solução do sistema 
 
r: 
5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
 
 
O sistema tem infinitas soluções, e em termos de x , sua 
solução é r: 
𝑦 = 3𝑥 − 1
𝑧 = −2𝑥 + 4
 são equações reduzidas de r 
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS 
Sejam os planos não-paralelos 
 𝜋1: 5x - y + z – 5 = 0 e 𝜋2: x + y + 2z – 7 = 0 
 
2)Outra forma de determinar a equação de r é determinar 
um de seus pontos e um vetor diretor. 
Para determinar o ponto A ∈ r que tem abscissa zero. 
Então x = 0 nas equações do sistema 
 
 r: 
5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
 
 
Assim resulta o sistema 
 
r: 
−𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
 
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS 
Assim resulta o sistema 
r: 
−𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
 
Cuja solução é y = -1 e z = 4. 
 Logo, A(0, -1, 4). 
Como um vetor diretor 𝑣 de r é 
simultaneamente ortogonal 
a 𝑛1 = (5,−1, 1) e 𝑛2 = 1, 1, 2 , normais aos planos 𝜋1 e 
𝜋2, respectivamente (ver figura acima).O vetor 𝑣 pode ser 
dado por: 𝑣 = 𝑛1 𝑥 𝑛1 =
𝑖 𝑗 𝑘
5 −1 1
1 1 2
= −3,−9, 6 
ou também -1/3(-3, -9, 6) = (1, 3, -2). 
Escrevendo as equações paramétricas de r , temos: 
r: 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = 4 − 2𝑡
 
INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS 
EXEMPLO 1: 
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano 𝜋, 
onde: 
 r: 
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 5 + 3𝑡
𝑧 = 3 − 𝑡
 e 𝜋: 2x - y + 3z – 4=0 
Solução: 
Qualquer ponto de r é da forma (x, y, z)= (-1+2t, 5+3t, 3-t). 
Se um deles é comum ao plano 𝜋, suas coordenadas 
verificam a equação de 𝜋: 
 
2(-1+2t) - (5+3t) + 3(3-t) – 4 = 0 e dai resulta t = -1 
Substituindo este valor nas equações de r obtém-se 
X = -1+2(-1)=-3 y=5+3(-1)=2 z=3-(-1)=4 
 
 logo a interseção de r e 𝜋 é o ponto (-3, 2, 4) 
INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO 
EXEMPLO 2: 
Determinar a interseção da reta r: 
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 2 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
 
Com o plano 𝜋: 2x - y + 3z – 4=0 
Solução: 
Se existir um ponto I(x, y, z) ∈ r que também pertence a 𝜋, 
suas coordenadas devem verificar as equações dos três 
planos dados. Logo, I será a solução do sistema. 
 
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 2 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 − 2 = 0
 
 
Resolvendo o sistema obtém-se x=2, y=-1, z=3. 
Logo I(2, -1,3) é a interseção de r e 𝜋 , ou seja, é a 
interseção dos três planos . 
INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS