Hidráulica - Notas de Aula - Professor Walszon - Parte 1

Prévia do material em texto

CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
DA HIDRÁULICA E ESCOAMENTO 
EM TUBULAÇÕES 
 
 
 
 
INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR PLANALTO – IESPLAN 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA: HIDRÁULICA GERAL 
PROFESSOR: WALSZON TERLLIZZIE ARAÚJO LOPES 
 
 1
HIDRÁULICA GERAL 
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA HIDRÁULICA 
1.1. CONCEITO E DIVISÃO DA HIDRÁULICA 
O significado etimológico da palavra Hidráulica é “condução de água”, 
originado da palavra grega hydor (água) e aulos (tubo, condução). 
A definição mais ampla de Hidráulica é como sendo o estudo do 
comportamento da água e de outros líquidos, quer em repouso, quer em 
movimento. 
A Hidráulica pode ser dividida em: Hidráulica Geral ou Teórica 
(Hidrostática, Hidrocinemática e Hidrodinâmica) e Hidráulica Aplicada ou 
Hidrotécnica. 
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada são: 
• Urbana: Sistemas de abastecimento de água; Sistemas de esgotamento 
sanitário; Sistemas de drenagem pluvial; 
• Rural: Sistemas de drenagem; Sistemas de irrigação; Sistemas de água 
potável e esgotos; 
• Instalações prediais: Industriais; Comerciais; Residenciais; Públicas; 
• Lazer e paisagismo; 
• Estradas (drenagem); 
• Defesa contra inundações; 
• Geração de energia; 
• Navegação e Obras Marítimas Fluviais. 
 2
1.2. UNIDADES EMPREGADAS E SÍMBOLOS USUAIS 
Tabela 1. Principais unidades empregadas e símbolos usuais na Hidráulica. 
Grandeza Dimensional Sistema CGS Sist. Internacional (SI) 
Comprimento L centímetro (cm) metro (m) 
Massa M grama (g) quilograma (kg) 
Força MLT-2 dina (dyn) Newton (N) 
Tempo T segundo (s) segundo (s) 
Superfície L2 cm2 m2 
Volume L3 cm3 m3 
Velocidade LT-1 cm/s m/s 
Aceleração LT-2 cm/s2 m/s2 
Velocidade angular T-1 rad/s rad/s 
Energia ML2T-2 erg Joule (J) 
Potência ML2T-3 erg/s Watt (W) 
Quant. de movimento MLT-1 dina-segundo N.s 
Viscosidade dinâmica ML-1T-1 poise (P=1Ns/m2) decapoise 
Viscosidade cinemática L2T-1 cm2/s (Stokes) m2/s 
Massa específica ML-3 g/cm3 kg/m3 
Peso específico ML-2T-2 dyn/cm3 N/m3 
Pressão ML-1T-2 dyn/cm2 Pascal (Pa; N/m2) 
Vazão L3T-1 cm3/s m3/s 
Tensão superficial ML-2 dyn/cm N/m 
 
1.3. CONTINUIDADE 
Embora os elementos constituintes das matérias (moléculas, átomos, etc) 
guardem certa distância entre si, para o estudo das propriedades mecânicas dos 
corpos, pode-se considerá-los como meios contínuos, admitindo que aqueles 
elementos se justapõem de modo que entre eles não haja vazios, sendo assim, 
dentro da porção do espaço ocupado por um fluido, a cada ponto geométrico 
corresponde, obrigatoriamente, a um ponto material do fluido. 
1.4. SÓLIDOS E FLUIDOS 
Os sólidos são constituídos por um conjunto de partículas, entre as quais, as 
forças de coesão são maiores que as de repulsão. Para haver deformação no corpo é 
necessário que lhe sejam aplicados esforços suficientes para vencer àquelas forças 
 3
e se esses esforços não ultrapassarem determinado valor, uma vez cessada a sua 
ação, as partículas retornam à sua posição primitiva (fase elástica), somente 
havendo deformação permanente além daquele limite. 
Entre as partículas dos fluidos, a coesão é tão pequena que as mesmas 
gozam de grande mobilidade (fluidez), a qual é absoluta nos fluidos ideais, cujas 
partículas não oferecem nenhuma reação ao se deslocamento recíproco. 
1.5. ESFORÇOS NOS SISTEMAS CONTÍNUOS 
As reações que se desenvolvem entre partículas de um meio contínuo são 
denominadas tensões ou pressões, utilizando-se em geral, a primeira para os 
sólidos e a segunda para os fluidos. Ambas são dadas pela seguinte fórmula: 
dFp
dA
= (1) 
onde p é a pressão resultante da aplicação da força dF na área dA. 
1.6. CARACTERÍSTICAS DAS PRESSÕES NOS FLUIDOS 
Os sólidos têm forma e volumes próprios, mas não são rígidos. Admitem 
tensões normais e tangenciais, de modo que a tensão p pode ser inclinada em 
relação à superfície a qual atua. 
Os fluidos não possuem forma própria e, quando em repouso, não admitem 
a existência de esforços tangenciais entre suas partículas.Os fluidos perfeitos, 
considerados fluidos sem viscosidade e incompressíveis, mesmo em movimento, 
não admitem esforços tangenciais. 
Em qualquer ponto no interior de um fluido perfeito ou de um fluido real em 
repouso, as pressões são iguais em qualquer direção (lei de Pascal), ou seja: 
x y zp p p p= = = (2) 
onde px, py e pz são as pressões nas direções x, y e z, e podem ser representadas por 
um único valor de pressão, p. 
 4
1.7. DENSIDADE, MASSA ESPECÍFICA E PESO ESPECÍFICO 
Massa específica (ρ) ou densidade absoluta é definida como: 
M
V
ρ = (3) 
onde M é a massa do corpo e V é o volume ocupado por esse corpo. 
Peso específico (γ) é definido como: 
Mg Pg
V V
γ ρ γ= = ⇒ = (4) 
onde P é o peso do corpo, V é o volume ocupado por esse corpo e g é a aceleração 
da gravidade. 
Densidade relativa ou simplesmente densidade (δ) é dada por: 
1 1
2 2
γ ρδ γ ρ= = (5) 
onde os índice 1 e 2 se referem a uma característica do corpo 1 e do corpo 2, 
respectivamente. Em geral, toma-se a água como referência, estando nesse caso, 
representado pelo corpo 2. 
Tabela 2. Variação da massa específica da água doce com a temperatura. 
Temperatura 
(oC) 
Massa específica 
(kg/m3) 
Temperatura 
(oC) 
Massa específica 
(kg/m3) 
0 999,87 30 995,67 
2 999,87 40 992,24 
4 1.000,00 50 988 
5 999,99 60 983 
10 999,73 70 978 
15 999,13 80 972 
20 998,23 90 965 
 
 5
1.8. COMPRESSIBILIDADE 
A compressibilidade é a propriedade que tem os corpos de reduzir seus 
volumes sob a ação de pressões externas. 
Considerando a lei de conservação de massa, um aumento de pressão 
corresponde a um aumento de massa específica, ou seja, uma diminuição de 
volume, assim tem-se: 
dV Vdpα= − (6) 
onde α é o coeficiente de compressibilidade, V é o volume inicial e dp é a variação 
de pressão. 
O inverso do módulo de compressibilidade (α) é o de módulo de elasticidade 
volumétrico (ε), ou seja, 1α ε= . 
Para os líquidos, estes módulos variam muito pouco com a pressão, sendo 
considerados incompressíveis. Entretanto, varia consideravelmente com a 
temperatura. A Tabela 3 mostra a variação de α e ε da água doce com a 
temperatura da água. 
Tabela 3. Variação de α e ε com a temperatura da água doce. 
Temperatura (oC) α (N/m2)108 
 
ε (m2/N)10-10 
0 5,13 19,5 
10 4,93 20,29 
20 4,75 21,07 
30 4,66 21,46 
 
1.9. VISCOSIDADE 
A viscosidade é a propriedade dos fluidos responsável pela sua resistência à 
deformação, ou seja, ela representa a capacidade do fluido de resistir ao 
cisalhamento, convertendo a energia cinética do fluido em calor. 
 6
De acordo com a lei de Newton para a viscosidade (Figura 1), a força de 
atrito resultante do movimento de duas placas de área A, onde se encontra um 
fluido de viscosidade µ entre elas, é dada pela seguinte equação (Figura 2): 
VF A
z
µ ∆= ∆ (7) 
sendo µ um coeficiente que depende da natureza do fluido e é denominado de 
viscosidade absoluta ou dinâmica, ou simplesmente, viscosidade. 
Para a água a 20oC e 1 atm, µ é igual a 10-3 Ns/m2 (1 centipoise). 
V
V VÁrea A z
 
Figura 1. Ilustração para a apresentação da lei de Newton para a viscosidade. 
Plá
sti
co
 id
ea
l
Fluid
o new
tonia
no
Flui
do n
ão n
ewto
nian
o
Velocidade de deformação
Te
ns
ão
 d
e 
ci
sa
lh
am
en
to
Fluido idealTensão de
escoamento
 
Figura 2. Diagrama tensão de cisalhamento versus deformação. 
 7
Os efeitos da viscosidade aumentam com a diminuição da densidade do 
fluido. A relação entre a viscosidade (µ) e a massa específica (ρ) é a viscosidade 
cinemática (ν), ou seja: 
µν ρ= (8)No sistema CGS, a viscosidade cinemática é dada em cm2/s (stokes) e no 
sistema SI é dada por m2/s. 
Tabela 4. Variação da viscosidade cinemática da água com a temperatura. 
Temperatura 
(oC) 
ν 
(m2/s) 10-9 
Temperatura 
(oC) 
ν 
(m2/s) 10-9 
0 1792 40 657 
2 1673 50 556 
4 1567 60 478 
5 1519 70 416 
10 1308 80 367 
20 1007 90 328 
30 804 100 296 
 
1.10. COESÃO, ADESÃO E TENSÃO SUPERFICIAL 
São fenômenos de origem molecular, devidos a forças eletrolíticas, que 
provocam a atração recíproca das moléculas. 
Adesão é a propriedade que tem os líquidos de se unirem a outros corpos. 
Coesão é atração entre moléculas de uma mesmo fluido. 
A tensão superficial é o fenômeno observado na superfície de separação de 
dois fluidos não miscíveis, a qual se comporta como se estivesse numa estado de 
tensão uniforme, dado a impressão de haver uma película, que pode suportar 
pequenas cargas. O coeficiente de tensão superficial representa a energia por 
unidade de área, tendo como unidade do SI de N/m. 
As propriedades de adesão, coesão e tensão superficial são responsáveis pelo 
fenômeno conhecido como capilaridade. 
 8
 
Figura 3. Capilaridade versus diâmetro do tubo para alguns líquidos. 
 
Figura 4. Cálculo da altura capilar da água num tubo. 
A altura h que a água sobe em um capilar de diâmetro d, é determinada pela 
seguinte fórmula: 
4 senh
d
τ α
γ= (9) 
onde τ é a tensão superficial, α é o ângulo de contato (adesão) e γ é o peso 
específico da água. 
 9
1.11. TENSÃO DE VAPOR 
Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição 
a determinada temperatura, a qual é chamada temperatura de saturação de vapor 
(tv), a qual corresponde biunivocamente a pressões de saturação de vapor ou 
simplesmente tensões de vapor (pv). 
1.12. MÉTODOS DE MEDIÇÃO DA PRESSÃO (PIEZÔMETROS E 
MANÔMETROS) 
Lei de Stevin: “A diferença de pressões entre dois pontos da massa de um 
líquido em equilíbrio é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso 
específico do líquido.” 
 
1 2 2 10 0yF p A hA p A p p hγ γ= ∴ + − = ⇒ − =∑ (10) 
1.13. INFLUÊNCIA DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA 
A pressão na superfície de um líquido é exercida pelos gases que se 
encontram acima desse líquido, geralmente à pressão atmosférica. 
 10
A pressão atmosférica varia com a altitude, correspondendo, ao nível do mar 
a uma coluna de água de 10,33 m e a uma coluna de mercúrio 0,76 m. 
 
O dispositivo mais simples para medir pressões é o tubo piezométrico ou 
simplesmente, piezômetro. Consiste na inserção de um tubo transparente na 
canalização ou recipiente onde se quer medir a pressão. 
 
'
'
'
em A: ;
em : ;
em : ;
em : .
a
a
a
a
p
B p h
C p h
D p h z
γ
γ
γ γ
+
+
+ −
 (11) 
 11
 
 
 
 
Para a medida de diferença de pressão, utilizam-se os manômetros. 
1 1 3 3 2 2
1 1 3 3 2 2
C A D E
E A
p p h h p p h
p p h h h
γ γ γ
γ γ γ
= + + = = +
∴ − = + − (12) 
 
1.14. MOVIMENTOS DOS FLUIDOS PERFEITOS 
O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos possui cinco 
incógnitas (vx, vy, vz, p e ρ), as quais são funções de quatro variáveis independentes 
(x, y, z e t). Sendo assim, precisa-se de cinco equações para determinar as variáveis 
desse sistema. Essas equações necessárias compreendem: as três equações gerais 
do movimento; a equação da continuidade e uma equação complementar que 
leva em consideração a natureza do fluido. 
 12
1.15. VAZÃO OU DESCARGA 
Denomina-se de vazão ou descarga, em uma determinada seção, o volume 
de líquido que a atravessa por unidade de tempo (m3/s; l / s, l / h, etc) 
1.16. CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 
Movimento
Permanente
Não permanente
Uniforme
Não uniforme
Acelerado
Retardado
 
Figura 5. Classificação do movimento de fluidos. 
 
1.17. REGIMES DE ESCOAMENTO 
Regime laminar, tranqüilo ou lamelar: as trajetórias das partículas em 
movimento são bem definidas e não se cruzam; 
Regime turbulento, agitado, hidráulico: as partículas do fluído possuem 
movimento desordenado. 
 
 13
 
 
1.18. LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 
Em um líquido em movimento, denominam-se linhas de corrente as linhas 
orientadas segundo a velocidade do líquido e que possuem a propriedade de não 
serem atravessadas por partículas do fluido. 
Os tubos de corrente são formados por linhas de corrente e possuem a 
propriedade de não poderem ser atravessadas por partículas do fluido, ou seja, suas 
paredes podem ser consideradas impermeáveis. 
1.19. EQUAÇÕES GERAIS DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 
Equações de Euler: 
1 ;
1 ;
1
yx z x
x y z
y yx z
x y z
yx z z
x y z
vp v v vX v v v
x x y z t
v vp v vY v v v
y x y z t
vp v v vZ v v v
z x y z t
ρ
ρ
ρ
∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
 (13) 
1.20. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
( ) ( ) ( ) 0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ zvyvxvt zyx ρρρρ (14) 
Para os líquidos incompressíveis, ou seja, ρ é constante: 
 14
0yx z
vv v
x y z
∂∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (15) 
Considerando um trecho de um tubo de corrente, com as seções A1 e A2 e as 
respectivas velocidades v1 e v2, a quantidade de líquido de massa específica ρ que 
passa pela primeira e pela segunda seções, na unidade de tempo, será: 
1 2
1 1 1 2 2 2e
dm dmv A v A
dt dt
ρ ρ= = (16) 
Para as condições de fluxo permanente, temos: 
1 1 1 2 2 2v A v Aρ ρ= (17) 
Caso o líquido seja considerado incompressível (ρ1 = ρ2): 
1 1 2 2 1 2 constantev A v A Q Q Q Q Av= = = = = ∴ = (18) 
onde Q é a vazão (m3/s); v é a velocidade média do fluxo (m/s) e A é a área da 
seção de escoamento (m2). 
1.21. EQUAÇÃO DE BERNOULI 
“Ao longo de uma linha de corrente é constante a soma das alturas 
cinéticas, piezométricas e geométricas.” 
 
 15
 
Assumindo o fluido como incompressível, os volumes A1ds1 e A2ds2 devem 
ser iguais, sendo adotado com igual a V. Seja z1 e z2 as cotas dos respectivos 
centros de gravidade, p1 e p2 as pressões que agem sobre ela, e v1 e v2 as 
velocidades correspondentes, a variação da energia cinética no sistema será: 
2 2
2 1
1 1
2 2c
E mv mv∆ = − (19) 
Já o trabalho das forças externas (empuxo e gravidade) é dado por: 
1 1 1 2 2 2 1 2( )p A ds p A ds V z zγ− + − (20) 
Igualando as equações (19) e (20), teremos: 
2 2
2 1 1 1 1 2 2 2 1 2
2 2
2 1 1 2 1 2
2 2
2 1 1 2
1 2
1 1 ( )
2 2
1 1 ( )
2 2
1 1 ( )
2 2
mv mv p A ds p A ds V z z
Vv Vv pV p V V z z
g g
v v p p z z
g g
γ
γ γ γ
γ γ
− = − + − ∴
− = − + − ∴
− = − + − ∴
 (21) 
2 2
1 1 2 2
1 2 constante2 2
p v p vz z
g gγ γ+ + = + + = (22) 
 16
1.22. DEMONSTRAÇÕES EXPERIMENTAIS DO TEOREMA DE 
BERNOULI 
 
1.23. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULI 
Problema 1: A água escoa pelo tubo indicado na Figura 6, cuja seção varia 
do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm2 (0,010 m2) para 50 cm2 (0,0050 m2). Em 1, a 
pressão é de 50.000 N/m2 (0,5 kgf/cm2) e a elevação é 100 m, ao passo que, no 
ponto 2, a pressão é 294.000 N/m2 (2,94 kgf/cm2) na elevação 70 m. Calcular a 
vazão em litros por segundo. 
 
Figura 6. Problema 1. 
 17
 
Solução: 
Pela equação da continuidade, tem-se: 
1 1 2 2 1 2 2 1100 50 2Q Av A v v v v v= = ∴ = ⇒ = 
Aplicando a equação de Bernouli nos pontos 1 e 2, tem-se: 
( )
2 2
1 1 2 2
1 2
22 2 2
11
3 2 3 2
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
2 2
2
21
12
2 2
249.000 N/m 294.000 N/m100m 70m
9.800 N/m 2.9,8m /s 9.800 N/m 2.9,8m /s
4100 5 70 30
19,6m /s 19,6m /s
4105 100
19,6m /s 19,6m/s
35 3 5 19,6
19,6m /s
p v p vz z
g g
vv
v v
v v
v v
γ γ+ + = + + ∴
+ + = + + ∴
+ + = + + ∴
− = − ∴
= ∴ = × ∴
1 1
5 19,6 5,7m/s
3
v v×= ⇒ =
 
Logo a vazão será: 
( )2 31 1 0,010m 5,7 m/s 0,057 m /s 57 l/sQ A v Q Q= ∴ = × ⇒ = 
 18
2. ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
2.1. DEFINIÇÕES E GENERALIDADES 
Condutos forçados: condutos nos quais o líquido escoa sob pressão 
diferente da atmosférica. A tubulação sempre funciona totalmente cheia e o 
conduto é sempre fechado. 
Condutos livres: são àqueles sujeitos à pressão atmosférica em pelo menos 
um ponto da seção transversal de escoamento. 
 
Na prática as canalizações podem ser projetadas para funcionarem como 
condutos livres ou como canalizações forçadas. 
Exemplos de condutos forçados: Encanamentos; Canalizações ou 
tubulações sob pressão; Canalizações ou tubulações de recalque; Canalizações e 
tubulações de sucção; Sifões Verdadeiros; Sifões invertidos; Canalizações forçadas 
das usinas hidrelétricas; barriletes de sucção ou descarga. 
Exemplos de condutos livres: Canaletas; Calhas; Drenos; Interceptores de 
esgotos; Coletores de esgotos; Galerias; Canais; Cursos de água naturais. 
 19
2.2. EXPERIÊNCIA DE REYNOLDS 
 
Figura 7. Experiência de Reynolds. 
Osborne Reynolds (1883), após suas investigações teóricas e 
experimentais, trabalhando com diferentes diâmetros e temperaturas, concluiu que 
o melhor critério para se determinar o tipo de movimento em uma canalização não 
seria relacioná-lo com a velocidade do fluxo, e sim com uma variável adimensional 
dada pela seguinte expressão: 
e
vDR ν= (23) 
o qual é conhecido com número de Reynolds, onde v é a velocidade média do 
fluido (m/s), D é o diâmetro da canalização (m) e ν é a viscosidade cinemática 
do fluido (m2/s). 
Utilizando este coeficiente, podemos classificar o regime do fluxo em 
condutos forçados: 
2.000 Fluxo laminar;
2.000 4.000 Laminar ou Turbulento;
4.000 Fluxo turbulento
e
e
e
R
R
R
< ⇒
< < ⇒
> ⇒
 
 20
Para condutos livres, o número de Reynolds é dado por: 
e
vHR ν= (24) 
onde H é a profundidade do fluxo. Para este caso, o valor crítico inferior de Re é 
aproximadamente 500. 
Na prática, o escoamento da água, do ar e de outros fluidos pouco viscosos 
se verifica em regime turbulento. 
2.3. PERDAS DE CARGA: CONCEITO E NATUREZA 
 
A resistência ao escoamento de um fluido em regime laminar é devida 
exclusivamente à viscosidade. Já em regime turbulento, a resistência é o efeito 
combinado das forças devidas à viscosidade e à inércia. 
A experiência mostra que no regime laminar a perda de carga é função da 
primeira potência da velocidade enquanto que em regime turbulento, ela varia 
com a segunda potência da velocidade. 
 21
2.4. CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 
Perdas de carga contínuas ou lineares: ocasionada pelo movimento da 
água na própria tubulação. Admite-se que essa perda seja uniforme em qualquer 
trecho da tubulação de dimensões constantes, independentemente da posição da 
canalização. 
Perdas de carga locais, localizadas, acidentais ou singulares: são 
ocasionadas pelas peças especiais (válvulas; registros; medidores, conexões, etc) e 
demais singularidades de uma instalação. 
2.5. PERDAS DE CARGA LINEARES OU CONTÍNUAS 
Após inúmeras experiências conduzidas por Darcy e outros pesquisadores, 
com tubos de seção circular, concluiu-se que a resistência ao escoamento da água 
é: 
1) Diretamente proporcional ao comprimento da canalização ( DLπ ); 
2) Inversamente proporcional a uma potência do diâmetro (1 mD ); 
3) Função de uma potência da velocidade média (vn); 
4) Variável com a natureza das paredes dos tubos (rugosidade), no caso 
de regime turbulento (k’); 
5) Independente da posição do tubo; 
6) Independente da pressão interna sob a qual o líquido escoa; 
7) Função de uma potência da relação entre a viscosidade e a densidade 
do fluido ( )rµ ρ ; 
Sendo assim, a perda de carga (hf) numa tubulação pode ser expressa 
como: 
' 1
r
n
f mh k DL vD
µπ ρ
⎛ ⎞= × × × × ⎜ ⎟⎝ ⎠ (25) 
 22
simplificando ao fazer m = p +1; 
'
r
n
f p
Lh k v
D
µπ ρ
⎡ ⎤⎛ ⎞= × ×⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 (26) 
fazendo '
r
k k µπ ρ
⎛ ⎞= × ⎜ ⎟⎝ ⎠ , teremos: 
n
f p
Lh k v
D
= × (27) 
Em 1775, Chézy observou que a perda de carga variava mais ou menos com 
o quadrado da velocidade da água, ou seja, assumiu n = 2. Em 1850, Darcy e 
Weisbach sugeriram novas modificações e assumiram p = 1 e multiplicaram o 
numerador e denominador por “2g”. Sendo assim, a equação (27) toma a forma: 
2
2f
L vh f
D g
= (28) 
A equação (28) é conhecida como fórmula de Darcy-Weisbach ou 
Fórmula Universal. 
Problemas práticos de encanamentos: nos problemas de encanamentos são 
quatro os elementos hidráulicos: D, hf, v e Q. São disponíveis duas equações 
(equação da continuidade e uma equação de perda de carga). Sendo assim, o 
problema será determinado quando foram dados dois elementos hidráulicos 
quaisquer, conforme a mostra a Tabela 1. 
Tabela 5. Tipos de problemas práticos em condutos forçados. 
Tipo Dados Incógnitas Observação 
I D e hf Q e v 
II D e Q hf e v Calcula-se v Q A= 
III D e v Q e hf Calcula-se Q A v= 
IV Q e hf D e v 
V hf e v D e Q 
VI Q e v D e hf Calcula-se A Q v= 
 23
2.6. PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS OU SINGULARES 
2.6.1 Perda de carga devido ao alargamento brusco de seção 
 
Aplicando o teorema de Bernouli, tem-se: 
2 2
1 1 2 2
1 22 2 f
p v p vz z h
g gγ γ+ + = + + + ∴ 
( ) ( )2 21 2 2 1
2f
v v p p
h
g γ
− −= − (29) 
Aplicando o teorema do impulso:
( )d mvdFI
dt dt
= = ; 
( ) ( )2 2 1 2 1 2d p A p A dm v vdt dt
− = − ∴ 
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2d Vp p A v vdt
ρ− = − ∴ 
( ) ( )2 1 2 1 2dVp p A v vg dt
γ− = − ∴ 
( ) ( )2 1 2 1 2p p A Q v vg
γ− = − ∴ 
( ) ( )2 1 1 2
2
1p p Q v v
g Aγ
− = − ∴ 
 24
( ) ( )2 1 2 1 2p p v v vgγ
− = − (30) 
Substituindo a equação (30) na equação (29), tem-se: 
( ) ( )2 21 2 2 1 22f
v v vh v v
g g
−= − − ∴ 
( ) ( )2 21 2 2 2 122 2f
v v vh v v
g g
−= − − ∴ 
( )2 2 21 1 2 2 22 2
2f
v v v v v
h
g
− − += ∴ 
( ) ( )22 21 1 2 2 1 22
2 2f f
v v v v v v
h h
g g
− + −= ⇒ = (31) 
2.7. EXPRESSÃO GERAL DAS PERDAS DE CARGA 
Substituindo o valor de v2 em função de v1 na equação (31), tem-se: 
( )
2
1
2 1 1
1 2 21
2 1
2
2 22 2 2
2 2 2 2 21 1 1
1 1 1 1 12 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
f
Av v
v v AAv v h
A g g
A A Av v v v v
A A A
g g
⎛ ⎞−⎜ ⎟− ⎝ ⎠= ∴ = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⇒
 
2 2
1 1
2
2
1
2f
A vh
A g
⎛ ⎞⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
 (32) 
Praticamente todas as perdas singulares podem ser expressas sob a forma: 
2
2f
vh K
g
= (33) 
 
 
 25
Tabela 6. Valores aproximados do coeficiente K (perdas singulares) 
Peça K Peça K 
Ampliação gradual 0,30* Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor Venturi 2,50** 
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15* 
Controlador de vazão 2,50 Saída da canalização 1,00 
Cotovelo de 90o 0,90 Tê, passagem direta 0,60 
Cotovelo de 45o 0,40 Tê, saída de lado 1,30 
Crivo 0,75 Tê, saída bilateral 1,80 
Curva de 90o 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,00 
Curva de 45o 0,20 Válvula de gaveta aberta 0,20 
Curva de 22,5o 0,10 Válvula borboleta aberta 0,30 
Entrada normal em canalização 0,50 Válvula-de-pé 1,75 
Entrada de borda 1,00 Válvula de retenção 2,50 
Existência de pequena derivação 0,03 Válvula de globo aberta 10,00 
* Com base na velocidade maior 
** Relativa à velocidade na canalização 
 Velocidade 1,00 
 
2.7.1 Perdas de cargas na entrada de uma canalização (saída de 
reservatório)a) Reentrante ou de Borda (K=1); b) Normal (K=0,5); c) Forma de sino 
(K=0,05); d) Concordância com uma peça adicional de redução (K=0,10). 
 
 26
2.7.2 Perdas de cargas na saída de uma canalização (entrada em 
reservatório) 
 
2.7.3 Perda de carga em curvas 
Relação R/D 1 1,5 2 4 6 8 
K 0,48 0,36 0,27 0,21 0,27 0,36 
 
2.7.4 Perda de carga em válvulas de gaveta 
 
d/D Ad/AD K 
7/8 0,948 0,07 
6/8 0,856 0,26 
5/8 0,740 0,81 
4/8 0,609 2,06 
3/8 0,466 5,52 
2/8 0,315 17,00 
1/8 0,159 97,80 
 
 
2.7.5 Perda de carga em válvula borboleta 
δ Ad/AD K δ Ad/AD K 
5o 0,913 0,24 40o 0,367 10,80 
10o 0,826 0,52 45o 0,293 18,70 
15o 0,714 0,90 50o 0,234 32,60 
20o 0,658 1,54 55o 0,181 58,80 
25o 0,577 2,51 60o 0,134 118,00
30o 0,500 3,91 65o 0,094 256,00
35o 0,426 6,22 70o 0,060 750,00
 
 27
2.7.6 Perda de carga devida ao estreitamento de seção 
2
1 2
2
4 1
9 2f
A vh
A g
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2.7.7 Perda de carga devida ao alargamento gradual de seção 
β 5o 10o 15o 20o 25o 30o 35o 
K 0,13 0,17 0,42 0,90 1,10 1,08 1,05 
 
2.7.8 Perda de carga em tês e junções 
 
 28
 
2.8. MÉTODO DOS COMPRIMENTOS VIRTUAIS 
 29
2.9. EXERCÍCIOS 
1) Uma canalização de ferro dúctil com 1.800 m de comprimento e 300 mm 
de diâmetro está descarregando em um reservatório uma vazão de 60 l/s. Calcular a 
diferença de nível entre a represa e o reservatório, considerando todas as perdas de 
carga. Verificar quanto as perdas localizadas representam da perda por atrito ao 
longo do escoamento. Há na linha apenas 2 curvas de 90º, 2 de 45º e 2 registros de 
gaveta (abertos). 
 
2) Analisar as perdas locais no ramal de ¾” que abastece o chuveiro de uma 
instalação predial. Verificar qual a porcentagem dessas perdas em relação a perda 
por atrito.