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Projeto Lugar raizes 05

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Projeto pelo Lugar das Ra´ızes
Controle 1
Prof. Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introduc¸a˜o
Neste apostila sera˜o estudadas formas para se fazer o projeto de um sistema reali-
mentado, utilizando-se o Lugar Geome´trico das Ra´ızes, denotado LGR ou, simplesmente,
LR.
O me´todo do lugar das ra´ızes e´ uma forma gra´fica de se obter as ra´ızes da equac¸a˜o
caracter´ıstica (que equivale aos po´los em malha fechada), quando K varia de 0 a infinito.
0.2 Informac¸o˜es teo´ricas
Os sistemas de controle sa˜o projetados para desempenhar tarefas espec´ıficas, sendo
que os requisitos impostos aos sistemas de controle sa˜o chamados de especificac¸o˜es de
desempenho. Estas especificac¸o˜es podem ser relativas a` estabilidade, velocidade de
resposta, etc.
O objetivo do projeto e´ posicionar os po´los em malha fechada em um determinado lugar
no plano complexo s, de forma que atenda as especificac¸o˜es de desempenho. Algumas vezes
apenas o ajuste do ganho permite atender a`s especificac¸o˜es. Outras vezes sera´ necessa´rio
acrescentar um outro sistema na malha de realimentac¸a˜o, denominado compensador ou
controlador, para atender a`s especificac¸o˜es.
O sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 1, no qual
o bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar alguma
caracter´ıstica do sistema em malha fechada. A func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada
1
e´ dada por:
F (s) = Y (s)
R(s)
= KC(s)G(s)H(s)
1+KC(s)G(s)H(s)
–
+R(s) Y(s)-����- K C(s) - G(s) -
ffH(s)ff
6
Figura 1: Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada
0.2.1 Considerac¸o˜es preliminares de projeto
O projeto no lugar das ra´ızes e´ um me´todo de tentativa e erro procurando-se posicionar
os po´los em malha fechada em uma determinada regia˜o. Sempre no projeto busca-se
posicionar um par de po´los na regia˜o de interesse de forma que eles sejam dominantes na
resposta. Lembre-se que o sistema pode ter um nu´mero grande de po´los, mas aqueles que
estiverem mais pro´ximos do eixo imagina´rio ira˜o determinar o tipo de resposta.
Efeito da adic¸a˜o de po´los
A adic¸a˜o de um po´lo na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta possui o efeito de
repelir o lugar das ra´ızes. Normalmente o po´lo e´ posicionado no semiplano esquerdo, e isto
faz com que o lugar das ra´ızes tenda para o semiplano direito, diminuindo a estabilidade
relativa do sistema e aumentando o tempo de acomodac¸a˜o.
Efeito da adic¸a˜o de zeros
A adic¸a˜o de um zero na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta possui o efeito de
atrair o lugar das ra´ızes. Normalmente o zero e´ posicionado no semiplano esquerdo, e
isto faz com que o lugar das ra´ızes tenda para a regia˜o que em que o zero se encontra,
aumentando a estabilidade relativa do sistema e diminuindo o tempo de acomodac¸a˜o. O
efeito do zero e´ introduzir um grau de antecipac¸a˜o no sistema aumentando a velocidade
transito´ria.
2
Estabilidade relativa
Indica o quanto um sistema esta´ pro´ximo da instabilidade. Existem diversas formas
de se fazer esta avaliac¸a˜o. Por exemplo, isto pode ser avaliado pela parte real do po´lo,
verificando quanto pro´ximo ela se encontra do eixo imagina´rio.
Estabilidade absoluta
A estabilidade absoluta indica se um sistema e´ esta´vel ou na˜o.
0.2.2 Tipos de compensadores
Os compensadores podem ser classificados em treˆs tipos:
1. Compensador PID (proporcional integral derivativo): PID = KP +
KI
s
+ Kds ,
podendo-se trabalhar com os elementos tambe´m de forma isolada, como por exemplo:
a) proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP +
KI
s
; c) proporcional +
derivativo: KP +Kds; d) integral:
KI
s
Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) PID =
KP (1 +
KI
s
+Kds); b) PID = KP (1 +
I
s
+Ds).
2. Compensador avanc¸o de fase (Lead): e´ um filtro passa alta. Lead = K s+as+b ,
sendo que |a| < |b| . Isto e´ o zero esta´ mais pro´ximo da origem, no semi plano
esquerdo
3. Compensador atraso de fase (Lag): e´ um filtro passa baixa. Lag = K s+cs+d , sendo
que |d| < |c|. Isto e´ o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem, no semi plano esquerdo
0.2.3 Diretrizes gerais para o projeto do compensador
• O projeto do compensador e´ feito pela colocac¸a˜o de po´los e zeros. Como o sistema
deve ser causal, o nu´mero de po´los deve ser sempre maior ou igual o nu´mero de
zeros.
• Se o compensador tiver um po´lo e um zero afastados entre si, ele ira´ alterar o lugar
das ra´ızes.
3
• Se o po´lo e o zero estiverem muito pro´ximos entre si, eles na˜o alteram de forma
significativa o lugar das ra´ızes: a) a contribuic¸a˜o em termos de aˆngulos do po´lo e do
zero possuem sinais oposto e se anulam; b) os vetores do ponto em considerac¸a˜o ao
po´lo e ao zero, possuem praticamente o mesmo valor e se cancelam.
Exemplo
Uma maneira de se fazer o projeto no lugar das ra´ızes e´ inserir po´los e zeros para
alterar o lugar das ra´ızes para que ele passe por um ponto desejado, de forma que os po´los
dominantes definam as caracter´ısticas do sistema.
Na figura 2, no ı´tem a, e´ mostrado o lugar das ra´ızes para o sistema G(s) = 1
s(s+1)(s+6)
sem compensac¸a˜o. Com o objetivo de tornar o sistema mais ra´pido, os po´los em malha
fechada devem ser posicionados o mais a esquerda poss´ıvel no semi-plano esquerdo s. Para
isto e´ colocado um zero em s = −1, 5 e o po´lo em s = −30. Isto e´ mostrado no item b,
da figura 2.
Figura 2: Compensac¸a˜o atrair o lugar das ra´ızes mais para a esquerda
0.2.4 Compensac¸a˜o por atraso de fase (LAG)
A forma geral do compensador Lag e´: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α > 1.
No compensador atraso de fase o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem do que o zero,
|p| < |z|.
Exemplo de compensac¸a˜o por atraso de fase
4
Neste projeto a compensac¸a˜o por atraso de fase baseia-se na colocac¸a˜o de um po´lo e
um zero pro´ximos entre si e pro´ximos da origem. Como eles esta˜o pro´ximos entre si, as
contribuic¸o˜es de fase se cancelam e o lugar das ra´ızes original na˜o e´ alterado. Na figura 3
e´ mostrada a colocac¸a˜o de um compensador atraso de fase no lugar das ra´ızes.
A compensac¸a˜o por atraso de fase pode ser usada para alterar o valor do ganho de
malha, sem alterar o lugar das ra´ızes.
Figura 3: Compensac¸a˜o atraso de fase
Note que apesar do lugar das ra´ızes na˜o sofrer alterac¸a˜o, o ganho em regime (ganho
esta´tico, que equivale ao ganho DC) e´ alterado. Por exemplo, supondo zero z = 0, 1 e po´lo
p = 0, 01, tem-se aplicando o teorema do valor final Glag = K
s+0,1
s+0,01 = K
0,1
0,01 = K10.
O sistema compensado teria um ganho 10 vezes maior que o sistema original.
Lembrando que Kp = lims→0GH, ao acrescentar o compensador Kp = lims→0CGH =
lims→0K s+zs+pGH = k
z
p
G(0)H(0). Note que o ganho esta´tico compensado e´ aumentado pela
relac¸a˜o z
p
em relac¸a˜o ao sistema original.
Isto pode ser u´til, quando se quer diminuir o erro em regime, pois aumentar o ganho
do sistema significa aumentar a constante de erro em regime permanente (erro esta´tico).
OBS: Note que o par po´lo-zero muito pro´ximo da origem, pode afetar a resposta
transito´ria. Neste caso, uma das ra´ızes em malha fechada estara´ pro´xima do zero do
compensador de atraso de fase. A resposta transito´ria correspondente a esta raiz tera´ um
termo que decaira´ lentamente, mas que tera´ uma magnitude pequena porque o zero quase
ira´ cancelar o po´lo na func¸a˜o de transfereˆncia. Ainda assim, o decaimento sera´ lento e
este termo podera´ influenciar seriamente o tempo de estabilizac¸a˜o. Ale´m disto, o zero
na˜o estara´ presente na resposta a um degrau do torque de perturbac¸a˜o e o transito´rio
lento sera´ muito mais evidente nesta situac¸a˜o. Devido a este efeito e´importante colocar
o po´lo e o zero do compensador em frequ¨eˆncias o mais alto poss´ıvel, mas sem causar uma
5
alterac¸a˜o na localizac¸a˜o das ra´ızes dominantes.
0.2.5 Compensac¸a˜o por avanc¸o de fase
No compensador avanc¸o de fase o zero esta´ mais pro´ximo da origem do que o po´lo,
|z| < |p|.
A forma geral do compensador Lead e´: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α < 1.
Exemplo de compensac¸a˜o por avanc¸o de fase (LEAD)
Neste exemplo, o compensador lead e´ caracterizado por um par po´lo-zero ajusta´vel,
colocado longe da origem no eixo real negativo.
Neste compensador, colocando o po´lo bem mais distante do eixo imagina´rio que o zero,
a contribuic¸a˜o angular do compensador e´ ainda positiva, pois angulozero > angulopolo.
Normalmente o po´lo do compensador e´ colocado bem a esquerda dos outros po´los do
sistema.
Na figura 4 e´ mostrada uma forma de se fazer o projeto em avanc¸o de fase. O sistema
em malha aberta tem po´los em s1 = −2 e s2 = −3. Deseja-se colocar os po´los dominantes
no ponto P (s = −4± j4). Para isto foi colocado um compensador lead. Como tentativa
inicial o zero foi colocado em s = −4. O po´lo do compensador devera´ ser calculado para
que θ1 + θ2 + θ4− θ3 = 180(1 + 2N). Para o exemplo, obtem-se: zero = −4 e polo = −7.6.
So´ que neste caso, devido a` proximidade do zero com os po´los complexos havera´ 3 po´los
dominantes.
Figura 4: Compensac¸a˜o avanc¸o de fase
6
Como segunda tentativa, coloca-se o zero em s = −5 e repete-se o processo. Obtendo-
se o resultado desejado com o po´lo em s = −9, 4.
0.2.6 Exemplos de lugar das ra´ızes
Figura 5: Exemplos de lugar das ra´ızes
7
Figura 6: Exemplos de lugar das ra´ızes
8
	Introdução
	Informações teóricas
	Considerações preliminares de projeto
	Tipos de compensadores
	Diretrizes gerais para o projeto do compensador
	Compensação por atraso de fase (LAG)
	Compensação por avanço de fase
	Exemplos de lugar das raízes

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