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Projeto pelo Lugar das Ra´ızes Controle 1 Prof. Paulo Roberto Brero de Campos 0.1 Introduc¸a˜o Neste apostila sera˜o estudadas formas para se fazer o projeto de um sistema reali- mentado, utilizando-se o Lugar Geome´trico das Ra´ızes, denotado LGR ou, simplesmente, LR. O me´todo do lugar das ra´ızes e´ uma forma gra´fica de se obter as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica (que equivale aos po´los em malha fechada), quando K varia de 0 a infinito. 0.2 Informac¸o˜es teo´ricas Os sistemas de controle sa˜o projetados para desempenhar tarefas espec´ıficas, sendo que os requisitos impostos aos sistemas de controle sa˜o chamados de especificac¸o˜es de desempenho. Estas especificac¸o˜es podem ser relativas a` estabilidade, velocidade de resposta, etc. O objetivo do projeto e´ posicionar os po´los em malha fechada em um determinado lugar no plano complexo s, de forma que atenda as especificac¸o˜es de desempenho. Algumas vezes apenas o ajuste do ganho permite atender a`s especificac¸o˜es. Outras vezes sera´ necessa´rio acrescentar um outro sistema na malha de realimentac¸a˜o, denominado compensador ou controlador, para atender a`s especificac¸o˜es. O sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 1, no qual o bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar alguma caracter´ıstica do sistema em malha fechada. A func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada 1 e´ dada por: F (s) = Y (s) R(s) = KC(s)G(s)H(s) 1+KC(s)G(s)H(s) – +R(s) Y(s)-����- K C(s) - G(s) - ffH(s)ff 6 Figura 1: Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada 0.2.1 Considerac¸o˜es preliminares de projeto O projeto no lugar das ra´ızes e´ um me´todo de tentativa e erro procurando-se posicionar os po´los em malha fechada em uma determinada regia˜o. Sempre no projeto busca-se posicionar um par de po´los na regia˜o de interesse de forma que eles sejam dominantes na resposta. Lembre-se que o sistema pode ter um nu´mero grande de po´los, mas aqueles que estiverem mais pro´ximos do eixo imagina´rio ira˜o determinar o tipo de resposta. Efeito da adic¸a˜o de po´los A adic¸a˜o de um po´lo na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta possui o efeito de repelir o lugar das ra´ızes. Normalmente o po´lo e´ posicionado no semiplano esquerdo, e isto faz com que o lugar das ra´ızes tenda para o semiplano direito, diminuindo a estabilidade relativa do sistema e aumentando o tempo de acomodac¸a˜o. Efeito da adic¸a˜o de zeros A adic¸a˜o de um zero na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta possui o efeito de atrair o lugar das ra´ızes. Normalmente o zero e´ posicionado no semiplano esquerdo, e isto faz com que o lugar das ra´ızes tenda para a regia˜o que em que o zero se encontra, aumentando a estabilidade relativa do sistema e diminuindo o tempo de acomodac¸a˜o. O efeito do zero e´ introduzir um grau de antecipac¸a˜o no sistema aumentando a velocidade transito´ria. 2 Estabilidade relativa Indica o quanto um sistema esta´ pro´ximo da instabilidade. Existem diversas formas de se fazer esta avaliac¸a˜o. Por exemplo, isto pode ser avaliado pela parte real do po´lo, verificando quanto pro´ximo ela se encontra do eixo imagina´rio. Estabilidade absoluta A estabilidade absoluta indica se um sistema e´ esta´vel ou na˜o. 0.2.2 Tipos de compensadores Os compensadores podem ser classificados em treˆs tipos: 1. Compensador PID (proporcional integral derivativo): PID = KP + KI s + Kds , podendo-se trabalhar com os elementos tambe´m de forma isolada, como por exemplo: a) proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP + KI s ; c) proporcional + derivativo: KP +Kds; d) integral: KI s Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) PID = KP (1 + KI s +Kds); b) PID = KP (1 + I s +Ds). 2. Compensador avanc¸o de fase (Lead): e´ um filtro passa alta. Lead = K s+as+b , sendo que |a| < |b| . Isto e´ o zero esta´ mais pro´ximo da origem, no semi plano esquerdo 3. Compensador atraso de fase (Lag): e´ um filtro passa baixa. Lag = K s+cs+d , sendo que |d| < |c|. Isto e´ o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem, no semi plano esquerdo 0.2.3 Diretrizes gerais para o projeto do compensador • O projeto do compensador e´ feito pela colocac¸a˜o de po´los e zeros. Como o sistema deve ser causal, o nu´mero de po´los deve ser sempre maior ou igual o nu´mero de zeros. • Se o compensador tiver um po´lo e um zero afastados entre si, ele ira´ alterar o lugar das ra´ızes. 3 • Se o po´lo e o zero estiverem muito pro´ximos entre si, eles na˜o alteram de forma significativa o lugar das ra´ızes: a) a contribuic¸a˜o em termos de aˆngulos do po´lo e do zero possuem sinais oposto e se anulam; b) os vetores do ponto em considerac¸a˜o ao po´lo e ao zero, possuem praticamente o mesmo valor e se cancelam. Exemplo Uma maneira de se fazer o projeto no lugar das ra´ızes e´ inserir po´los e zeros para alterar o lugar das ra´ızes para que ele passe por um ponto desejado, de forma que os po´los dominantes definam as caracter´ısticas do sistema. Na figura 2, no ı´tem a, e´ mostrado o lugar das ra´ızes para o sistema G(s) = 1 s(s+1)(s+6) sem compensac¸a˜o. Com o objetivo de tornar o sistema mais ra´pido, os po´los em malha fechada devem ser posicionados o mais a esquerda poss´ıvel no semi-plano esquerdo s. Para isto e´ colocado um zero em s = −1, 5 e o po´lo em s = −30. Isto e´ mostrado no item b, da figura 2. Figura 2: Compensac¸a˜o atrair o lugar das ra´ızes mais para a esquerda 0.2.4 Compensac¸a˜o por atraso de fase (LAG) A forma geral do compensador Lag e´: C(s) = Kα s+ 1T s+ 1αT = K Ts+1αTs+1 , com α > 1. No compensador atraso de fase o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem do que o zero, |p| < |z|. Exemplo de compensac¸a˜o por atraso de fase 4 Neste projeto a compensac¸a˜o por atraso de fase baseia-se na colocac¸a˜o de um po´lo e um zero pro´ximos entre si e pro´ximos da origem. Como eles esta˜o pro´ximos entre si, as contribuic¸o˜es de fase se cancelam e o lugar das ra´ızes original na˜o e´ alterado. Na figura 3 e´ mostrada a colocac¸a˜o de um compensador atraso de fase no lugar das ra´ızes. A compensac¸a˜o por atraso de fase pode ser usada para alterar o valor do ganho de malha, sem alterar o lugar das ra´ızes. Figura 3: Compensac¸a˜o atraso de fase Note que apesar do lugar das ra´ızes na˜o sofrer alterac¸a˜o, o ganho em regime (ganho esta´tico, que equivale ao ganho DC) e´ alterado. Por exemplo, supondo zero z = 0, 1 e po´lo p = 0, 01, tem-se aplicando o teorema do valor final Glag = K s+0,1 s+0,01 = K 0,1 0,01 = K10. O sistema compensado teria um ganho 10 vezes maior que o sistema original. Lembrando que Kp = lims→0GH, ao acrescentar o compensador Kp = lims→0CGH = lims→0K s+zs+pGH = k z p G(0)H(0). Note que o ganho esta´tico compensado e´ aumentado pela relac¸a˜o z p em relac¸a˜o ao sistema original. Isto pode ser u´til, quando se quer diminuir o erro em regime, pois aumentar o ganho do sistema significa aumentar a constante de erro em regime permanente (erro esta´tico). OBS: Note que o par po´lo-zero muito pro´ximo da origem, pode afetar a resposta transito´ria. Neste caso, uma das ra´ızes em malha fechada estara´ pro´xima do zero do compensador de atraso de fase. A resposta transito´ria correspondente a esta raiz tera´ um termo que decaira´ lentamente, mas que tera´ uma magnitude pequena porque o zero quase ira´ cancelar o po´lo na func¸a˜o de transfereˆncia. Ainda assim, o decaimento sera´ lento e este termo podera´ influenciar seriamente o tempo de estabilizac¸a˜o. Ale´m disto, o zero na˜o estara´ presente na resposta a um degrau do torque de perturbac¸a˜o e o transito´rio lento sera´ muito mais evidente nesta situac¸a˜o. Devido a este efeito e´importante colocar o po´lo e o zero do compensador em frequ¨eˆncias o mais alto poss´ıvel, mas sem causar uma 5 alterac¸a˜o na localizac¸a˜o das ra´ızes dominantes. 0.2.5 Compensac¸a˜o por avanc¸o de fase No compensador avanc¸o de fase o zero esta´ mais pro´ximo da origem do que o po´lo, |z| < |p|. A forma geral do compensador Lead e´: C(s) = Kα s+ 1T s+ 1αT = K Ts+1αTs+1 , com α < 1. Exemplo de compensac¸a˜o por avanc¸o de fase (LEAD) Neste exemplo, o compensador lead e´ caracterizado por um par po´lo-zero ajusta´vel, colocado longe da origem no eixo real negativo. Neste compensador, colocando o po´lo bem mais distante do eixo imagina´rio que o zero, a contribuic¸a˜o angular do compensador e´ ainda positiva, pois angulozero > angulopolo. Normalmente o po´lo do compensador e´ colocado bem a esquerda dos outros po´los do sistema. Na figura 4 e´ mostrada uma forma de se fazer o projeto em avanc¸o de fase. O sistema em malha aberta tem po´los em s1 = −2 e s2 = −3. Deseja-se colocar os po´los dominantes no ponto P (s = −4± j4). Para isto foi colocado um compensador lead. Como tentativa inicial o zero foi colocado em s = −4. O po´lo do compensador devera´ ser calculado para que θ1 + θ2 + θ4− θ3 = 180(1 + 2N). Para o exemplo, obtem-se: zero = −4 e polo = −7.6. So´ que neste caso, devido a` proximidade do zero com os po´los complexos havera´ 3 po´los dominantes. Figura 4: Compensac¸a˜o avanc¸o de fase 6 Como segunda tentativa, coloca-se o zero em s = −5 e repete-se o processo. Obtendo- se o resultado desejado com o po´lo em s = −9, 4. 0.2.6 Exemplos de lugar das ra´ızes Figura 5: Exemplos de lugar das ra´ızes 7 Figura 6: Exemplos de lugar das ra´ızes 8 Introdução Informações teóricas Considerações preliminares de projeto Tipos de compensadores Diretrizes gerais para o projeto do compensador Compensação por atraso de fase (LAG) Compensação por avanço de fase Exemplos de lugar das raízes
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